低通濾波器抽樣定理的仿真設(shè)計(jì)

1、大學(xué)電子信息工程學(xué)院通信原理課程設(shè)計(jì)報(bào)告設(shè)計(jì)題目低通抽樣定理仿真學(xué)生專業(yè)年級2012 級通信工程學(xué)生（學(xué)號）宋景怡P01214004季琴P01214051王慧娟P(guān)01214256指導(dǎo)教師常靜完成時(shí)間2015年 6月27日2015年 6月低通抽樣定理仿真一、課程設(shè)計(jì)目的本次課程設(shè)計(jì)主要利用 MATLAB 和 SIMULINKL 兩個(gè)部分。首先利用 SIMULINKL 實(shí)現(xiàn)了連續(xù)信號的采樣及重構(gòu)，通過改變抽樣頻率來實(shí)現(xiàn)過采樣、等采樣、欠采樣三種情況來驗(yàn)證低通抽樣定理，繪出原始信號、采樣信號、重構(gòu)信號的時(shí)域波形圖。 本次課程設(shè)計(jì)加深理解和鞏固通信原理、 數(shù)字信號處理課上所學(xué)的有關(guān)基本概念、基本理論和

2、基本方法，并鍛煉分析問題和解決問題的能力。二、課程設(shè)計(jì)容利用 MATLAB 軟件自帶的 SIMULINK 模塊（或 MATLAB 程序）模擬低通抽樣定理。設(shè)輸入信號為一頻率為 10Hz 的正弦波，用不同頻率的抽樣信號對其進(jìn)行抽樣，得到恢復(fù)信號波形，并與原信號進(jìn)行比較。（1）當(dāng)抽樣頻率大于（或等于）信號頻率的兩倍；（2）當(dāng)抽樣頻率小于信號頻率的兩倍；關(guān)鍵詞：抽樣定理、低通濾波器、SIMULINK三、實(shí)驗(yàn)原理1、 抽樣定理抽樣是把時(shí)間上連續(xù)的模擬信號變成一系列時(shí)間上離散的抽樣值的過程。 能否由此樣值序列重建原信號， 是抽樣定理要回答的問題。 抽樣定理的大意是， 如果對一個(gè)頻帶有限的時(shí)間連續(xù)的模擬信

3、號抽樣， 當(dāng)抽樣速率達(dá)到一定數(shù)值時(shí)， 那么根據(jù)它的抽樣值就能重建原信號。 也就是說，若要傳輸模擬信號， 不一定要傳輸模擬信號本身， 只需傳輸按抽樣定理得到的抽樣值即可。 因此，抽樣定理是模擬信號數(shù)字化的理論依據(jù)。 根據(jù)信號是低通型的還是帶通型的， 抽樣定理分低通抽樣定理和帶通抽樣定理；根據(jù)用來抽樣的脈沖序列是等間隔的還是非等間隔的，又分均勻抽樣定理和非均勻抽樣； 根據(jù)抽樣的脈沖序列是沖擊序列還是非沖擊序列，又可分理想抽樣和實(shí)際抽樣。2、信號的采樣所謂“取樣”就是利用從連續(xù)時(shí)間信號 f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程。這樣得到的離散信號稱為取樣信號 （如圖 1 所示）。采樣信號 f(t)可

4、以看成連續(xù)信號 f(t) 和取樣脈沖序列 s(t)的乘積。其中取樣脈沖序列 s(t)也稱為開關(guān)函數(shù)。如果其各脈沖間隔時(shí)間相同， 均為 Ts，就稱為均勻取樣。 Ts 稱為取樣周期，fs=1/Ts稱為取樣頻率或取樣率， s=2fs=2/Ts 稱為取樣角頻率。圖 1.信號的取樣如果 f(t)?F(j)，s(t)?S(j )，則由頻域卷積定理， 得取樣信號 fs(t)的頻譜函數(shù)為?s （ ?）=?) * S( ?)(1)如果取樣脈沖序列s(t)是周期為Ts 的沖激函數(shù)序列，稱為沖激取樣。而沖激序列（這里T=Ts， =2/Ts=s）的頻譜函數(shù)也是周期沖激序列，即FT s ( t ) = FT （2）函數(shù)

5、 Ts(t)及其頻譜圖如圖2 的(b)和(e)所示。如果信號 f(t) 的頻帶是有限的，就是說信號 f(t) 的頻譜只在區(qū)間 (- m， m) 為有限值，而在此區(qū)間外為零，這樣的信號稱為頻帶有限信號，簡稱有限信號， f(t) 及其頻譜如圖 2 的(a)和(d)所示。設(shè) f(t)?F(j )，將式（2）代入式（1），得到取樣信號 fs(t)和頻譜函數(shù)如下式?(?) = F（ ?）?(3)沖激取樣信號 fs(t)及其頻譜如圖 2 的(c)和 (f) 所示。由圖 (f)和式（ 3）可知，取樣信號 fs(t)的頻譜函數(shù)由原信號頻譜 F(j )的無限個(gè)頻移項(xiàng)組成，其頻移的角頻率分別為（ n=0，

6、7; 1，± 2,），其幅值為原頻譜的1/Ts。圖 2 畫出了時(shí)域中的沖激取樣信號及其頻譜。圖 2. 沖激取樣由此可見，采樣信號在時(shí)域的表示為無窮多沖激函數(shù)的線性組合，其權(quán)值為原始信號在對應(yīng)采樣時(shí)刻的定義值。采樣信號 fs(t)的頻譜就是將原始信號 f(t) 的頻譜在頻率軸上以采樣角頻率 s 為周期進(jìn)行周期延拓后的結(jié)果（幅度為原頻譜的 1/Ts）。由取樣信號 fs(t)的頻譜可以看出，如果 s>2 m（即 fs>2fm 或Ts<1/2fm），那么各相鄰頻移后的頻譜不會發(fā)生重疊。這里就能設(shè)法（如利用低通濾波器）從取樣信號的頻譜 Fs(j)中得到原信號的頻譜，即從取樣信

7、號 fs(t) 中恢復(fù)原信號 f(t) 。如果 s<2 m，那么頻移后的各相鄰頻譜將相互重疊，這樣就無法將它們分開， 因而也不能再恢復(fù)原信號。 頻譜重疊的這種現(xiàn)象常稱為混疊現(xiàn)象。可見，為了不發(fā)生混疊現(xiàn)象，必須滿足 s 2 m。3、信號的重構(gòu)設(shè)信號 f(t) 被采樣后形成的采樣信號為 fs(t)，信號的重構(gòu)是指由 fs(t)經(jīng)過插處理后，恢復(fù)出原來的信號 f(t) 的過程。因此又稱為信號恢復(fù)。由前面的介紹可知，在采樣頻率 s2m 的條件下，采樣信號的頻譜 Fs(j )是以 s 為周期的譜線。選擇一個(gè)理想低通濾波器， 使其頻率特性 H(j )滿足：H ( j ) =式中的 c 稱為濾波器的截

8、止頻率， 滿足 m c s/2。將采樣信號通過該理想低通濾波器， 輸出信號的頻譜將與原信號的頻譜相同。 因此，經(jīng)過理想濾波器還原得到的信號即為原信號本身。信號重構(gòu)的原理圖見下圖。低通濾波器F(j )FSI通過以上分析， 得到如下的時(shí)域采樣定理： 一個(gè)帶寬為可唯一地由它的均勻取樣信號 fs(nTs)確定，其中，取樣間隔間隔又稱為奈奎斯特（ Nyquist）間隔，把最低允許取樣頻率特頻率。m 的帶限信號 f(t) ， Ts</m, 該取樣 fs=2fm 稱為奈奎斯順便指出對于頻帶有限的同期信號 f(t)（設(shè)其頻譜函數(shù)為 F(j )，同期為 T），適當(dāng)選取取樣周期 Ts(Ts>T)，則經(jīng)

9、過濾波能從混疊的取樣信號頻譜 Fs(j)中選得原信號的壓縮頻譜 F(j /a)(0<a<1)，從而得到與原信號波形相同但時(shí)域展寬的信號 f(at)。取樣示波器就是利用這一原理把不便于顯示的高頻信號展寬為容易顯示的低頻信號。根據(jù)時(shí)域卷積定理，求出信號重構(gòu)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：f(t) = IFT * IFT H( j ) =式中的抽樣函數(shù) Sa(ct)起著插函數(shù)的作用，信號的恢復(fù)可以視為將抽樣函數(shù)進(jìn)行不同時(shí)刻移位后加權(quán)求和的結(jié)果， 其加權(quán)的權(quán)值為采樣信號在相應(yīng)時(shí)刻的定義值。利用 MATLAB 中的抽樣函數(shù) sinc(t)=sin(t)/( t)來表示 Sa(t)，有 Sa(t)= sinc

10、(t/)， Sa( ct)=sinc( ct/)于是，信號重構(gòu)的插公式也可表示為：f(t)=四、程序設(shè)計(jì)流程圖開始根據(jù)已給參數(shù)設(shè)計(jì)產(chǎn)生模擬信息設(shè)置不同的抽樣頻率，產(chǎn)生對應(yīng)的頻率低通濾波器設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)（用MAT LAB的SIMULINK功能）抽樣信號經(jīng)過低通濾波器，恢復(fù)出原始信號，得到圖形根據(jù)圖像分析得到結(jié)論結(jié)束五、SIMULINK仿真設(shè)計(jì)1、建立模型2、參數(shù)設(shè)置3、抽樣頻率大于信號頻率的兩倍， 即抽樣頻率為 30HZ，抽樣圖形及恢復(fù)波形4、抽樣頻率等于信號頻率的兩倍， 即抽樣頻率為 20HZ，抽樣圖形及恢復(fù)波形5、抽樣頻率小于信號頻率的兩倍，即抽樣頻率為 5HZ ，抽樣圖形及恢復(fù)波形六、MATL

11、AB編程對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行校驗(yàn)1、MATLAB編程t=-5:1/10:5;%時(shí)間圍，頻率 10HZs=sin(t);%定義輸入函數(shù)figure('NumberTitle', 'off', 'Name', '高頻抽樣 ');%畫高頻率采樣圖plot(t,s,'-k');%hold on;xlabel('t');ylabel('s');fs1=30;%畫正弦信號圖形高于信號頻率抽樣sample_time=-5:1/fs1:5;s_sample=sin(sample_time); % 抽樣后信

12、號圖形 h=stem(sample_time,s_sample,'fill','-k'); set(h(1),'Marker','o','Markersize',2);figure('NumberTitle', 'off', 'Name', '低頻抽樣 ');%畫低頻率采樣圖plot(t,s,'-k');hold on;xlabel('t');ylabel('s');fs2=1;%低于信號頻率抽樣samp

13、le_time1=-5:1/fs2:5;s_sample1=sin(sample_time1)； % 抽樣后信號圖形h1=stem(sample_time1,s_sample1,'fill','-k');set(h1(1),'Marker','o','Markersize',2);f_n=30;%定義模擬采樣頻率f_p=8;f_s=14;%定義通帶和阻帶頻率Wp1=2*pi*f_p/f_n;%模擬通帶頻率數(shù)字化Ws1=2*pi*f_s/f_n;%模擬阻帶頻率數(shù)字化Wp=2*f_n*tan(Wp1/2);%預(yù)畸矯正W

14、s=2*f_n*tan(Ws1/2);R_p=3;R_s=30;%定義通帶增益和阻帶衰減n,Wn=buttord(Wp,Ws,R_p,R_s,'s'); %計(jì)算階數(shù)和截止頻率b,a=butter(n,Wn,'s');%計(jì)算 H（ jw)bz,az=bilinear(b,a,f_n);%計(jì)算 H（ z)figure('NumberTitle', 'off', 'Name', ' %低通濾波器響應(yīng)圖 ');作出 H（z) 的幅頻相頻圖subplot(2,1,1);freqz(bz,az,1000,250

15、00)y1=filter(bz,az,s_sample); % figure('NumberTitle', 'off', 'Name', '高頻采樣后通過低通濾波器恢復(fù)高頻抽樣后恢復(fù)圖形 ');plot(sample_time,y1);xlabel('sample_time');ylabel('y1');y2=filter(bz,az,s_sample1); % figure('NumberTitle', 'off', 'Name', '低頻采

16、樣后通過低通濾波器恢復(fù)高頻抽樣恢復(fù)圖形 ');plot(sample_time1,y2);xlabel('sample_time1');ylabel('y2');2、 MATLAB仿真結(jié)果圖七、對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析1、由仿真圖可知當(dāng)抽樣頻率大于或等于被抽樣信號頻率的2 倍時(shí)，抽樣輸出通過模擬低通濾波器能夠恢復(fù)出被抽樣信號； 當(dāng)抽樣頻率小于被抽樣信號頻率的 2 倍，模擬低通濾波器的輸出波形的形狀已失真，即不能恢復(fù)出原始信號。2、驗(yàn)證抽樣定理，即一個(gè)頻帶限制在 0f 的連續(xù)信號 m(t) ，如果取樣速率 Fs 大于或等于 2f ，則可以由抽樣值序列 m(nTs

17、) 無失真地重建原始信號 m(t) 。即一個(gè)頻帶限制在（ 0，）的時(shí)間連續(xù)信號m(t)，如果以 T秒的間隔對它進(jìn)行等間隔抽樣，則m(t) 將被所得到的抽樣值完全確定。3、采樣信號通過模擬低通濾波器后，將其截止頻率設(shè)置為 80HZ，為了接近理想低通濾波器， 將其濾波階數(shù)設(shè)置的高一點(diǎn)， 信號通過低通濾波器后， 除了被濾除阻帶上的高頻分量外，幅度還會有衰減，因此還需通過一個(gè)增益放大器。4、低通巴特沃茲濾波器的階次要選擇適宜，階次過高或過，輸出的信號都有失真另外， 低截止頻率不能過大， 否則會使多余的諧波通過， 也會導(dǎo)致復(fù)原的信號失真。5、當(dāng)輸入的連續(xù)信號仿真時(shí)長也會影響信號的波形，仿真是長越短越好，

18、輸出的波形越好。 由于計(jì)算機(jī)處理的信號本質(zhì)上不是模擬信號，為了更接近模擬信號，就將仿真時(shí)長盡可能的減小，但不可能減少到零， 減少到零后的波形也有一定程度上的失真。八、設(shè)計(jì)心得體會通過這次的課程設(shè)計(jì)， 我們對信息和通信系統(tǒng)有了更進(jìn)一步的認(rèn)識， 尤其是在系統(tǒng)設(shè)計(jì)方面， 盡管是非常基礎(chǔ)的信號的取樣與恢復(fù)， 也是經(jīng)過若干設(shè)備協(xié)同工作，才能保證信號有效傳輸， 而小到僅僅是一個(gè)參數(shù)， 都有可能導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)無常運(yùn)行。另一方面，我們通過本次的課程設(shè)計(jì)， 著實(shí)領(lǐng)教了 SIMULINK 強(qiáng)大的功能。通過使用 SIMULINK 模塊對系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)與仿真，使我獲得了許多經(jīng)驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)雖然并不高深， 但是對于剛?cè)腴T的初學(xué)者來說， 對以后步入專業(yè)領(lǐng)域進(jìn)行設(shè)計(jì)或研發(fā)無疑具有重大的意義。通過這次的課程設(shè)計(jì)，進(jìn)一步了解了信號的取樣的基本原理及其恢復(fù)方法。