新課標(biāo)人教A版高一數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)必修 1 知識(shí)點(diǎn)第一章集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念: 1、集合的含義：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。2、集合的中元素的三個(gè)特性: （1)元素的確定性；(2)元素的互異性；（ 3）元素的無序性說明： (1）對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的,任何一個(gè)對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。()任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象,相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí),僅算一個(gè)元素。（3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序,因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。(4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整

2、體性。、集合的表示： 如 我校的籃球隊(duì)員, 太平洋，大西洋，印度洋,北冰洋 (1）用拉丁字母表示集合：= 我校的籃球隊(duì)員,b=1 ，2,3,4，(2）集合的表示方法:列舉法與描述法。()列舉法 :把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個(gè)大括號(hào)括上。（ )描述法 :將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法。語言描述法:例: 不是直角三角形的三角形 數(shù)學(xué)式子描述法：例:不等式 -32 的解集是 x r| - 2或 x| -2 (3)圖示法（文氏圖） ：4、常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集 (即自然數(shù)集 )記作： n 正整數(shù)集 *或 n+

3、 整數(shù)集z 有理數(shù)集q 實(shí)數(shù)集r 5、 “屬于”的概念集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如:a 是集合 a 的元素 ,就說屬于集合a 記作a，相反 ,a不屬于集合a 記作aa 、集合的分類: 1有限集含有有限個(gè)元素的集合2無限集含有無限個(gè)元素的集合3.空集不含任何元素的集合二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集對(duì)于兩個(gè)集合a 與 b，如果集合的任何一個(gè)元素都是集合b 的元素 ,我們就說兩集合有包含關(guān)系,稱集合a 為集合 b 的子集 ,記作 ab注意 : 有兩種可能 ()a 是 b 的一部分，； （）與b 是同一集合。反之：集合 a 不包含于集合b,或集合 b 不包含集合a,記作 a b 或

4、a 集合 a 中有 n 個(gè)元素 ,則集合 a 子集個(gè)數(shù)為22.“相等”關(guān)系(5 5,且 5 ,則 5=5）實(shí)例 :設(shè)a=x|x2-1=0b= 1，1 “元素相同”結(jié)論 :對(duì)于兩個(gè)集合a 與 b,如果集合a 的任何一個(gè)元素都是集合b 的元素，同時(shí) ,集合的任何一個(gè)元素都是集合 a 的元素 ,我們就說集合a 等于集合 b，即 :=babba且 任何一個(gè)集合是它本身的子集。a真子集 :如果b,且 ab 那就說集合a 是集合 b 的真子集，記作ab(或 ba) 如果b,bc ,那么a如果 ab 同時(shí) b 那么 =b 3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的

5、真子集。三、集合的運(yùn)算1.交集的定義 ：一般地 ,由所有屬于a 且屬于 b 的元素所組成的集合,叫做 a,b 的交集 . 記作 b(讀作” a 交 b”),即 ab=x xa，且 b 、 并集的定義 ：一般地 ,由所有屬于集合a 或?qū)儆诩蟗 的元素所組成的集合，叫做a，b 的并集。記作:a (讀作”并b” ),即 a b=x x ,或 x b 3、交集與并集的性質(zhì)：aa=，a =, b = b a，aa= a， = a, a b = b . 、 全集與補(bǔ)集（1)全集 :如果集合s 含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素,這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用來表示。(2）補(bǔ)集：設(shè)s 是一個(gè)集合 ,

6、a 是的一個(gè)子集（即as） ，由 s 中所有不屬于a 的元素組成的集合，叫做s 中子集 a 的補(bǔ)集 (或余集）。記作 :c ,即 sa =x |s 且x （3）性質(zhì) :u(c a)=a (c ua） a= (c ua） u (4）(c ua)(ub)=c u(a b）(5） （c )(c ub)=c u(a）二、函數(shù)的有關(guān)概念1.函數(shù)的概念：設(shè) a、是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系,使對(duì)于集合a 中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合中都有唯一確定的數(shù)(x)和它對(duì)應(yīng) ,那么就稱 :ab 為從集合到集合b 的一個(gè)函數(shù)記作:y=f( ),xa其中 ,x 叫做自變量 ,x 的取值范圍a 叫做函數(shù)的定義域；

7、與x 的值相對(duì)應(yīng)的y 值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合f(x ）x叫做函數(shù)的值域. 注意 :1、如果只給出解析式y(tǒng)=f( ),而沒有指明它的定義域,則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合 ;2、函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間 的形式 . 定義域補(bǔ)充：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x 的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù) 是:(1） 分式的分母不等于零；（ 2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；()對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(）指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于. （5）如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么 ,它的定義域是使各部分都有意義的x 的值組成的集合.(

8、6） 指數(shù)為零底不可以等于零(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義. (注意 :求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。) 、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域注意：（1）構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù) )。(2）兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法:定義域一致 ;表達(dá)式相同(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備）值域補(bǔ)充(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義

9、域. (2)、應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。3. 函數(shù)圖象知識(shí)歸納(1)定義 :在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)=f(x ） , ( )中的 x 為橫坐標(biāo) ,函數(shù)值 y 為縱坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y)的集合 c,叫做函數(shù)y=f(x),(x a) 的圖象 . c 上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x), 反過來 ,以滿足 y f(x）的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y 為坐標(biāo)的點(diǎn) (x,),均在 c 上 即記為 = p(x,y） | = f（ ) ,xa s csa a 圖象 c 一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線 ),也可能是由與任意平行于y軸

10、的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組成。(2) 畫法：a、描點(diǎn)法： 根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,的一些對(duì)應(yīng)值并列表，以（x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn) p（x, ),最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來. b、圖象變換法：常用變換方法有三種，即平移變換、對(duì)稱變換和伸縮變換、對(duì)稱變換：（）將y=f(x) 在軸下方的圖象向上翻得到y(tǒng)=f（x）的圖象如 :書上 21 例（2） yf(x) 和 y= ( x）的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱。如1xxxyayaa與（3) y= ()和 y=-(x）的圖象關(guān)于軸對(duì)稱。如1logloglogaaayxyxx與、平移變換: 由 f(x)得到 f(xa）左加

11、右減；由 f()得到 f(x)a 上加下減（）作用： 、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；b、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路;c、提高解題的速度；發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤。4區(qū)間的概念(1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;( )無窮區(qū)間； ()區(qū)間的數(shù)軸表示. 5.映射定義 ：一般地，設(shè)a、是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合中的任意一個(gè)元素 ,在集合中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:b 為從集合a 到集合的一個(gè)映射。記作“:ab”給定一個(gè)集合a 到 b 的映射， 如果 aa,bb.且元素和元素b 對(duì)應(yīng) ,那么 ,我們把元素叫做元素的象,元素 a 叫做元素b 的原象說

12、明 :函數(shù)是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對(duì)應(yīng),集合 a、 b 及對(duì)應(yīng)法則f 是確定的；對(duì)應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合a 到集合 b 的對(duì)應(yīng)，它與從b 到 a 的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的；對(duì)于映射f：ab 來說，則應(yīng)滿足： （ )集合 a 中的每一個(gè)元素,在集合 b 中都有象 ,并且象是唯一的;（ )集合中不同的元素,在集合 b 中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè);(）不要求集合b 中的每一個(gè)元素在集合中都有原象。6、函數(shù)的表示法: 常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn)：1 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個(gè)圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù) :作垂直于 x 軸的直線與曲線最多有一

13、個(gè)交點(diǎn)。解析法：必須注明函數(shù)的定義域; 3 圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域;化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征; 4 列表法 :選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征注意 :解析法 :便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法:便于量出函數(shù)值補(bǔ)充一：分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時(shí)必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程，而應(yīng)寫成函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個(gè)左大括號(hào)括起來,并分別注明各部分的自變量的取值情況.注意 :(1）分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù) ;（ 2)分段函數(shù)的定義域是各段

14、定義域的并集,值域是各段值域的并集補(bǔ)充二：復(fù)合函數(shù)如果 y (u） ,( m),u=g(x),(x a） ，則y=f (x) =f(x）,(xa) 稱為 f 是的復(fù)合函數(shù)。7函數(shù)單調(diào)性（ 1)增函數(shù)設(shè)函數(shù) yf（x)的定義域?yàn)閕，如果對(duì)于定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間d 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2,當(dāng)12時(shí)，都有f（1） f(x2） ，那么就說（)在區(qū)間上是增函數(shù) 。區(qū)間 d 稱為 =f （x)的單調(diào)增區(qū)間；如果對(duì)于區(qū)間d 上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng) x1f(x2),那么就說f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù) .區(qū)間 d 稱為 =(x)的單調(diào)減區(qū)間 . 注意 :1、函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)

15、間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì); 2、必須是對(duì)于區(qū)間d 內(nèi)的 任意 兩個(gè)自變量x1,x2；當(dāng) xf()） 。(2) 圖象的特點(diǎn)如果函數(shù) =f(x) 在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y f()在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的 )單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的. (3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法() 定義法 : 任取 x1,d,且1 0（c 為常數(shù) )時(shí)，( )yf x與( )yc f x的單調(diào)性相同; 當(dāng)0 且、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)0a1 圖像性質(zhì)定義域 r , 值域（ 0，+）（ 1）過定點(diǎn) (， 1）,即 x=0 時(shí)， y=1 （ 2)在 r

16、 上是減函數(shù)(）在 r 上是增函數(shù)(）當(dāng) x時(shí) ,01; 當(dāng) x0 時(shí), 1; 當(dāng) x0 時(shí),01圖象特征函數(shù)性質(zhì)共性向 x 軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的定義域?yàn)閞 函數(shù)圖象都在x 軸上方函數(shù)的值域?yàn)閞+圖象關(guān)于原點(diǎn)和y 軸不對(duì)稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（0,1）過定點(diǎn)（ 0,）0a1 自左向右看 ,圖象逐漸下降減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1 當(dāng) x0 時(shí), y1；在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于當(dāng) x1 自左向右看 ,圖象逐漸上升增函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1 當(dāng) x0 時(shí), 1;在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1 當(dāng) 0 時(shí) , y1圖象上升趨勢是越來越陡函數(shù)值開始增長較慢，到

17、了某一值后增長速度極快；注意：指數(shù)增長模型 :y=n （1+p)x 指數(shù)型函數(shù) : y=kx3考點(diǎn) :( )b=n, 當(dāng) 0 時(shí),a， n 在 1 的同側(cè)；當(dāng) 0 且 a1；2 真數(shù) n0 3. 注意對(duì)數(shù)的書寫格式. 2、兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：(1)常用對(duì)數(shù) :以 10 為底的對(duì)數(shù) ,10loglgnn記為；（2）自然對(duì)數(shù) :以無理數(shù)為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù), loglnenn記為3、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化logxaxnan對(duì)數(shù)式指數(shù)式對(duì)數(shù)底數(shù)a 冪底數(shù)對(duì)數(shù) 指數(shù)真數(shù)n 冪結(jié)論：（）負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)(2)lgaa=1, loga1=0特別地 , lg0=1，lg1=0 ，n=1, ln1=0 (3）對(duì)數(shù)恒等式

18、:log naan（二 )對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果 a 0, 1, 0 ，n 0 有：1、logmnloglogaaamn?（）兩個(gè)正數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于這兩個(gè)正數(shù)的對(duì)數(shù)和2 、nmnmaaalogloglog兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于這兩個(gè)正數(shù)的對(duì)數(shù)差3 、loglognnaamnm （r）一個(gè)正數(shù)的n 次方的對(duì)數(shù)等于這個(gè)正數(shù)的對(duì)數(shù)n 倍說明 : 1) 簡易語言表達(dá): ” 積的對(duì)數(shù) =對(duì)數(shù)的和 ” ) 有時(shí)可逆向運(yùn)用公式3） 真數(shù)的取值必須是（0, ) 4) 特別注意：nmmnaaalogloglognmnmaaalogloglog注意 :換底公式loglglog0,1,0,1,0loglgcacbbba

19、accbaa利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論abbalog1logloglogloglogabcabcdd?loglogmnaanbbm（二 )對(duì)數(shù)函數(shù)1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù)logayx(a，且 a1) 叫做對(duì)數(shù)函數(shù) ,其中是自變量， 函數(shù)的定義域是 （0,+） 注意： (1）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義，注意辨別。如：log1ayx,log2ayx都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù)（2) 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制:a0，且 a1 2、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：對(duì)數(shù)函數(shù)logayx(a0,且 a ) 0 a 1 圖像性質(zhì)定義域 :（0, ) 值域 :r 過點(diǎn) (，0)， 即當(dāng) x 時(shí) ,

20、在(,+)上是減函數(shù)在(0,+)上是增函數(shù)當(dāng) x時(shí)， y0 當(dāng) =時(shí) ,y=0 當(dāng) x0 當(dāng) x1 時(shí),y0 當(dāng) x=1 時(shí)， =0 當(dāng) 0 x1 時(shí),y; 當(dāng)， b 不同在 (0,）內(nèi),或不同在 (1， )內(nèi)時(shí) ,有 logab0；當(dāng) a,b 在 1 的異側(cè)時(shí) , logb0,值域求法用單調(diào)性。、分辨不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象利用1=la ,用 1 去截圖象得到對(duì)應(yīng)的底數(shù)。、 y=ax(a且 a )與 =lgx(0 且 a1) 互為反函數(shù) ,圖象關(guān)于 =x 對(duì)稱。yx0(1,0)yx0(1,0)5 比較兩個(gè)冪的形式的數(shù)大小的方法：(1）對(duì)于底數(shù)相同指數(shù)不同的兩個(gè)冪的大小比較,可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)

21、性來判斷. (2）對(duì)于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個(gè)冪的大小比較,可以利用比商法來判斷. () 對(duì)于底數(shù)不同也指數(shù)不同的兩個(gè)冪的大小比較，則應(yīng)通過中間值來判斷.常用和0. 6 比較大小的方法(1) 利用函數(shù)單調(diào)性（同底數(shù)）；(2）利用中間值（如:,1 ）;( ) 變形后比較 ;(4) 作差比較（三）冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義：一般地，形如yx的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中 x 是自變量，為常數(shù). 2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納. (）所有的冪函數(shù)在(0,+）都有定義，并且圖象都過點(diǎn)（，1）; (2) 0 時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn),并且在 0,+ ）上是增函數(shù) 特別地 ,當(dāng) 1 時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng) 1 時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；（3) 0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在（0，+)上是減函數(shù) .在第一象限內(nèi) ,當(dāng) x 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí),圖象在 y 軸右方無限地逼近軸正半軸,當(dāng) x趨于時(shí)，圖象在x 軸上方無限地逼近x 軸正半軸 . 第三章函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn) 的概念 :對(duì)于函數(shù)y=(x),使 f(x)=0的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。(實(shí)質(zhì)上是函數(shù)=f(x) 與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)) 2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：方程 f(x) 0 有實(shí)數(shù)根 ? 函數(shù) y=f（x)的圖象與軸有交點(diǎn)? 函數(shù) =f （x)有零點(diǎn)3、零點(diǎn)定理 :函數(shù) y=f( )在區(qū)間 a,b上的圖象是連續(xù)不斷的，并且有f()f（b