高中數學第一章三角函數1.3三角函數的誘導公式(二)課件【新人教版】

1、1.3三角函數的誘導公式(二)【知識提煉知識提煉】1.1.誘導公式五、六誘導公式五、六cos sin sin 2.2.公式五和公式六的語言概括公式五和公式六的語言概括(1)(1)函數名稱：函數名稱： 的正弦的正弦( (余弦余弦) )函數值，分別等于函數值，分別等于的的_函數值函數值. .(2)(2)符號：函數值前面加上一符號：函數值前面加上一_原函數值的符號原函數值的符號. .(3)(3)作用：利用誘導公式五或六，可以實現作用：利用誘導公式五或六，可以實現_的相的相互轉化互轉化. .2余弦余弦( (正弦正弦) )個把個把看成銳角時看成銳角時正弦函數與余弦函數正弦函數與余弦函數【即時小測即時小測

2、】1.1.思考下列問題思考下列問題(1)(1)誘導公式五、六中的角誘導公式五、六中的角只能是銳角嗎？只能是銳角嗎？提示：提示：角角不僅是銳角，可以是任意角不僅是銳角，可以是任意角. .(2)(2)如何利用公式三和公式五推導出公式六？如何利用公式三和公式五推導出公式六？提示：提示：sin()sin()cos()cos 22 ，cos()cos()sin()sin .22 2.2.化簡：化簡：sin( +)=_.sin( +)=_.【解析解析】答案：答案：-cos -cos 323sin()sin()sin()cos .222 3.3.計算：計算：sinsin2 2 11 11+sin+sin2

3、2 79 79=_.=_.【解析解析】sinsin2 2 11 11+sin+sin2 2 79 79=sin=sin2 2 11 11+cos+cos2 2 11 11=1.=1.答案：答案：1 14.4.若若cos( +)=mcos( +)=m，則，則sin =_.sin =_.【解析解析】因為因為cos( +)=-sin =mcos( +)=-sin =m，所以所以sin =-m.sin =-m.答案：答案：-m-m225.5.將下列三角函數化為將下列三角函數化為0 0到到4545之間角的三角函數之間角的三角函數. .(1)sin67(1)sin67=_.=_.(2)cos78(2)co

4、s78=_.=_.(3)tan129(3)tan129=_.=_.【解析解析】(1)sin67(1)sin67=sin(90=sin(90-23-23)=cos23)=cos23. .(2)cos78(2)cos78=cos(90=cos(90-12-12)=sin12)=sin12. .(3)tan129(3)tan129=tan(180=tan(180-51-51)=-tan51)=-tan51. .答案：答案：(1)cos23(1)cos23(2)sin12(2)sin12(3)-tan51(3)-tan51【知識探究知識探究】知識點知識點 誘導公式五六誘導公式五六觀察圖形，回答下列問題

5、：觀察圖形，回答下列問題：問題問題1 1：設圖中單位圓上的：設圖中單位圓上的p p1 1坐標為坐標為(x(x，y)y)，能否用其表示出，能否用其表示出sin sin ，sin( -)sin( -)，cos cos ，cos( -)cos( -)的值的值. .問題問題2 2：誘導公式一六的統(tǒng)一記憶方法是什么？：誘導公式一六的統(tǒng)一記憶方法是什么？22【總結提升總結提升】1.1.對誘導公式五、六的兩點說明對誘導公式五、六的兩點說明(1)(1)誘導公式五、六反映的是角誘導公式五、六反映的是角 與與的三角函數值之間的關系的三角函數值之間的關系. .可借用口訣可借用口訣“函數名改變，符號看象限函數名改變，

6、符號看象限”來記憶來記憶. .(2)(2)誘導公式是三角變換的基本公式，其中角可以是一個單角，也可誘導公式是三角變換的基本公式，其中角可以是一個單角，也可以是一個復角，應用時要注意整體把握，靈活變通以是一個復角，應用時要注意整體把握，靈活變通. .22.2.對誘導公式一六的兩點說明對誘導公式一六的兩點說明(1)(1)誘導公式一六揭示了終邊具有某種對稱關系的兩個角的三角函誘導公式一六揭示了終邊具有某種對稱關系的兩個角的三角函數之間的關系數之間的關系. .(2)(2)公式一六的記憶口訣和說明公式一六的記憶口訣和說明口訣：奇變偶不變，符號看象限口訣：奇變偶不變，符號看象限. .說明：說明：【題型探究

7、題型探究】類型一類型一 利用誘導公式化簡、求值利用誘導公式化簡、求值【典例典例】1.(20151.(2015臨沂高一檢測臨沂高一檢測) )若若cos(+a)= cos(+a)= ，那么，那么sin( -a)sin( -a)的值為的值為( )( )2.2.已知已知sin(20sin(20+)= +)= ，則，則cos(110cos(110+)=( )+)=( )1332112 32 3a.b.c.d.333313112 22 2a.b.c.d.33333.3.化簡：化簡：11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2【解題探究解題探究】1.1.典

8、例典例1 1中，利用誘導公式求中，利用誘導公式求cos(+a)cos(+a)，分別等于什么？分別等于什么？提示：提示：cos(+a)=-cos acos(+a)=-cos a， =-cos a. =-cos a.2.2.典例典例2 2中，中，2020+與與110110+有什么關系？可以聯(lián)系到哪組誘導公有什么關系？可以聯(lián)系到哪組誘導公式？式？提示：提示：2020+90+90=110=110+，cos(90cos(90+)=-sin +)=-sin ，sin(90sin(90+)=cos .+)=cos .3sin(a)23sin(a)23.3.典例典例3 3中，中， 如何化簡如何化簡. .提示：

9、提示：119cos()sin()22，11cos()cos(6)cos()sin 222 ，9sin()sin(4)sin()cos .222 【解析解析】1.1.選選a.a.因為因為cos(+a)=-cos a=cos(+a)=-cos a=所以所以2.2.選選a.cos(110a.cos(110+)=cos+)=cos9090+(20+(20+)+)=-sin(20=-sin(20+)=+)=13，31sin(a)cos a.23 1.33.3.原式原式= =sin() ( cos ) ( sin )cos(6)2( cos ) sinsin() sin(4)2sin cos sin co

10、s()sin cos sin ( sin )2tan .cos sinsincos cossinsin sin()2 【方法技巧方法技巧】1.1.求值問題中角的轉化方法求值問題中角的轉化方法2.2.用誘導公式進行化簡的要求用誘導公式進行化簡的要求三角函數的化簡是表達式經過某種變形使結果盡可能的簡單：三角函數的化簡是表達式經過某種變形使結果盡可能的簡單：(1)(1)化簡后項數盡可能的少化簡后項數盡可能的少. .(2)(2)函數的種類盡可能的少函數的種類盡可能的少. .(3)(3)分母不含三角函數的符號分母不含三角函數的符號. .(4)(4)能求值的一定要求值能求值的一定要求值. .(5)(5)含

11、有較高次數的三角函數式，多用因式分解、約分等含有較高次數的三角函數式，多用因式分解、約分等. .【變式訓練變式訓練】1.1.若若sin(3+)=- sin(3+)=- ，則，則cos( -)cos( -)等于等于( )( )【解析解析】選選a.a.因為因為sin(3+)=sin(+)=-sin =sin(3+)=sin(+)=-sin =所以所以cos( -)=cos4-( +)=cos( +)cos( -)=cos4-( +)=cos( +)=-sin =-sin =12721133a.b.c.d.222212 ，722212.2.2.已知已知cos 31cos 31=m=m，則，則sin

12、239sin 239tan 149tan 149的值是的值是( )( )【解析解析】選選b.sin 239b.sin 239 tan 149 tan 149=sin(270=sin(270-31-31)tan(180)tan(180-31-31) )=-cos 31=-cos 31(-tan 31(-tan 31)=sin 31)=sin 31= =22221m1ma.b. 1mc.d.1mmm21m .類型二類型二 利用誘導公式證明恒等式利用誘導公式證明恒等式 【典例典例】求證：求證：【解題探究解題探究】本例中，證明等式的策略是什么？本例中，證明等式的策略是什么？提示：提示：從左邊開始，使得

13、它等于右邊從左邊開始，使得它等于右邊. .2cos()cos(2)2.33sin cos sin() 1cos()sin()sin()222 【證明證明】左邊左邊= = = =右邊右邊. .所以原式成立所以原式成立. .cos cos cos ( cos 1)cos cos cos 2111 cos 1cos 21cos 1 cos (1cos )(1 cos )1 cos 22sin 【延伸探究延伸探究】本例等式左邊本例等式左邊“sin”sin”與與“cos”cos”互換，右邊改為互換，右邊改為“ “ ”，試證等式成立，試證等式成立. .【證明證明】左邊左邊= = =右邊右邊. .所以原式成

14、立所以原式成立. .2tan cos sin()sin(2)33sin cos() 1sin()cos()cos()222 sinsin11sin ( sin1)( sin ) ( sin )sin sin 1sin 1 2111 sin (1 sin )2sin 2sin2tan 1 sin 1 sin (1 sin )(1 sin )1 sin cos2 cos 【方法技巧方法技巧】證明等式的常用方法證明等式的常用方法 利用誘導公式證明等式問題，關鍵在于公式的靈活應用，其證明利用誘導公式證明等式問題，關鍵在于公式的靈活應用，其證明的常用方法有：的常用方法有：(1)(1)從一邊開始，使得它等

15、于另一邊，一般由繁到簡從一邊開始，使得它等于另一邊，一般由繁到簡. .(2)(2)左右歸一法：即證明左右兩邊都等于同一個式子左右歸一法：即證明左右兩邊都等于同一個式子. .(3)(3)針對題設與結論間的差異，有針對性地進行變形，以消除差異針對題設與結論間的差異，有針對性地進行變形，以消除差異. .【變式訓練變式訓練】證明：證明：【證明證明】左邊左邊= = =-1=-1=右邊右邊. .所以原式成立所以原式成立. .5cos()21.5sin() tan(6)2 cos(2)2sin(2) tan()2cos()sin2sin sin()( tan )cos2cos 【補償訓練補償訓練】求證：求證

16、：【證明證明】左邊左邊= = =-tan = =-tan =右邊右邊. .所以原等式成立所以原等式成立. .tan(2)sin( 2)cos(6)tan .33sin()cos()22 tan() sin() cos()sin2() cos2()222( tan ) ( sin ) cos sin sin ()cos ()sin()cos()22222sinsin cossin cos 類型三類型三 誘導公式的綜合應用誘導公式的綜合應用【典例典例】(2015(2015潮州高一檢測潮州高一檢測) )已知已知cos =- cos =- ，且，且為第三象限為第三象限角角. .(1)(1)求求sin

17、sin 的值的值. .(2)(2)求求f()= f()= 的值的值. .45tan() sin() sin()2cos()【解題探究解題探究】本例中，本例中，sin sin 的符號如何確定？化簡的符號如何確定？化簡f()f()用哪幾組用哪幾組誘導公式？誘導公式？提示：提示：由由為第三象限角知為第三象限角知sin sin 0 0，化簡，化簡f()f()用公式二、四、五用公式二、四、五. .【解析解析】(1)(1)因為因為cos =- cos =- ，且，且為第三象限角，為第三象限角，所以所以(2)f()=(2)f()=452243sin 1 cos 1 ().55 tansincos tan s

18、in cos 3sin395sin ().4cos5205 【延伸探究延伸探究】1.(1.(改變問法改變問法) )本例條件不變，本例條件不變，求求f()= f()= 的值的值. .【解析解析】7sin(5)cos()tan()2tan( 19)sin()3sin()cos()tan()2f( )tan()( sin ) sin( sin )tan3sin .tan( sin )5 2.(2.(變換條件、改變問法變換條件、改變問法) )本例條件中本例條件中“cos =- ”cos =- ”改為改為“的終的終邊與單位圓交于點邊與單位圓交于點p(mp(m， )” )”，“第三象限第三象限”改為改為“

19、第二象限第二象限”. .試試求求 的值的值. .45154sin()23sin()sin()12 【解析解析】由已知得由已知得 解得解得又因為又因為為第二象限角，所以為第二象限角，所以m m0 0，故，故所以所以原式原式= =2215m()14 ，21m16，1m4 ，151sin cos 44 ，sin()cos 2( sin )( cos )1sin cos 1 1()13154.6151315144 【方法技巧方法技巧】用誘導公式化簡求值的方法用誘導公式化簡求值的方法(1)(1)對于三角函數式的化簡求值問題，一般遵循誘導公式先行的原則，對于三角函數式的化簡求值問題，一般遵循誘導公式先行的

20、原則，即先用誘導公式化簡變形，達到角的統(tǒng)一，再進行切化弦，以保證三即先用誘導公式化簡變形，達到角的統(tǒng)一，再進行切化弦，以保證三角函數名最少角函數名最少. .(2)(2)對于對于和和 這兩套誘導公式，切記運用前一套公式不變這兩套誘導公式，切記運用前一套公式不變名，而運用后一套公式必須變名名，而運用后一套公式必須變名. .2【補償訓練補償訓練】已知已知sin sin 是方程是方程5x5x2 2-7x-6=0-7x-6=0的根，的根，是第三象限角，是第三象限角，求求 的值的值. .233sin()cos()22tan ()cos()sin()22【解析解析】方程方程5x5x2 2-7x-6=0-7x

21、-6=0的兩個根為的兩個根為由由是第三象限角，得是第三象限角，得sin =- sin =- ，則，則cos =- cos =- ，tan =tan =所以原式所以原式= =123xx2.5 ，3545sin 3cos 4，22sin( 2)cos2()sin()cos()2222tan tan sincossincos 222cos( sin )39tan tan ( ).sincos416 【延伸探究延伸探究】1.(1.(改變問法改變問法) )本例條件不變，本例條件不變，求求 的值的值. .【解析解析】原式原式= =233cos()sin()22sin()cos()tan ()222223c

22、os()( cos )sin cos 1162.cos( sin ) tan cos ( sin )tan tan 9 2.(2.(變換條件、改變問法變換條件、改變問法) )本例條件中本例條件中“sin ”sin ”改為改為“tan ”tan ”，求，求 的值的值. .3sin ()cos(2)tan(2)33sin(2 )cos()tan()tan()22 【解析解析】由原題知由原題知tan =2tan =2，由，由解得解得原式原式= =22sin 2cos sin cos 1 ，224sin 51cos 5 ，3sincostan()3sin()2sin ( sin )( tan )3co

23、s()2 444222222sinsinsin416tansin 2.cos sin1cos55sintansin 拓展類型三拓展類型三 角復合函數的求值問題角復合函數的求值問題【備選典例備選典例】1.1.已知已知f(cos x)=cos 3xf(cos x)=cos 3x，則，則f(sin x)=( )f(sin x)=( )a.-sin3x b.sin 3x c.-cos 3x d.cos 3xa.-sin3x b.sin 3x c.-cos 3x d.cos 3x2.2.已知函數已知函數f(x)f(x)滿足滿足f(cos x)= x(0 x)f(cos x)= x(0 x)，求，求f(c

24、os )f(cos )的值的值. .1243【解析解析】1.1.選選a.f(sin x)=fcos( -x)a.f(sin x)=fcos( -x)2.2.23cos3(x)cos(3x)sin 3x.22 4f(cos)f(cos()f( cos)333212f(cos).3233【方法技巧方法技巧】三角復合函數求值的一般思路三角復合函數求值的一般思路三角復合函數是特殊的函數，是函數三角復合函數是特殊的函數，是函數f(f(外函數外函數) )與三角函數與三角函數( (內函內函數數) )的復合函數，需注意自變量是角，解題的關鍵是利用誘導公式將的復合函數，需注意自變量是角，解題的關鍵是利用誘導公式將角轉化到定義域中角轉化到定義域中. .【補償訓練補償訓練】設設f(sinx)=3-cos2xf(sinx)=3-cos2x，則，則f(cosx)f(cosx)的值為的值為( () )a.3-cos2x b.3-sin2xa.3-cos2x b.3-sin2xc.3+cos2x d.3+sin2xc.