待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的十種類型(共4頁)

1、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的十種類型一、 三點型-一般式 y=ax2+bx+c即已知拋物線經(jīng)過確定的三點,求其解析式.這時可以設解析式為標準形式y(tǒng)=ax2+bx+c 然后將三點坐標代入解析式得三元一次方程組,求出a、b、c 即得解析式已知一個二次函數(shù)圖象經(jīng)過（-1，10）、（2，7）和（1，4）三點，那么這個函數(shù)的解析式是_。 分析 已知二次函數(shù)圖象上的三個點，可設其解析式為y=ax+bx+c,將三個點的坐標代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函數(shù)解析式為y=2x-3x+5.這種方法是將坐標代入y=ax+bx+c 后，把問題歸結(jié)為解一個三元一次方程組，求出待定系數(shù) a, b , c,

2、進而獲得解析式y(tǒng)=ax+bx+c.二、交點型-交點式 y=a(x-x1)(x-x2) 即已知拋物線與X軸的兩個交點的坐標A(x1 ,0 ) ,B(x2, 0) 或交點間的距離及對稱軸,求拋物線的解析式.這時可以設解析式為y=a(xx 1)(x x 2),求出a即得解析式 例2 已知拋物線y=-2x+8x-9的頂點為A，若二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖像經(jīng)過A點，且與x軸交于B（0，0）、C（3，0）兩點，試求這個二次函數(shù)的解析式。分析 要求的二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點坐標，可設y=ax(x-3),再求也y=-2x+8x-9的頂點A（2，-1）。將A點的坐標代入y=ax(x-3),得到a=y

3、=x(x-3),即 y=.三、頂點型-y=a(x-h)+k即已知拋物線的頂點坐標( h, k ),求其解析式.這時可設解析式為頂點形式 y=a ( xh )2 +k ，求出a、k可即得解析式 。例 3 已知拋物線y=ax+bx+c的頂點是A(-1,4)且經(jīng)過點(1,2)求其解析式。分析 此類題型可設頂點坐標為(h,k)，故解析式為y=a(x-m)+k.在本題中可設y=a(x+1)+4.再將點(1,2)代入求得a=-y=-即y=-由于題中只有一個待定的系數(shù)a，將已知點代入即可求出，進而得到要求的解析式。四、平移型 左加右減自變量，上加下減常數(shù)項 例 4 二次函數(shù)y=x+bx+c的圖象向左平移兩個

4、單位，再向上平移3個單位得二次函數(shù)則b與c分別等于(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析 逆用平移分式，將函數(shù)y=x-2x+1的頂點（1，0）先向下平移3個單位，再向右平移兩個單位得原函數(shù)的圖象的頂點為（3，-3）。y=x=xb=-6,c=6.因此選（B）五、弦比型（設兩根為x1, x2, 則弦長=|x1-x2|由韋達定理：x1+x2=-b/a, x1x2=c/a因此|x1-x2|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-b/a)2-4c/a=(b2-4ac)/a2=/a2因此有|x1-x2|=/|a|） 例 5 已知二次函y=ax+bx+c為x

5、=2時有最大值2，其圖象在X軸上截得的線段長為2，求這個二次函數(shù)的解析式。分析 弦長型的問題有兩種思路，一是利用對稱性求出交點坐標，二是用弦比公式d=就本題而言，可由對稱性求得兩交點坐標為A（1，0），B（3，0）。再應用交點式或頂點式求得解析式為y=-2x+8x-6.六、識圖型例 6 如圖1， 拋物線y=與y=其中一條的頂點為P，另一條與X軸交于M、N兩點。（1）試判定哪條拋物線與X軸交于M、N點？（2）求兩條拋物線的解析式。  解 （1）拋物線y=與x軸交于M，N兩點（過程從略）；（2）因y=的頂點坐標為（0，1），b-2=0,d=1, b=2.Y=.將點N的坐標與b=

6、2分別代入y=+(b+2)x+c得c=6.y=+4x+6七、面積型例 7 已知拋物線y=x 的對稱軸在 y軸的右側(cè)，且拋物線與 y軸交于Q（0，-3），與x軸的交點為A、B，頂點為P，PAB的面積為8。求其解析式。解 將（0，-3）代入y=得 c=-3.由弦長公式，得點P的縱坐標為由面積公式，得解得因?qū)ΨQ軸在y 軸的右側(cè), b=-2.所以解析式為y=八、幾何型 例 8 已知二次函數(shù)y=-mx+2m-4如果拋物線與x軸相交的兩個交點以及拋物線的頂點組成一個等邊三角形，求其解析式。解 由弦比公式，得AB=頂點C的縱坐標為-ABC為等邊三角形解得m=4故所求解析式為y=或y=九、三角型 例 9已知拋物線y=的圖象經(jīng)過三點（0，）、（sinA，0）、（sinB，0）且A、B為直角三角形的兩個銳角，求其解析式。解 A+B=90，sinB=cosA.則由根與系數(shù)的關(guān)系，可得將（0，）代入解析式，得c=（1）,得-bb=-所以解析式為y=十、綜合型 例 10 如圖2，已知拋物線y=-與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點，若ACB=90，且tgCAO-tgCBO=2，求其解析式解 設A，B兩點的橫坐標分別為