(word完整版)高中拋物線知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)與練習(xí)題及答案,推薦文檔

1、拋 物 線 y2 2px (P 0) y ( 2 2px p 0) x ( y 1 X. 0 2 2py p 0) 工 x l x2 (p y F 2py )0) - 1 定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線 1 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫 做拋物線的焦點(diǎn)，直線 1 叫做拋物線的準(zhǔn)線。 M |MF|=點(diǎn) M 到直線 1 的距離 范圍 x 0, y R x 0, y R x R, y 0 x R, y 0 對(duì)稱性 關(guān)于x軸對(duì)稱 關(guān)于y軸對(duì)稱 隹占 八、 、 八、 、 (少0) (l0) （。自 (0,自 焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上 頂點(diǎn) 0(0,0) 離心率 e=l 準(zhǔn)線 方程 x 2 x號(hào) y

2、號(hào) y 1 準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)且到頂點(diǎn)的距離相等。 頂點(diǎn)到準(zhǔn) 線的距離 衛(wèi) 2 焦點(diǎn)到準(zhǔn) 線的距離 P 焦半徑 A( xi, yi) AF x1 2 AF x1 衛(wèi) 2 AF y11 AF %子 焦點(diǎn)弦 長(zhǎng) |AB| (xi X2) p (Xi x2) p (yi y2)p (yi y2)p 焦點(diǎn)弦 |AB|的幾 條性質(zhì) A(Xi,yJ BXy) - o y dLx XX2，y2 以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線 1 相切 若AB的傾斜角為 ，則|AB 2p 2 sin 若AB的傾斜角為 ，貝AB 2p cos 2 P 2 x/2 yM p 4 1 1 AF BF AB 2 AF BF AF ?B

3、F AF ?BF p 切線 方程 yy P（X Xo） yy p（X Xo） XoX p（y y。） XoX p（y y。） 直線與拋物線的位置關(guān)系 拋物線(1) 當(dāng) k=0 時(shí)，直線 I 與拋物線的對(duì)稱軸平行，有一個(gè)交點(diǎn); (2) 當(dāng) kM 0 時(shí)， 0,直線 I 與拋物線相交，兩個(gè)不同交點(diǎn)；2 點(diǎn)差法: 設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 A(xi, yi)， B(x2,y2)， =0,直線 l 與拋物線相切，一個(gè)切點(diǎn)； v 0,直線 l 與拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)。 (3)若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與拋物線必相切嗎 (不一定) 關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題常用處理方法 直線 I : y kx b 拋物

4、線 聯(lián)立方程法： y kx b 2 2 2 2 k x 2(kb p)x b 0 y 2px ，(p 0) 設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 A(xi,yj, B(X2,y2)，則有 0,以及為 X2,XiX2 ，還可進(jìn)一步求出 y1 y2 k b kx2 b k(x1 x2) 2b 2 2 yiy2 (kxi b)(kx2 b) k X1X2 kb(xi X2) b 在涉及弦長(zhǎng)， 中點(diǎn)， 對(duì)稱， 面積等問(wèn)題時(shí)， 常用此法， 比如 相交弦 AB 的弦長(zhǎng) 1. b. AB i k2 Xf / i AB 屮討 或 yi 中點(diǎn) M (x, y), X0 i k (Xi X2)2 4xix2 i k2 X2 yi 廠，y

5、0 “2 處2 * a 代入拋物線方程，得 2 yi 2pxi 2 y2 2px2 將兩式相減，可得 （yi y2）（% y?） 2p（xi x?） yi y? 2p Xi X2 yi y? （注意能用這個(gè)公式的條件：i）直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn), 在，且不等于零） 拋物線練習(xí)及答案 i、已知點(diǎn) P 在拋物線 y2 = 4X上，那么點(diǎn) P 到點(diǎn) Q（2，- i）的距離與點(diǎn) P 到拋物線焦點(diǎn)距離之 和取得最小值時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 。 /1 ，-1) 4 2、已知點(diǎn) P 是拋物線y2 2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) P 到點(diǎn)（o，2）的距離與 P 到該拋物線準(zhǔn)線的 距離之和的最小值為 .i7 。 2

6、 2 3、 直線y X 3與拋物線y 4x交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)A,B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分 別為P,Q，則梯形APQB的面積為 _ 。 48 2 uur 4、 設(shè)0是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線y 2px（p 0）的焦點(diǎn)，A是拋物線上的一點(diǎn)， FA與x軸正 b.在 涉 及中點(diǎn) 軌跡 問(wèn) 題 時(shí)，設(shè)線段AB的 中 點(diǎn)為 M（xo，yo）， yi y2 2p 2p p Xi X2 yi y2 2 yo yo 即k AB E yo 同理，對(duì) 【寸拋物線X2 2py( p 0)， 若直線 I 與拋物線相父于 A、 B 兩點(diǎn)，點(diǎn) M (Xo, yo) kAB 2p yi y2 a.在涉及斜率問(wèn)題時(shí), 是

7、弦AB的中點(diǎn)，則有kAB Xi X2 2p 2xo 2p Xo p 2）直線的斜率存 uuu 向的夾角為60，則OA為 _ 。 5、 拋物線y2 4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為I，經(jīng)過(guò)F且斜率為-3的直線與拋物線在 x軸上方的部 分相交于點(diǎn)A , AK 丄 l，垂足為K ,則 AKF的面積是 _ 。 4、3 6、 已知拋物線C : y2 8x的焦點(diǎn)為F ,準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K ,點(diǎn)A在C上且AK J2|AF 則AFK的面積為 _ 。 8 x2 y2 7、 已知雙曲線 1，則以雙曲線中心為焦點(diǎn)，以雙曲線左焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線方程 4 5 為 _ 。 8、 在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，有一定點(diǎn) A(2,1)

8、,若線段0A的垂直平分線過(guò)拋物線 y2 2px(p 0)則該拋物線的方程是 _ 。 9、在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，已知拋物線關(guān)于 x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn) 0，且過(guò)點(diǎn) P(2，4)，則該拋 4 。 3 11、已知拋物線 y2=4x,過(guò)點(diǎn) P(4,0)的直線與拋物線相交于 A(X1,y1),B(X2,y2)兩點(diǎn)，貝U y12+y22的最小 值是 。32 12、若曲線y2 = |x|+ 1 與直線y = kx + b沒(méi)有公共點(diǎn)，則 k、b分別應(yīng)滿足的條件 (1)證明線段AB是圓C的直徑; 物線的方程是 。y2 8x 10、拋物線y x2上的點(diǎn)到直線4x 3y 8 0距離的最小值是 是 13、 已知拋

9、物線 _。k=0,-1 b1 y-x2+3 上存在關(guān)于直線 x+y=O 對(duì)稱的相異兩點(diǎn) A、B ,則 |AB| 等于( )C A.3 B.4 14、 已知拋物線 y2 2px(p 0)的焦點(diǎn)為 F，點(diǎn) P, yj, P2(x2，y2 ) ， P3(x3, y3 )在拋物線 上, 且 2x2 x( X3 , 則有( A. FR FP2 FR 15、 FP3 FP3 已知點(diǎn) A(x(,yi),B(X2,y2)(XiX2 向量 uuu 一 一 ,OB 滿足 OA OB E. D. FP1 FP2 0)是拋物線 FP2 FP3 FPr FP3 y2 2 px(p 0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn)， uu

10、u uuu uuu 0A uuu OB .設(shè)圓C的方程為x 2 y (為 X2)x (y1 y2)y 0。 的值。 uuuu uuu u uu 解： (1)證明 1： Q OA OB OA OB (OA uuu uuu uuu uuu uuu2 uuu uuu uuu2 OA 2OA OB OB OA 2OOB OB uuu 2 OB) uu (OA uuu 2 OB), uuu ,整理得：OA UULT OB 0 , X1 X2 y1 y2 0 , 的距離的最小值為 當(dāng)圓 C 的圓心到直線 x-2y=0 2 LUU LUIT 設(shè) M(x,y)是以線段 AB 為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則MA M

11、B 0 , 去分母得：(x Xi)(x X2) (y yi)(y y?) 0, 點(diǎn)(Xi, yi),(Xi, y2),( X2,yi)(X2, y?)滿足上方程，展開(kāi)并將(1)代入得: 2 2 X y (Xi X2)X (yi y2)y 0， 故線段AB是圓C的直徑。 以線段 AB 為直徑的圓的方程為 故線段AB是圓C的直徑 解法 i:設(shè)圓 C 的圓心為 C(x,y),則 x-i x2 X 2 yi y2 y V 2 2 Q yi 2pxi, y2 2px2(p 0), XiX2 2 2 yi y2 廠，又因Xi X2 yi 4p y2 0, Xi X2 0, yi y2 0, yi y2 4

12、p2, 即(x xi)(x X2) (y yi)(y y?) 0, LLL 111x1 證明 2： Q OA OB OA OB ,(OA LLL LLL 2 UUU2 OA 2OA OB OB OA 2OA OB Xi X2 yi y2 0 .(i) 2 2 整理得：X y (Xi X2)X (yi y2)y 0, OB) lUU (OA OB), UUU2 OB ，整理得 LLL :OA LILT OB 0, 1(x x1, x x2), UUL UUL 證明 3: Q OA OB LLL2 LLL LLL OA 2OA OB LILL 整理得：OA OB UUL OA 2 OB 10! O

13、B UUU2 X-I X2 inL 2 ILL ILL 2 (OA OB)2 (OA OB)2， 2OA OB UUU2 OB， yi y2 0(i) Xi Xn 2 (x (y yi y2 i 4(Xi 2 2 X2) (yi y2), 展開(kāi)并將(i)代入得：x2 y2 (Xi X2) (yi y2)y 0， 故線段AB是圓C的直徑。 設(shè)(x,y)是以線段 AB 為直徑的圓上則即 乞上 匕一 x x2 x x1 x-i x2 i 2 2 i 2 x 丁 4-p(yi y2) 4p(yi y22 2y2) 晉丄(y2 4p p 2p2)， 所以圓心的軌跡方程為 y2 px 2p2， 設(shè)圓心 C

14、 到直線 x-2y=0 的距離為 d,則 i 2 2 |-(y2 2p2) 2y| d |x 2y| p | d .5 2 2 y 2py 2p | 、5p |(y_P)2_ 、.5p p2| 當(dāng) y=p 時(shí),d 有最小值 p ,由題設(shè)得匕 45 45 2、5 _5- p 2. 解法 2:設(shè)圓 C 的圓心為 C(x,y),則 X-I x2 X 2 yi y2 2 2 Q yi 2 2pxi, y2 2px2(p 0)， X1X2 2 yi y2 4p2 ,又因Xi X2 yi y2 0，為 X2 yi 2 2 y2 等，QXi X2 0, yi y2 yi y2 4p2， X2 i 2 2 廠

15、 47(yi y) 4p(yi2 2 y2 2yiy2) 4p i 2 2 (y 2p)， p 所以圓心的軌跡方程為 y2 px 2p2， 2J5 設(shè)直線 x-2y+m=0 到直線 x-2y=0 的距離為 ,則m 5 2 2，因?yàn)?x-2y+2=0 與 y px 共點(diǎn), 所以當(dāng) x-2y-2=0 與y2 px 2p2僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)到直線 x-2y=0 的距離最小值為 yi y2， 2 2 p無(wú)公 2.5 5 x 2y 2 0L y2 px 2p2L 將代入得y2 2py 2p2 2p 0， 4p2 4(2 p2 2p) 0 2. 解法 3:設(shè)圓 C 的圓心為 C(x,y),則 x-i

16、x2 2 yi y2 2 -(yi y2)I _2 _ ：5 4、5p 點(diǎn)坐標(biāo)為（,0）,該焦點(diǎn)不在直線 AB 上. i6 （2）解法一 當(dāng) C2的焦點(diǎn)在 AB 時(shí)，由（I）知直線 AB 的斜率存在，設(shè)直線 AB 的方程為 y k（x i）. y k(x i) 由 x2 y2 消去 y 得(3 4k2)x2 8k2x 4k2 i2 0 4 3 設(shè) A、B 的坐標(biāo)分別為（Xi,yi） , （X2,y2）, 8k 2 則 Xi,X2是方程的兩根， Xi + X2= . 3 4k 因?yàn)?AB 既是過(guò) Ci的右焦點(diǎn)的弦，又是過(guò) C2的焦點(diǎn)的弦,(yi y2 2p)2 4p2 當(dāng)yi y2 2p時(shí),d有

17、最小值.；，由題設(shè)得-p_ 2,5 5 P 2. 2 x i6、已知橢圓 Ci：- 4 2 y_ 3 i,拋物線 C2： (y m)2 2px(p 0),且 Ci、 C2的公共弦 AB 過(guò)橢圓 Ci 的右焦點(diǎn). （1） 當(dāng) AB 丄x軸時(shí)，求m、 （2） 是否存在 m、p的值, 值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：（i）當(dāng) AB 丄 x軸時(shí), p的值，并判斷拋物線 使拋物線 C2的焦點(diǎn)恰在直線 AB 上？若存在, C2的焦點(diǎn)是否在直線 AB 上； 求出符合條件的 點(diǎn) A、B 關(guān)于 x軸對(duì)稱，所以 m= 0,直線 AB 的方程為 x=i，從而點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（i ,-）或（i,-）.因?yàn)辄c(diǎn) A 在拋物

18、線上，所以-2 p，即 p 2 .此時(shí) C2的焦 2 2 4 8 圓心 C 到直線 x-2y=0 的距離為 d,則 Qyi2 2pxi, x1x2 2 2 Vi y -，又因 Xi X2 yi y2 0, 4p X| x2 yi y2, yi 2 2 y2 帶,QXi X2 0, yi y2 2 0, yi y2 4p , i 2 2 I47(yi y2) (yi y2)| I yi2 2%y2 4p(yi y?) 8p2 | 1 1 所以 AB (2 X1) (2 X2) 4 2(X1 X2)，且 A (X, f) (X2 亍) X1 2 從而 X1 X2 p 4 如 X2). 所以 X1

19、4 X 2 6p ，即- 8k2 3 3 4k 解得 k2 6,即 k 向 X2 2 因?yàn)?C2的焦點(diǎn) 2 (,m)在直線 3 _6 3 . y k(x 1)上，所以 m 解法 、6 十 或 m 3 6時(shí)，直線 AB 的方程為y 3 時(shí)，直線 AB 的方程為y 、-6(x 1). 3 當(dāng) 為 、6(x 1)； C2的焦點(diǎn)在 AB 時(shí)，由(I)知直線 AB 的斜率存在，設(shè)直線 y k(x 1). 由(y m)2 k(x 8 3 x消去 y 得(kx k 1) m)2 AB 的方程 因?yàn)?C2的焦點(diǎn) F(|，m)在直線y k(x 1)上, 所以 m 即 k2x2 2 1 2k o k(- 1)，即

20、 m k .代入有(kx ) 3 3 3 4 2 4k2 (k 2)x 0. 3 9 設(shè) A、B 的坐標(biāo)分別為(X1,y1) , (X2,y2), 2 4(k 2) 2 . 3k2 則 X1,X2是方程的兩根，X1 + X2 = y k(x 1) 由 x2 y2 消去 y 得(3 4k2)x2 J 1 4 3 8k2x 4k2 12 由于 Xl,X2也是方程的兩根，所以 8k2 X1 + X2= - 2 . 3 4k 從而 2 4(k2 2) 3k2 因?yàn)?C2的焦點(diǎn) 喚解得k2 3 4k 2 F (一，m)在直線 y 3 -6 3 . k(x 1)上，所以 m - 6 卡 或 m 3 6時(shí)，

21、直線 AB 的方程為y i6(x 1)； 3 當(dāng) m 仝時(shí) ，直線 AB 的方程為y V-（x 1）. 3 解法三 設(shè) A、B 的坐標(biāo)分別為（X1,y1） 由 （I） 知 x1 x2，于是直線 AB 的斜率k y2 y1 m 0 3m , 2 1 3 X2 X1 且直線 AB 的方程是 y 3m(x 1), 所以y1 y2 3m(x1 X2 2)迥 3 又因?yàn)?3xj 3xf 2 4y12 12，所以 3(X1 4y； 12 X2)4( y1 y2) y2 X2 y1 0 X1 將、 ,(X2,y2) 因?yàn)?AB 既過(guò) Ci的右焦點(diǎn) F（1,0），又是過(guò) C2的焦點(diǎn) 2 ,m)， 所以|AB

22、(Xi (X2 夕） X1 X2 p (2 2Xi) 1 (2 X2). 2 即 x1 x2 |(4 p) 19 3 9 、代入得 m2 2，即 m 3 時(shí)，直線 AB 的方程為y 3 6 -時(shí)，直線 AB 的方程為y 3 -6(x i)； 1). 17、如圖，傾斜角為 a 的直線經(jīng)過(guò)拋物線 y2 8x的焦點(diǎn) F， 且與拋物線交于 A、B 兩點(diǎn)。 2 答（21）圖 （2）解法一：如圖（21）圖作 AC 丄 I, BD 丄 I，垂足為 C、D，則由拋物線的定義知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 記 A、B 的橫坐標(biāo)分別為 Xxxz, 則 |FA|= |AC| = xx p | FA |

23、cos a 夕|FA|cosa 4解得 4 |FA| E， 類似地有 | FB | 4 |FB|cosa , 解得| FB | 4一 1 cosa 記直線 m 與 AB 的交點(diǎn)為 |FE| |FA| |AE| |FA| E,則 |FA| |FB| 1(|FA| |FB|) 4 1 cosa 所以|FP| 匹1 。故 |FP| cosa sin a | FP|cos2a (1 sin a cos2a) 4 1 cosa 2 4 -2sin a 4 cos a .2， sin a 解法二：設(shè) A(XA，yA)，B(XBB)， 直線 AB 的斜率為 k 將此式代入 y2 8x,得 k2x2 4(k2

24、 2)x 4k2 0，故 XA 記直線 m 與 AB 的交點(diǎn)為 E(xE,yE)，則 sin2 a tana，則直線方程為 XB 2 k(k2 2) k(x 2)。 XE雪B斗 2 k2 yE k(XE 2) 4 匚，故直線m的方程為 2k2 4 令 y=o,得 P 的橫坐標(biāo) xP 從而 |FP| | FP |cos2a 2k2 4 4(k2 1) 2 4 故|FP | XP 2 2 2 。 k k sin a 4 (1 cos 2a) sin a 2 4 -2sin a 2 8 為定值。 sin a 18、已知正三角形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線 內(nèi)接圓（點(diǎn)C為圓心） （1）求圓C的方程； (

25、2)設(shè)圓M的方程為(x 4 7cos )2 (y 2 y 2x上，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓 C是OAB的 7cos ）2 1，過(guò)圓M上任意一點(diǎn)P分別作圓C的 uuu uuu 兩條切線PE, PF，切點(diǎn)為E, F，求CE,CF的最大值和最小值. （1）解法一：設(shè) A B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為 2 專,y2 ，由題設(shè)知 2 2 y1 2 2 72 2 2 y1 y2 2 2 2 y1 y2 2 2 (y1 y2)2 . 解得 y； y； 12，所以 A(6,2、3) B(6, 2巧)或 A(6, 243 , B(6,23). 2 設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(r,0)，則r - 3 所以圓C的方程為(x 4)2 y2

26、16 . 解法二：設(shè) A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(治, yi)， (x2, y2)，由題設(shè)知 2 2 2 2 2 X1 y1 X2 y2 又因?yàn)?y1 2為, 2 y2 2 2 2x2，可得 x1 2x1 x2 2x2 .即 (x1 x2)(x-i x2 2) 0 .由 X| X2 0 ,可知x1 X2，故A, B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱, 所以 圓心C在x軸上.設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為 (r ,0),則A點(diǎn)坐標(biāo)為 |r,亍，于是有 .3 r 2 解得r 4，所以圓C的方程為(x 4)2 y2 16. uuu uuu (2)解：設(shè) ECF 2a，貝y CEgCF mu umr |CE |gCF |gcos2 16c

27、os 2 2 32cos 16. 在 RtA PCE 中, cos x 4 HPCI 兩，由圓的幾何性質(zhì)得 |PC | |MC | 1 7 1 6 , uuu UULT 16 uuu uuu 由此可得 8 CEgCF 貝y CEgDF 9 1 所以一2. (1) 證明：點(diǎn) P (X0,0)的所有 相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同； (2) 試問(wèn)：點(diǎn) P (X0,0)的相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中是否存在最大值？若存在, 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：(1)設(shè) AB 為點(diǎn) P (X0,0)的任意一條 (X1 X2)，則 y21=4x1, y22=4x2,兩式相減得( 的最大值為 9 ，最小值為 y2=4x 上的不同

28、兩點(diǎn)，弦 AB (不平行于 y 軸) P 的一條 相關(guān)弦”已知當(dāng) x2 時(shí)，點(diǎn) P (x,0) X 軸相交于 存在無(wú)窮多條 相關(guān)弦”給定 的垂直平分線與 求其最大值(用 X0表示)： 相關(guān)弦”且點(diǎn) A、B 的坐標(biāo)分別是 .因?yàn)?X1 y1+y 2) ( y1-y2)=4 (X1_X2) (x1,y1) (X2,y2) X2,所以 y1+y2 0. 設(shè)直線 AB 的斜率是 k，弦 AB 的中點(diǎn)是 M (Xm, ym),貝卩 k= y1 y X1 x2 從而 AB 的垂直平分線 l 的方程為 y ym y1 y2 ym 又點(diǎn) P (X0,0)在直線|上，所以 ym 號(hào)(X Xm). 2 ym (

29、、 m(X0 Xm). 2 而ym 0,于 是xm X0 2.故點(diǎn) P (X0,0)的所有 相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是 X0-2. 由(1)知，弦 AB 所在直線的方程是 y ym k(x Xm)，代入y2 4x 中, 整理得 k2-2 2k(ym k-m) 2X (ym kXm)2 0. 則為、x2是方程()的兩個(gè)實(shí)根，且 x1 (ym kXm)2 k1 設(shè)點(diǎn) P 的 相關(guān)弦” AB 的弦長(zhǎng)為 I，則 l2 2 (X1 X2) (yi 2 2 y2) (1 k )(X1 X2)2 (i k2)(X X2)2 4(1 (ym 2 ym)(4Xm 2 2 4(Xm 1) ym 2(Xm 1) (

30、4 y：) 2 - 4X2 4(1 k2)(Xm2 2 2 -m) ym 4 2 ym ym 4ym(m 2 4(-0 XM) I I 2 因?yàn)?0 ym 3,則 2(xo-3) (0, 4X0-8),所以當(dāng) t=2(xo-3),即 ym=2(x0-3)時(shí),i 有最大值 2(X0-1).若 2X03 時(shí)，點(diǎn) P 2 X0 3 時(shí)，點(diǎn) P ( X0,0)的 (0，4 X0-8)上是減函數(shù)，所以 2 Ol20)的焦點(diǎn)為 F,準(zhǔn)線為 I，經(jīng)過(guò) F 的直線與拋物線交于 A B 兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于 C 點(diǎn)，點(diǎn) A 在 x 軸上方，AKll，垂足為 K,若|Bq 二 2|BF，且| A” =4,則AAKF 的

31、面積是 ( ) A. 4 B . 3 3 C . 4 3 D . 8 例 4、過(guò)拋物線 y2 = 2px( p0)的焦點(diǎn) F 的直線交拋物線于點(diǎn) 若|Bq 二 2|BF，且|AF 二 3 則此拋物線的方程為 ( ) 聯(lián)立方程組 4x, my 1, 消去x得: 2 (4m) 12 0,故 * y2 4m, y2 4. uur UH ujir uuj 由MA 1AF , MB 2BF 得: 2 2 y1 1Y1 y2 2Y2， 整理得 m m 2 2 1 1 2 1 my1 my2 2 1 1 m y1 y2 2 4m A B,交其準(zhǔn)線 I 于點(diǎn) C, A. y2 二 |x B. y2= 9x C

32、 . y2=|x D y2 4my 4 0, 1 2 m y2 2 三、拋物線的綜合問(wèn)題 例 5、(2011 江西高考)已知過(guò)拋物線2px(p0)的焦點(diǎn)，斜率為 2 2 的直線交拋 物線于 A(xi，yi)，B(x2，y2)( X1VX2)兩點(diǎn)，且 | AB = 9. (1) 求該拋物線的方程； uuu uuu uuu (2) 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，c 為拋物線上一點(diǎn)，右 OC = OA +入OB，求入的值. 例 6 (2011 湖南高考)(13 分)已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn) P 到點(diǎn) F(1,0)的距離與點(diǎn) P 到 y 軸 的距離的差等于 1. (1) 求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程； (2) 過(guò)點(diǎn) F

33、作兩條斜率存在且互相垂直的直線 丨1，12,設(shè)丨1與軌跡 C 相交于點(diǎn) A，B， uuu uuu 12與軌跡 C 相交于點(diǎn) D, E,求 AD EB 的最小值 例 7、已知點(diǎn) M1，y)在拋物線 C： y2 = 2px(p0)上, M 點(diǎn)到拋物線 C 的焦點(diǎn) F 的距離 1 為 2，直線 I : y = x + b 與拋物線 C 父于 A, B 兩點(diǎn). (1)求拋物線 C 的方程； 若以 AB 為直徑的圓與 x 軸相切，求該圓的方程. 例題答案解析 一、拋物線的定義及其應(yīng)用 例 1、(1)如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為 F(1,0)，準(zhǔn)線是 x= 1. 由拋物線的定義知：點(diǎn) P 到直線 x 二一 1

34、 的距離等于點(diǎn) P 到焦點(diǎn) F 的距離. 于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn) P,使點(diǎn) P 到點(diǎn) A 1,1)的距離與點(diǎn) P 到 F(1,0) 的距離之和最小.顯然，連結(jié) AF 交曲線于 P 點(diǎn)，則所求的最小值為| AF，即為寸 5. 如圖，自點(diǎn)B 作 BQ 垂直準(zhǔn)線于 Q,交拋物線于點(diǎn) P1,則|P1Q 二| P1F|.則有|PB| + |PF | P1B| + |P1Q = |BQ = 4.即 |PB + |PF| 的最小值為 4. 例 2、解析：圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為 p,即 p= 4,根據(jù)已 知只要|FM|4 即可.根 據(jù)拋物線定| FM = y0+ 2 由 y0 + 24,解得 y0

35、2,故 y0 的取值范圍是(2 , ). 二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 例 3、設(shè)點(diǎn) A(X1,1)，其中 y10.由點(diǎn) B 作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為 B1.則有| B” | BB| 1 n =| BB| ；又 | CB = 2| FB，因此有 | CB = 2| BB| , cos/ CBB =帀不=2，CBB= n p n f 即直線 AB 與 x 軸的夾角為亍又|AF = |AK| = X1 + 2= 4,因此 y 4s in3 = 2p3,因 1 1 此AAKF 的面積等于 2|AK y1 = 2X 4X 2 曲=4 百. 例 4 .分別過(guò)點(diǎn) A、B 作 AA、BB 垂直于 I，

36、且垂足分別為 A1、B1,由已知條件| Bq = 2|BF 得| Bq = 2|BB| ,/ BCB= 30，又 | AA| = | AF| = 3, 二 | Aq = 2| AA| = 6,二 | CF| = | Aq | AF| = 6 3= 3,二 F 為線段 AC 的中點(diǎn).故點(diǎn) F 1 3 到準(zhǔn)線的距離為 p = q|AA|= 2,故拋物線的方程為 y2= 3x. 三、拋物線的綜合問(wèn)題 例 5、(1)直線 AB 的方程是 y = 2 2(x |)，與 y2= 2px 聯(lián)立，從而有 4x2 5px+ p2 = 0, 5p 所以：X1 + X2= 4，由拋物線定義得：| AB = X1 +

37、 X2+ p= 9, 所以 p= 4,從而拋物線方程是 y2= 8x. 由 p = 4,4X 5px+ p2 = 0 可簡(jiǎn)化為 X 5x+ 4= 0,從而 Xi= 1, X2= 4, yi= 2 : 2, y2 = 4 :2,從而 A(1 , 2 ,B(4,4 ：2); uuu 設(shè) OC =(X3, y3)= (1 , 2 羽)+ 入(4,4 x/2) = (4 入 + 1,4 眉入-2/2). 又 y3= 8X3,即2 ：2(2 入1) 2= 8(4 入 + 1). 即(2 入1)2 = 4 入+ 1.解得X = 0,或入=2. 例 6 (1)設(shè)動(dòng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(x, y)，由題意有、；x

38、 1 2+ y2 | x| = 1.化簡(jiǎn)得 y2= 2x + 2|x|. 當(dāng) x0 時(shí)，y2 = 4x；當(dāng) x0)和 y= 0(x8 + 4X2 k2 2= 16. uuu uuu 當(dāng)且僅當(dāng) k2= 1，即 k = 1 時(shí)， AD - EB 取最小值 16. 2 p 例 7、(1)拋物線 y = 2px( p0)的準(zhǔn)線為 x = 2，由拋物線定義和已知條件可知 p p o I MF = 1 ( 2)= 1 + 2= 2,解得 p= 2,故所求拋物線 C 的方程為 y= 4x. 1 u y = x+ b, 2 聯(lián)立 2 消去 x 并化簡(jiǎn)整理得 y2 + 8y 8b = 0. y2= 4x 依題意

39、應(yīng)有= 64 + 32b0,解得 b 2.設(shè) A(x1, yj , B(x2, y?),則 y1 + y2= 8,4 4 . 一 、 Xi+ X2 yi + y yiy2= 8b,設(shè)圓心 C(Xo, yo)，則應(yīng)用 Xo= 2 , y0= 2 =一 4. 因?yàn)橐?AB 為直徑的圓與 x 軸相切，所以圓的半徑為 r = | y| = 4. 又| AB = ： Xi X22 + yi y22 = ； 1 + 4 屮一y 2= ；5_ yi+y 24yy=75 64+ 32b _ 8 所以| AE| = 2r = ；5 64+ 32b = 8,解得 b= 5. 48 所以 Xi + X2 = 2b

40、2yi+ 2b 2y2 = 4b + 16=5- 一 24 24 2 2 則圓心 Q 的坐標(biāo)為(5, 4).故所求圓的方程為(X -5) + (y+ 4) = 16. 練習(xí)題 1.已知拋物線 x2= ay 的焦點(diǎn)恰好為雙曲線 y2 x2=2 的上焦點(diǎn)，則 a 等于 ( A. 1 B. 4 D. 16 2.拋物線 y = 4X2上的一點(diǎn) M 到焦點(diǎn)的距離為 1，則點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)是 ( 17 A一亦 15 B一亦 C. 7_ 16 15 D.亦 3. (2011 遼寧高考)已知 F 是拋物線 y2= x 的焦點(diǎn), + | BF = 3,則線段 AB 的中點(diǎn)到 y 軸的距離為 ( A, B 是該拋

41、物線上的兩點(diǎn), |AF| A. B. 1 C. 7 4.已知拋物線卄2px,以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是 （ ） A.相離 B.相交 C .相切 D 不確定 5. （2012 宜賓檢測(cè)）已知 F 為拋物線 y 2 = 8x 的焦點(diǎn)，過(guò) F 且斜率為 1 的直線交拋物 線 于 A 、 兩點(diǎn) ， 則 | FA |FB | 的值等于 ( )A . 4 2 B. 8C. 8 2 D. 16 6. 在 y = 2x2上有一點(diǎn) P,它到 A（1,3）的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn) P的 坐標(biāo)是 ( ) A. ( 2,1) B. (1,2) C .(2,1) D.( 1,2) 7.

42、設(shè)拋物線 y2= 8x 的焦點(diǎn)為 F,準(zhǔn)線為 l , P 為拋物線上- 一占 八、PAL l , A 為垂足.如 果直線 AF 的斜率為Q3,那么| PF| = ( ) A. 4 3 B .8 C .8 3 D .16 8. （2011 陜西咼考）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為 x= 2，則拋物線的方程 是 ( ) A. y2= 8x B . y2 = 8x C . y2= 4x D . y2 = 4x 9. （2012 永州模擬）以拋物線 x2= 16y 的焦點(diǎn)為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的 方程為 _ . 10. 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為 y 軸，拋物線上一點(diǎn) Q 3, m）

43、到焦點(diǎn)的距 離是 5,則拋物線的方程為 _. 11. 已知拋物線 y2= 4x 與直線 2x + y 4= 0 相交于 A、B 兩點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為 F,那 uuu uuu 么 I FA | + | FB | = _ . 12. 過(guò)拋物線 y2= 4x 的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 A（x1，y1），B（x2， y 2）兩點(diǎn)，若 x1 + x2= 6,那么| AB 等于 _ 13. 根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： （1） 拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線 16 x2 9y2= 144 的左頂點(diǎn)； （2） 過(guò)點(diǎn) P（2 , 4）. 14已知點(diǎn) A 1,0)，B(1， 1)，拋物線 C： y1 2 = 4x，O

44、為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A 的動(dòng)直 uuur uuu 線 I 交拋物線 C 于 M P 兩點(diǎn)，直線 MB 交拋物線 C 于另一點(diǎn) Q 若向量 OM 與 OP 的夾 n 角為玄，求 POM勺面積. 練習(xí)題： 1 解析：根據(jù)拋物線方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，a)，雙曲線的上焦點(diǎn)為(0,2)，依題 a 意則有=2 解得 a = 8. 4 2 y 1 2解析：拋物線方程可化為 x = 4,其準(zhǔn)線方程為 y=屁.設(shè) M：x。，y。)，則由拋物線 1 15 的定義，可知 花y0= 1?y= 花. 1 3.解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段 AB 中點(diǎn)到 y 軸的距離為：2(1 AF| 1 +1 BF|)

45、= 2i AB =半徑，故相切. 1 + |BF） - 2= 3_ 23_ 2 4解析：設(shè)拋物線焦點(diǎn)弦為 AB,中點(diǎn)為 M 準(zhǔn)線 I , A、Bi分別為 A B 在直線丨上的 1 1 射影，則 | AA| = | AF| , | BB| = | BF|，于是 M 到 I 的距離 d=-(| AA| + | BB|) = ?(l AF| 12x + 4 = 0.設(shè)心，y”，盼,y?），則 | FA| | FB| =1（X1 + 2） （X2+ 2）| = “一 X2I = ,（X1+ X2）2 4X1X2= . 144 16= 8 , 2. 6. 解析：如圖所示，直線 I 為拋物線 y = 2x2的準(zhǔn)線，F(xiàn) 為其焦 點(diǎn)，PN 丄 I , AN 丄 I，由拋物