高中數(shù)學(xué)必修二第八章 8.5.1

1、1 / 15 8.5 空間直線、平面的平行空間直線、平面的平行 8.5.1 直線與直線平行直線與直線平行 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.會(huì)判斷空間兩直線的位置關(guān)系.2.能用基本事實(shí) 4 和等角定理解決一些簡(jiǎn)單的相關(guān)問題. 知識(shí)點(diǎn)一 基本事實(shí) 4 文字語言 平行于同一條直線的兩條直線平行 圖形語言 符號(hào)語言 直線 a，b，c，ab，bcac 作用 證明兩條直線平行 說明 基本事實(shí) 4 表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性 知識(shí)點(diǎn)二 空間等角定理 1.定理 文字語言 如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 符號(hào)語言 oaoa，obobaobaob或aobaob180 圖形語言 2 / 15 作用

2、 判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 2.推廣 如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等. 思考 如果兩條直線和第三條直線成等角，那么這兩條直線平行嗎？ 答案 不一定，這兩條直線可能相交、平行或異面. 1.如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行.( ) 2.如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等.( ) 3.如果兩條平行線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條也與這條直線垂直.( ) 4.如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等. ( ) 一、基本事實(shí) 4 的應(yīng)用 例 1 (1)如圖，在

3、正方體 abcdabcd中，e，f，e，f分別是 ab，bc，ab，bc的中點(diǎn)，求證：eeff. 證明 e，e分別是 ab，ab的中點(diǎn)， bebe，且 bebe. 四邊形 ebbe是平行四邊形， 3 / 15 eebb，同理可證 ffbb. eeff. (2)已知正方體 abcda1b1c1d1，e，f 分別為 aa1，cc1的中點(diǎn)，求證：bfd1e 是平行四邊形. 證明 如圖所示，取 bb1的中點(diǎn) g，連接 gc1，ge. 因?yàn)?f為 cc1的中點(diǎn)， 所以 bgfc1， 且 bgfc1. 所以四邊形 bfc1g是平行四邊形. 所以 bfgc1，bfgc1， 又因?yàn)?ega1b1，ega1b1

4、， a1b1c1d1，a1b1c1d1， 所以 egc1d1，egc1d1. 所以四邊形 egc1d1是平行四邊形. 所以 ed1gc1，ed1gc1， 所以 bfed1，bfed1， 所以四邊形 bfd1e是平行四邊形. 4 / 15 反思感悟 基本事實(shí) 4 表述的性質(zhì)通常叫做空間直線平行的傳遞性，解題時(shí)首先找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行. 跟蹤訓(xùn)練 1 如圖，在三棱錐 pabc 中，g，h 分別為 pb，pc 的中點(diǎn)，m，n 分別為pab，pac 的重心，且abc 為等腰直角三角形，abc90 ，求證：ghmn. 證明 如圖，取 pa的中點(diǎn) q，連接 bq，cq，則 m，n 分

5、別在 bq，cq 上. m，n分別為pab，pac的重心， qmmbqncn12，則 mnbc. 又 g，h分別為 pb，pc的中點(diǎn)， ghbc，ghmn. 二、等角定理的應(yīng)用 例 2 如圖，正方體 abcda1b1c1d1中，e，f，g分別是棱 cc1，bb1，dd1的中點(diǎn). 求證：bgcfd1e. 5 / 15 證明 因?yàn)?e，f，g 分別是正方體的棱 cc1，bb1，dd1的中點(diǎn)， 所以 cegd1，cegd1，bfgd1，bfgd1， 所以四邊形 ced1g 與四邊形 bfd1g 均為平行四邊形. 所以 gcd1e，gbd1f. 因?yàn)閎gc 與fd1e的兩邊方向相同， 所以bgcfd1

6、e. 反思感悟 等角定理的結(jié)論是相等或互補(bǔ)，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)一般是借助于圖形判斷是相等還是互補(bǔ)，還是兩種情況都有可能. 跟蹤訓(xùn)練 2 如圖，已知在棱長(zhǎng)為 a 的正方體 abcda1b1c1d1中，m，n 分別是棱 cd，ad 的中點(diǎn).求證： (1)四邊形 mna1c1是梯形； (2)dnmd1a1c1. 證明 (1)如圖 ，連結(jié) ac，在acd 中， m，n分別是 cd，ad的中點(diǎn)， mn 是acd的中位線， mnac，且 mn12ac. 由正方體的性質(zhì)，得 6 / 15 aca1c1，且 aca1c1. mna1c1，且 mn12a1c1， 即 mna1c1， 四邊形 mna1c1是梯形. (2

7、)由(1)可知，mna1c1. 又 nda1d1，且dnm與d1a1c1的兩邊的方向相同，dnmd1a1c1. 1.分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是( ) a.一定平行 b.一定相交 c.一定異面 d.相交或異面 答案 d 解析 可能相交也可能異面，但一定不平行(否則與條件矛盾). 2.若 abab，acac，則有( ) a.bacbac b.bacbac180 c.bacbac或bacbac180 d.bacbac90 答案 c 解析 由已知可知bac 和bac的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，所以bac 與bac相等或互補(bǔ). 3.如圖，空間四邊形 abcd 的對(duì)角線 ac，bd 相等，順次

8、連接各邊中點(diǎn) e，f，g，h，則四邊形 efgh 一定是( ) 7 / 15 a.矩形 b.正方形 c.菱形 d.空間四邊形 答案 c 解析 利用 e，f，g，h 分別為各邊中點(diǎn)，可得這個(gè)四邊形是平行四邊形，再由對(duì)角線相等可得四邊形 efgh 一定是菱形. 4.兩等角的一組對(duì)應(yīng)邊平行，則( ) a.另一組對(duì)應(yīng)邊平行 b.另一組對(duì)應(yīng)邊不平行 c.另一組對(duì)應(yīng)邊不可能垂直 d.以上都不對(duì) 答案 d 解析 另一組對(duì)應(yīng)邊可能平行，也可能不平行，也可能垂直.注意和空間等角定理(若兩個(gè)角的對(duì)應(yīng)邊平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ))的區(qū)別. 5.兩個(gè)三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)三角形( )

9、a.全等 b.不相似 c.僅有一個(gè)角相等 d.相似 答案 d 解析 由等角定理知，這兩個(gè)三角形的三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，故選 d. 1.知識(shí)清單： (1)基本事實(shí) 4 的應(yīng)用. 8 / 15 (2)等角定理的應(yīng)用. 2.方法歸納：轉(zhuǎn)化思想. 3.常見誤區(qū)：用等角定理時(shí)，角度有可能相等或互補(bǔ). 1.空間兩條互相平行的直線指的是( ) a.在空間沒有公共點(diǎn)的兩條直線 b.分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線 c.在兩個(gè)不同的平面內(nèi)且沒有公共點(diǎn)的兩條直線 d.在同一平面內(nèi)且沒有公共點(diǎn)的兩條直線 答案 d 2.不平行的兩條直線的位置關(guān)系是( ) a.相交 b.異面 c.平行 d.相交或異面 答案 d 3.如圖所示，

10、在長(zhǎng)方體木塊 ac1中，e，f分別是 b1o 和 c1o 的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的各棱中與ef 平行的有( ) a.3 條 b.4 條 c.5條 d.6條 答案 b 解析 efb1c1bcada1d1. 9 / 15 4.若空間三條直線 a，b，c滿足 ab，bc，則直線 a 與 c( ) a.一定平行 b.一定垂直 c.一定是異面直線 d.一定相交 答案 b 解析 ab，bc，ac. 5.一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是( ) a.平行或異面 b.相交或異面 c.異面 d.相交 答案 b 解析 假設(shè) a 與 b 是異面直線，而 ca，則 c 顯然與 b 不平行(否則 c

11、b，則有 ab，矛盾)，c與 b 可能相交或異面. 6.過直線 l外兩點(diǎn)可以作 l的平行線的條數(shù)為_. 答案 0條或 1 條 解析 以如圖所示的正方體 abcda1b1c1d1為例.令 a1b1所在直線為直線 l，過 l 外的兩點(diǎn) a，b 可以作一條直線與 l平行，過 l外的兩點(diǎn) b，c 不能作直線與 l平行. 7.對(duì)角線互相垂直的空間四邊形 abcd 各邊的中點(diǎn)分別為 m，n，p，q，則四邊形 mnpq是_. 答案 矩形 解析 如圖所示. 10 / 15 點(diǎn) m，n，p，q分別是四條邊的中點(diǎn)， mnac，且 mn12ac， pqac，且 pq12ac， mnpq，且 mnpq， 四邊形 mn

12、pq 是平行四邊形， 又acbd，npbd， pqnp， 四邊形 mnpq 是矩形. 8.如圖所示，兩個(gè)三角形abc 和abc的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線 aa，bb，cc交于同一點(diǎn) o，且aoaobobococo23，則sabcsabc_. 答案 49 解析 如圖，aoaobobococo23， 可證 abab，acac，bcbc. 由等角定理cabcab，acbacb， abcabc， 11 / 15 sabcsabc49. 9.如圖所示，在長(zhǎng)方體 abcda1b1c1d1中的面 a1c1內(nèi)有一點(diǎn) p，經(jīng)過點(diǎn) p 作棱 bc 的平行線，應(yīng)該怎樣畫？并說明理由. 解 如圖所示，在面 a1c1內(nèi)過點(diǎn) p

13、作直線 efb1c1，交 a1b1于點(diǎn) e，交 c1d1于點(diǎn) f，則直線 ef 即為所求. 理由：因?yàn)?efb1c1，bcb1c1，所以 efbc. 10.在梯形 abcd 中，abcd，e，f 分別為 bc 和 ad 的中點(diǎn)，將平面 dcef 沿 ef 翻折起來，使 cd 到 cd的位置，g，h 分別為 ad和 bc的中點(diǎn)，求證：四邊形 efgh為平行四邊形. 證明 在梯形 abcd 中，abcd，e，f分別為 bc，ad的中點(diǎn)， efab 且 ef12(abcd)， 又 cdef，efab，cdab. g，h分別為 ad，bc的中點(diǎn)， ghab且 gh12(abcd)12(abcd)， 1

14、2 / 15 ghef且 ghef， 四邊形 efgh為平行四邊形. 11.若直線 a，b 與直線 l所成的角相等，則 a，b 的位置關(guān)系是( ) a.異面 b.平行 c.相交 d.相交、平行、異面均可能 答案 d 12.在正方體 abcda1b1c1d1中，e，f分別是側(cè)面 aa1d1d，側(cè)面 cc1d1d的中心，g，h分別是線段 ab，bc 的中點(diǎn)，則直線 ef與直線 gh 的位置關(guān)系是( ) a.相交 b.異面 c.平行 d.垂直 答案 c 解析 如圖，連接 ad1，cd1，ac， 則 e，f 分別為 ad1，cd1的中點(diǎn).由三角形的中位線定理，知 efac，ghac，所以efgh. 1

15、3.(多選)如圖所示，在正方體 abcda1b1c1d1中，m，n 分別為棱 c1d1，c1c 的中點(diǎn)，以下結(jié)論正確的是( ) a.直線 am與 cc1是相交直線 b.直線 am與 bn是平行直線 13 / 15 c.直線 bn與 mb1是異面直線 d.直線 am與 dd1是異面直線 答案 cd 解析 直線 am 與 cc1是異面直線，直線 am 與 bn也是異面直線，故 ab 錯(cuò)誤；cd 正確. 14.已知 e，f，g，h 為空間四邊形 abcd 的邊 ab，bc，cd，da 上的點(diǎn)，若aeabahad12，cfcbcgcd13，則四邊形 efgh的形狀為_. 答案 梯形 解析 如圖， 在a

16、bd中，aeabahad12， ehbd且 eh12bd. 在bcd中，cfcbcgcd13， fgbd且 fg13bd，ehfg且 ehfg， 四邊形 efgh為梯形. 15.如圖所示，已知三棱錐 abcd 中，m，n 分別為 ab，cd 的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( ) 14 / 15 a.mn12(acbd) b.mn12(acbd) c.mn12(acbd) d.mnmn， 所以 mn12(acbd). 16.如圖，e，f，g，h 分別是空間四邊形 abcd 各邊上的點(diǎn)，且有 aeebahhdm，cffbcggdn. (1)證明：e，f，g，h四點(diǎn)共面； (2)m，n 滿足什么條件時(shí)，四邊形 efgh 是平行四邊形？ (3)在(2)的條件下，若 a