高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5節(jié) 第二課時 直線與橢圓

1、1 / 16 第二課時第二課時 直線與橢圓直線與橢圓 考點(diǎn)一 直線與橢圓的位置關(guān)系 【例 1】 已知直線 l：y2xm，橢圓 c：x24y221.試問當(dāng) m 取何值時，直線 l與橢圓 c： (1)有兩個不重合的公共點(diǎn)； (2)有且只有一個公共點(diǎn)； (3)沒有公共點(diǎn). 解 將直線 l 的方程與橢圓 c 的方程聯(lián)立， 得方程組y2xm， x24y221， 將代入，整理得 9x28mx2m240. 方程根的判別式 (8m)249(2m24)8m2144. (1)當(dāng) 0，即3 2m3 2時，方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解.這時直線 l 與橢圓 c有兩個不重合的公共點(diǎn). (2)當(dāng)

2、 0，即 m 3 2時，方程有兩個相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解.這時直線 l 與橢圓 c 有兩個互相重合的公共點(diǎn)，即直線 l 與橢圓 c有且只有一個公共點(diǎn). (3)當(dāng) 0，即 m3 2時，方程沒有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解.這時直線 l 與橢圓 c沒有公共點(diǎn). 規(guī)律方法 研究直線與橢圓位置關(guān)系的方法 (1)研究直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個數(shù). (2)對于過定點(diǎn)的直線，也可以通過定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點(diǎn). 2 / 16 【訓(xùn)練 1】 (一題多解)若直線 ykx1 與橢圓x25y2m1 總有公共點(diǎn)，則 m 的取值范

3、圍是( ) a.m1 b.m0 c.0m5且 m1 d.m1 且 m5 解析 法一 由于直線 ykx1恒過點(diǎn)(0，1)， 所以點(diǎn)(0，1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上， 則 00且 m5，m15k2恒成立， m1 且 m5. 答案 d 考點(diǎn)二 中點(diǎn)弦問題 【例 2】 (一題多解)已知 p(1，1)為橢圓x24y221 內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過 p 引一條弦，使此弦被 p點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為_. 解析 法一 易知此弦所在直線的斜率存在， 設(shè)其方程為 y1k(x1)，弦所在的直線與橢圓相交于 a，b兩點(diǎn)，設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2). 由y1k（x1），x24y221 消去 y 得，(2k21)x

4、24k(k1)x2(k22k1)0， x1x24k（k1）2k21， 又x1x22，4k（k1）2k212，解得 k12. 3 / 16 經(jīng)檢驗(yàn)，k12滿足題意. 故此弦所在的直線方程為 y112(x1)， 即 x2y30. 法二 易知此弦所在直線的斜率存在，設(shè)斜率為 k， 弦所在的直線與橢圓相交于 a，b兩點(diǎn)， 設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x214y2121， x224y2221， 得（x1x2）（x1x2）4（y1y2）（y1y2）20， x1x22，y1y22， x1x22y1y20，ky1y2x1x212. 經(jīng)檢驗(yàn)，k12滿足題意. 此弦所在的直線方程為 y112(x1)

5、， 即 x2y30. 答案 x2y30 規(guī)律方法 弦及弦中點(diǎn)問題的解決方法 (1)根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢圓方程聯(lián)立、消元，利用根與系數(shù)關(guān)系表示中點(diǎn)； (2)點(diǎn)差法：利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)、斜率. 【訓(xùn)練 2】 (2019 長春二檢)橢圓 4x29y2144 內(nèi)有一點(diǎn) p(3，2)，則以 p 為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為( ) a.23 b.32 c.49 d.94 解析 設(shè)以 p為中點(diǎn)的弦所在的直線與橢圓交于點(diǎn) a(x1，y1)，b(x2，y2)，斜率為k，則 4x219y21144，4x229y22144，兩式相減得 4(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0，又

6、 x1x26，y1y24，y1y2x1x2k，代入解得 k23. 4 / 16 答案 a 考點(diǎn)三 弦長問題 【例 3】 (2020 濟(jì)南一模)已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為 f1，f2，離心率 e12，點(diǎn) p是橢圓上的一個動點(diǎn)，pf1f2面積的最大值是 4 3. (1)求橢圓的方程； (2)若 a，b，c，d 是橢圓上不重合的四點(diǎn)，ac 與 bd 相交于點(diǎn) f1，ac bd0，且|ac|bd|967，求此時直線 ac的方程. 解 (1)由題意知，當(dāng)點(diǎn) p是橢圓上(或下)頂點(diǎn)時，pf1f2的面積取得最大值. 此時，spf1f212 2c b4 3， 又 eca12，a2b

7、2c2， 解得 a4，b2 3，故所求橢圓的方程為x216y2121. (2)由(1)知 f1(2，0)，由ac bd0得 acbd. 當(dāng)直線 ac與 bd中有一條直線的斜率不存在時， |ac|bd|14，不合題意. 當(dāng)直線 ac的斜率存在且為 k(k不為 0)時， 其方程為 yk(x2). 由yk（x2），x216y2121消去 y 得 (34k2)x216k2x16k2480. 設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 x1x216k234k2，x1x216k24834k2. 所以|ac| 1k2|x1x2|24（1k2）34k2. 直線 bd的方程為 y1k(x2)，同理可得|bd|2

8、4（1k2）43k2. 5 / 16 由|ac|bd|168（1k2）2（43k2）（34k2）967， 解得 k21，則 k 1. 故所求直線 ac的方程為 xy20或 xy20. 規(guī)律方法 弦長問題的求解方法有：(1)求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求解；(2)用弦長公式：|ab|1k2|x1x2|或|ab|11k2|y1y2|(k0)求解，其中 k 為直線 ab的斜率，a(x1，y1)，b(x2，y2). 注意兩種特殊情況：(1)直線與圓錐曲線的對稱軸平行或垂直；(2)直線過圓錐曲線的焦點(diǎn). 【訓(xùn)練 3】 (一題多解)已知斜率為 2的直線經(jīng)過橢圓x25y241 的右焦點(diǎn) f，與橢圓相交于

9、 a，b兩點(diǎn)，則弦 ab 的長為_. 解析 法一 由題意知，橢圓的右焦點(diǎn) f 的坐標(biāo)為(1，0)，直線 ab 的方程為 y2(x1)， 由y2（x1），x25y241消去 y，得 3x25x0， 故得 a(0，2)，b53，43，則 |ab|053224325 53. 法二 由題意知，橢圓的右焦點(diǎn) f 的坐標(biāo)為(1，0)，直線 ab 的方程為 y2(x1)， 由y2（x1），x25y241消去 y 得 3x25x0， 設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)， 則 x1x253，x1x20， 則|ab| （x1x2）2（y1y2）2 （1k2）（x1x2）24x1x2 6 / 16 （122）5

10、32405 53. 答案 5 53 考點(diǎn)四 直線與橢圓的綜合問題 【例 4】 已知橢圓x2a2y2b21(ab0)，f1，f2為它的左、右焦點(diǎn)，p 為橢圓上一點(diǎn)，已知f1pf260 ，sf1pf2 3，且橢圓的離心率為12. (1)求橢圓方程； (2)已知 t(4，0)，過 t 的直線與橢圓交于 m，n 兩點(diǎn)，求mnf1面積的最大值. 解 (1)由已知，得|pf1|pf2|2a， |pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60 4c2， 即|pf1|2|pf2|2|pf1|pf2|4c2， 12|pf1|pf2|sin 60 3，即|pf1|pf2|4， 聯(lián)立解得 a2c23.又ca

11、12，c21，a24， b2a2c23，橢圓方程為x24y231. (2)根據(jù)題意可知直線 mn的斜率存在，且不為 0. 設(shè) m(x1，y1)，n(x2，y2)，直線 mn的方程為 xmy4， 代入橢圓方程，整理得(3m24)y224my360， 則 (24m)2436(3m24)0，所以 m24. y1y224m3m24，y1y2363m24， 則mnf1的面積 smnf1|sntf1smtf1| 12|tf1| |y1y2|32（y1y2）24y1y2 3224m3m2421443m2418m2443m2 7 / 16 61m24163m2461m24163m24621633 34. 當(dāng)且

12、僅當(dāng) m24163m24，即 m2283時(此時適合 0 的條件)取得等號. 故mnf1面積的最大值為3 34. 規(guī)律方法 最值與范圍問題的解題思路 1.構(gòu)造關(guān)于所求量的函數(shù)，通過求函數(shù)的值域來獲得問題的解. 2.構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，通過解不等式來獲得問題的解.在解題過程中，一定要深刻挖掘題目中的隱含條件，如判別式大于零等. 【訓(xùn)練 4】 (2020 長沙質(zhì)檢)已知 p 點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn) a，b 分別為橢圓 e：x2a2y2b21(ab0)的左、右頂點(diǎn)，直線 bp 交 e 于點(diǎn) q，abp 是等腰直角三角形，且pq32qb. (1)求橢圓 e的方程； (2)設(shè)過點(diǎn) p 的動直線 l

13、與 e 相交于 m，n 兩點(diǎn)，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn) o 位于以 mn 為直徑的圓外時，求直線 l 斜率的取值范圍. 解 (1)由abp是等腰直角三角形，得 a2，b(2，0). 設(shè) q(x0，y0)，則由pq32qb，得x065，y045， 代入橢圓方程得 b21， 所以橢圓 e的方程為x24y21. (2)依題意得，直線 l 的斜率存在，方程設(shè)為 ykx2. 聯(lián)立ykx2，x24y21， 消去 y 并整理得(14k2)x216kx120.(*) 因直線 l 與 e有兩個交點(diǎn)，即方程(*)有不等的兩實(shí)根， 8 / 16 故 (16k)248(14k2)0，解得 k234. 設(shè) m(x1，y1)，n(x2

14、，y2)， 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x216k14k2，x1x21214k2， 因坐標(biāo)原點(diǎn) o位于以 mn為直徑的圓外， 所以om on0，即 x1x2y1y20， 又由 x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22) (1k2)x1x22k(x1x2)4 (1k2)1214k22k16k14k240， 解得 k24，綜上可得34k24， 則32k2或2kb0)，則 c1.因?yàn)檫^ f2且垂直于 x 軸的直線與橢圓交于 a，b 兩點(diǎn)，且|ab|3，所以b2a32，b2a2c2，所以 a24，b2a2c2413，橢圓的方程為x24y231. 答案 c 3.(2019 鄭州模擬)已知橢圓 c：x2a

15、2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為 f1，f2，離心率為23，過 f2的直線 l 交 c 于 a，b 兩點(diǎn)，若af1b 的周長為 12，則 c 的方程為( ) a.x23y21 b.x23y221 c.x29y241 d.x29y251 解析 由題意可得ca23，4a12，解得 a3，c2，則 b 3222 5，所以橢圓 c的方程為x29y251. 答案 d 4.已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的一條弦所在的直線方程是 xy50，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是 m(4，1)，則橢圓的離心率是( ) a.12 b.22 c.32 d.55 解析 設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為 a(x1，y1)，b(x2，y2)，

16、分別代入橢圓方程，由點(diǎn)差法可知 ymb2a2kxm，代入 k1，m(4，1)，解得b2a214，e1ba232，故選 c. 答案 c 5.(2020 青島調(diào)研)斜率為 1 的直線 l 與橢圓x24y21 相交于 a，b兩點(diǎn)，則|ab|的最大值為( ) a.4 55 b.4 105 c.8 105 10 / 16 d.8 55 解析 設(shè) a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線的方程為 yxm，由yxm，x24y21，消去 y 得 5x28mx4(m21)0， 則 x1x28m5，x1x24（m21）5. |ab| 1k2|x1x2| 1k2 （x1x2）24x1x2 285m

17、216（m21）5 4 25 5m2， 當(dāng) m0時，|ab|取得最大值4 105，故選 b. 答案 b 二、填空題 6.已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)，若長軸長為 6，且兩焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_. 解析 橢圓長軸長為 6，即 2a6，得 a3， 兩焦點(diǎn)恰好將長軸三等分， 2c13 2a2，得 c1， 因此，b2a2c2918， 所以此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29y281. 答案 x29y281 7.(2019 成都診斷)已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為 a，b，上頂點(diǎn)為 c，若abc是底角為 30 的等腰三角形，則cb_. 11 / 16 解析

18、 由題意知cab30 ，tan 30 ba33， cba2b2b2ab21 31 2. 答案 2 8.(2020 衡水調(diào)研)與橢圓x22y21 有相同的焦點(diǎn)且與直線 l：xy30 相切的橢圓的離心率為_. 解析 因?yàn)樗髾E圓與橢圓x22y21 有相同的焦點(diǎn)，所以可設(shè)所求橢圓的方程為x2a2y2a211(a1)，聯(lián)立方程組x2a2y2a211，yx3(2a21)x26a2x10a2a40， 因?yàn)橹本€ l 與橢圓相切，所以 36a44(2a21)(10a2a4)0， 化簡得 a46a250，即 a25 或 a21(舍). 則 a 5.又 c1，所以 eca1555. 答案 55 三、解答題 9.已

19、知橢圓x22y21. (1)過 a(2，1)的直線 l與橢圓相交，求 l 被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程； (2)求過點(diǎn) p12，12且被 p點(diǎn)平分的弦所在直線的方程. 解 (1)設(shè)弦的端點(diǎn)為 p(x1，y1)，q(x2，y2)，其中點(diǎn)是 m(x，y)，則 x2x12x，y2y12y，由于點(diǎn) p，q在橢圓上，則有： x212y211，x222y221， 得y2y1x2x1x2x12（y2y1）x2y， 12 / 16 所以x2yy1x2， 化簡得 x22x2y22y0(包含在橢圓x22y21內(nèi)部的部分). (2)由(1)可得弦所在直線的斜率為 kx2y12，因此所求直線方程是 y1212x12，化簡

20、得 2x4y30. 10.(2019 全國卷)已知 f1，f2是橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的兩個焦點(diǎn)，p 為 c上的點(diǎn)，o 為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)若pof2為等邊三角形，求 c的離心率； (2)如果存在點(diǎn) p，使得 pf1pf2，且f1pf2的面積等于 16，求 b 的值和 a 的取值范圍. 解 (1)連接 pf1.由pof2為等邊三角形可知在f1pf2中，f1pf290 ，|pf2|c，|pf1| 3c，于是 2a|pf1|pf2|( 31)c，故 c 的離心率為 eca 31. (2)由題意可知，滿足條件的點(diǎn) p(x，y)存在當(dāng)且僅當(dāng) 12|y| 2c16，yxcyxc1，x2a

21、2y2b21， 即 c|y|16， x2y2c2， x2a2y2b21. 由及 a2b2c2得 y2b4c2. 又由知 y2162c2，故 b4. 由及 a2b2c2得 x2a2c2(c2b2)， 所以 c2b2，從而 a2b2c22b232， 故 a4 2. 當(dāng) b4，a4 2時，存在滿足條件的點(diǎn) p. 所以 b4，a 的取值范圍為4 2，). 13 / 16 b級 能力提升 11.已知 p(x0，y0)是橢圓 c：x24y21 上的一點(diǎn)，f1，f2是 c 的兩個焦點(diǎn)，若pf1 pf20，則 x0的取值范圍是( ) a.2 63，2 63 b.2 33，2 33 c.33，33 d.63，6

22、3 解析 由題意可知 f1( 3，0)，f2( 3，0)，則pf1 pf2(x0 3)(x0 3)y20 x20y2030.因?yàn)辄c(diǎn) p 在橢圓上，所以 y201x204.所以 x201x20430，解得2 63x0b0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) p 是橢圓上位于第二象限內(nèi)的點(diǎn)，延長 pf1交橢圓于點(diǎn) q，若 pf2pq，且|pf2|pq|，則橢圓的離心率為_. 解析 連接 f2q，由已知 pf2pq，且|pf2|pq|，得f2pq 是等腰直角三角形，設(shè)|pf2|m，|qf2|n，由橢圓的定義得|pf1|2am，|qf1|2an，則有2am2anm，且 n 2m，m2(2 2)a. 在 rtf1pf2中，由勾股定理得，m2(2am)24c2，即2(2 2)a22a2(2 2)a24c2， 4(64 2)a2(128 2)a24c2，即(96 2)a2c2， 從而 e2c2a296 2，又知 0eb0)過點(diǎn) p(2，1)，且離心率 e32. (1)求橢圓 c的方程； (2)若直線 l的斜率為12，直線 l 與橢圓 c交于 a，b兩點(diǎn)，求pab的面積的最大值. 解 (1)因?yàn)?e2c2a2a2b