數(shù)學(xué)高二滬教版教師版

1、n nëû年級： 高二輔導(dǎo)科目： 數(shù)學(xué)課時數(shù)：3課題教學(xué)目的1、 理解數(shù)列極限的概念；2、 掌握數(shù)列極限的運算法則； 3、 掌握常用的數(shù)列極限。數(shù)列極限4、掌握公比q<1 時，無窮等比數(shù)列前 n 項和的極限公式即無窮等比數(shù)列各項和公式，并能用于解決簡單問題。教學(xué)內(nèi)容【知識梳理】1、 什么是數(shù)列的極限？2、 數(shù)列極限的運算法則有哪些？3、 常見的求數(shù)列的極限有哪些形式？（本分講義是針對層次比較好的學(xué)生，所以知識點多以提問的形式出現(xiàn)，讓學(xué)生自己發(fā)揮，老師再給予糾正） 【典型例題分析】例 1、下列命題中，正確的是 （ ）（A）若lim a =A,lim b =B,n nn&

2、#174;¥ n ®¥則a Alim n =n ®¥ b Bn（B）若lim a =0 ，則 lim (abn n nn ®¥ n ®¥)=0（C）若lim a 2 =A2nn ®¥,則lim a =Ann®¥（D）若lim a =A, 則 lim a2 =A2n nn®¥ n ®¥【解析】在命題 A 中，當(dāng)B =0A時，則 無意義，命題不成立； B在命題 B 中，若a =n12 n +1, b =n +2 n，則a b =n

3、 nn +22n +1，雖然lim ann ®¥1 n +2 1 =lim =0, 但 lim a b =lim = ¹0,n ®¥ 2 n +1 n ®¥ n ®¥ 2n +1 2所以命題 B 不正確；在命題 C 中，若a =(-1)n n，則lim a2 =lim (-1)2n nn®¥ n ®¥=1 =( -1)2，而n ® ¥時，(-1)n的極限不存在，所以命題C 不成立；在命題 D 中，若lim a =Ann®¥，根

4、據(jù)數(shù)列極限的運算性質(zhì)。lim a2 =lim (aga )=lim a glim a =AgA =A 2n n n n nn ®¥ n ®¥ n®¥ n ®¥成立，所以命題 D 是正確的。 【答案】D例 2、已知lim én ®¥(2n-1)a ù=2 ，求 lim na 。 n nn®¥【解析】由條件不能確定 a 的表達式，因此我們設(shè)法將 na 拼湊出n n(2n-1)an。再利用極限性質(zhì)求解?？苫癁閚ïnn +12n +1æ

5、1;1 - 1 - ¼ 1 -÷ç ÷ç ÷ ç ÷1 +n1æöç ÷nSn ®¥lim( na ) =lim(2n-1)a nn ®¥ n ®¥nn2n -1【答案】1例 3、求下列數(shù)列的極限ì2n -1,當(dāng)1 £n £6時 ï（1）若 a =í 1, 當(dāng)n ³7時î2n -6(nÎN*)，則lim a =nn ®¥

6、;_，lim S =nn ®¥_（2）limn®¥n22n+2 n -1 2 -n +3（3）limn ®¥22 n +(-3) n +1 +(-3)（4）lim n(n +1 -n -1)n ®¥（5）limn®¥æ2n -1 ö ç ÷è øn（6）lim 1 -n ®¥ è1 öæ 1 öæ 1 ö æ 1 ö 2 ø&#

7、232; 3 øè 4 ø è n ø（7）limn ®¥1 +2 +3 +¼+nn2【解析】（1）數(shù)列an的極限不受前有限項的影響，其前 n 項和的極限應(yīng)先求和再求極限；（2）關(guān)于正整數(shù) n 的分式的極限，常將分子、分母同除以 n 的最高次項（不含系數(shù)）使得各項的極限都存在，然后利用極限的運算法則求解； （3 ）關(guān)于分子分母含有 n 的指數(shù)式的極限，常將分子分母同除以底數(shù)的絕對值較大的這一項，然后利用基本極限n=0 (q<1)求解； lim qn ®¥（5）通過換元法將式子整理成

8、0; 1 öç ÷è øn n相關(guān)的形式，利用 lim 1 + =en®¥ è n ø這一重要極限求解；（6）關(guān)于積的極限，通常通過等式變形消去中間項，轉(zhuǎn)化為基本極限求解；（7）雖然1 +2 +3 +¼+n 1 2 3 n 1 2 n= + + +¼+ 使得 lim =lim =¼ =lim n2 n 2 n 2 n2 n 2 n ®¥ n2 n ®¥ n2 n ®¥ n2=0，但當(dāng)n ®¥時，分

9、子的前 n 項和變成了無限項的和，二極限的四則運算法則只適用于有限個數(shù)列的極限運算，所以這類和的極限應(yīng)先求和后求極限?！敬鸢浮浚?）37（2）1 1 1 1（3） - （4）1（5） （6）0（7） 2 3 e 2例 4、在數(shù)列a中，已知 na =113，且aa =-2S S ( n ³2) ，求 lim nn n -1 2n【解析】與數(shù)列前 n 項和公式相關(guān)的極限問題一樣，綜合能力要求通常較高，解題時應(yīng)注意套用相關(guān)公式?！敬鸢浮?2îïïîïï& & &&&&&&am

10、p; & & &n ®¥例 5、已知limn ®¥2n -a n +1 1= ，求 a 的范圍。 2n +1 +a n 2【解析】解本題的關(guān)鍵時討論 a 與 2 的大小?！敬鸢浮縜 Î(-2,2)例 6、若lim (3a +4bn nn ®¥)=8,lim (6a -b )=1n nn ®¥，求lim (3a +bn nn ®¥)?！惧e解】設(shè)lim a =A,lim b =Bn nn®¥ n ®¥ì3A +4 B

11、 =8,由已知，得 í6 A -B =1ì 4A =ï 9 解方程組得， í5B =ïî 3 lim (3a +b )=3 n nn ®¥【錯解分析】lim (3a +4bn nn ®¥)存在，不能推出an, bn的極限存在，所以不能運用極限的四則運算，可以通過整體運算解決問題?！菊狻吭O(shè)3a +b =x (3a +4bn n n n)+y(6an-b )=(3x+6y)a+(4x-y)bn n nì3x +6 y =3 令 í4 x -y =1ì 1x =

12、9; 3 解方程組，得 í1y =ïî 3例 7、求和：S =0.18 +0.018 +0.0018 +¼【解析】化循環(huán)小數(shù)為分數(shù)，時無窮等比數(shù)列各項和公式的一個重要應(yīng)用。解題時應(yīng)注意確定首項和公比。【解】Q 0.18 =0.1 +0.08 +0.008 +¼=0.1 + 變式練習(xí)：化循環(huán)小數(shù)為分數(shù)0.008 17=1 -0.1 90（1）0.32（2）1.34（3）0.1 +0.2 +0.3 +¼+0.9【解析】純循環(huán)小數(shù)可以看作時一個無窮等比數(shù)列所有項之和，而混循環(huán)小數(shù)可以視為一個常數(shù)與無窮等比數(shù)列各項 的和相加。【答案】（1）3

13、2 121（2） （3）5 99 90例 8、等比數(shù)列a使lim (a+a +a +¼+a n 1 2 3n)=25，求實數(shù)a1的取值范圍。【解析】由q的范圍確定 a 的范圍。1【解】lim (a+a +a +¼+a1 2 3 nn®¥)=limn®¥a (1-q 11 -qn)=25( )1( )( )10, U,55 5æöa33æön +1ç ÷è ø è ø1 -q3æ ö3ç ÷2

14、38; þn3( )n當(dāng)且僅當(dāng)-1<q <1時極限存在，并且limn®¥a (1-q 11 -qn)a 2 2= 1 = , a = 1 -q 1 -q 5 5又在等比數(shù)列中，q ¹0于是，0 <1 -q <2且1 -q ¹0則：0 <2 4 2 2 1 -q < 且 1 -q ¹5 5 5 5則：0 <a <14 2且a ¹5 5所以a1的取值范圍是æ 2 ö æ2 4 ö ç ÷ ç ÷

15、2; ø è ø【點撥】關(guān)注其中公比q的范圍：(-1,0)U(0,1)，這是一個逆向思維的問題。例 9、棱長為a的正方形內(nèi)有一個內(nèi)切球（即球與正方形的每一個面有且只有一個公共點），球內(nèi)又有一個內(nèi)切正方體（即正方體的每一個頂點都在球的表面上），該正方體內(nèi)又有一個內(nèi)切球，球內(nèi)又有一個小內(nèi)切正方形如此進 行以至無窮，求所有這些正方體的體積之和?！窘馕觥客ㄟ^球確定兩個相鄰正方體的棱長之間的關(guān)系?！窘狻吭O(shè)第n個正方形的棱長為an，體積為Vn，則又第n個球的直徑就是第n個正方形的棱長，又同時是第n +1個正方體的對角線長。于是：a2n +1+a 2n +1+a 2n +1=(

16、2rn)2=a 2na 3 ; n +1 =a 3n所以q =3 3ç ÷ =ç ÷ = a 3 9n故VV +V +V +¼+V +¼= 1 = 1 2 3 na1 -3 9 a 3=3 9 - 39【課堂小練】1.下列命題正確的是_數(shù)列(-1)n ì 沒有極限 數(shù)列 íî(-1)n2nüýþ的極限為零ì n üï ï 數(shù)列 í 3 +ç- ÷ýï è øï

17、;ìï 2的極限是 數(shù)列 íï 3îüïýïþ沒有極限A B C D 2.下列命題中正確的是_A 設(shè)有數(shù)列an，若存在常數(shù)M >0，使an<M恒成立，則數(shù)列a必有極限； nç ÷ç ÷ ç ÷ç÷22 2ç÷3n 2 +n 3n +4nç ÷limç ÷B 若數(shù)列an單調(diào)遞增，則此數(shù)列必有極限；C 若lim a =Ann®¥（

18、A 為確定的常數(shù)），則存在常數(shù)M >0，使an<M恒成立；D 數(shù)列0,1,0,2,0,3, ¼,0,n,¼的一個極限時零3.下列命題中正確的是_A 若lim a2 =A2nn ®¥，則lim a =Ann®¥B 若lim a =Ann®¥，則lim a2 =A2nn ®¥C 若lim a =A,lim b =Bn nn®¥ n ®¥，則limn ®¥a An =b BnD 若a >bn n，且lim a =A,lim

19、b =Bn nn®¥ n ®¥，則A >B4.下列數(shù)列極限的式子中，不正確的是_Alimn®¥2g4g6g¼g(2n) 3g6g9¼g(3n)=0Blimn ®¥1 npsin =0n 3Cæ 1 öæ 1 ö æ 1 ö lim 1 - 1 - ¼ 1 - =0 n ®¥ è 2 øè 3 ø è n øDlimn ®¥

20、3n3n-2+2nn=05.若lim ann ®¥存在，且a -3 4lim n = n ®¥ a +2 9n，則lim ann ®¥=_6.數(shù)列a和數(shù)列b都是公差不為零的等差數(shù)列，且 n nlimn ®¥aa +a +¼+a n =3 ，則 lim 1 2aa ®¥ nbn 2 nn的值為_7.求下列各數(shù)列的極限。（1）（2）（3）limn ®¥limn®¥limn®¥æ 1 3 2n -1 ö+ +&#

21、188;+èn +1 n +1 n +1 ø 3n2 +2 nn2 +3n -1æ n 3 -1 n2 +1 ö-è ø（4）1 1 æ1 ö 1 + + +¼+3 9 è3 øn ®¥ 1 1 æ 1 ö 1 - + -¼+ -4 16 è 4 øn÷ø& & &ïîíî12nn1（5）limn ®¥1 -a1

22、+ann(a¹-1)8.求limn®¥æçèn2+2 n +2 ö -an +bn +1的值，其中 a , b 為常數(shù)。9. 已知：S =0.13 +0.013 +0.0013 +¼，求S =_10.無窮等比數(shù)列 tannq中，若它的各項和存在，求q 的范圍。 答案1. D 2. C 3. B 4. D5 .7 6.341 157. (1)1 (2)3 (3) (4)3 8(5)8.原式=ì1, a <1 1 -a n ïlim =í0,a =1 n ®¥ 1

23、 +a n-1, a >1ì2-a +b =1 +b, a =1 不存在，a ¹19.42710.kpp- <q<k 4pp+ 且q¹k 4p走近高考：1、（2008 年個上海）若數(shù)列 a 的值是n是首項為 1，公比為 a -32的無窮等比數(shù)列，且 a 各項的和為 a ，則 an(B)(A) 1. (B) 2. (C)1 5. (D)2 4.2、（2010 上海模擬）limn ®¥1 1 1 + +¼+2 2n1 11 + +¼+4 4n的值為 （ B ）（A）0（B）3 1（C）2 2（D）13、（201

24、0 上海高考）將直線 l ：nx?y?n?0、l：x?ny?n?0(n?N*)、x 軸、y 軸圍成的封閉區(qū)域的面積記為 S ， 則 lim S ?_1_nn ®¥4、已知數(shù)列a的首項na1¹0 ，其前 n 項的和為 S ，且 Snn +1a=2 S +a ，則 lim n =n ®¥ Snn 2 n 12 1 12 1 1 12 1 nn 1 111nç ÷nnæ1 ö a a a 1ç ÷n n +1（A）0（B）12（C） 1（D）2解析：由Sn +1=2 S +a ,且 Sn 1

25、n +2=2 Sn +1+a1作差得 a 2a 又 S 2S a ，即 a a 2a a ? a 2a 故a 是公比為 2 的等比數(shù)列S a 2a 22a 2n1a (2n1)a1則a 2 n -1a 1 lim n =lim 1 = n ®¥ S n®¥ (2 n -1)a 2n 1答案：B5、已知a , ann +1是方程æ1 öx 2 -c x + =0è3 ø的兩根，若a =1 ，求 c +c +c +¼+ c +¼ 1 1 2 3 2 n的值?！窘馕觥客ㄟ^方程的根與系數(shù)的關(guān)系可以得到數(shù)

26、列 遞縮數(shù)列各項和問題。【答案】Q a a = , n +2 n +1 = n +2 =è3 ø a a a 3n n +1 nan的遞推式；由等比數(shù)列的定義判斷，可以將問題轉(zhuǎn)化為無窮所以數(shù)列a2 n -1是以a =111為首項， 為公比的無窮遞縮等比數(shù)列 3數(shù)列a2 n是以a =21 1為首項， 為公比的無窮遞縮等比數(shù)列 3 3又c =a +a n nn +16、無窮等比數(shù)列a滿足lim (a+a +¼+a n 1 2n ®¥n)=12，求首項a1的變化范圍?！惧e解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q ，由已知條件有a 11 =1 -q 2，解方程得

27、，q =1 -2 a1又因為an為無窮等比數(shù)列，則q =1 -2a <11所以0 <a <11【錯解分析】錯解中忽視了q =1 -2 a ¹0, 即a ¹1 112，應(yīng)注意無窮等比數(shù)列a中nlim Sn ®¥n存在的充要條件是公比q滿足0 < q <1；而lim ann ®¥存在的的充要條件是公比q滿足0 < q <1或q =1?！菊狻吭O(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知得，a 11 =1 -q 2，解得q =1 -2 a1又因為an為無窮等比數(shù)列，且lim Sn ®¥n存在，則

28、即0 <1 -2a <11，解不等式得U÷,12n 2&所以a1的取值范圍是æçè0,12ö æ1 öç ÷ø è ø【課堂總結(jié)】回顧本節(jié)課所講的有關(guān)內(nèi)容，數(shù)列極限?？嫉膸追N類型？每種類型的解決方法？ 【課后練習(xí)】一、基礎(chǔ)鞏固1.已知an是等比數(shù)列，若Sn是其前 n 項和，則“l(fā)im ann ®¥存在”是“l(fā)im Sn ®¥n存在”的（ ）（A）充分非必要條件 （B）必要非充分條件 （C）充要條件 （D）非充分非必要

29、條件2.無窮等比數(shù)列1,2 1 2, , , ¼2 2 4的各項和等于 （ ）（A）2 - 2（B）2 + 2（C）2 +1（D）2 -13. 在 無 窮 等 比 數(shù) 列an中 ， 已 知a =11 1, q = ， 若 T =a 2 2 2+a24+¼+a22 n， 則 lim T 的 值 為nn ®¥（ ）（A）1（B）1 1 1（C） （D）15 14 164.一個無窮等比數(shù)列公比為q，滿足0 <q <1，前 n 項和為Sn，且它的第四項和第八項之和等于178，第五項與第七項之積等于14，則 lim S 等于 （ ） nn ®¥（A）64（B）32（C）16（D）85.把 0.32 化為約分數(shù)后，分子和分母之和為 （A）119（B）129（C）141（D）139（ ）6. 在等比數(shù)列a中若a +a +a +a +a =726, a +a +a +a +a =242 n 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6，則此無窮等比數(shù)列的各項和為_。7.若實數(shù)a, b滿足a -2 + 2b +1 =0，則數(shù)列ab, b,b b, , ¼a a 2的所有項和是_二