高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題02 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)-2021年高考數(shù)學(xué)尖子生培優(yōu)題典（新高考專版）（解析版）

1、1 / 17 20212021 年高考數(shù)學(xué)尖子生培優(yōu)題典（新高考專版）年高考數(shù)學(xué)尖子生培優(yōu)題典（新高考專版） 專題專題 02 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù) 姓名：_ 班級：_ 得分：_ 一、一、 選擇題選擇題 1下列函數(shù)在定義域上是增函數(shù)的是（ ） ay1x bylog13x cy（12）x dyx3 【答案】d 【解析】1yx=在() (),0 , 0,+單調(diào)遞減，故舍去； 13logyx=在定義域()0,+單調(diào)遞減，故舍去； 12xy=在定義域r上單調(diào)遞減，故舍去； 3yx=在定義域r上單調(diào)遞增. 2下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（ ） a()2112xx= b()cos30sin30= c()1ln 22

2、xx= d()332xx= 【答案】d 【解析】對于 a，2(1)2xx = ，故 a錯誤； 對于 b，(cos30 )0 =，故 b錯誤； 對于 c，11 (2 )(2 )2lnxxxx = =，故 c錯誤； 2 / 17 對于 d，3132233()22xxxx=，故 d 正確 3已知20.3a =，2log 0.3b =，0.32c =，則, ,a b c的大小關(guān)系是（ ） aacb babc cbac dbca 【答案】c 【解析】22200.31,log 0.3log 10ab=， 0.30221,cbac= . 4已知冪函數(shù)( )f x的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2)，則( )f x的增區(qū)間

3、為（ ） a(,) + b(,0 c0,)+ d(1,)+ 【答案】c 【解析】設(shè)冪函數(shù)yx=，經(jīng)過點(diǎn)4,2， 得42=，即222=，得12=， 所以冪函數(shù)為12yx=，單增區(qū)間為)0,+. 5函數(shù)3()2xyxx=的圖像大致是（ ） a b c d 3 / 17 【答案】b 【解析】由，得，則為奇函數(shù)，故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除 c；當(dāng)時，故，故排除 a、d， 6設(shè)函數(shù)( )f x是定義在r上的偶函數(shù)，(1)1f=，當(dāng)0,)x+時，( )f x單調(diào)遞增，則不等式()21fx的解集為（ ） a1x x 或3x b13xx c12xx d02xx 【答案】a 【解析】當(dāng)0 x 時，函數(shù)( )yf

4、 x=單調(diào)遞增，且函數(shù)( )yf x=是r上的偶函數(shù)， ( )11f=， 由()21fx，得()( )21fxf，故21x，得1x 或3x . 7把滿足條件（1）xr ，()( )fxf x=，（2）1xr，2xr，使得( )()12f xf x= 的函數(shù)稱為“d函數(shù)”，下列函數(shù)是“d 函數(shù)”的個數(shù)為（ ） 2|yxx=+ 3yx= xxyee=+ cosyx= sinyxx= a1 個 b2 個 c3 個 d4 個 【答案】b 【解析】滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對稱，不滿足（2）；不滿足（1）； 不滿足（2）；均滿足（1）（2）. 8在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷

5、售業(yè)務(wù)，每天能完成 1200 份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓 500 份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過 1600 份的概率為 0.05，志愿者每人每天能完成 50 份訂單的配貨，為使4 / 17 第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于 0.95，則至少需要志愿者（ ） a10名 b18名 c24名 d32名 【答案】b 【解析】由題意，第二天新增訂單數(shù)為50016001200900+=，設(shè)需要志愿者 x 名， 500.95900 x，17.1x ,故需要志愿者18名. 9已知曲線elnxyaxx=+在點(diǎn)

6、()1,ae處的切線方程為2yxb=+，則（ ） a,1ae b= b,1ae b= c1,1aeb= d1,1aeb= 【答案】d 【解析】詳解：ln1,xyaex =+ 1|12xkyae=+ =，1ae= 將(1,1)代入2yxb=+得21,1bb+= ，故選 d 10已知方程20 xbxc+=，在()0,2上有兩個不同的解，則()222cbc+的取值范圍是（ ） a20,2 b30,4 c()0,1 d()0,2 【答案】c 【解析】解：設(shè)方程20 xbxc+=在()0,2上的兩個根為，且， 則設(shè)2( )()()f xxbxcxx=+=，02且02， 所以()222(0)(2)(2)(

7、2)cbcff+= 5 / 17 22(2)(2) 122+=， 上式等號不成立，所以()2221cbc+， 所以()222cbc+的取值范圍為()0,1， 11設(shè)函數(shù)( )f x的定義域?yàn)?r，滿足()( )112f xf x+=，且當(dāng)(0,1x時，( )()1f xx x=.若對任意),xm+，都有( )89f x ，則 m 的最小值是（ ） a43 b53 c54 d65 【答案】a 【解析】()( )112f xf x+=， ( )()21f xf x=+ 當(dāng)(0,1x時，( )()11,04f xx x= ， (1,0 x 時，(10,1x+ ，( )()()2,021211 xf

8、xf xx +=+=， (2, 1x 時，(11,0 x+ ，( )()()()214211,0f xf xxx=+=+ ， 將函數(shù)大致圖象繪制如下： 6 / 17 (2, 1x 時，令()()84219xx+= ， 解得：153x = ，243x = ， 若對于任意),xm+，都有( )89f x ， 所以43m ， 故選：a. 12已知定義在r上的奇函數(shù)( )fx滿足：當(dāng)0 x 時，( )1eexxf x =.若不等式()()242ftfmmt+對任意實(shí)數(shù) t恒成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是( ) a(),2 b()2,0 c()(),02,+ d() (),22, + 【答案】a 【解析

9、】由題意知，0 x 時，0 x ，則()1eexxfx=， 因?yàn)? )fx是r上的奇函數(shù)，所以( )()11eeeexxxxf xfx= = =， 7 / 17 所以當(dāng)xr時，( )1eexxf x =. 因?yàn)楹瘮?shù)1xye=為r上的減函數(shù)，所以1exy = 為r上的增函數(shù)，故( )1eexxf x =為r上的增函數(shù)， 由()()242ftfmmt+，可得242tmmt+，即2420mttm+對任意tr恒成立， 當(dāng)0m =時，不等式可化為40t ，顯然不符合題意， 所以0m ，可得201680mm =，解得2m . 13（多選題）下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在(),0上單調(diào)遞減的是（ ） a2xy =

10、 b23yx= c1yxx= d()2ln1yx=+ 【答案】ad 【解析】對于 a選項(xiàng)，2xy =為偶函數(shù)，且當(dāng)0 x 時，122xxy=為減函數(shù)，符合題意. 對于 b選項(xiàng)，23yx=為偶函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可知23yx=在(),0上遞增，不符合題意. 對于 c選項(xiàng)，1yxx=為奇函數(shù)，不符合題意. 對于 d選項(xiàng)，()2ln1yx=+為偶函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，()2ln1yx=+在區(qū)間(),0上單調(diào)遞減，符合題意. 14（多選題）如圖是函數(shù)( )yf x=導(dǎo)函數(shù)( )yfx=的圖象，下列選項(xiàng)中正確的是（ ） a在2x處導(dǎo)函數(shù)( )yfx=有極大值 b在1x，4x處導(dǎo)函數(shù)(

11、)yfx=有極小值 8 / 17 c在3x處函數(shù)( )yf x=有極大值 d在5x處函數(shù)( )yf x=有極小值 【答案】abcd 【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)( )fx的圖像可知：14,x x的兩側(cè)( )fx左減右增，所以在1x，4x處導(dǎo)函數(shù)( )yfx=有極小值；2x的兩側(cè)( )fx左增右減，所以在2x處導(dǎo)函數(shù)( )yfx=有極大值. 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)( )fx的圖像可知：3x的左側(cè)導(dǎo)數(shù)大于零，右側(cè)導(dǎo)數(shù)小于零，所以在3x處函數(shù)( )yf x=有極大值.5x的左側(cè)導(dǎo)數(shù)小于零，右側(cè)導(dǎo)數(shù)大于零，所以在5x處函數(shù)( )yf x=有極小值.而124,x xx左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)符號相同，原函數(shù)( )f x不取得極值. 故

12、選：abcd 15（多選題）已知函數(shù)32( )23f xxxx= +，若過點(diǎn)( 1,)pm（其中m是整數(shù)）可作曲線( )yf x=的三條切線，則m的所有可能取值為（ ） a2 b3 c4 d5 【答案】abcd 【解析】解：由題知2( )343fxxx= +，設(shè)切點(diǎn)為00(,()xf x，則切線方程為32200000023( 343)()yxxxxxxx+= +，將1x = ，ym=代入得32000243mxxx=+； 令32( )243g xxxx=+，則2( )6242(1)(32)g xxxxx=+=+， 23x或1x 時，( )0g x ；213x 時，( )0g x ， ( )g x

13、的極大值為( 1)6g =，極小值為237( )327g=，由題意知37627m，又m為整數(shù)， 2,3,4,5m=. 9 / 17 16（多選題）已知符號函數(shù)( )1,0sgn0,01,0 xxxx=，則（ ） a232sgn log 3 log12= b12sgn log 41= c( )sgn x是奇函數(shù) d函數(shù)()2sgnxyx=的值域?yàn)椋ǎ?） 【答案】bc 【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)： 對于 a，log230 而 log3220，則 log23log3220，故 sgn（log23log322）1，a錯誤； 對于 b，12log 420，則 sgn（12log 4）1，b 正確；

14、 對于 c，sgn（x）1,00,01,0 xxx=，當(dāng) x0時，sgn（x）sgn（x）1，當(dāng) x0時，sgn（x）sgn（x）1，當(dāng) x0 時，sgn（x）sgn（x）0，則對于任意的 x，都有 sgn（x）sgn（x），故 sgn（x）是奇函數(shù)，c正確； 對于 d，函數(shù) y2xsgn（x）2 ,00,02 ,0 xxxxx=，其圖象大致如圖，值域不是（，1），d錯誤； 10 / 17 故選：bc 17（多選題）已知( )f x是定義在r上的函數(shù)，( )fx是( )f x的導(dǎo)函數(shù)，給出如下四個結(jié)論，其中正確的是（ ） a若()12f =，且( )2fx，則( )24fxx+的解集為()1,

15、 + b若( )( )0f xfxx+，且( )0fe=，則函數(shù)( )xf x有極小值 0 c若( )( )0fxf x+，且( )01f=，則不等式( )1xe f x 的解集為()0,+ d若( )( )0fxf x，則()()20202019ffe 【答案】abd 【解析】對選項(xiàng) a：設(shè)( )( )24g xf xx=，因?yàn)? 1)2f =，且( )2fx， 則( )( )20gxfx=，所以( )g x在r上增函數(shù)， 又因?yàn)?)()11240gf=+=， 所以當(dāng)1x 時，( )( )240g xf xx=， 11 / 17 即( )24fxx+的解集為()1, +，故 a 正確. 對選

16、項(xiàng) b，設(shè)( )( )g xxf x=，( )( )( )gxf xxfx=+ 因?yàn)? )( )( )( )0+=f xxfxf xfxxx 所以當(dāng)(),0 x 時， ( )( )( )0gxf xxfx=+，( )g x為減函數(shù)， 當(dāng)()0,x+時， ( )( )( )0gxf xxfx=+，( )g x為增函數(shù)， 故當(dāng)0 x =，( )( )g xxf x=取得極小值，極小值為( )00g=，故 b正確. 對選項(xiàng) c，設(shè)( )( )xg xe fx=，( )( )( )( )( )xxxgxe f xe fxef xfx=+=+. 因?yàn)? )( )0fxf x+，0 xe ，所以( )0g

17、x，( )g x在r上增函數(shù). 又因?yàn)? )01f=，所以( )( )0001=ge f. 所以當(dāng)()0,x+時，( )( )1=xg xe f x，故 c 錯誤. 對選項(xiàng) d，設(shè)( )( )xf xg xe=，( )( )( )xfxf xgxe= 因?yàn)? )( )0fxf x，所以( )( )( )0 xfxf xgxe=，( )g x在r上增函數(shù). 所以()()20202019gg，()()2020201920202019ffee，即()()20202019ffe. 故 d 正確. 18（多選題）已知函數(shù) y=f(x)在 r上可導(dǎo)且 f(0)=1，其導(dǎo)函數(shù)( )fx滿足( )( )01f

18、xf xx，對于函數(shù)12 / 17 ( )( )xf xg xe=，下列結(jié)論正確的是（ ） a函數(shù) g(x)在(1，+)上為單調(diào)遞增函數(shù) bx=1是函數(shù) g(x)的極小值點(diǎn) c函數(shù) g(x)至多有兩個零點(diǎn) d當(dāng) x0時，不等式( )xf xe 恒成立 【答案】abc 【解析】函數(shù)( )( )xf xg xe=，則( )( )( )xfxf xgxe=， 當(dāng)1x 時，( )( )0fxf x，故( )g x在()1,+單調(diào)遞增，a正確； 當(dāng)1x 時，( )( )0fxf x，故( )g x在(),1單調(diào)遞減，故 x=1 是函數(shù) g(x)的極小值點(diǎn)，b正確； 若( )10g，則( )yg x=有兩

19、個零點(diǎn)， 若( )10g=，則( )yg x=有一個零點(diǎn)， 若( )10g，則( )yg x=沒有零點(diǎn)，故 c 正確； ( )g x在(),1單調(diào)遞減，則( )g x在(),0單調(diào)遞減，( )( )0001fge=，可知0 x 時，( )( )0g xg，故( )1xf xe，即( )xf xe，d 錯誤； 二、二、 解答題解答題 19已知函數(shù)21( ),( )ln4f xxaxg xx=+= . （1）若xr，f（x）0，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （2）用 minm，n表示 m，n中的較小者.設(shè) h（x）minf（x），g（x）（x0），若 h（x）有三個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍. 13

20、/ 17 【解析】（1）根據(jù)題意知2104xax+對任意實(shí)數(shù)x恒成立， 所以21404a = ，解得11a . （2）當(dāng)(1,)x+時，( )ln0g xx= ，所以( )min ( ), ( )( )0h xf x g xg x=， 所以( )h x在(1,)+上無零點(diǎn)； 所以( )h x在(0,1上有三個零點(diǎn)， 5(1)4fa=+，(1)0g=， 當(dāng)(1)(1)fg時，504a+，得54a ，所以(1)(1)0hg=，所以1是( )h x的一個零點(diǎn)； 當(dāng)(1)(1)fg時，54a ，所以(1)(1)0hf=，所以1不是( )h 1的一個零點(diǎn)； 當(dāng)(0,1)x時，( )lng xx= 0，

21、由題意可知，1是( )h x的一個零點(diǎn)，且21( )4f xxax=+在(0,1)上有兩個零點(diǎn)， 所以54a ，且214 1040121(0)045(1)04aaffa = =+，解得514a ， 綜上所述，若( )h x有三個零點(diǎn)，則a的取值范圍是514a . 20新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護(hù)服短缺，某地政府決定為防護(hù)服生產(chǎn)企業(yè) a公司擴(kuò)大生產(chǎn)提供(0,10)x x(萬元)的專項(xiàng)補(bǔ)貼，并以每套 80 元的價格收購其生產(chǎn)的全部防護(hù)服.a公司在收到政府x(萬元)補(bǔ)貼后，防護(hù)服產(chǎn)量將增加到1264tkx=+(萬件)，其中k為工廠工人的復(fù)工率（0.5,1k）.a公司生產(chǎn)t萬件防護(hù)服還需投入成本(2095

22、0 )xt+(萬元). 14 / 17 （1）將 a 公司生產(chǎn)防護(hù)服的利潤y(萬元)表示為補(bǔ)貼x(萬元)的函數(shù)(政府補(bǔ)貼 x 萬元計入公司收入)； （2）在復(fù)工率為 k時，政府補(bǔ)貼多少萬元才能使 a公司的防護(hù)服利潤達(dá)到最大？ （3）對任意的0,10 x(萬元)，當(dāng)復(fù)工率k達(dá)到多少時，a公司才能不產(chǎn)生虧損？（精確到 0.01）. 【解析】（1）由題意，80(20950 )yxtxt=+30820tx=123068204kxx=+3601808204kkxx=+， 即3601808204kykxx=+，0,10 x，0.5,1k. （2）()36045180820180128444kkykxkxx

23、x=+， 因?yàn)?,10 x，所以4414x+，所以()()45454246 544kkxxkxx+=+，當(dāng)且僅當(dāng)4544kxx+=+，即3 54xk=時，等號成立. 所以()4518012841801248 54kykxkkx=+， 故政府補(bǔ)貼為3 54k 萬元才能使 a 公司的防護(hù)服利潤達(dá)到最大，最大為1801248 5kk+萬元. （3）對任意的0,10 x(萬元)，a公司都不產(chǎn)生虧損，則36018082004kkxx+在0,10 x上恒成立， 不等式整理得，()()20841802xxkx+， 令2mx=+，則2,12m，則()()()()208484288202xxmmmxmm+=+，

24、 由函數(shù)( )8820h mmm=+在2,12上單調(diào)遞增，可得( )()max82128 1220116123h mh= +=+， 15 / 17 所以21801163k +，即211630.65180k+. 所以當(dāng)復(fù)工率k達(dá)到0.65時，對任意的0,10 x(萬元)，a 公司都不產(chǎn)生虧損. 21函數(shù)( )323612f xxxx=+. （1）求曲線( )yf x=在點(diǎn)()0,1處的切線方程； （2）函數(shù)( )( )()212g xf xaxax ar=+在區(qū)間()1,1上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a的取值范圍. 【解析】（1）( )323612f xxxx=+，( )2336fxxx=+，( )06f = ， 因此，曲線( )yf x=在點(diǎn)()0,1處的切線方程16yx = ，即610 xy+ =； （2）( )( )()322361212axg xf xxaxxaax=+=+， ( )()()()()2336361gxxaxaxax=+