兩角和與差的公式

1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1兩角和與差的余弦、正弦、正切公式 cos（ ） cos cos sin sin （C（） cos（）cos_cos_sin_sin_ （C （） ） sin（ ） sin_cos_cos_sin_ （S（） sin（ ） sin_cos_cos_sin_ （S（） tan tan tan（ ） （T （）1tan tan tan tan tan（）1tan tan （T（） 2二倍角公式 sin 2 2sin_cos_；2 2 2 2 cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin ；tan 22tan 1 tan2.逆用和變形3在準確熟練地記住公式的

2、基礎(chǔ)上， 要靈活運用公式解決問題： 如公式的正用、 用等如 T(±)可變形為tan ±tan tan( ±)(1 ?tan_tan_)，tan tan tan tan tan tan 1 tan tan 1.思考辨析】 判斷下面結(jié)論是否正確 (請在括號中打“”或“×” )(1) 存在實數(shù) ，使等式 sin( ) sin sin 成立 ( )(2) 在銳角 ABC 中， sin Asin B 和 cos Acos B 大小不確定 ( × )，且對任意（3）公式 tan（） tan tan 可以變形為 tan tan tan（）（1tan tan

3、1tan tan 角 ， 都成立 （ × ）（4）存在實數(shù) ，使 tan 2 2tan .（ ）（5）設(shè) sin 2 sin ， （2， ），則 tan 2 3.（ ）1（2013 ·浙江 ）已知 R， sin 2cos 25，則 tan 2等于 ()4A.333B.4 C 44D 3答案解析sin 2cos 10，2，AB.34 C44443 D.432 2 5 sin 4sin cos 4cos 2.化簡得： 4sin 2 3cos 2，sin 2 3 tan 2csoins 2234.故選 C.sin cos 12若sin cos 2，則 tan 2等于 (答案解析s

4、in cos 1由 21，等式左邊分子、sin cos 2tan 1 1分母同除 cos 得， 21，解得 tan 3，tan 1 2則 tan3 （2013 ·課標全國 ）設(shè) 為第二象限角，若 tan412，則 sin cos 2 2tan 2 34.1 tan 4答案解析tan1，4 2，tan 13，3sin cos ， 即22sin cos 1，且 為第二象限角，解得 sin 1100，cos3 10 10 .sin cos 10.5.4 （2014 ·課標全國 ）函數(shù) f（x）sin（x 2） 2sin cos（x ）的最大值為答案 1解析 f（x） sin（x

5、2） 2sin cos（x ）sin（x）2sin cos（x ） sin（x ）cos cos（x ）sin 2sin cos（x ） sin（x ）cos cos（x ）sin sin（x）sin x，f（x）的最大值為 1.題型一 三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用tan（ ）的值為 （）例 1 (1)設(shè) tan ，tan 是方程 x2 3x2 0 的兩根，2<<0，1cos（4）3，A3C1（2）若 0<<2，B1D3cos（4 2） 33，則 cos（ 2）等于 （A.C.539BD）3369答案 （1）A （2）C解析 (1) 由根與系數(shù)的關(guān)系可知tan tan 3，

6、tan tan 2.tan tan 3tan（ ） 3.1 tan tan 1 2故選 A.（2）cos（ cos（4）（42） cos（4）cos（42） sin（4）sin（42）0<<2， 3 則4<4<34，sin（4 ）2 3 2.又 2<<0，則<<，則4<42<2， 6 則 sin（4 2） 3 .故cos（2）13×33232×36593.故選 C.思維升華 三角函數(shù)公式對使公式有意義的任意角都成立使用中要注意觀察角之間的和、差、倍、互補、互余等關(guān)系（1）若 （2， ），1tan（4）7，則 sin

7、 等于 （）3A.354B.45C35D45(2)計算：1cos 20 °sin 10 （°2sin 20 °1tan1 5 °tan 5 ）°答案（1）A （2） 23解析tan3 sin 4 cos ，4 cos 3sin .22又sin cos 1，sin2295.3又（2，），sin 5.(2)原式2cos210°4sin 10 c°os 10 sin 1022 cos 5° sin 5sin 5 c°os 5A. 2C.12(2)化簡：4 2 12cos x2cos x 2 2 2tan 4x

8、sin2 4xcos 10 ° sin 202sin 10 °sin 10cos 10 °2sin 202sin 10 °cos 10 °2sin 30° 10°2sin 10 °cos 10 °2sin 30 c°os 10 °2cos 30 s°in 10(3)求值：cos 15 °sin 15cos 15 °sin 151答案 （1）B （2）2cos 2x （3） 3解析 （1）原式 sin（65 ° x） ·cos（x 20&

9、#176;） cos（65 ° x）cos 90° （x 20°） sin（65 ° x ）cos（x20°）cos（65°x）sin（x20°）sin（65°x）（x20°）sin 45 °22sin 10 °.故選 B.(2)原式12 4cos4x24cos x 12× sin 4 xcos 4x2 2 2 2cos x 1 cos22x 4sin 4 x cos 4 x 2sin 2 2x2cos 2x 1 cos 2x.2cos 2x 21 tan 15 °

10、tan 45 °tan 15(3) 原式1 tan 15 °1 tan 45 ta°n 15 tan(45 °15°) 3.思維升華 運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如 tan tan tan() ·(1 tan tan )和二倍角的余弦公式的多種變形等公式 的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力(1) 已知 (0， )，化簡：1sin cos ·cos2 sin 22 2cos (2)在 ABC 中，已知三個內(nèi)角A，B，C 成等差數(shù)列，則 tanA2t

11、anC2 3tanA2tanC2的值為答案(1)cos (2) 3解析 sin2因為(0， )，所以 cos2>0，2 2cos 2 2sin 2cos2 ·cos2(1) 原式 2 2 2 224cos 22 2cos22cos 2 2sin 2cos2 ·cos2 sin2 所以原式 2 2 2 2 2 2 2 (cos2 sin2) ·(cos2 sin2) cos 2sin 2cos .(2)因為三個內(nèi)角A，B，C 成等差數(shù)列，且 A B C，所以 AC23，A2 C3，tanAC2所以 tan 2A tan C2 3tan 2Atan C2 tan

12、 A2 C2 1 tan A2tan C2 3tan A2tan3 1 tan A2tanC2 3tan A2tan C2 3.題型三 三角函數(shù)公式運用中角的變換例 3 (1) 已知 ， 均為銳角，且 sin31 ，tan（ ） .則 sin（ ）53，cos 2（2）（2013 課·標全國 ）已知 sin 2 3，則 cos2A.16112B.13 C.21 D.23答案10 9（1） 10 50 10 （2）A解析（1） ， （0， 2），從而 2< <2.1又tan（ ） 3<0，2<<0.sin（） 1100， cos（） 1 102常見的配角技

13、巧： 2 ( ) ( ) ， ( ) ， 2 2 ， 2 2 ，.34為銳角， sin 5，cos 5.cos cos （ ） cos cos（ ） sin sin（）2 1sin 2 3 1 所以 cos2 4 2 2 61，選 A. 思維升華 1.解決三角函數(shù)的求值問題的關(guān)鍵是把“所求角 ”用“已知角 ”表示 (1)當 “已 知角”有兩個時，“所求角 ”一般表示為兩個 “已知角 ”的和或差的形式； (2)當“已知角 ” 有一個時， 此時應(yīng)著眼于 “所求角 ”與“已知角 ”的和或差的關(guān)系， 然后應(yīng)用誘導公式把 求角”變成 “已知角 ”×3 10 3×（ 10） 10. 5

14、 10 5 10 ） 50 .2 1 cos2（2）因為 cos 4 1cos 22 1sin 22 ， 2 （ 2）（2 ）等（1）設(shè) 、 都是銳角，且 cos 5， sin（ ） 3，則 cos55等于 （）A.2255B.255C.2255或255D. 55或255（2）已知 cos（ 6）sin45 3，則 sin（ 76） 的值是4答案 （1）A （2）45解析 （1） 依題意得 sin 1cos2255，cos（ ） ± 1 sin2 ±45.又 ， 均為銳角，所以 0<< <， cos >cos（）4 5 4因為54> 55>

15、;54，4所以 cos（ ） .5是 cos cos（ ） cos（ ）cos sin（ ）sin 4 5 3 2 5 2 5 × × .5 5 5 5 25（2）cos（6） sincos 32sin 45 3，3（21cos 32 sin ） 3sin（6） 45 3，4sin（6）5，高考中的三角函數(shù)求值、化簡問題2sin 4(2)(2014 課·標全國 )設(shè) (0， 2)，(0，1 sin 2)，且 tan 1cossi n ，則()A 3 2B22C3 2D22(3) (2012 大·綱全國 )已知 為第二象限角，3sin cos 3 ，則 c

16、os 2等于()2cos22sin 1 典例： (1)若 tan 22 2， <2<2，則2A 5 B 5 C. 5 D. 5A 3B 9 C. 9 D. 3cos 17(4) (2012重·慶)sin 47 °sin 17 c°os 30等°于(A 23 B 12 C.12 D. 23思維點撥 (1)注意和差公式的逆用及變形(2)“切化弦 ”，利用和差公式、誘導公式找，的關(guān)系與 sin cos 的聯(lián)系22(3) 可以利用 sin cos 1 尋求 sin ±cos(4) 利用和角公式將已知式子中的角向特殊角轉(zhuǎn)化cos sin 1

17、tan 解析 (1) 原式 ，sin cos 1tan 又 tan 2 2tan 2 2 2，即 2tan2tan 2 0，1 tan21解得 tan 12或 tan 2.1<2<2，2<<.tan 2，故原式1 32 2.1 121 sin sin 1 sin （2）由 tan 得 ，cos cos cos 即 sin cos cos cos sin ，sin（）cos sin（ 2 ）（0，2），（0，2）， （2，2），2（0，2），由sin（ ） sin（2），得 2 ，2 2.（3）方法sincos （sin2 cos ）13，22sin cos 3，3即 s

18、in 2又為第二象限角且sin cos>0，32k2<<2k4（kZ），3 4k <2<4k 2（kZ ），2為第三象限角，cos 21 sin 25.3.方法由 sin cos 33兩邊平方得1 2sin cos 1，3，2sin cos 2.3.為第二象限角， sin >0 ，cos <0，sin cos sin cos 2 1 2sincos 153sin由sin3，3，cos 3 15sin ， 6 得3 15cos 62cos 2 2cos 1 5.3.(4)原式sin 30°17°sin 17 c°os 30

19、cos 17 °sin 30 c°os 17 °cos 30 s°in 17 °sin 17 c°os 30 cos 17 °sin 30 c°os 17 cos 17 °°sin 30 °21.答案 (1)3 2 2 (2)B (3)A (4)C溫馨提醒 (1)三角函數(shù)的求值化簡要結(jié)合式子特征， 靈活運用或變形使用公式 (2)三角求值 要注意角的變換，掌握常見的配角技巧方法與技巧1巧用公式變形：和差角公式變形： tan x±tan y tan(x±y) ·

20、;(1?tan x·tan y) ；倍角公式變形：降冪公式 cos21 cos 221 cos 2sin 2配方變形： 1±sin 21cos 2cos 2，21 cos 2sin 2.2重視三角函數(shù)的 “三變 ”：“ 三變”是指“變角、變名、變式 ”；變角：對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等在解決求值、化簡、證明問題時，一般是觀察角度、函數(shù)名、 所求(或所證明 )問題的整體形式中的差異，再選擇適當?shù)娜枪胶愕茸冃问д`與防范1運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對

21、性，要注意升次、降次的靈活運用，要注意 “1” 的各種變通22在 （0， ）范圍內(nèi)， sin（ ） 2 所對應(yīng)的角 不是唯一的3在三角求值時，往往要估計角的范圍后再求值.組 專項基礎(chǔ)訓練（時間： 30 分鐘 ）1已知 tan（ ）25，tan1，4 4，那么 tan 4等于 ()13A.1813B.223C.221D.16答案解析因為44，所以4 （）tan tan tan tan 4 3 22. 41tantan2若4，2，347A.35B.4 *5C4答案D解析由sin23D.4sin 2387，則 sin 等于 ()22sin cos 1 得(sin cos )23871( 43 7 2

22、)2，又 4， 2，3 7sin cos 43已知 tan 4，則21cos 2 8sinsin 2 的值為 （65B. 4C4D.233答案 B2221cos 28sin 2cos 8sin 解析 sin 2 2sin cos tan 4，cos 0，分子、分母都除以cos222 8tan 2tan 65.4.A. 22 3B. 2C. 3D2 2 1答案C解析4cos 50 ° tan 40 °4sin 40 c°os 40 °sin 40cos 40 °4 （2013 重·慶）4cos 50 °tan 40等°

23、;于（）2sin 80 °sin 40 °2sin 50°30°sin 40cos 40cos 403sin 50 °cos 50 °sin 40 ° 3sin 50 ° cos 40 ° 3.cos 405已知 cos（x 6） 33，則 cos x cos（x 3）的值是 （）A233B±2 3±3C1D±1答案 C解析 cos x cos（x 3）cos x2cos x 23sin x32cos x 23sin xcos x 12sin x） 3cos（x 6） 1.2

24、 sin250° 1 sin 101答案 12解析sin250° 1cos 100 °1sin 10 °2 1sin 10 °1cos 90° 10° 1sin 10 ° 12 1sin 10 ° 2 1sin 10 °2.7已知 、 均為銳角，且 cos（ ） sin（），則 tan 答案 1解析 根據(jù)已知條件：cos cos sin sin sin cos cos sin ， cos (cos sin ) sin (cos sin )0， 即(cos sin )(cos sin )0.又 、

25、 為銳角，則 sin cos >0，cos sin 0，tan 1.8.3tan 12 °38. 4coscos 12 °2cos 24 s°in 12 ° 3sin 48°2 3sin 4812° 2 sin 12答案 4 3解析原式c3ossin 1 122 3cos 1222 2cos212 °1 sin 122 3 12sin 12 ° 22cos 24 s°in 12 c°os 12 °sin 24 c°os 24cos 12 ° 2 3sin 48

26、12sin 48 4 3.9已知1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 2tan，試確定使等式成立的的取值集合|1sin | |1 sin | |cos | |cos |1 sin 1sin |cos |2sin |cos |，2sin 2sin 所以 2tan .|cos |cos 所以 sin 0 或|cos | cos >0. 3 故 的取值集合為 |k或 2k2<<2k或 2k<<2k 2 ，kZ 610已知 2， ，且 sin 2 cos 2 2 .（1）求 cos 的值；（2）若 sin（） 35， 2， ，求 cos 的值解 （1）因為 si

27、n 2 cos 2 26，1兩邊同時平方，得 sin 2.又2<<，所以cos 3.2.（2）因為 2<<，2< <， 所以 < <2，故 2<<2.34又 sin（） ，得 cos（ ） .55cos cos（ ） cos cos（ ） sin sin（） 23×5412× 354 1303B 組 專項能力提升（時間： 25 分鐘 ） 1 11已知 tan（4） 2，且 2<<0，22sin sin 2則 等于 （cos 4A255 B3 5 C3 10 D.2 510 10 5答案 A tan 1

28、1 1 解析 由 tan（ ） ，得 tan .4 1tan 2 3又 2< <0，所以sin10 10 .cos 422 sin cos tan 3.22sin sin 2 2sin sin cos 故 2 2sin 2 5. 5 .12若 0， 2，且 sin 2 cos 2cos 2或2(舍去 )， 14，則 tan 的值等于 ( )2A. 2B. 33 C. 2 D. 3答案D解析 2 1 0， 2 ，且 sin cos 24，2 2 2 1 2 1 sin cos sin 4，cos 4，答案7210解析因為 sin 22sin cos 22sin cos 2tan 2t

29、an 14，5，又由 （0， 4） ，得 2（0，2），所以 cos 2 1sin22 35，所以 sin（2 4） 4 2 3 2 7 2 sin 2cos cos 2sin × × .4 4 5 2 5 2 107 3 14已知函數(shù) f（x） sin x 4 cos x 4 ，xR .(1)求 f( x)的最小正周期和最小值；4 4 2(2)已知 cos( ) 5， cos() 5， 0<< 2，求證： f() 220.(1)解7x 42f(x) sinT2， f(x)的最小值為 2.4(2)證明 由已知得 cos cos sin sin 5，4cos cos sin sin