差分方程實用教案

1、10.6.1 差分的概念(ginin)及性質(zhì)1.差分差分(ch fn)的定義的定義.,)1()()1()0(:).(111210 xxxxxxxyyyyyyyyyyyxfxfffxxfy 也也稱稱為為一一階階差差分分，記記為為的的差差分分，為為函函數(shù)數(shù)稱稱函函數(shù)數(shù)的的改改變變量量，將將之之簡簡記記為為，列列函函數(shù)數(shù)值值可可以以排排成成一一個個數(shù)數(shù)取取非非負負整整數(shù)數(shù)時時，當當設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)第1頁/共42頁第一頁，共43頁。xxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyxfy 12112122)()()()(,)(即即差差分分的的一一階階差差分分的的的的二二階階差差分分為為函函數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù).以上的

2、差分以上的差分高階差分：二階及二階高階差分：二階及二階)(),(3423xxxxyyyy 差分：差分：同樣可定義三階、四階同樣可定義三階、四階第2頁/共42頁第二頁，共43頁。解解，則則設(shè)設(shè)2xy 12)1()(222 xxxxyx 2)12(1)1(2)12()(222 xxxxyx022)(233 xyx第3頁/共42頁第三頁，共43頁。解解例例 2 2 求下列函數(shù)的差分求下列函數(shù)的差分 axyxyasin)2(;log) 1 ( );11(loglog)1(log)1(1xxxyyyaaaxxx .2sin)21(cos2sin)1(sin)2(axaaxxayx 第4頁/共42頁第四頁

3、，共43頁。解解!)!1(xx .!3的的一一階階差差分分，二二階階差差分分求求例例xy xxxyyy 1!xx !2xxyyxx 11 !xxxx !12xxx 第5頁/共42頁第五頁，共43頁。解解)1)(2()1()11()1()1()1()()( nxnxxxnxxxxxxynnx )2()1()1()1( nxxxnxx)1( nnx).(1),1()2)(1( 4)()0()(nxnxyxnxxxxxy即即，求，求設(shè)設(shè)例例 （公式(gngsh)）第6頁/共42頁第六頁，共43頁。)()()1(為常數(shù)為常數(shù)CyCCyxx xxxxzyzy )()2(2.差分差分(ch fn)的四則運

4、算法則的四則運算法則 xxxxxxxxxxyzzyyzzyzy 113 11114 xxxxxxxxxxxxxxzzzyyzzzzyyzzy可參照可參照(cnzho)導數(shù)的四則運算法則學習導數(shù)的四則運算法則學習第7頁/共42頁第七頁，共43頁。 xxxxxxzyzyzy 11xxxxxxxxzyzyzyzy 1111 xxxxxxzzyzyy 111xxxxzyyz1 證明(zhngmng)（3）第8頁/共42頁第八頁，共43頁。 xxxxxxzyzyzy 11xxxxxxxxzyzyzyzy 1111又證明(zhngmng)（3） xxxxxxzyyzzy 111xxxxyzzy1 第9頁/

5、共42頁第九頁，共43頁。分分析析(fnx).33xyxy，求，求設(shè)設(shè) 例例53xy 1233xxx xxxxxx )1(3)2)(1()1()( nnnxx借助公式和差分的運算法則可求第10頁/共42頁第十頁，共43頁。解解)(3xxyy )3()1()2()3(xxx 63)0()1()2(xxx 163)1()2( xx. 666)0()1( xx第11頁/共42頁第十一頁，共43頁。解解.22xxyey，求，求設(shè)設(shè) 例例6xxxyyy 1 xxee212 ;122 eex 122 eex xxyy 2 xee221 .1222 eex第12頁/共42頁第十二頁，共43頁。10.6.2

6、差分(ch fn)方程的基本概念1.差分差分(ch fn)方程與差分方程與差分(ch fn)方程的階方程的階.,2稱稱為為差差分分方方程程的的函函數(shù)數(shù)方方程程含含有有未未知知函函數(shù)數(shù)的的差差分分xxyy0),(2 xnxxxyyyyxF形式：形式：定義定義(dngy)第13頁/共42頁第十三頁，共43頁。定義定義(dngy)：.,1的的方方程程，稱稱為為差差分分方方程程個個以以上上時時期期的的符符號號含含有有未未知知函函數(shù)數(shù)兩兩個個或或兩兩 xxyy)1(0),(0),(11 nyyyxGyyyxFnxxxnxxx或或形式：形式：.稱稱為為差差分分方方程程的的階階大大值值與與最最小小值值的的差

7、差方方程程中中未未知知數(shù)數(shù)下下標標的的最最第14頁/共42頁第十四頁，共43頁。 注：由差分的定義及性質(zhì)可知(k zh)，差分方程的不同定義形式之間可以相互轉(zhuǎn)換。是三階差分方程；是三階差分方程；如如0234235 xxxyyy. 0133112 tttyyyxt，即即可可寫寫成成事事實實上上，作作變變量量代代換換程，程，但實際上是二階差分方但實際上是二階差分方，雖然含有三階差分，雖然含有三階差分，013 xxyy，因此它是二階差分方程因此它是二階差分方程由于該方程可以化為由于該方程可以化為0133123 xxxyyy第15頁/共42頁第十五頁，共43頁。例例 7 7 下列等式是差分方程的有下列

8、等式是差分方程的有( ).( ). 432.2.33.2 .21122 xxxxxxxxxxxxyyyDyyyyCayyBxyyA 解解.,是差分方程是差分方程由差分方程的定義有：由差分方程的定義有：DA.2)(.333)(33121121111差差分分方方程程恰恰好好等等于于右右端端，故故不不是是，的的左左端端而而，故故不不是是差差分分方方程程值值，僅僅含含一一個個時時期期的的函函數(shù)數(shù)則則等等式式實實為為，的的左左端端xxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyCyayyyyyyB 第16頁/共42頁第十六頁，共43頁。例例 8 8 確確定定下下列列方方程程的的階階 242123)2(2

9、3)1( xxxxxxyyyyyxy 解解，33)1( xx，6)4(2)2( xx是三階差分方程；是三階差分方程；)1(.)2(是六階差分方程是六階差分方程第17頁/共42頁第十七頁，共43頁。2.差分差分(ch fn)方程的解方程的解.)(該該差差分分方方程程的的解解邊邊恒恒等等，則則稱稱此此函函數(shù)數(shù)為為兩兩代代入入差差分分方方程程后后，方方程程如如果果函函數(shù)數(shù)xy 含有相互(xingh)(xingh)獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與差分方程的階數(shù)相同的差分方程的解. .差分方程差分方程(fngchng)(fngchng)的通解的通解第18頁/共42頁第十八頁，共43頁。為了反映某一事物在變化過程中

10、的客觀規(guī)律性，往往根據(jù)事物在初始時刻所處狀態(tài)，對差分方程所附加(fji)(fji)的條件. .通解中任意(rny)(rny)常數(shù)被初始條件確定后的解. .初始條件初始條件差分差分(ch fn)(ch fn)方程的特解方程的特解第19頁/共42頁第十九頁，共43頁。例例9)(),(),(,312111xfayyxfayyxfayyZUyxxxxxxxxx 解解分別是下列差分方程的分別是下列差分方程的是差分方程是差分方程求證求證xxxxZUyV .)()()(3211的解的解xfxfxfayyxx 第20頁/共42頁第二十頁，共43頁。證明證明(zhngmng)由題設(shè)知：由題設(shè)知：)()()(31

11、2111xfaZZxfaUUxfayyxxxxxx xxxxxxxxaZZaUUayyaVV 1111)()()(321xfxfxf .是是所所給給差差分分方方程程的的解解xV第21頁/共42頁第二十一頁，共43頁。10.6.3 線性差分(ch fn)方程解的結(jié)構(gòu)11110( )( )( )x nx nnxnxya x yax yax y n階齊次線性差分方程階齊次線性差分方程(fngchng)的標準形式的標準形式n階非齊次線性差分方程的標準階非齊次線性差分方程的標準(biozhn)形形式式 1111( )( )( )x nx nnxnxya x yax yax yfx 1 2 0 xf第22

12、頁/共42頁第二十二頁，共43頁。11110( )( )( )x nx nnxnxya x yax yax y 1.n階齊次線性差分階齊次線性差分(ch fn)方程解的結(jié)構(gòu)方程解的結(jié)構(gòu) 1NoImage定理定理 6 6 如果函數(shù)如果函數(shù))(1xy, ,)(2xy, ,)(xyk，是是方程方程(1)(1)的的 k k 個解個解, ,那末那末kkyCyCyCy 2211也也是是(1)(1)的解的解. .（kCCC， 21,是任意常數(shù)）是任意常數(shù)） 問題問題(wnt):(wnt):一一定定是是通通解解嗎嗎？kkyCyCyCy 2211，則，則若若nk 第23頁/共42頁第二十三頁，共43頁。注注：

13、設(shè)設(shè)nyyy,21為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)的的n個個函函數(shù)數(shù)如如果果存存在在n個個不不全全為為零零的的常常數(shù)數(shù)，使使得得當當x在在該該區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有恒恒等等式式成成立立 （ 是任意常數(shù)）是任意常數(shù)） 定理定理 7 7：如果：如果)(1xy, ,)()(2xyxyn， 是方程是方程(1)(1)的的 n n 個線性無關(guān)的特解個線性無關(guān)的特解, , 那么那么nnyCyCyCy 2211就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. . nCCC， 21,02211 nnykykyk那么稱這些函數(shù)在區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)；那么稱這些函數(shù)在區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)；否則否則(fuz)稱線性無關(guān)稱線性無關(guān). 第24頁/

14、共42頁第二十四頁，共43頁。例如例如(lr)xx22sin,cos1，xxxeee2, ，線性無關(guān)(wgun)線性相關(guān)時，時，當當),( x由此可見，要求出n階常系數(shù)齊次線性差分方程（1）的通解(tngji)，只需求出其n個線性無關(guān)的特解.第25頁/共42頁第二十五頁，共43頁。2.n階常系數(shù)階常系數(shù)(xsh)非齊次線性差分方程解非齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)定理定理 8 8 設(shè)設(shè)*xy是是n階常系數(shù)非齊次線性差分方程階常系數(shù)非齊次線性差分方程 的一個特解的一個特解, , xY是與是與(2)(2)對應(yīng)的齊次方程對應(yīng)的齊次方程(1)(1)的通的通解解, , 那么那么*xxxyYy 是是n階常

15、系數(shù)非齊次線性差分階常系數(shù)非齊次線性差分方程方程(2)(2)的通解的通解. . xfyayayayxnxnnxnx 1111 2由此可見，要求出n階常系數(shù)非齊次線性差分方程(fngchng)（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2）的一個特解即可.第26頁/共42頁第二十六頁，共43頁。第27頁/共42頁第二十七頁，共43頁。一階常系數(shù)齊次線性差分一階常系數(shù)齊次線性差分(ch fn)方程的一般方程的一般形式形式一階常系數(shù)非齊次線性差分一階常系數(shù)非齊次線性差分(ch fn)方程的一般方程的一般形式形式 1 2 .21次線性差分方程次線性差分方程所對應(yīng)的一階常系數(shù)齊所對應(yīng)的一階常系數(shù)齊為為注：注：

16、)0(01為常數(shù)為常數(shù) aayyxx)(1xfayyxx )00( xfa為常數(shù)，為常數(shù)， 10.6.4 10.6.4 一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)線性差分方程(fngchng)(fngchng)的解法的解法第28頁/共42頁第二十八頁，共43頁。一一 、一階常系數(shù)齊次線性差分方程、一階常系數(shù)齊次線性差分方程(fngchng)(fngchng)的求解的求解迭迭代代法法. 1)0(01為常數(shù)為常數(shù) aayyxx 1）依依次次可可得得，為為已已知知，由由方方程程（設(shè)設(shè)10y01ayy 0212yaayy 0323yaayy 第29頁/共42頁第二十九頁，共43頁。.100 xxxxCaYCyy

17、ay 通通解解為為）的的方方程程（為為任任意意常常數(shù)數(shù)，于于是是差差分分滿滿足足差差分分方方程程，令令容容易易驗驗證證，01yaayyxxx .0211的通解的通解求求例例 xxyy解解21 a.21xxCY 差分方程的通解為差分方程的通解為第30頁/共42頁第三十頁，共43頁。特特征征根根法法. 2)0(01為常數(shù)為常數(shù) aayyxx 1）變變形形為為方方程程（1 )0(01為常數(shù)為常數(shù) ayayxx .1函函數(shù)數(shù)的的形形式式一一定定為為某某一一指指數(shù)數(shù)可可以以看看出出，根根據(jù)據(jù)xxxy ）得）得，代入（，代入（設(shè)設(shè)1)0( xxy01 xxa 第31頁/共42頁第三十一頁，共43頁。0 a

18、 即即a 特征方程特征(tzhng)根）的一個解，）的一個解，是（是（于是于是1xxay .1）的通解）的通解是（是（從而從而xxCay .1的的通通解解用用特特征征根根法法求求例例解解012 特征方程特征方程.21xxCY 差分方程的通解為差分方程的通解為21 特征根特征根第32頁/共42頁第三十二頁，共43頁。.203201的特解的特解滿足滿足求求例例 yyyxx解解；差分方程的通解為差分方程的通解為xxCY 31031 xxyy原方程可改寫為原方程可改寫為013 特征方程為特征方程為31 特征根特征根220 Cy，得，得代入代入.312xxY 所求差分方程的特解為所求差分方程的特解為第3

19、3頁/共42頁第三十三頁，共43頁。二、 一階常系數(shù)非齊次線性差分方程(fngchng)的求解.xxYy分分方方程程的的通通解解另另一一項項是是對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次差差，解解一一項項是是該該方方程程的的一一個個特特的的和和組組成成：差差分分方方程程的的通通解解由由兩兩項項一一階階常常系系數(shù)數(shù)非非齊齊次次線線性性 .2 xxxyYy）的通解為）的通解為即差分方程（即差分方程（ 2)(1xfayyxx )00( xfa為常數(shù)，為常數(shù)，第34頁/共42頁第三十四頁，共43頁。即即可可求求出出特特解解求求出出待待定定系系數(shù)數(shù)程程然然后后將將它它們們代代入入差差分分方方相相同同的的形形式式與與假假定定待

20、待定定的的特特解解待待定定系系數(shù)數(shù)法法,.)(xfyx .較較為為方方便便解解采采用用待待定定系系數(shù)數(shù)法法求求其其特特時時，是是某某些些特特殊殊形形式式的的函函數(shù)數(shù)當當右右端端 xyxf:的的求求法法下下面面討討論論特特解解 xy第35頁/共42頁第三十五頁，共43頁。 型型xpxfn )( 為為方方程程 2 xpayynxx 1 xpyaynxx 1即即是它的解，代入上式得是它的解，代入上式得設(shè)設(shè) xy xpyaynxx 1 .1 次次多多項項式式是是次次多多項項式式，是是且且也也應(yīng)應(yīng)該該是是多多項項式式，是是多多項項式式，因因此此由由于于 nynyyxpxxxn1.第36頁/共42頁第三十

21、六頁，共43頁。(1)nnnnxbxbxbxQy 110)(令令011 a不不是是特特征征方方程程的的根根，即即(2) nnnnxbxbxbxxxQy 110)(令令011 a是是特特征征方方程程的的根根，即即綜上討論綜上討論(toln)，設(shè)設(shè))(xQxynkx 是特征方程的根是特征方程的根不是特征方程的根不是特征方程的根1110k第37頁/共42頁第三十七頁，共43頁。解解.32321的的通通解解求求差差分分方方程程例例xyyxx NoImage對應(yīng)(duyng)齊次方程通解特征方程，02 特征(tzhng)根，2 xxCY2 不不是是特特征征方方程程的的根根，1，設(shè)設(shè)CBxAxyx 2代入方程(fngchng), 得963 CBA，9632 xxyx于于是是原方程通解為. 96322 xxCyxx第38頁/共42頁第三十八頁，共43頁。例例 4 4 求差分方程求差分方程37, 3501 yyyxx的特解的特解 解解,543xxCy 方方程程的的通通解解為為12374337370 Cy代入