常微分方程解的結(jié)構(gòu)實(shí)用教案

1、121212( ),( )( , )( )( )( ),( )( ),( ).y xyxa bky xky xy xyxy xyx ：設(shè)為定義在內(nèi)的兩個函數(shù)，：設(shè)為定義在內(nèi)的兩個函數(shù)，如果存在非零常數(shù) ,使得,則稱如果存在非零常數(shù) ,使得,則稱線性相關(guān)，否稱線性相關(guān)，否稱定定則線性無關(guān)則線性無關(guān)義義12( )( )0,y xyqyyypx 設(shè)是方程的兩個設(shè)是方程的兩個線性無關(guān)線性無關(guān)定理9.1定理9.1的解，則的解，則1122( )( )( )y xC y xC yx12,.CC是方程的通解，其中為任意常數(shù)是方程的通解，其中為任意常數(shù)第1頁/共24頁第一頁，共25頁。二階常系數(shù)齊次線性方程(x

2、in xn fn chn)解法02 qprr特征方程,2422,1qppr 特征(tzhng)根0 qyypy第2頁/共24頁第二頁，共25頁。(1) 有兩個(lin )不相等的實(shí)根1r2r,11xrey ,22xrey 兩個(lin )線性無關(guān)的特解得齊次方程(fngchng)的通解為;2121xrxreCeCy 2(40)pq 特征根為第3頁/共24頁第三頁，共25頁。(2) 有兩個(lin )相等的實(shí)根2(40)pq 所以(suy)齊次方程的通解為;)(121xrexCCy ,11xrey ,221prr 一特解為特征根為另一特解;2xrxey 第4頁/共24頁第四頁，共25頁。(3)

3、有一對(y du)共軛復(fù)根,1 jr ,2 jr 2(40)pq ,cos1xeyx,sin2xeyx方程(fngchng)的通解為).sincos(21xCxCeyx 特征(tzhng)根為第5頁/共24頁第五頁，共25頁。02 qprr0 qyypy 特征根的情況特征根的情況 通解的表達(dá)式通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根21rr 實(shí)根實(shí)根21rr 復(fù)根復(fù)根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 第6頁/共24頁第六頁，共25頁。)(xfqyypy 二階常系數(shù)(xsh)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程, 0 qyypy通解(tngji)結(jié)構(gòu)*(

4、 )( )( ),y xY xyx 二階常系數(shù)(xsh)非齊次線性方程*( )( )( )yxypyqyf xY x如果是方程的一個特解，如果是方程的一個特解，是方程對應(yīng)的齊次方程的通解，則方程的通解是方程對應(yīng)的齊次方程的通解，則方程的通解為為第7頁/共24頁第七頁，共25頁。12( )( )y xyx定理定理如果與分別為方程如果與分別為方程12( ),( )ypyqyfxypyqyfx和和Y的特解，是方程的特解，是方程, 0 qyypy的通解，則的通解，則*12( )( )( )( )y xY xyxyx 12( )( ).ypyqyfxfx是方程的通解是方程的通解第8頁/共24頁第八頁，共

5、25頁。常見類型( ),nP x( ),xnP x e 12(cossin)xeAxAx 難點(diǎn)(ndin)：如何求特解？方法(fngf)：待定系數(shù)法.1.( )nypyqyP x設(shè)非齊方程特解為*( )yQ x為多項(xiàng)式，為多項(xiàng)式，代入方程( )( )( )( )nQxpQ xqQ xP x第9頁/共24頁第九頁，共25頁。1011( )0nnnnQ xa xa xaqxa 時時，( )( )( )( )nQxpQ xqQ xP x01,.naaa其中為待定系數(shù)其中為待定系數(shù)0 ,0qp時時， 可設(shè)， 可設(shè)12011( )nnnnQ xa xa xaxa x 0 ,0qp時時， 方程通解可由，

6、方程通解可由( )nyP x .直接積分得到直接積分得到第10頁/共24頁第十頁，共25頁。設(shè)非齊方程(fngchng)特解為*( )xyQ x e 代入原方程(fngchng)2( )(2)( )() ( )( )nQxp Q xpq Q xP x不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ( )( ),nQ xQx 可可設(shè)設(shè)是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ( )( ),nQ xxQx 可設(shè)可設(shè)*( );xnyQx e *( );xnyxQx e (2.)xnypyqyP x e 第11頁/共24頁第十一頁，共25頁。是特征方

7、程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p 2( )( ),nQ xx Qx 可可設(shè)設(shè)綜上討論(toln)*( ) ,kxnyx eQx 設(shè)設(shè) 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k*2( ).xnyx Qx e 第12頁/共24頁第十二頁，共25頁。特別(tbi)地xAeqyypy 2*2,22xxxAepqAyxepAx e 不是特征方程的根不是特征方程的根是特征方程的單根是特征方程的單根是特征方程的重根是特征方程的重根第13頁/共24頁第十三頁，共25頁。.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解對應(yīng)(duyng)齊次方程通解特征方程, 0232

8、rr特征(tzhng)根，2121 rr,221xxeCeCY 是單根，是單根，2 ,)(2xeBAxxy 設(shè)設(shè)代入方程(fngchng), 得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例1第14頁/共24頁第十四頁，共25頁。型型二、二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22ieePeePexixinxixilx xinlxinleiPPeiPP)()()22()22( ,)()()()(xixiexPexP ,)()(xiexPqyypy 設(shè)設(shè),)(1ximke

9、Qxy 利用(lyng)歐拉公式第15頁/共24頁第十五頁，共25頁。,)()(xiexPqyypy 設(shè)設(shè),)(2ximkeQxy ximximxkeQeQexy ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是單根是單根不是根不是根 iik第16頁/共24頁第十六頁，共25頁。.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解對應(yīng)(duyng)齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助(fzh)方程,4ixeyy ,是是單單根根i ,*ixAxey 故故代入上式, 42 Ai,2iA ,)

10、cos2(sin22*ixxxxixeyix 所求非齊方程(fngchng)特解為,cos2xxy 原方程通解為.cos2sincos21xxxCxCy （取虛部）例2第17頁/共24頁第十七頁，共25頁。.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解對應(yīng)(duyng)齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助(fzh)方程,2ixxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根i ,)(2*ixeBAxy 設(shè)設(shè)代入輔助(fzh)方程 13034ABAi,9431iBA ，,)9431(2*ixeixy 例3第18頁/共24頁第十八頁，共25頁。)2sin2)(cos9431(xixix 所

11、求非齊方程(fngchng)特解為,2sin942cos31xxxy 原方程(fngchng)通解為.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx （取實(shí)部）注意(zh y)xAexAexx sin,cos.)(的實(shí)部和虛部的實(shí)部和虛部分別是分別是xiAe 第19頁/共24頁第十九頁，共25頁。.tan的通解的通解求方程求方程xyy 解對應(yīng)(duyng)齊方通解,sincos21xCxCY 用常數(shù)變易法求非齊方程(fngchng)通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 設(shè)設(shè), 1)( xw,cos)(tan

12、seclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程(fngchng)通解為.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例4第20頁/共24頁第二十頁，共25頁。三、小結(jié)(xioji)可以是復(fù)數(shù)）可以是復(fù)數(shù)） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk (待定系數(shù)(xsh)法)只含上式一項(xiàng)解法：作輔助(fzh)方程,求特解, 取特解的實(shí)部或虛部, 得原非齊方程特解.第21頁/共24頁第二十一頁，共25頁。思考題寫出微分方程(wi fn fn chn)xexyyy228644 的待定特解的形式(xngsh). 第22頁/共24頁第二十二頁，共25頁。思考題解答(jid)設(shè) 的特解為2644xyyy *1yxeyyy2844 設(shè) 的特解為*2y*2y *1*yy 則所求特解為0442 rr特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）*2y