高中數(shù)學(xué)必修一第二章 2.3 第1課時(shí) (2)

1、1 / 15 23 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 第第 1 課時(shí)課時(shí) 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.2.從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式經(jīng)歷從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式的過(guò)程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.3.借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系 知識(shí)點(diǎn)一 一元二次不等式的概念 定義 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2bxc0，ax2bxc0 0 0)的圖象 一元二次方程 ax2bx

2、c0(a0)的根 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x1，x2(x10(a0)的解集 x|xx2 x xb2a r ax2bxc0)的解集 x|x1xx2 預(yù)習(xí)小測(cè) 自我檢驗(yàn) 1下面所給關(guān)于 x 的幾個(gè)不等式：3x40；ax24x70；x20的解集為_ 答案 x|0 x2 解析 原不等式可化為 x(x2)0，0 x2. 3不等式 4x290 的解集是_ 答案 x 32x32 解析 原不等式可化為 x294，即32x32. 4已知一元二次不等式 ax22x10 的解集為 r，則 a的取值范圍是_ 答案 a|a1 解析 由題意知 a0，0， a0，44a0，a0； (2)3x25x20； (3)x24x50.

3、 解 (1)不等式可化為 x25x60，所以方程 x25x60有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：x12，x23. 由二次函數(shù) yx25x6的圖象(如圖)，得原不等式的解集為x|2x0， 所以方程 3x25x20的兩實(shí)根為 x12，x213. 由二次函數(shù) y3x25x2的圖象(圖)，得原不等式的解集為x x2或x13. (3)方程 x24x50 無(wú)實(shí)數(shù)解，函數(shù) yx24x5 的圖象是開口向上的拋物線，與 x 軸無(wú)交點(diǎn)(如圖)觀察圖象可得，不等式的解集為 r. 反思感悟 解一元二次不等式的一般步驟 第一步：把一元二次不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式(二次項(xiàng)系數(shù)為正，右邊為 0 的形式)；第二步：求b24ac；第三步：若 0； (2

4、)x26x100. 解 (1)方程 4x24x10 有兩個(gè)相等的實(shí)根 x1x212.作出函數(shù) y4x24x1 的圖象如圖由圖可得原不等式的解集為x x12. (2)原不等式可化為 x26x100， 364040 的解集為x|3x0 的解集為x|3x2， 所以3,2 是方程 ax2(b8)xaab0 的兩根， 所以 32b8a，32aaba，解得 a3，b5， 所以 y3x23x18. (2)因?yàn)?a30 的解集為x 13x0. 解 (1)當(dāng) a0時(shí)，不等式可化為 x20，解得 x2，即原不等式的解集為x|x2 6 / 15 (2)當(dāng) a0時(shí)，方程 ax2(12a)x20的兩根分別為 2和1a.

5、 當(dāng) a12時(shí)，解不等式得1ax2， 即原不等式的解集為x 1ax2； 當(dāng) a12時(shí)，不等式無(wú)解， 即原不等式的解集為； 當(dāng)12a0 時(shí)，解不等式得 2x1a， 即原不等式的解集為x 2x0 時(shí)， 解不等式得 x2， 即原不等式的解集為x x2. 反思感悟 解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟 特別提醒：對(duì)應(yīng)方程的根優(yōu)先考慮用因式分解確定，分解不開時(shí)再求判別式 ，用求根公式計(jì)算 跟蹤訓(xùn)練 3 (1)當(dāng) a12時(shí)，求關(guān)于 x的不等式 x2a1ax10的解集； 7 / 15 (2)若 a0，求關(guān)于 x的不等式 x2a1ax10 的解集 解 (1)當(dāng) a12時(shí)，有 x252x10，即 2x25x20，解得

6、12x2， 故不等式的解集為x 12x2. (2)x2a1ax10 x1a(xa)0， 當(dāng) 0a1 時(shí)，a1 時(shí)，a1a，不等式的解集為x 1axa. 綜上，當(dāng) 0a1時(shí)，不等式的解集為x 1axa. 1不等式 9x26x10的解集是( ) a.x x13 b.x 13x13 c d.x x13 答案 d 解析 原不等式可化為(3x1)20， 3x10，x13. 8 / 15 2如果關(guān)于 x的不等式 x2axb的解集是x|1x3，那么 ba等于( ) a81 b81 c64 d64 答案 b 解析 不等式 x2axb可化為 x2axb0， 其解集是x|1x0 的解集是( ) ax|x2或 x0

7、 bx|x2或 x0 cx|0 x2 dx|0 x0，即 x(x2)0， 得 x2或 x0，故選 b. 4不等式 x23x100的解集是_ 答案 x|2x5 解析 由于 x23x100的兩根為2,5，故 x23x100的解集為x|2x0(a0)或 ax2bxc0)； 求方程 ax2bxc0(a0)的根，并畫出對(duì)應(yīng)函數(shù) yax2bxc 圖象的簡(jiǎn)圖； 由圖象得出不等式的解集 (2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解 2方法歸納：數(shù)形結(jié)合，分類討論 3常見誤區(qū)：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于 0時(shí)，需兩邊同乘1，化為正的 1(2019 全國(guó))已知集合 mx|4x2，nx|x2x60，則 mn等

8、于( ) ax|4x3 bx|4x2 cx|2x2 dx|2x3 答案 c 解析 nx|2x3，mx|4x2， mnx|2x2，故選 c. 2若 0m1，則不等式(xm)x1m0 的解集為( ) a.x 1mx1m或xm或x1m d.x mx1m 10 / 15 答案 d 解析 0m1m， 故原不等式的解集為x mx1m，故選 d. 3二次方程 ax2bxc0 的兩根為2,3，如果 a0 的解集為( ) ax|x3或 x2或 x3 cx|2x3 dx|3x0可化為 ax2ax6a0， 又 a0，x2x60，(x3)(x2)0， 2x3，故選 c. 4若不等式 5x2bxc0的解集為x|1x3，

9、則 bc的值是( ) a5 b5 c25 d10 答案 b 解析 由題意知1,3為方程 5x2bxc0 的兩根， 13b5，3c5， b10，c15，bc5.故選 b. 5若關(guān)于 x 的二次不等式 x2mx10的解集為 r，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是( ) am|m2或 m2 bm|2m2 cm|m2 dm|2m2 11 / 15 答案 b 解析 x2mx10的解集為 r， m240，2m2，故選 b. 6不等式 x24x40的解集是_ 答案 2 解析 原不等式可化為(x2)20，x2. 7不等式 x23x40的解集為_ 答案 x|4x1 解析 易得方程 x23x40 的兩根為4,1，所以不等式

10、x23x40 的解集為x|4x0，若此不等式的解集為x 1mx2，則 m 的取值范圍是_ 答案 m|m0 的解集為x 1mx2， 方程(mx1)(x2)0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為1m和 2， 且 m0，1m2，解得 m0，m的取值范圍是 m0. 9已知不等式 x22x30 的解集為 a，不等式 x2x60的解集為 b. (1)求 ab； (2)若不等式 x2axb0的解集為 ab，求不等式 ax2xb0 的解集 解 (1)由 x22x30，得1x3， ax|1x3 12 / 15 由 x2x60，得3x2， bx|3x2，abx|1x2 (2)由題意，得 1ab0，42ab0，解得 a1，b2. x2

11、x20， 1870 的解集為 r. 10若不等式(1a)x24x60的解集是x|3x0； (2)b 為何值時(shí)，ax2bx30的解集為 r? 解 (1)由題意知 1a0，且3 和 1是方程(1a)x24x60 的兩根， 1a0，即為 2x2x30， 解得 x32. 所求不等式的解集為x x32. (2)ax2bx30，即為 3x2bx30， 若此不等式解集為 r， 則 b24330，6b6. 11下列四個(gè)不等式： 13 / 15 x2x10；x22 5x 50；x26x100；2x23x40，解集不為 r； 中 624100.滿足條件； 中不等式可化為 2x23x30，所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)開口向上，

12、顯然不可能故選 c. 12在 r 上定義運(yùn)算“”：abab2ab，則滿足 x(x2)0 的實(shí)數(shù) x 的取值范圍為( ) ax|0 x2 bx|2x1 cx|x1 dx|1x2 答案 b 解析 根據(jù)給出的定義得，x(x2)x(x2)2x(x2)x2x2(x2)(x1)， 又 x(x2)0，則(x2)(x1)0， 故不等式的解集是x|2x1 13若關(guān)于 x的方程(a2)x22(a2)x10 無(wú)實(shí)數(shù)解，則 a的取值范圍是_ 答案 2a3 解析 若 a20，即 a2 時(shí)，原方程為 10不合題意， a2 滿足條件， 若 a20，則 4(a2)24(a2)0， 解得 2a3， 綜上有 a的取值范圍是 2a3. 14 / 15 14已知不等式 x22x5a23a 對(duì)xr 恒成立，則 a 的取值范圍為_ 答案 a|1a4 解析 x22x5(x1)24a23a 恒成立， a23a4，即 a23a40， (a4)(a1)0，1a4. 15在 r 上定義運(yùn)算：a bc dadbc.若不等式x1 a2a1 x1 對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒成立，則實(shí)數(shù) a的最大值為_ 答案 32 解析 原不等式等價(jià)于 x(x1)(a2)(a1)1， 即 x2x1(a1)(a2)對(duì)任意 x恒成立， 因?yàn)?x2x1x1225454， 所以54a2a2，解得12a32. 16已知不等式 a