高中數(shù)學選修一2.3.1兩條直線的交點坐標 2.3.2　兩點間的距離公式

1、1 / 19 2.3 直線的交點坐標與距離公式 2.3.1 兩條直線的交點坐標 2.3.2 兩點間的距離公式 基礎過關(guān)練 題組一 兩條直線的交點坐標 1.直線 3x+4y-2=0 與直線 2x+y+2=0 的交點坐標是( ) a.(2,2) b.(2,-2) c.(-2,2) d.(-2,-2) 2.直線 3x+my-1=0 與 4x+3y-n=0 的交點為(2,-1),則 m+n 的值為( ) a.12 b.10 c.-8 d.-6 3.兩直線 2x+3y-k=0 和 x-ky+12=0 的交點在 y 軸上,那么 k 的值為 . 4.三條直線 mx+2y+7=0,y=14-4x 和 2x-3

2、y=14 相交于一點,則 m 的值為 . 5.若直線 l:y=kx-3與直線 2x+3y-6=0 的交點位于第一象限,則 k 的取值范圍是 . 6.已知直線 l1:x-y+4=0 與 l2:2x+y-1=0 相交于點 p,求滿足下列條件的直線方程: 2 / 19 (1)過點 p 且過原點; (2)過點 p 且平行于直線 l3:x-2y-1=0. 題組二 兩點間的距離 7.直線 y=x 上的兩點 p,q 的橫坐標分別是 1,5,則|pq|等于( ) a.4 b.42 c.2 d.22 8.點 p(-2,5)為平面直角坐標系內(nèi)一點,線段 pm 的中點是(1,0),那么點 m 到原點o 的距離為(

3、) a.41 b.41 c.39 d.39 9.到 a(1,3),b(-5,1)的距離相等的動點 p 滿足的方程是( ) a.3x-y-8=0 b.3x+y+4=0 c.3x-y+6=0 d.3x+y+2=0 10.在直線 x-y+4=0 上有一點 p,它到點 m(-2,-4),n(4,6)的距離相等,則點 p 的坐標為 . 11.已知點 a(-2,-1),b(-4,-3),c(0,-5),求證:abc 是等腰三角形. 3 / 19 4 / 19 題組三 兩直線交點、兩點間距離公式的綜合應用 12.若點 a 在 x 軸上,點 b 在 y 軸上,線段 ab 的中點 m 的坐標為(3,4),則 a

4、b 的長度為( ) a.10 b.5 c.8 d.6 13.已知點 a(-1,2),b(2,7),線段 ab 的垂直平分線與 x 軸相交于點 p,則|pa|的值為( ) a.1 b.2 c.2 d.22 14.直線 x-2y+1=0 關(guān)于直線 x=1 對稱的直線方程是( ) a.x+2y-1=0 b.2x+y-1=0 c.2x+y-3=0 d.x+2y-3=0 15.直線 l1:3x-y+12=0 和 l2:3x+2y-6=0 及 y 軸所圍成的三角形的面積為 . 16.如圖,abc 中,bc 邊上的高所在直線的方程為 x-2y+1=0,bac 的平分線所在直線的方程為 y=0,若點 b 的坐

5、標為(1,2),求點 a 和點 c 的坐標. 5 / 19 6 / 19 能力提升練 題組一 兩條直線的交點坐標 1.(2020 河北唐山一中高二上期中,)過直線 x+y-3=0 和 2x-y=0 的交點,且與2x+y-5=0 垂直的直線方程是( ) a.4x+2y-3=0 b.4x-2y+3=0 c.x+2y-3=0 d.x-2y+3=0 2.(2019 四川雅安中學高二上期中,)已知直線 l1:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0. (1)求證:無論 m 為何實數(shù),直線 l1恒過一定點 m; (2)若直線 l2過點 m,且與 x 軸負半軸、y 軸負半軸圍成的三角形面積最小,求直線l2

6、的方程. 7 / 19 題組二 兩點間的距離 3.()已知直線 l:kx-y+2-k=0 過定點 m,點 p(x,y)在直線 2x+y-1=0 上,則|mp|的最小值是( ) a.10 b.355 c.6 d.35 4.()點 p1(a,b)關(guān)于直線 x+y=0 的對稱點是 p2,p2關(guān)于原點 o 的對稱點是 p3,則|p1p3|= . 5.()(1)已知點 p 是平面上一動點,點 a(1,1),b(2,-2)是平面上兩個定點,求|pa|2+|pb|2的最小值,并求此時 p 的坐標; (2)求函數(shù) f(x)=2-4x + 13+2-12x + 37的最小值. 8 / 19 9 / 19 題組三

7、 交點、兩點間距離公式的綜合應用 6.()若直線 l1:y=k(x-4)與直線 l2關(guān)于點(2,1)對稱,則直線 l2恒過定點( ) a.(4,-2) b.(0,4) c.(-2,4) d.(0,2) 7.(2020 安徽六安一中高二上期中,)入射光線在直線 l1:2x-y-3=0 上,先經(jīng)過 x軸反射到直線 l2上,再經(jīng)過 y 軸反射到直線 l3上,則直線 l3的方程為( ) a.x-2y+3=0 b.2x-y+3=0 c.2x+y-3=0 d.2x-y+6=0 8.(2020 山西大同一中高二上期中,)已知直線 y=2x 是abc 中acb 的平分線所在的直線,若點 a,b 的坐標分別是(

8、-4,2),(3,1),則點 c 的坐標為( ) a.(-2,4) b.(-2,-4) c.(2,4) d.(2,-4) 9.()已知 a(2,4),b(1,0),動點 p 在直線 x=-1 上,當|pa|+|pb|取最小值時,點 p的坐標為( ) a.(-1,85) b.(-1,215) c.(-1,2) d.(-1,1) 10.(2019 北京密云高一期末,)對于平面直角坐標系內(nèi)任意兩點a(x1,y1),b(x2,y2),定義它們之間的一種“新距離”:|ab|=|x2-x1|+|y2-y1|.給出下列三個命題: 10 / 19 若點 c 在線段 ab 上,則|ac|+|cb|=|ab|;

9、在abc 中,若c=90,則|ac|2+|cb|2=|ab|2; 在abc 上,|ac|+|cb|ab|. 其中的真命題為( ) a. b. c. d. 11.()已知點 m(3,5),在直線 l:x-2y+2=0 和 y 軸上各找一點 p 和 q,使mpq 的周長最小. 答案全解全析答案全解全析 基礎過關(guān)練 11 / 19 1.c 由3 + 4-2 = 0,2 + + 2 = 0,解得 = -2, = 2.故所求交點坐標是(-2,2). 2.b 將(2,-1)代入 3x+my-1=0 可得 m=5,將(2,-1)代入 4x+3y-n=0 可得 n=5,所以m+n=10. 3.答案 6 解析

10、在 2x+3y-k=0 中,令 x=0,得 y=3,將(0,3)代入 x-ky+12=0,解得 k=6. 4.答案 -34 解析 解方程組 = 14-4,2-3 = 14得 = 4, = -2, 所以這兩條直線的交點坐標為(4,-2). 由題意知點(4,-2)在直線 mx+2y+7=0 上,將(4,-2)代入,得 4m+2(-2)+7=0,解得m=-34. 5.答案 (33, + ) 解析 解法一:由題意知直線 l 過定點 p(0,-3),直線 2x+3y-6=0 與 x 軸,y 軸的交點分別為 a(3,0),b(0,2),如圖所示, 要使兩直線的交點在第一象限, 則直線 l 的斜率 kkap

11、,而 kap=-3-00-3=33,k33. 解法二:解方程組 = -3,2 + 3-6 = 0, 12 / 19 得 =33+63+2, =6-233+2. 由題意知 x=33+63+20 且 y=6-233+20. 3k+20,且 6k-230,解得 k33. 6.解析 (1)- + 4 = 0,2 + -1 = 0 = -1, = 3p(-1,3), 所以過點 p 與原點的直線方程為 y=-3x. (2)根據(jù)題意設所求直線方程為 x-2y+c=0(c-1),由(1)知點 p(-1,3),又點 p 在該直線上,所以 c=7, 則所求的直線方程為 x-2y+7=0. 7.b 由題意得 p(1

12、,1),q(5,5), |pq|=42+ 42=42. 8.b 設 m(x,y),由中點坐標公式得-22=1,+52=0,解得 x=4,y=-5.所以點 m(4,-5).則|om|=42+ (-5)2=41. 9.b 設 p(x,y),則(-1)2+ (y-3)2=( + 5)2+ (y-1)2,即 3x+y+4=0. 10.答案 (-32,52) 解析 設點 p 的坐標是(a,a+4),由題意可知|pm|=|pn|, 即( + 2)2+ (a + 4 + 4)2 =(-4)2+ (a + 4-6)2,解得 a=-32. 故 p 點的坐標是(-32,52). 13 / 19 11.證明 |ab

13、|=(-4 + 2)2+ (-3 + 1)2=22, |ac|=(0 + 2)2+ (-5 + 1)2=25, |bc|=(0 + 4)2+ (-5 + 3)2=25, |ac|=|bc|.又a,b,c 三點不共線, abc 是等腰三角形. 12.a 由題意可得點 a 的坐標為(6,0),點 b 的坐標為(0,8),所以由兩點間的距離公式得|ab|=10. 13.d 線段 ab 的中點坐標為(12,2+72),線段 ab 所在直線的斜率 kab=7-22-(-1)=7-23. 線段 ab 的垂直平分線方程為 y-2+72=-37-2(-12). 令 y=0,得-2+72=-37-2(-12).

14、 解得 x=1,因此,p(1,0). |pa|=(1 + 1)2+ 22=22,故選 d. 14.d 設所求直線上任一點(x,y),它關(guān)于 x=1 的對稱點為(x0,y0),則0= 2-x,0= y, (x0,y0)在直線 x-2y+1=0 上,2-x-2y+1=0,化簡得 x+2y-3=0,故選 d. 15.答案 9 解析 易知直線 l1、l2與 y 軸的交點坐標分別為(0,12),(0,3). 由3- + 12 = 0,3 + 2-6 = 0,解得 = -2, = 6. 故所求三角形的面積 s=12(12-3)|-2|=9. 14 / 19 16.解析 由方程組-2 + 1 = 0, =

15、0得頂點 a(-1,0),則邊 ab 所在直線的斜率kab=2-01-(-1)=1. bac 的平分線所在直線的方程為 y=0,直線 ac 的斜率為-1,ac 所在直線的方程為 y=-(x+1). bc邊上的高所在直線的方程為 x-2y+1=0,kbc=-2. 又點 b 的坐標為(1,2), bc所在直線的方程為 y=-2(x-1)+2. 由 = -2(-1) + 2, = -( + 1)得 c(5,-6). 綜上,a(-1,0),c(5,-6). 能力提升練 1.d 解法一:由 + -3 = 0,2- = 0,得 = 1, = 2. 因此兩直線的交點為(1,2). 又直線 2x+y-5=0

16、的斜率為-2,要求直線的斜率為12, 直線方程為 y-2=12(x-1),即 x-2y+3=0,故選 d. 解法二:設要求的直線方程為(x+y-3)+(2x-y)=0, 即(1+2)x+(1-)y-3=0. 又該直線與直線 2x+y-5=0 垂直, 2(1+2)+1(1-)=0,解得 =-1. 因此所求直線方程為-x+2y-3=0,即 x-2y+3=0.故選 d. 2.解析 (1)證明:l1:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0m(x-2y-3)+(2x+y+4)=0. 15 / 19 -2-3 = 0,2 + + 4 = 0 = -1, = -2,則 m(-1,-2), 無論 m 為何

17、實數(shù),直線 l1恒過一定點 m(-1,-2). (2)由題意知直線 l2的斜率 k0,設直線 l2:y+2=k(x+1), 令 x=0,得 y=k-2.令 y=0,得 x=2-1. 三角形面積 s=12|k-2|2-1| =12|2-4-k + 2|=12|4-4-k|, k0,-k0, -4-k2(-4)(-k)=4, 當且僅當-4=-k,即 k=-2 時取等號, y+2=-2(x+1),即 2x+y+4=0. 3.b 由題易得直線 l:kx-y+2-k=0,即 k(x-1)-y+2=0,過定點 m(1,2). 點 p(x,y)在直線 2x+y-1=0 上, y=1-2x, |mp|=(-1

18、)2+ (1-2x-2)2=52+ 2x + 2=5( +15)2+95, 故當 x=-15時,|mp|取得最小值355,故選 b. 4.答案 2|a-b| 解析 由題意得 p2(-b,-a),p3(b,a), |p1p3|=(-)2+ (b-a)2=2|a-b|. 16 / 19 5.解析 (1)設 p(x,y)(xr,yr), 則|pa|=(-1)2+ (y-1)2, |pb|=(-2)2+ (y + 2)2, |pa|2+|pb|2=(x-1)2+(y-1)2+(x-2)2+(y+2)2=2x2-6x+2y2+2y+10 =2(-32)2+2( +12)2+5. 當 x=32,y=-12

19、時,|pa|2+|pb|2的值最小. 故|pa|2+|pb|2的最小值為 5,此時 p(32,-12). (2)f(x)=(-2)2+ 9+(-6)2+ 1=(-2)2+ (0-3)2+(-6)2+ (0-1)2. 設 a(2,3),b(6,1),p(x,0),如圖,則上述問題轉(zhuǎn)化為求|pa|+|pb|的最小值.點 a 關(guān)于 x 軸的對稱點為 a(2,-3),|pa|+|pb|=|pa|+|pb|ab|=42,|pa|+|pb|42.f(x)的最小值為 42. 6.d 由 l1:y=k(x-4),得直線 l1過定點 a(4,0). 又 l1與 l2關(guān)于點(2,1)對稱,因此,點 a(4,0)關(guān)

20、于點(2,1)對稱的點 b(x,y)一定在直線 l2上. 由4+2= 2,0+2= 1,得 = 0, = 2, 直線 l2恒過定點(0,2),故選 d. 17 / 19 7.b 設直線 l1:2x-y-3=0 與 x 軸、y 軸交點分別為 a(32,0),b(0,-3).如圖所示,則點 a 關(guān)于 y 軸的對稱點 a1(-32,0),點 b 關(guān)于 x 軸的對稱點 b1(0,3)在反射光線 l3上,其方程為-32+3=1,即 2x-y+3=0,故選 b. 8.c 設點 a 關(guān)于直線 y=2x 對稱的點為 a(x1,y1),則1+22= 2 1-42,1-21+4= -12, 解得1= 4,1= -2, a(4,-2). 由題意知,a在直線 bc 上, kbc=1-(-2)3-4=-3. 從而直線 bc 的方程為 y=-3x+10. 由 = 2, = -3 + 10,得 = 2, = 4.點 c 的坐標為(2,4),故選 c. 9.a 點 b 關(guān)于直線 x=-1 對稱的點為 b1(-3,0). 由圖形知,當 a、p、