初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：三角形的內(nèi)心、外心、中心、重心

1、三角形的四心定義：1、內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，即內(nèi)切圓的圓心。內(nèi)心是三角形角平分線交點(diǎn)的原理：經(jīng)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，這一點(diǎn)及圓心的連線平分兩條切線的夾角(原理：角平分線上點(diǎn)到角兩邊距離相等)。2、外心：是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，即外接圓的圓心。外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的外心。3、中心：三角形只有五種心重心、垂心、內(nèi)心、外心、旁心，當(dāng)且僅當(dāng)三角形是正三角形的時(shí)候，四心合一心，稱做正三角形的中心。4、重心：重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)。三角形的外心的性質(zhì)：1.三角形三條邊的垂直平分線的交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心;2三角形的外接圓有且只

2、有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合;3.銳角三角形的外心在三角形內(nèi);鈍角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心及斜邊的中點(diǎn)重合。在ABC中4.OA=OB=OC=R5.BOC=2BAC，AOB=2ACB，COA=2CBA6.SABC=abc/4R三角形的內(nèi)心的性質(zhì)：1.三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心2.三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r3.r=2S/(a+b+c)4.在RtABC中，C=90，r=(a+b-c)/2.5.BOC = 90 +A/2 BOA = 90 +C/2 AOC = 90 +B/

3、26.S=(a+b+c)r/2 (r是內(nèi)切圓半徑)三角形的垂心的性質(zhì):1.銳角三角形的垂心在三角形內(nèi);直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上;鈍角三角形的垂心在三角形外。2.三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心;或者說(shuō)，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心。例如在ABC中3. 垂心O關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在ABC的外接圓圓上。4.ABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個(gè))相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF5. H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一垂心組)。6.ABC，ABO，BCO，ACO的外接圓是等圓。7.在非直角三角形中，過(guò)O的直線交AB、AC所在

4、直線分別于P、Q，則 AB/AP?tanB+ AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍。9.設(shè)O，H分別為ABC的外心和垂心，則BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。10.銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓及外接圓半徑之和的2倍。11.銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心;銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短。12.西姆松(Simson)定理(西姆松線)：從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的重要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上13.設(shè)銳角ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，那么P是垂心的

5、充分必要條件是PB?PC?BC+PB?PA?AB+PA?PC?AC=AB?BC?CA。14.設(shè)H為非直角三角形的垂心，且D、E、F分別為H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分別為AEF，BDF，CDE的垂心，則DEFH1H2H3。15.三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行于原三角形外接圓在各頂點(diǎn)的切線。三角形的重心的性質(zhì):1.重心到頂點(diǎn)的距離及重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。2.重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。3.重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。4.在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空間直角坐標(biāo)系橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：(Z1+Z2+Z3)/35.重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)的連線的任意一條連線將三角形面積平分。6.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。三角形旁心的性質(zhì):1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三