數(shù)學(xué)建模常見評(píng)價(jià)模型簡(jiǎn)介

1、常見評(píng)價(jià)模型簡(jiǎn)介評(píng)價(jià)類數(shù)學(xué)模型是全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)的一類模型，如2005年全國(guó)賽A題長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)問題，2008年B題高校學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)體系問題等。主要介紹三種比較常用的評(píng)價(jià)模型：層次分析模型，模糊綜合評(píng)價(jià)模型，灰色關(guān)聯(lián)分析模型，以期幫助大家了解不同背景下不同評(píng)價(jià)方法的應(yīng)用。層次分析模型層次分析法(AHP)是根據(jù)問題的性質(zhì)和要求，將所包含的因素進(jìn)行分類，一般按目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和子準(zhǔn)則層排列，構(gòu)成一個(gè)層次結(jié)構(gòu)，對(duì)同層次內(nèi)諸因素采用兩兩比較的方法確定出相對(duì)于上一層目標(biāo)的權(quán)重，這樣層層分析下去，直到最后一層，給出所有因素相對(duì)于總目標(biāo)而言，按重要性程度的一個(gè)排序。其主要特征是，它合理地將定性與定量

2、決策結(jié)合起來，按照思維、心理的規(guī)律把決策過程層次化、數(shù)量化。運(yùn)用層次分析法進(jìn)行決策，可以分為以下四個(gè)步驟：步驟1 建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層(目標(biāo)準(zhǔn)則或指標(biāo)方案或?qū)ο?，上層受下層影響，而層內(nèi)各因素基本上相對(duì)獨(dú)立。步驟2構(gòu)造成對(duì)比較陣對(duì)于同一層次的各元素關(guān)于上一層次中某一準(zhǔn)則的重要性進(jìn)行兩兩比較，借助19尺度，構(gòu)造比較矩陣；步驟3計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)由判斷矩陣計(jì)算被比較元素對(duì)于該準(zhǔn)則的相對(duì)權(quán)重，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，若通過，則最大特征根對(duì)應(yīng)的特征向量做為權(quán)向量。步驟4計(jì)算組合權(quán)向量(作組合一致性檢驗(yàn))組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)通過一個(gè)具體的例子介紹層次分析

3、模型的應(yīng)用。例(選擇旅游地決策問題)如何在桂林、黃山、北戴河3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件、飲食、旅途條件等因素進(jìn)行選擇。步驟1 建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)將決策問題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。C5 旅途選擇旅游地 P2 黃山P1 桂林P3 北戴河C3 居住C1 景色C2 費(fèi)用C4 飲食目標(biāo)層 準(zhǔn)則層 方案層 圖1 選擇旅游地的層次結(jié)構(gòu)步驟2構(gòu)造比較矩陣元素之間兩兩對(duì)比，對(duì)比采用美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家A.L.Saaty教授提出的19比率標(biāo)度法(表1)對(duì)不同指標(biāo)進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)造判斷矩陣。標(biāo)度值含義1兩因素相比，具有同等重要性3兩因素相比

4、，前者比后者稍重要5兩因素相比，前者比后者明顯重要7兩因素相比，前者比后者強(qiáng)烈重要9兩因素相比，前者比后者極端重要2、4、6、8表示上述相鄰判斷的中間值以上各數(shù)值的倒數(shù)若指標(biāo)與指標(biāo)比較相對(duì)重要性用上述之一數(shù)值標(biāo)度，則指標(biāo)與指標(biāo)的相對(duì)重要性用上述數(shù)值的倒數(shù)標(biāo)度表1 19標(biāo)度的含義設(shè)要比較各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)O的重要性，記判斷矩陣為顯然，A是正互反陣。步驟3計(jì)算被比較元素對(duì)于該準(zhǔn)則的相對(duì)權(quán)重(1)一致陣的定義與性質(zhì)一致陣的定義要由A確定對(duì)目標(biāo)O的權(quán)向量，我們首先考察一致矩陣的性質(zhì)。稱滿足的正互反陣為一致陣。例如一致矩陣的性質(zhì)矩陣A的秩為1，A的唯一非零特征根為。矩陣A的任一列向量是對(duì)應(yīng)于的特征向量。矩陣A

5、的歸一化特征向量可作為權(quán)向量。然而，我們構(gòu)造的成對(duì)比較矩陣中，由，可以得到，而事實(shí)上。因此矩陣A并不是一致陣，事實(shí)上在大多情況下我們構(gòu)造的成對(duì)比較矩陣都不是一致陣。對(duì)于這樣的矩陣我們?nèi)绾蝸泶_定權(quán)向量呢？我們通常的作法是：對(duì)于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對(duì)比較陣A，建議用對(duì)應(yīng)于最大特征根l的特征向量作為權(quán)向量。(2)一致性檢驗(yàn)（確定成對(duì)比較陣不一致的允許范圍），計(jì)算權(quán)向量。已知階一致陣的唯一非零特征根為，可證：階正互反陣最大特征根, 且時(shí)為一致陣。一致性指標(biāo)：，CI 越大，不一致性越嚴(yán)重。隨機(jī)一致性指標(biāo)：隨機(jī)產(chǎn)生多個(gè)矩陣，將每個(gè)矩陣的一致性指標(biāo)相加然后取平均值得到RI。n123456789101

6、1RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51表2 Saaty的隨機(jī)一致性指標(biāo)注：標(biāo)2中的表示成對(duì)比較陣的維數(shù)。一致性比率 如果，構(gòu)造的成對(duì)比較矩陣A通過一致性檢驗(yàn)。步驟4計(jì)算組合權(quán)向量記第2層(準(zhǔn)則層)對(duì)第1層(目標(biāo)層)的權(quán)向量為同樣求第3層(方案層)對(duì)第2層每一元素(準(zhǔn)則層)的權(quán)向量構(gòu)造矩陣則第3層(方案層)對(duì)第1層(目標(biāo)層)的組合權(quán)向量以此類推，第s層對(duì)第1層的組合權(quán)向量其中是由第p層對(duì)第p-1層權(quán)向量按列組成的矩陣。層次分析法的應(yīng)用1、應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評(píng)價(jià)，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，

7、軍事等。2、處理問題類型：決策、評(píng)價(jià)、分析、預(yù)測(cè)等。3、建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。4、構(gòu)造成對(duì)比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判斷力強(qiáng)的專家給出。層次分析法的若干問題2. 當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全或成對(duì)比較陣有空缺時(shí)怎樣用層次分析法？不完全層次結(jié)構(gòu)上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)，這種層次結(jié)構(gòu)稱為完全層次結(jié)構(gòu)，否則稱為不完全層次結(jié)構(gòu)，不完全層次結(jié)構(gòu)又分為兩種，一種為不完全層次出現(xiàn)在準(zhǔn)則層與子準(zhǔn)則層之間，這種不完全結(jié)構(gòu)容易處理，我們將不支配的那些因素的權(quán)向量分別簡(jiǎn)單的置0，就可以用完全層次結(jié)構(gòu)的辦法處理，但如果不完全結(jié)構(gòu)出現(xiàn)在準(zhǔn)則層與方案層之間，則處理起來就有些麻煩，我們看下面

8、的例子。例 評(píng)價(jià)教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)(圖3)，該圖中支配元素的數(shù)目不等，此層次結(jié)構(gòu)稱為不完全層次結(jié)構(gòu)。設(shè)第2層對(duì)第1層權(quán)向量已定，第3層對(duì)第2層權(quán)向量，已得，討論由計(jì)算第3層對(duì)第1層權(quán)向量的方法。貢獻(xiàn)O教學(xué)C1科研C2P2 P1P3P4 圖3評(píng)價(jià)教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)我們首先考察一個(gè)特例：若重要性相同, 則，能力相同, ，則公正的評(píng)價(jià)應(yīng)為：。若不考慮支配元素?cái)?shù)目不等的影響，仍用計(jì)算，則意味著支配元素越多權(quán)重越大，顯然是不合理的。用支配元素?cái)?shù)對(duì)加權(quán)修正，修正為，再計(jì)算。令，再用計(jì)算。本例中，計(jì)算得，表明支配元素越多權(quán)重越小與公正的評(píng)價(jià)相吻合。成對(duì)比較陣殘缺時(shí)的處理專家或有關(guān)人士由于某種原因會(huì)無法或不愿

9、對(duì)某兩個(gè)因素給出相互對(duì)比的結(jié)果，于是成對(duì)比較陣出現(xiàn)殘缺。如何對(duì)此作修正，以便繼續(xù)進(jìn)行權(quán)向量的計(jì)算呢？例 設(shè)一成對(duì)比較陣為，q為殘缺元素，試對(duì)此殘缺陣進(jìn)行處理。解 構(gòu)造輔助矩陣，因此由 (1)但是，中包含未知量，(1)式無法求解，進(jìn)而將修正為，不難驗(yàn)證，進(jìn)而求得。注：一般地，由殘缺陣構(gòu)造修正陣的方法是令模糊綜合評(píng)價(jià)模型模糊數(shù)學(xué)是從量的角度研究和處理模糊現(xiàn)象的科學(xué)。這里模糊性是指客觀事物的差異在中介過渡時(shí)所呈現(xiàn)的“亦此亦比”性。比如用某種方法治療某病的療效“顯效”與“好轉(zhuǎn)”、某醫(yī)院管理工作“達(dá)標(biāo)”與“基本達(dá)標(biāo)”、某篇學(xué)術(shù)論文水平“很高”與“較高”等等。從一個(gè)等級(jí)到另一個(gè)等級(jí)間沒有一個(gè)明確的分界，中

10、間經(jīng)歷了一個(gè)從量變到質(zhì)變的連續(xù)過渡過程，這個(gè)現(xiàn)象叫中介過渡。由這種中介過渡引起的劃分上的“亦此亦比”性就是模糊性。 模糊綜合評(píng)價(jià)是以模糊數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)。應(yīng)用模糊關(guān)系合成的原理，將一些邊界不清，不易定量的因素定量化，進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)的一種方法。一、單因素模糊綜合評(píng)價(jià)的步驟（1）根據(jù)評(píng)價(jià)目的確定評(píng)價(jià)指標(biāo)（Evaluation Indicator）集合例如：評(píng)價(jià)某項(xiàng)科研成果，評(píng)價(jià)指標(biāo)集合為=學(xué)術(shù)水平，社會(huì)效益，經(jīng)濟(jì)效益。（2）給出評(píng)價(jià)等級(jí)（Evaluation Grade）集合 例如：評(píng)價(jià)某項(xiàng)科研成果，評(píng)價(jià)等級(jí)集合為=很好，好，一般，差。（3）確定各評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重（Weight）權(quán)重反映各評(píng)價(jià)指標(biāo)在綜合評(píng)價(jià)

11、中的重要性程度，且 例如：假設(shè)評(píng)價(jià)科研成果，評(píng)價(jià)指標(biāo)集合=學(xué)術(shù)水平，社會(huì)效益，經(jīng)濟(jì)效益其各因素權(quán)重設(shè)為（4）確定評(píng)價(jià)矩陣請(qǐng)?jiān)擃I(lǐng)域?qū)＜胰舾晌?，分別對(duì)此項(xiàng)成果每一因素進(jìn)行單因素評(píng)價(jià)(One-Way Evaluation)，例如對(duì)學(xué)術(shù)水平，有50%的專家認(rèn)為“很好”，30%的專家認(rèn)為“好”，20%的專家認(rèn)為“一般”，由此得出學(xué)術(shù)水平的單因素評(píng)價(jià)結(jié)果為 同樣如果社會(huì)效益，經(jīng)濟(jì)效益兩項(xiàng)單因素評(píng)價(jià)結(jié)果分別為那么該項(xiàng)成果的評(píng)價(jià)矩陣為（5）進(jìn)行綜合評(píng)價(jià) 通過權(quán)系數(shù)矩陣與評(píng)價(jià)矩陣的模糊變換得到模糊評(píng)判集。設(shè)，那么其中“”為模糊合成算子。進(jìn)行模糊變換時(shí)要選擇適宜的模糊合成算子，模糊合成算子通常有四種(1)算子，符

12、號(hào)“”為取小，“”為取大。運(yùn)算過程為首先對(duì)每個(gè)下標(biāo)求出與的最小值，然后從這些最小值里面取最大值。(2)算子(3)算子 “”是有界和運(yùn)算，即在有界限制下的普通加法運(yùn)算對(duì)個(gè)實(shí)數(shù)有，利用算子，有(4)算子以上四個(gè)算子在綜合評(píng)價(jià)中的特點(diǎn)是如下表：特點(diǎn)算 子體現(xiàn)權(quán)數(shù)作用不明顯明顯不明顯明顯綜合程度弱弱強(qiáng)強(qiáng)利用R的信息不充分不充分比較充分充分類型主因素突出型主因素突出型加權(quán)平均型加權(quán)平均型 表 121. 如何確定權(quán)向量1)層次分析法2)歸一化法歸一化公式:其中為評(píng)價(jià)參數(shù)的監(jiān)測(cè)值；為評(píng)價(jià)參數(shù)i的n級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的算術(shù)平均值，則權(quán)重集為2. 如何確定評(píng)價(jià)矩陣1)專家評(píng)價(jià)法2)層次分析法（6）得出綜合結(jié)論 通過對(duì)模糊評(píng)判向量的分析作出綜合結(jié)論一般可以采用以下三種方法：1. 最大隸屬原則模糊評(píng)判集 中為等級(jí)對(duì)模糊評(píng)判集的隸屬度，按最大隸屬度原則作出綜合結(jié)論，即，所對(duì)應(yīng)的元素為綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。該方法雖簡(jiǎn)單易行，但只考慮隸屬度最大的點(diǎn)，其它點(diǎn)沒有考慮，損失的信息較多. 二、多級(jí)模糊綜合評(píng)判有些情況因?yàn)橐紤]的因素太多，而權(quán)重難以細(xì)分，或因各權(quán)重都太小，使得評(píng)價(jià)失去實(shí)際意義，為此可根據(jù)因素集中各指標(biāo)的相互關(guān)系，把