Ktoevj高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破難點(diǎn)18不等式的證明策略費(fèi)

1、生命是永恒不斷的創(chuàng)造，因?yàn)樵谒鼉?nèi)部蘊(yùn)含著過剩的精力，它不斷流溢，越出時(shí) 間和空間的界限，它不停地追求，以形形色色的h我表現(xiàn)的形式表現(xiàn)出來。泰戈?duì)栯y點(diǎn)18不等式的證明策略不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合.高考解答題中，常滲透不等式 證明的內(nèi)容，純不等式的證明，歷來是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式 的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.難點(diǎn)磁場(chǎng)()已知 d>0, b>0,且 a+b=.求證：(a+)(/?+ )$ .a b 4案例探究例1證明不等式1 +命題意圖：本題是一道考查數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明的綜合性題n,考查學(xué)生觀察能力、 構(gòu)造能

2、力以及邏輯分析能力，屬級(jí)題冃.知識(shí)依托：本題是一個(gè)與自然數(shù)h有關(guān)的命題,首先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法,另外還涉及 不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等.錯(cuò)解分析：此題易出現(xiàn)下列放縮錯(cuò)誤：石=y/ft v 2 折這樣只注重形式的統(tǒng)一，而忽略大小關(guān)系的錯(cuò)誤也是經(jīng)常發(fā)牛的.技巧與方法：本題證法一采用數(shù)學(xué)歸納法從到的過渡采用了放縮法；證法 二先放縮，后裂項(xiàng)，有的放矢，直達(dá)目標(biāo)；而證法三運(yùn)用函數(shù)思想，借助單調(diào)性，獨(dú)具匠心, 發(fā)人深省.證法一：(1)當(dāng)料等于1時(shí)，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立;(2)假設(shè)心鍬ml)時(shí),不等式成立,即1+-=<2y/k以 +1jk +12忙0 + 1+ (里+ 1=

3、2后jk + 1jk + 1:當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立.綜合、得：當(dāng)站時(shí),都有唏+護(hù)+ $<2屁另從k到奸1時(shí)的證明還有下列證法：*.* 2(k +1) -1 - 2k(k +1) k 2k(k +1) + 伙 +1) =(7t-vm)2 >0,2祕(mì)伙 + 1) +1 v 2伙 +1),* jr +1 > 0, 2.yfk 4/< 2jk + ljk + 又如:t 2 jk +1 2k = /f= > /=,q k + + yk jk +1 + jk +1+ 12y/k + / 1< 2jk + 1.vf+i證法二：對(duì)任意run：都冇：1 2 2 vrvt

4、+vr vr+vrn=2(vr_vrr),i<2 + 2(2 1) + 2(3 v) + h 2( v" - j 齊1) =證法三:設(shè)血)=2vn-(1煌+護(hù)+那么對(duì)任意kwn *都有:2伙 + 1)-2伙伙 + 1) -1 vm-r'伙 + 1) 2jk伙 + 1)+幻=廣 >()v + ivth朋+i)>/伙) 因此，對(duì)任意nwn“都有心)>知一1)>>/(1)=1>0,1 111 c廠. 1 f= h j=- h1 f= < 2v h.y/2 v3/n例2求使v7 + yy wq j兀+ y (x>0, y>0

5、)恒成立的a的最小值.命題意圖：本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)牛邏輯分析能力，屬于 級(jí)題冃.知識(shí)依托:該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求。的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式屮, 因此盂利用不等式的冇關(guān)性質(zhì)把a(bǔ)呈現(xiàn)出來，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思、想是解決題忖的突破口，然后再 利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值.錯(cuò)解分析：本題解法三利用三角換元后確定q的収值范圍，此時(shí)我們習(xí)慣是將x、y與 cos 0、sin 來對(duì)應(yīng)進(jìn)行換元，即令4x =cos “，-jy =sin (0< 0 < ),這樣也得a2sin20+cos0,但是這種換元是錯(cuò)誤的其原因是:(1)縮小了兀、y的范圍;(2)這樣換元相當(dāng)

6、于本 題又增加了 “心)=1”這樣一個(gè)條件，顯然這是不對(duì)的.技巧與方法：除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)a 滿足不等關(guān)系，a ,則qminhwmax；若。有(尤)，貝>j «nmx=)min»利用這一基本事實(shí)，町 以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題還冇三介換元法求最值用的恰當(dāng)好 處，可以把原問題轉(zhuǎn)化.解法一：由于d的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得：x+y+2-jxy w /（x+y）,即 2-jxy w （/ 1 ）（x+y）,.x, y>0, .x+y2yxy ,當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，中有等號(hào)成立.比較、得。的最小值滿足

7、/一1 = 1,./=2, a=jl （因«>0）, :.a的最小值是逅.解法二樣軒曲序vx>（）, y>0, .x+y2-yfxy （當(dāng) x=y 時(shí)"='成立），逅s逅的最大值是1. x + yx + y從而川知，“的最大值為jl + 1 = v2 ,又由已知，得:.a的最小值為血.解法三：>（）,原不等式可化為耳+lwa石二，設(shè) j=tan，0 e（0,彳）.tan + 1 wa jtan，0 + 1 ；即 tan + l wasco /.tzsin &+cos =a/2 sin（ +）,4又sin（ +蘭）的最大值為1（此時(shí)（）

8、亠.44由式可知a的最小值為v2 .錦囊妙計(jì)1. 不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基木的 方法.（1）比較法證不等式有作差（商）、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配 方，判斷過程必須詳細(xì)敘述；如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則 考慮用判別式法證.(2)綜合法是由因?qū)Ч?，而分析法是?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提， 充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴(kuò)視野.2. 不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式 法、數(shù)形結(jié)合法等.換元法主耍有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時(shí)，要

9、注意代換 的等價(jià)性.放縮性是不等式證明屮最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要 證的結(jié)論屮考查.有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法.凡是含有“至少” “惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各 利證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點(diǎn).殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、填空題!.( )已知兀、y是正變數(shù)，a、b是正常數(shù)，且+ =1, x+y的最小值為va>0,方>0, a+b=9 :.abs 不可能成立v =a+b2yab ,:abw ,從而得證.4證法二：(均值代換法)mx1;1

10、以 ci +/1, b=彳22 2 *.*a-b 1» a>0, b>0,口+石=0, ifjv , 1“1< 2 21 1 a2 +1+1 (a + -)(b + -) =x aba b1 9171o12(-+ /1)2+1 (+ e +1 (才+ 斤+“ + 0(- + r2 + r2 +1)x1 1aw1(1 (2 (")(2)2 1 2 2 2 1 22z 17 八 /5? x 77(： + /+ 1)(： +2 +5+1)(匚 + 2)一(2 44 414253 2425_ 162 2 亠16 _ 254顯然當(dāng)且僅當(dāng)=0,即出時(shí),籌號(hào)成立.證法三

11、：（比較法）ta+b=l, a>0, b>0, a+b2yab , aab：4z 1 zi 125/+1 b2 +1254«2/?2 4-337 + 8(1 -4)(8-ab)(a + -)(b + -)=a b 4.s + 丄) + ：)洱a b 4證法四：(綜合法)4cib4cib>0/a+b= 1,d>0,方>0, .a+blab , ab .4c 25 (l-)2 + l> 16丄24 ab:,-ah>一丄=-=>(1-)2 > =><4416(1)2+125tah2證法五：（三角代換法）t a>0, /

12、?>0, a+h= 1,故令 «=sin2 o , /?=cos2 <7,一)2(a + )(/? + ) = (sin2 a + -)(cos2 a +)a bsin*" acos a_ sin4 a + cos4 a - 2sin2 <7cos2 a + 2 _ (4-sin2(2)2 + 16 4sirr la4sirr 2a4-2sin226r + 16>25(4 sii?2q)24sin2 la25t sin2 la < 1,. 4 一 sin2 2a> 4-1 = 3.2sin2 2a 4ii25即得殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練、1.解析：令

13、 2 =cos2 6,xab4=sirf ，貝ijx=asec0, y=bcsc ，°x+y=asec +bcsc y =6z+/?+«tan2 0 +/?cor2 b na+b+2 yja tan2 0 -/?cot2 0 = a + h + 2yah .答案：a-b+l yab2. 解析：由 owlddl<lbcl o(ddf<(bc)2o(d+b)24adv(/?+c)24/?ct a+d=h+c, 4ad< 4bc,故 ad>bc.答案:ad>hc3. 解析：把、q看成變最，則m<p<n, m<q<n.答案：二、

14、4.(1)證法一:a2+b2+c2 = (3a2+3b2+3c2 1)3 3=3a2+3b2+3c2(tz+b+c)2 3= 3tz2+3/?2+3c2 a'b1c1lablac2bc 3=(a疔+少一c)'+(ca)? 20a2+b2+c23 3證法二：*.* (a+b+c)1=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2+b2+c2+a2-b2-a2-c2+b2+c23(a2+b2+c2') 2 (a+b+c)2= 1：a2+b2+c2 2 ，-p vi. i a? + b + c? i a + b + c . ?-)2、a+b + c證法二：j> j- .a

15、+b-+c 2 -tz2+/?2+c2 3證法四：設(shè) °=丄 +q, b=l + 0, c=-+ y.333*.* a+b+c= 1,° o + + / =0/. tz2+/?2+c2=(丄 + a )2+( - + 0尸+( -+ r)2333= -+ ( °+0+ /)+ ，3 3=丄+ u2+ 32+ r2-33.“+員+宀丄3證法-:t j3d + 2 = j(3a + 2) x 1 v "十j 十【ra yih rrz 3b + 3 rz 3c + 3 同理 + 2 <冷3c + 2 <2 2如 + 2 + j3b + 2 + j3

16、c + 2 < = +x' 2+y3 + " + °)+ ° = 62原不等式成立.證法一. 如 + 2+血 + 2+j3c + 2 < j(3a + 2) + (3b + 2) + (3c + » 1 ya *：3 v33(a +b + c) + 6 _ 羽3(1 + 2 +3b + 2 + j3c + 2 w 3y/3 < 6原不等式成立5.證法一:由x+y+z=l, /擰+孑二丄，得兀2+于+(兀刃2=丄，整理成關(guān)于y的一元二2 2次方程得:2/-2( 1 x)y+2x2-2x+ - =0, vyer,故 / $01 22

17、4(1x)24x2(2?2x+-)30,得 0wxw-, axe 0,-2 ''2 同理町得y, ze 0,- 證法二：設(shè)x=+xf ,尸丄+)j3 3于是£=(!+* f+d+b )'+(：+/)223331,2=+x +y弓/ '則* +/川“故“,證法三：設(shè)、372+zr 2+ x +yr +才)j2+疋 2$ 丄+卍 2+(£+) 3x w 丄，丄,3213 z 2=+ x23212 ?乙 0,同理 y,軒(),333x、y、z三數(shù)小若有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)x<0,則x2>0, =x2+y2+z2> 23（y + z）2（1

18、-兀）2?+ 22321、1 工圧+ x = x x h> ,2 2 2 2771三數(shù)中若有最人者人于蘭，不妨設(shè)x> -，則丄=< 論2三3322 (1-x)23 21=x + =x x+ 2 2 2 2 =x(x )+ > ；矛盾.23222故 x、y、瀉0,<“、t口口 b + c 9 c + a 2 a + b 9“、6(1)證明:tx" +y +匸 一 2(xy+ yz + ")2bc=(x2 + y2 _2xy) + (£y2 + -2y) + (z2 +£兀2 -2zx) a b b"=(+血b+c 7

19、 c+qa+b:.兀-+y +zabc(2)證明：所證不等式等介于t+()2 >0a -° 2 l + z z + x x + y、_x?廠 y 廠(+ )> 2(xy + yz + zxyx y z<=> xyz yz(y + z) + zx(z + x) + xy(x + y) > 2(xy + yz + zx)2<=> (x + v + z)(y2z + yz2 + z2x + zx2 +x2y + xy2) >2(x2y2 +y2z2 z2x2) + 4(x2yz + xy2z + xyz2) o y3z + yz3 +z3x

20、+ r3 + x3y + xy3 >2x2yz + 2xy2z + 2xyz2 o yz(y-z)2 +zx(z-x)2 +xy(x-y)2 +x2(y-z)2 + y2(z-x)2 + z2(x-y)2 >0 上式顯然成立，.原不等式得證.7證明：對(duì)于fl a； -m（7?： /+!）,a；” tn m -1 m in m竺土1,同理蝕mnl nn-i + n由于in<n,對(duì)于整數(shù)k=l, 2,，li,有 > n may af所以佟l玉，即加a：>/a；“ nl m(2)rti二項(xiàng)式定理有：(1 +m)"= 14-c；: m+c : m2+ +c ；

21、mn,(1 +n)m=+clm n+c ； /+c ；： n.a' a'由(1)知a；>ha；”),而 c；” 二亠,z!i!/. zn°c =n°c =1, mc -nc =m n r /h2c >n2c , ，於c：>w mm+lc+ >0,，?"c；：>0,1+cm+ci ,+(?； m > 1+c /?+(?：”/+c；n"，即(1+?)">( 1+m"成立.&證法一:因q>0, b>0, /+戾=2,所以(d+b) 一 2''=0&

22、#39;'+戻+3/?+3川,一8=3«2/?+3«/?26=3 ab(a+b)2 =3 ab(a+b)(a3+fe3) =3(a+b)(a即(a+/?)w2，又 o+b>0,所以 a+bw2,因?yàn)?2喬f wa+bw2,所以abwl.m = a + /?證法二設(shè)a、b為方程x2mx+n=0的兩根，貝i”，n = ab因?yàn)?d>(), b>(),所以 ?>(),>(),且 a=m24n)因?yàn)?2=a3+b3=(a+b)(a2ah+b2)=(a+b) (a+z?)?3ab =m(m23n)2 j所以2-3 3m2將代入得滬_4()$0,3

23、 3m3即一機(jī)+8三(),所以一加3+82(),即加w2,所以d+bw2,3/n由2為"得427, 乂 m24n,所以4事4幾,即 w1,所以abw 1.證法三：因«>(), /?>(), /+滬=2,所以2=ai+b3=(a+b)(az+b2ah) m (a+b)(2abcib)=ab(a+h) 于是有 623ab(a+b),從而 8>3ab(ab)+2=3a2b+3ab2+ay+b3= (a+b) 所以 a+bw2,(下略)、t、mi e *, a> + b' a + b 3證法四：因?yàn)?)2 2_(a + b)4a2 + 4/異 一 4ab - a2 - b2 一 2ab _ 3(a + b)(a - b)2 >8 8所以對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)a、b,有必尤3(凹尸2 233因?yàn)閐>o, b>0, /+滬=2,所以1=" +方2(匕與,2 2h2wi,即a+bw2,(以下略)2證法五：假