(完整)高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)(完整版),推薦文檔

1、高一數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié) 必修一 一、集合 一、 集合有關(guān)概念 1. 集合的含義 2. 集合的中元素的三個(gè)特性： (1) 元素的確定性如：世界上最高的山 元素的互異性如：由HAPPY勺字母組成的集合H,A,P,Y (3) 元素的無序性：女口： a,b,c和a,c,b是表示同一個(gè)集合 3. 集合的表示：女口： 我校的籃球隊(duì)員 , 太平洋,大西洋,印 度洋,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊(duì)員,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。 注意：常用數(shù)集及其記法： 非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集) 記作：N 正整數(shù)集N*或N+ 整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R 1) 列舉法：a,b

2、,c . 2) 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示 集合的方法。x R| x-32 ,x| x-32 3) 語言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4) Venn 圖： 4、集合的分類： (1) 有限集 含有有限個(gè)元素的集合 (2) 無限集 含有無限個(gè)元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例：x|x 2= 5 二、 集合間的基本關(guān)系 1. “包含”關(guān)系一子集 注意：A B有兩種可能(1) A是B的一部分，；(2) A與B是同一集合。 反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A 2“相等”關(guān)系：A=B (5 5,且 50,a、b 屬于 Q

3、) (aAa)Ab=aAab(a0,a、b 屬于 Q) (abFa=aAa*bAa(aO,a、b 屬于 Q) 指數(shù)函數(shù)對(duì)稱規(guī)律： 1 函數(shù)y=aAx與y=aA-x關(guān)于y軸對(duì)稱 2、 函數(shù)y=aAx與y=-aAx關(guān)于x軸對(duì)稱 3、 函數(shù)y=aAx與y=-aA-x關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 幕函數(shù)y=xAa(a屬于R) 1幕函數(shù)定義：一般地，形如y x (a R)的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中 為常數(shù). 2、幕函數(shù)性質(zhì)歸納. (1) 所有的幕函數(shù)在(0, +x)都有定義并且圖象都過點(diǎn)(1, 1)； (2) 0時(shí)，幕函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間 0,)上是增函 數(shù).特別地，當(dāng) 1時(shí)，幕函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0 1時(shí)，幕

4、函數(shù)的 圖象上凸； (3) 0時(shí)，幕函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)， 當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨 于 時(shí)，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸. 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 1、 函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y f(x)(x D)，把使f(x) 0成立的實(shí) 數(shù)x叫做函數(shù)y f (x)(x D)的零點(diǎn)。 2、 函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x) 0實(shí)數(shù)根，亦 即函數(shù)y f (x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 即：方程f (x) 0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)y f (x)的圖象與x軸有交點(diǎn) 函數(shù) y f (x)有零點(diǎn). 3、 函數(shù)零點(diǎn)的求法： (代

5、數(shù)法)求方程f(x) 0的實(shí)數(shù)根； (幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y f (x)的 圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn). 4、 二次函數(shù)的零點(diǎn)： 二次函數(shù) y ax2 bx c(a 0). () 0,方程ax2 bx c 0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). (2) =0,方程ax2 bx c 0有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn). (3) 0時(shí)，入a的方向和a的方向相同，當(dāng)入 0時(shí)，入a的方向和a的方向相反，當(dāng)入=0 時(shí)，入a = 0。 設(shè)入、 卩是實(shí)數(shù)， 那么： (1)(入卩)a =

6、 X (卩a) (2)(入 卩)a = X a卩a (3)入(a b) 二入 a X b (4) ( X )a = ( X a) = X ( a)。 向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。 向量的數(shù)量積 已知兩個(gè)非零向量a、b，那么|a|b|cos B叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積， 記作a?b，0是a 與b的夾角，|a|cos 0( |b|cos B)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零 向量與任意向量的數(shù)量積為 0。 a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 0的乘積。 兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。 四、 三角函數(shù) 1

7、、 善于用“ 1 “巧解題 2、 三角問題的非三角化解題策略 3、 三角函數(shù)有界性求最值解題方法 4、 三角函數(shù)向量綜合題例析 5、 三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法 15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì): 函數(shù) y sin x y cosx y tanx R x x k , k 2 1,1 R 2k k 時(shí)， 1；當(dāng) x 2k 既無最大值也無最小值 時(shí)，min 1 必修四 在2k ,2k 2 2 在2k ,2 k k 上是 單調(diào)性 k 上是增函數(shù)；在 增函數(shù)；在2k ,2 k 在 k , k 2 2 2k -,2k 2 2 k 上是減函數(shù). k 上是增函數(shù). k 上是減函數(shù). 對(duì)稱性 對(duì)稱

8、中心k ,0 k 對(duì)稱軸x k k 對(duì)稱中心k 一,0 k 2 k 對(duì)稱中心,0 k 2 2 對(duì)稱軸x k k 無對(duì)稱軸 2 偶函數(shù) 奇函數(shù) 圖象 定義域 R 值域 1,1 當(dāng) x 2k k 當(dāng)x 2 時(shí) ， ymax 1 ； 當(dāng) 1 ymax 最值 x 2k k 2 k 時(shí)，min 1 周期性 2 奇偶性 奇函數(shù) 角 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與 x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱 幾象限角. k 360 k 360 90, k k 360 90 k 360 180,k k 360 180 k 360 270, k k 360 270 k 360 360,k為第 第一象限角的集合為

9、第二象限角的集合為 第三象限角的集合為 第四象限角的集合為 終邊在x軸上的角的集合為 k 180o,k 終邊在y軸上的角的集合為 k 180o 90o,k 終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為 k 90o,k 3、 與角 終邊相同的角的集合為 k 360 ,k 4、 已知 是第幾象限角，確定一n *所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再從x軸 n 的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則 原來是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即 為一終邊所落在的區(qū)域. n 5、長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做 1弧度. 口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限. (以上k Z)其他三角函數(shù)知識(shí)： 兩角和公式 2ta nA tan

10、 2A = 2 Sin 2A=2Si nA?CosA 1 tan A Cos2A = Cos2A-Si n2A=2Cos2A-仁 1-2si n2A 三倍角公式 3 3 sin3A = 3sinA-4(sinA) cos3A = 4(cosA) -3cosA tan3a = tana tan( +a) tan( -a) 3 3 半角公式 sinj)= 1 cosA 2 sin( A+B) = sin AcosB+cosAs inB cos(A+B) = cosAcosB-si nAs inB r、 tanA tanB sin( A-B) = sin AcosB-cosAs cos(A-B) =

11、 cosAcosB+s inAsinB ta n( A-B)= tanA tanB 1 tanAta nB cot(A+B)= 倍角公式 cotAcotB -1 cotB cotA cot(A-B)= cotAcotB 1 cotB cotA 終邊在x軸上的角的集合為 k 180o,k A、 ,1 cosA cos(2)=.2 噸)=OA cot(A)= 1 cosA 2) 1 cosA 丄 A、 1 cosA sin A tan()= = 2 si nA 1 cosA 和差化積 cosa+cosb = 2cosa b cos b 2 2 sin(a b) tan a+ta nb= cosac

12、osb 積化和差sina+sinb=2sin cos 2 2 sin a-s in bsina cosa-cosb = -2sinr 1 1 sinasinb = - cos(a+b)-cos(a-b) cosacosb = 一 cos(a+b)+cos(a-b) 2 2 1 1 sinacosb = - sin(a+b)+sin(a-b) cosasinb = - sin(a+b)-sin(a-b) 2 2 誘導(dǎo)公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( -a) = cosa 2 sin( +a) = cosa 2 cos( +a) = -sina cos(

13、 -a) = sina 2 2 cos( n) = -cosa sin( -a) = sina sin(n +a) =sina cos( n +a)-cosa tgA=ta nA = cosa 萬能公式 a 2ta n 2 sina= a 2 1 (ta n)2 2 其它公式 a?sina+b?cosa= (a2 b2) x sin(a+c)其中 tanc=b a 2 1 (ta nj2 cosa= - 2 1 (ta n2 a 2ta n 2 tana= a 2 1 (ta n )2 2 a 2 2 a a?sin(a)b?cos(a) = . (a b ) x cos(a-c)其中 tan

14、(c)= b a a 2 1-sin(a) = (sin -cos ) 2 2 a a 2 1+sin(a) =(sin +cos ) 2 2 公式一： 設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin (2k nr o) = sin a cos (2k n- a) = cos a tan (2k a) = tan a cot (2k a) = cot a 公式二： 設(shè)a為任意角，n+的三角函數(shù)值與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin ( a) = -sin a cos ( o) = -cos a tan (na) = tan a cot (n+a) = cot a 公式三： 任意角a

15、與-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin ( - a) = -sin a cos ( - a) = cos a tan ( - a) = -tan a cot ( - a) = -cot a 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 na與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin ( n a) = sin a cos ( n a) = -cos a tan ( n a) = -tan a cot ( n- a) = -cot a 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2n a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin (2na) = -sin a cos tan (2 n a) = -tan a cot 公式六：

16、 a及 o與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： 2 2 (2a) = cos a (2 n a) = -cot a sin ( + a) = cos a cos (一 + a) = -sin a tan ( + a) = -cot a 2 2 2 cot ( + a 2 -tan a 角形; 第二章：數(shù)列 1、 數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù). 2、 數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù). 3、 有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列. 4、 無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列. 5、 遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列. 6、 遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列. 7、 常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列.

17、 8擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列. 9、 數(shù)列的通項(xiàng)公式：表示數(shù)列 an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系的公式. sin (a) = cos a 2 sin ( + a) = -cos a 2 sin ( - a) = -cos a 2 (以上k Z) cos ( 2 -a)= sin a tan ( -a)= =cot a cot (a)= tan a (3 cos ( 2 + a) =sin a tan ( 2 + a)； =-cot a cot ( + a) 2 =-ta n a (3 cos ( -a) =-sin a tan( 3 -a) =cot

18、 a cot ( - a) =tan a 必修5 第一章：解三角形 1、 正弦定理：在 半徑，則有一弓 sin 2、 正弦定理的變形公式: sin ，sin C中， b sin c分別為角 、C的對(duì)邊, R為 C的外接圓的 c si nC a 2Rsin ，b 2Rsin ，c 2RsinC ； ;（正弦定理的變形經(jīng)常用在有三角函數(shù)的等式中） 2R sin C 3、三角形面積公式: ，sin C 2R :sin C ; a b sin sin C 丄 bcsi n 2 c sin C 1 absin C 2 1 acs in 2 4、余定理：在 C中，有a 2bccos b2 c2 2acco

19、s ， 2 2 2 cab 2abcosC . 5、余弦定理的推論：cos b2 2 c 2bc a2 cos a2 2 c 2ac b2 2 . 2 2 小 a b c cosC - 2ab 6、設(shè)a、b、c是 C的角 、C的對(duì)邊，貝U:若 b2 c2，則C 90o為直角三 若a2 b2 c2，則C 90o為銳角三角形；若a2 b2 c2，則C 90為鈍角三角形. 10、 數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)am （或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式.1 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為 等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差. 由三個(gè)數(shù)a， ，b組成的

20、等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，則 稱為a與b的等差 仍是等差數(shù)列；連續(xù)m項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列成等差數(shù)列。 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式：Sn “ ；可；可:Sn na1 丄d . 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為 等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比. 在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，貝U G稱為a與b的等比中項(xiàng).若 G2 ab，則稱G為a與b的等比中項(xiàng). 若等比數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公比是q，則an a1qn 1 11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、 18 19、 20、 21、 22、 中項(xiàng)若b節(jié)，則稱b為a與c的等

21、差中項(xiàng) 若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公差是d，則an 通項(xiàng)公式的變形 : an am n m d ； an & “ 金 n 1 ； d an am d n m 若an是等差數(shù)列， 且m n p q ( m、n、 是等差數(shù)列，且2n p q ( n、 * p、q ) a n 1 d . a an n 1 d ; d ; n 1 * P、q )，貝U am an ap aq ；若 an 則2an ap aq ;下角標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：若項(xiàng)數(shù)為2n n ，貝U S2n n an an 1 ，且 S偶S奇nd , 奇-a .若項(xiàng)數(shù)為2n 1 n S 偶 an 1 ，則

22、S2n 1 2n 1 an，且務(wù) S偶 an ， (其中S奇 nan ， Sn 1 an). 通項(xiàng)公式的變形：an amqn m :a1 n 1 a“q an n -；q a1 m an am 若an是等比數(shù)列，且m n p q ( m、 )，則am an ap aq ；若 an 是 等比數(shù)列，且2n p q (n、p、q )，則a； ap aq;下角標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)仍是 1 等比數(shù)列；連續(xù)m項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列成等比數(shù)列。 q 1 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和的公式：Sn a1 1 qn 1 q ai q 1 時(shí)，Sn 色 aqn，即常數(shù)項(xiàng)與qn項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)。 1 q 1 q 2 等比數(shù)列，用等比數(shù)

23、列求解an X的通項(xiàng)公式，再反過來求原來那個(gè)。(其中x是用待定 系數(shù)法來求得) 3、 由求和公式求通項(xiàng)公式： a1 S1 an Sn Sn 1檢驗(yàn)玄1是否滿足 a*，若滿足則為an，不滿足用分段函 數(shù)寫。 4、 其他 (1) an an 1 f n 形式， f n便于求和，方法: 迭加; 例如 :a n an 1 n 1 有: an an 1 n 1 a2 a 3 a3 a2 4 L an an 1 n 1 各式 、 相力 得an a1 3 4 , n 4 L n 1 Q n 1 23、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：若項(xiàng)數(shù)為2n n s偶 ，則 S偶 q s奇 Sn m Sn Sn , S2n S

24、n , S3n S2n成等比數(shù)24、an與Sn的關(guān)系：an Sn 3 1、 些方法： 、求通項(xiàng)公式的方法： 由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式: 待定系數(shù)法 若相鄰兩項(xiàng)相減后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為 an kn b，列兩個(gè)方程求解; 若相鄰兩項(xiàng)相減兩次后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為 an an2 bn ，列 若相鄰兩項(xiàng)相減后相除后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為 an aqn b，q為相除后的常數(shù)，列兩個(gè) 2、 方程求解； 由遞推公式求通項(xiàng)公式: 若化簡后為an 1 an d形式，可用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入求解; 若化簡后為an f(n),形式，可用疊加法求解; 若化簡后為an 1 an q形式，可用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入求解; 若化簡后

25、為an 1 kan b形式，則可化為(an J x) k(an x)，從而新數(shù)列an x是 （3）的方法 三、數(shù)列求和的方法： 疊加法：倒序相加，具備等差數(shù)列的相關(guān)特點(diǎn)的，倒序之后和為定值； 錯(cuò)位相減法：適用于通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式，如： an 2n 1 3n ； 適用于分式形式的通項(xiàng)公式，把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的 1 1 一 1 1 1 1 等. ，an 等; n n 1 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 一項(xiàng)內(nèi)含有多部分的拆開分別求和法：適用于通項(xiàng)中能分成兩個(gè)或幾個(gè)可以方便求和 的部分，如：an 2n n 1等； 四、綜合性問題中 等差數(shù)列中一些在加法和乘法

26、中設(shè)一些數(shù)為 乘為平方差； 1 1 1 2 1，即 an 1 an 例如：an an1 2anan 1，則也芒口 a*an 1 m形式，q 1，方法：構(gòu)造：an x q 2an 1 2，通過待定系數(shù)法求得：an 2 an 為以-2為公差的等差數(shù)列。 （3） an qan 1 例如：an 為2。 （4） an （5） an an 1 x 2 an 1 為等比數(shù)列； 2，即an 2等比，公比 an 因?yàn)?qan 1 qan 1 an qan 1 pn r 形式：構(gòu)造： an xn y q a. 1 pn形式，同除 pn，則窪 P y為等比數(shù)列； pn，轉(zhuǎn)化為上面的幾種情況進(jìn)行構(gòu)造； -an4 1，

27、若-1轉(zhuǎn)化為（1）的方法，若不為1，轉(zhuǎn)化為 p p p 、等差數(shù)列的求和最值問題： 0，則Sn有最大值，當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿足 0 0，則Sn有最小值，當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿足 0 （二次函數(shù)的配方法；通ak ak 1 ak ak 1 分式時(shí)拆項(xiàng)累加相約法: 1 形式。如：an n n 1 a d和a d類型，這樣可以相加約掉，相 等比數(shù)列中一些在加法和乘法中設(shè)一些數(shù)為 aq和-類型，這樣可以相乘約掉。 q 章：不等式 a b 0 a b ； a b 0 a b ； a b 比較兩個(gè)數(shù)的大小可以用相減法；相除法；平方法；開方法；倒數(shù)法等等。 2、不等式的性質(zhì)： 1、 a b b a

28、: a b,b c a c : a b, c 0 ac bc， a b, c 0 ac bc ； a b,c d b 0,c d 0 ac bd : a b 0 an bn n ,n n a n、b n ,n 1 . 3、一元二次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2的不等式. 5、 二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是 1的不等式. 6、 二元一次不等式組：由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組. 7、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的 x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì) x, y，所有這樣的有序數(shù)對(duì) x, y構(gòu)成的集合. 8在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線 x y

29、 C 0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn) x),Y0 . 若 0， x y。 C 0， 則點(diǎn) x0,y 在直線x y C 0的上方. 若 0， Xo y C 0， 則點(diǎn) 在直線x y C 0的下方. 9、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線 x y C 0 . 若 0，貝U x y C 0表示直線 x y C 0上方的區(qū)域； x y C 0表示 直線 x y C 0下方的區(qū)域. 若 0，貝U x y C 0表示直線 x y C 0下方的區(qū)域； x y C 0表示 直線 x y C 0上方的區(qū)域. 10、線性約束條件：由x，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是 x， y的線性約束條件. 目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或最小值

30、所涉及的變量 x，y的解析式.4、二次函數(shù)的圖象、 判別式 b2 4ac 二次函數(shù)y 一元二次方程 ax2 bx c 0 有兩個(gè)相等實(shí)數(shù) a 0的根 xi,2 根 x-1 x2 b 2a 沒有實(shí)數(shù)根 X2 2 ax b c 0 a 0 2 ax bx c 0a 0 x xi x x2 b x x 一 2a 元二次方程的根、 有兩個(gè)相異實(shí)數(shù) 0 2a 一元二次 不等式的 解集 x x 為或x x2 線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)為X , y的一次解析式. 線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題. 可行解：滿足線性約束條件的解 x,y . 可行域：所有可行解組成的集合. 最優(yōu)解：

31、使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解. 11、設(shè)a、b是兩個(gè)正數(shù)，則-一b稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，,ab稱為正數(shù)a、b的幾何 2 平均數(shù). 12、均值不等式定理： 若a 0， b 0,則a b ab，即電丄 ,ab . 2 13、常用的基本不等式： a2 b2 2ab a,b R a2 b2 ab a,b R ; 2 2 ab a 0,b 0 ； a2 b2 2 a b a,b R . 2 2 2 14、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有 2 若x y s (和為定值)，則當(dāng)x y時(shí)，積xy取得最大值. 4 若xy p (積為定值)，則當(dāng)x y時(shí)，和x y取得最小值2、p . 必修3 第一章

32、算法初步 1.1.1算法的概念 算法的特點(diǎn)： (1) 有限性：一個(gè)算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的 . (2) 確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果， 而不應(yīng)當(dāng)是 模棱兩可 (3) 順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個(gè)步驟只能有一個(gè)確 定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都 準(zhǔn)確無誤，才能完成問題 (4) 不唯一性：求解某一個(gè)問題的解法不一定是唯一的，對(duì)于一個(gè)問題可以有不同的算法 . (5) 普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過

33、 有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決. 1.1.2 程序框圖 1、程序框圖基本概念： (一)程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來 準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。 一個(gè)程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文 字說明。 程序框 名稱 功能 起止框 表示 個(gè)算法的起始和結(jié)束，疋任何流程圖不可 少的。 / / 輸入、輸出框 表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息，可用在算法中 任何需要輸入、輸出的位置。 處理框 賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式 等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。 O 判斷框 判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口

34、處標(biāo)明 “是”或“ Y”不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“ N。 （二）構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用 學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的時(shí)候，要掌握各個(gè)圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下： 1使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號(hào)。2框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大 多數(shù)流程圖符號(hào)只有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和一個(gè)退出點(diǎn)。判斷框具有超過一個(gè)退出點(diǎn)的唯一符號(hào)。 4、 判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個(gè)結(jié)果；另一 類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號(hào)內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。 （三）、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。 1順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法

35、結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的 順序進(jìn)行的，它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開的一種 基本算法結(jié)構(gòu)。 順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而 下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中， A框和B 框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完 A框指定的操作后，才能接著執(zhí) 行B框所指定的操作。 2、條件結(jié)構(gòu)： 條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對(duì)條件的判斷 根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu) 條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P(yáng)條件是否成立，只能執(zhí)行 A框或B框之一， 不可能同時(shí)執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可以有多個(gè)判

36、斷 框。3、循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處 理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包 含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類： (1) 、一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件 P成立時(shí)，執(zhí)行A框, A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件 P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行 A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框, 直到某一次條件P不成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行 A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。 (2) 、另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件 P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行 A

37、框，直到某一次給定的條件 P成立為止，此 時(shí)不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。 仃 直到型循環(huán)結(jié)構(gòu) 注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個(gè)條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu) 中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)” 。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個(gè)計(jì)數(shù)變量和累加變量 計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行 的，累加一次，計(jì)數(shù)一次。 1.2.1輸入、輸出語句和賦值語句 3、賦值語句 (1)賦值語句的一般格式 i圖形計(jì)算器: _ 變量=表達(dá)式 ;格式1 !_ _ _ - - 表達(dá)式 變量 (2)賦值語句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量；(3)賦值語句中的“二”稱作

38、賦值號(hào), 與數(shù)學(xué)中的等號(hào)的意義是不同的。賦值號(hào)的左右兩邊不能對(duì)換，它將賦值號(hào)右邊的表達(dá)式的 值賦給賦值號(hào)左邊的變量； (4)賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表達(dá)式 可以是一個(gè)數(shù)據(jù)、常量或算式； ( 5)對(duì)于一個(gè)變量可以多次賦值。 注意：賦值號(hào)左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式。如： 2=X是錯(cuò)誤的。賦值號(hào)左右 不能對(duì)換。如“ A=B “B=A的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。不能利用賦值語句進(jìn)行代數(shù)式的演 算。(如化簡、因式分解、解方程等)賦值號(hào)“=”與數(shù)學(xué)中的等號(hào)意義不同。 當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu) 成立 不成立 分析：在IF THE ELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句T表示滿足條件時(shí)執(zhí)

39、行 的操作內(nèi)容；“語句 2”表示不滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容； END IF 表示條件語句的結(jié)束。 計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)，首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行 THEN后面的語句1； 若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2 1.3.1 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù) 1、 輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下： (1) :用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商So和一個(gè)余數(shù)Ro ; (2):若Ro = 0，則n為m n的最大公約數(shù)；若局工0,貝U用除數(shù)n除以余數(shù)局得到一個(gè)商S1和一個(gè)余數(shù)R1; (3):若R1 =0,則R1為m n的最大公約數(shù)；若R1工0,則用除數(shù)Ro除

40、以余數(shù)R得到一個(gè)商S2和一個(gè)余 數(shù)R2 ； 依次計(jì)算直至Rn = 0，此時(shí)所得到的R1 1即為所求的最大公約數(shù)。 2、 更相減損術(shù) 我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在九章算術(shù)中有更相減損術(shù) 求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母 ?子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求 其等也，以等數(shù)約之。 翻譯為： (1)：任意給出兩個(gè)正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用 2約簡；若不是，執(zhí)行 第二步。(2)：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)， 接著把較小的數(shù)與所得的差比較， 并以大數(shù)減小數(shù)。 繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)(等數(shù))就是所求的最大公約數(shù)。 例 2 用更相減損術(shù)求

41、98 與 63 的最大公約數(shù) . 分析：(略) 3、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別： (1) 都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì) 算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對(duì)較少，特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較 明顯。 (2) 從結(jié)果體現(xiàn)形式來看， 輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為 0則得到，而更相減損術(shù)則 以減數(shù)與差相等而得到 1.3.2秦九韶算法與排序 1、秦九韶算法概念： f(x)=a nxn+an-ixn-1+.+a ix+ao 求值問題 n n-1 n-1 n-2 n-2 n-3 f(x)=a nx +an-i x + .+aix+ao=( a

42、 nx +an-ix + .+a i)x+a o =( a nx +an-ix + .+a 2)x+a i)x+ao = . =(.(a nx+an-i)x+an-2)x+.+a i)x+ao 求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)依次多項(xiàng)式的值，即 vi=anx+an-i 然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即 V2=Vix+an-2 v 3=V2x+an-3 . V n=Vn-ix+ao 這樣，把n次多項(xiàng)式的求值問題轉(zhuǎn)化成求 n個(gè)一次多項(xiàng)式的值的問題。 第二章 統(tǒng)計(jì) 2.1.1簡單隨機(jī)抽樣 1. 總體和樣本 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把研究對(duì)象的全體叫做總體. 把每個(gè)研究對(duì)象叫做個(gè)體. 把總體中個(gè)體的總數(shù)

43、叫做總體容量. 為了研究總體工的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分： 廠，門， ,入 研究，我們稱它為樣本.其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量. 2. 簡單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等，完全隨 機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同(概率相等) ，樣本的每 個(gè)單位完全獨(dú)立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基 礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時(shí)，才采用這種方法。 3. 簡單隨機(jī)抽樣常用的方法： (1) 抽簽法；隨機(jī)數(shù)表法；計(jì)算機(jī)模擬法；使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。 在簡單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中，主要考慮：總

44、體變異情況；允許誤差范圍； 概率保證程度。 4. 抽簽法： (1) 給調(diào)查對(duì)象群體中的每一個(gè)對(duì)象編號(hào)； (2) 準(zhǔn)備抽簽的工具，實(shí)施抽簽 （3）對(duì)樣本中的每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行測量或調(diào)查 例：請(qǐng)調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動(dòng)情況。 5隨機(jī)數(shù)表法： 例：利用隨機(jī)數(shù)表在所在的班級(jí)中抽取 10 位同學(xué)參加某項(xiàng)活動(dòng)。 2.1.2 系統(tǒng)抽樣 1系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機(jī)械抽樣） ： 把總體的單位進(jìn)行排序，再計(jì)算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。 第一個(gè)樣本采用簡單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。 K （抽樣距離）=N （總體規(guī)模）/n （樣本規(guī)模） 前提條件：總體中個(gè)體的排列對(duì)于研究的變量來說，應(yīng)是隨機(jī)的

45、，即不存在某種與研究 變量相關(guān)的規(guī)則分布。可以在調(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對(duì)比幾次樣本的 特點(diǎn)。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距 離重合。 2系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實(shí)際中最為常用的抽樣方法之一。因?yàn)樗鼘?duì)抽樣框的要求較低， 實(shí)施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單 元按輔助變量的大小順序排隊(duì)的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計(jì)精度。 2.1.3 分層抽樣 1分層抽樣（類型抽樣） ： 先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟危?然后再在各個(gè)類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機(jī)抽樣或系

46、用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將 這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。 兩種方法： 1先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。 2先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后 用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。 2分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體， 再抽取不同的子總體中 的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。 分層標(biāo)準(zhǔn)： （ 1）以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。 (2) 以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層 變量。 (3)以那些有明顯分層區(qū)分的變量

47、作為分層變量。 3 分層的比例問題： (1) 按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子 樣本的方法。 (2) 不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會(huì)非常少，此時(shí)采用 該方法，主要是便于對(duì)不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料 推斷總體時(shí)，則需要先對(duì)各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢 復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。 222用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 1、本均值：x Xn 2、.樣本標(biāo)準(zhǔn)差: (Xn s - s2 (X2 X)2 n 制汽車流量來控制空氣中NO的濃度 4應(yīng)用直線回歸的注意事項(xiàng)

48、 (1) 做回歸分析要有實(shí)際意義； (2) 回歸分析前，最好先作出散點(diǎn)圖; (3) 回歸直線不要外延。 第三章 3.1.1 3.1.2隨機(jī)事件的概率及概率的意義 1、基本概念： (1) 必然事件：在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件 S的必然事件； (2) 不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件 S的不可能事件； (3) 確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)于條件 S的確定事件； (4) 隨機(jī)事件： 在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件 S的隨機(jī)事件； 3. 用樣本估計(jì)總體時(shí)，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本 得到的信息會(huì)有偏差。在隨機(jī)抽樣中，這種偏差是不可避免的。 雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均 值和標(biāo)準(zhǔn)差，而只是一個(gè)估計(jì)，但這種估計(jì)是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大