高中數(shù)學講義微專題95統(tǒng)計初步

1、- 1 - / 6 微專題 95 高中涉及的統(tǒng)計學知識 一、基礎(chǔ)知識： （一）隨機抽樣： 1、抽簽法：把總體中的n個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到容量為n的樣本 2、系統(tǒng)抽樣：也稱為等間隔抽樣，大致分為以下幾個步驟： （1）先將總體的n個個體編號 （2）確定分段間隔k，設(shè)樣本容量為n，若nn為整數(shù)，則nkn= （3）在第一段中用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l，則后面每段所確定的個體編號與前一段確定的個體編號差距為k，例如：第 2 段所確定的個體編號為lk+，第m段所確定的個體編號為()1lmk+，直至完成樣本 注：（1）

2、若nn不是整數(shù)，則先用簡單隨機抽樣剔除若干個個體，使得剩下的個體數(shù)能被n整除，再進行系統(tǒng)抽樣。例如 501 名學生所抽取的樣本容量為 10，則先隨機抽去 1 個，剩下的500個個體參加系統(tǒng)抽樣 （2）利用系統(tǒng)抽樣所抽出的個體編號排成等差數(shù)列，其公差為k 3、分層抽樣：也稱為按比例抽樣，是指在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本。 分層抽樣后樣本中各層的比例與總體中各個層次的比例相等，這條結(jié)論會經(jīng)常用到 （二）頻率分布直方圖： 1、頻數(shù)與頻率 （1）頻數(shù)：指一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)或一組數(shù)據(jù)在某個確定的范圍內(nèi)

3、出現(xiàn)的數(shù)據(jù)的個數(shù). （2）頻率：是頻數(shù)與數(shù)據(jù)組中所含數(shù)據(jù)的個數(shù)的比，即頻率=頻數(shù)/總數(shù) （3）各試驗結(jié)果的頻率之和等于 1 2、頻率分布直方圖：若要統(tǒng)計每個小組數(shù)據(jù)在樣本容量所占比例大小，則可通過頻率分布表（表格形式）和頻率分布直方圖（圖像形式）直觀的列出 （1）極差：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差 （2）組距：將一組數(shù)據(jù)平均分成若干組（通常 5-12 組），則組內(nèi)數(shù)據(jù)的極差稱為組距，所- 2 - / 6 以有組距=極差/組數(shù) （3）統(tǒng)計每組的頻數(shù)，計算出每組的頻率，便可根據(jù)頻率作出頻率分布直方圖 （4）在頻率分布直方圖中：橫軸按組距分段，縱軸為“頻率/組距” （5）頻率分布直方圖的特點： 頻率

4、=頻率組距組距，即分布圖中每個小矩形的面積 因為各試驗結(jié)果的頻率之和等于 1，所以可得在頻率分布直方圖中，各個矩形的面積和為1 （三）莖葉圖：通?？捎糜诮y(tǒng)計和比較兩組數(shù)據(jù)，其中莖是指中間的一列數(shù)，通常體現(xiàn)數(shù)據(jù)中除了末位數(shù)前面的其他數(shù)位，葉通常代表每個數(shù)據(jù)的末位數(shù)。并按末位數(shù)之前的數(shù)位進行分類排列，相同的數(shù)據(jù)需在莖葉圖中體現(xiàn)多次 （四）統(tǒng)計數(shù)據(jù)中的數(shù)字特征： 1、眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，叫做眾數(shù) 2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大排列，位于中間位置的數(shù)稱為中位數(shù)，其中若數(shù)據(jù)的總數(shù)為奇數(shù)個，則為中間的數(shù)；若數(shù)據(jù)的總數(shù)為偶數(shù)個，則為中間兩個數(shù)的平均值。 3、平均數(shù)：代表一組數(shù)據(jù)的平均水平，記

5、為x，設(shè)一組數(shù)據(jù)為：12,nx xx，則有： 12nxxxxn+= 4、方差：代表數(shù)據(jù)分布的分散程度，記為2s，設(shè)一組數(shù)據(jù)為：12,nx xx，其平均數(shù)為x，則有：()()()2222121nsxxxxxxn=+，其中2s越小，說明數(shù)據(jù)越集中 5、標準差：也代表數(shù)據(jù)分布的分散程度，為方差的算術(shù)平方根 二、典型例題 例 1：某校高中部有三個年級，其中高三有學生1000人，現(xiàn)采用分層抽樣法抽取一個容量為185的樣本，已知在高一年級抽取了75人，高二年級抽取了60人，則高中部共有學生_人 思路：分層抽樣即按比例抽樣，由高一年級和高二年級的人數(shù)可得高三人數(shù)為185756050=人，所以抽樣比為501=

6、100020，從而總?cè)藬?shù)為1185370020=人 答案：3700 例 2：某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)，abc 三種產(chǎn)品共 3000 件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果；企業(yè)統(tǒng)計 - 3 - / 6 員制作了如下的統(tǒng)計表格： 產(chǎn)品類別 a b c 產(chǎn)品數(shù)量（件） 1300 樣本容量（件） 130 由于不小心，表格中 ac 產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計員記得 a 產(chǎn)品的樣本容量比 c 產(chǎn)品的樣本容量多 10，根據(jù)以上信息，可得 c 的產(chǎn)品數(shù)量是 件 思路：由b產(chǎn)品可得抽樣比為1301130010=，所以若 a 產(chǎn)品的樣本容量比 c 產(chǎn)品的樣本容量多10 ， 則 a 產(chǎn) 品 的 數(shù) 量 比 c 產(chǎn) 品 的 數(shù)

7、 量 多11010010=， 且,a c產(chǎn) 品 數(shù) 量 和 為300013001700=，從而可解得c產(chǎn)品的數(shù)量為800 答案：800 例 3：某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機抽測了 100 根棉花纖維的長度（棉花纖維所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間5,40中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的 100 根中_根棉花纖維的長度小于 15mm 思 路 ： 由 頻 率 直 方 圖 的 橫 縱 軸 可 得 ： 組 距 為 5mm ， 所 以 小 于 15mm 的 頻 率 為()0.010.0150.1+=，所以小于 15mm 共有1000.1=10根 答案：10 例 4：某班甲、乙兩位同學升入高中以來的

8、5 次數(shù)學考試成績的莖葉圖如圖，則乙同學這 5次數(shù)學成績的中位數(shù)是 ；已知兩位同學這 5 次成績的平均數(shù)都是 84，成績比較穩(wěn)定的是 （第二個空填“甲”或“乙”） - 4 - / 6 思 路 ： 由 莖 葉 圖 可 讀 出 ， 乙 同 學 的 成 績 為79,80,82,88,91， 甲 同 學 的 成 績 為81,82,83,84,91，所以乙同學的成績的中位數(shù)為82，相比較而言，甲同學的成績比較集中，所以比較穩(wěn)定的是甲 答案：82，甲 小煉有話說：在求中位數(shù)時要注意先將數(shù)據(jù)從小到大排列，判斷成績穩(wěn)定，本題甲，乙穩(wěn)定性的判斷定量上要依靠方差，但因為本題從莖葉圖上看出甲，乙數(shù)據(jù)穩(wěn)定性差距較大，

9、所以定性的判斷。 例 6：某校從參加高三年級期末考試的學生中隨機抽取 100 名學生，將其數(shù)學成績分成五段：)50,70 , 70,90 , 90,110 , 110,130，130,150，它的頻率分布直方圖如圖所示，則該批學生中成績不低于 90 分的人數(shù)是_ 思路：)90,100的高度未知，但由于直方圖體現(xiàn)的是全部樣本的情況，所以各部分頻率和為1，可以考慮間接法。從圖中可觀察到(50,90的頻率為()0.00250.0150200.35+=，所以不低于 90 分的頻率為10.350.65=，故人數(shù)為1000.6565=（人） 答案：65 - 5 - / 6 例 7：從某小區(qū)抽取 100 戶

10、居民進行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在 50 到 350 度之間,頻率分布直方圖所示 （1）直方圖中x的值為_； （2）在這些用戶中,用電量落在區(qū)間)100,250內(nèi)的戶數(shù)為_ 思路：（1）依題意可得頻率直方圖中的頻率和等于 1，由圖可得組距為50，所以有()0.00240.00360.00600.00240.0012501x+=，解得0.0044x = （2）圖中)100,250的頻率為()0.00360.0060.0044500.7+=，所以用戶數(shù)為1000.770=（戶） 答案：（1）0.0044x = （2）70戶 例 7：某校 1000 名學生的數(shù)學測試成績分布直方圖如圖所示，分數(shù)不

11、低于a即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為 175 人，則a的估計值是_ 思路：可先從頻率直方圖中按分數(shù)從高到低統(tǒng)計分數(shù)段的人數(shù)，組距為10，從而可得： (140,150的人數(shù)為()10000.01 10100=，同理可得(130,140的人數(shù)為150人，而優(yōu)秀的人數(shù)為175人，所以應(yīng)包含(140,150的全體，以及(130,140中的一半人數(shù)，所以估計值為130到140的中間值，即135 答案：135a - 6 - / 6 例 8：某地區(qū)為了解中學生的日平均睡眠時間（單位：h）,隨機選擇了n位中學生進行調(diào)查,根據(jù)所得數(shù)據(jù)，畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示,且從左到右的第 1 個、第 4 個、第 2個、

12、第 3 個小長方形的面積依次構(gòu)成公差為 0.1 的等差數(shù)列，又第一小組的頻數(shù)是 10，則n = _. 思路：設(shè)第一個的面積為1sa=，則第 4 個為40.1sa=+，第 2 個為20.2sa=+，第 3 個為30.3sa=+，依題意可得四部分的頻率和為1，從而12341ssss+=可解得0.1a =，所以10.1s =，從而101000.1n = 答案：100 例 9：某單位有職工 200 名，現(xiàn)要從中抽取 40 名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機按 1200 編號，并按編號順序平均分為 40 組（15 號，610 號，196200 號）.若第 5 組抽出的號碼為 22，則第 10 組抽出的號碼應(yīng)是_ 思路：由系統(tǒng)抽樣可知，每組抽出的號碼依次成等差數(shù)列，且公差為組距5d =，所以522a =，則1055222547aad=+=+= 答案：47 例 10：某單位有 8