高中數(shù)學(xué)第二章直線和圓的極坐標(biāo)方程學(xué)案選修4-4

1、教育資源1 2.4 曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化*2.5 圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程1能在極坐標(biāo)系中，求直線或圓的極坐標(biāo)方程2會(huì)進(jìn)行曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化3了解圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程1直線和圓的極坐標(biāo)方程(1) 極坐標(biāo)方程與曲線在極坐標(biāo)系中，曲線可以用含有， 這兩個(gè)變量的方程( ，) 0 來(lái)表示如果曲線c上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程( ，) 0 建立了如下關(guān)系：曲線c上的每個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)中_滿足方程( ，) 0；極坐標(biāo)滿足方程( ，) 0 的_都在曲線c上那么方程 ( ，) 0 叫作曲線c的_， 曲線c叫作極坐標(biāo)方程( ，)0 的_(2) 直線的極坐標(biāo)方程直線l經(jīng)過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為，

2、則直線l的極坐標(biāo)方程是_(3) 圓的極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程是_ _；圓心在 (a,0)(a0) ，半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程是_【做一做11】在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)m2，2，且平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是_【做一做 12】在極坐標(biāo)系中，圓心在點(diǎn)a，2(a0)處，且過(guò)極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程是 ( ) a 2acos b 2asin (0 ) catan d 2atan (0 ) 2曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化根據(jù)點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化關(guān)系式，曲線方程兩種形式的互化可以順利完成點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化關(guān)系如下：(1) 點(diǎn)m的極坐標(biāo) ( ，) 化為直角坐標(biāo)(x，y) 的公

3、式：x，y；(2) 點(diǎn)m的直角坐標(biāo) (x，y) 化為極坐標(biāo) ( ， ) 的公式：2，tan x【做一做 21】極坐標(biāo)方程cos 22( 0)表示的曲線是( )a余弦曲線 b兩條相交直線c一條射線 d兩條射線【做一做 22】直角坐標(biāo)方程x2(y2)24 化為極坐標(biāo)方程為_3圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程是_，當(dāng) 0e1 時(shí)，它表示 _；教育資源2 當(dāng)e1 時(shí)，它表示 _；當(dāng)e1 時(shí)，它表示 _【做一做 3】把極坐標(biāo)方程 42cos 化為直角坐標(biāo)方程1求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟剖析： (1) 建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)p( ，) 是曲線上的任意一點(diǎn)；(2) 由曲線上的點(diǎn)所滿足的條件，列

4、出曲線上任意一點(diǎn)的極徑 和極角 之間的關(guān)系式f( ， ) 0；(3)將列出的關(guān)系式f( ，) 0 進(jìn)行整理，化簡(jiǎn)，得出曲線的極坐標(biāo)方程； (4) 證明所得的方程就是曲線的極坐標(biāo)方程，若方程的推導(dǎo)過(guò)程正確，化簡(jiǎn)過(guò)程都是同解變形，這一證明可以省略2直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化時(shí)的注意事項(xiàng)剖析： (1) 兩組公式是在三個(gè)條件規(guī)定下得到的；(2) 由直角坐標(biāo)求極坐標(biāo)時(shí)，理論上不是唯一的，但一般約定只在規(guī)定范圍內(nèi)求值；(3) 由直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，最后要化簡(jiǎn)；(4) 由極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)要注意變形的等價(jià)性，通?？傄?去乘方程的兩端答案：1(1) 至少有一組( ，) 點(diǎn)極坐標(biāo)方程曲線(2) (

5、r)(3) r2acos 【做一做11】sin 2( 0)如圖，設(shè)p( ，)( 0)為所求直線上任意一點(diǎn)，在 rtomp中，cos2 2( 0)，即 sin 2( 0)【做一做 12】 b 如圖所示， 圓與射線op的交點(diǎn)為p2a，2， 在圓上任取一點(diǎn)m( ，) ，連接om和mp，則有ommp，在 rt mop中，由 rtmop的邊角關(guān)系可得2acos2 2asin (0 )教育資源3 2(1) cos sin (2)x2y2yx【做一做 21】d cos 22， cos 22 . 兩邊平方，得x212(x2y2) ，即yx. 又 0， cos x0.yx(x0) 表示兩條射線【做一做 22】4

6、sin x2(y2)24 可化為x2y24y，把x cos ，y sin 代入，得 ( cos )2( sin )24sin ，化簡(jiǎn)得 4sin . 3ep1ecos 橢圓拋物線雙曲線【做一做 3】 解： 由 42cos 變形得 2cos 4， 把 x2y2，xcos 代入，平方，得4x2 4y2x28x 16，即 3x28x4y2160. 題型一求直線的極坐標(biāo)方程【例 1】設(shè)p2，4，直線l過(guò)p點(diǎn)且傾斜角為34，求直線l的極坐標(biāo)方程分析： 設(shè)m( ，)( 0)是直線l上除p點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，極點(diǎn)為o，構(gòu)造三角形求om. 反思：在極坐標(biāo)系中，求直線的極坐標(biāo)方程的一般方法為：設(shè)m( ，) 為直線上

7、任意一點(diǎn)，極點(diǎn)為o，連接om，構(gòu)造出含有om的三角形，再找出我們需求的 與 的關(guān)系，即為直線的極坐標(biāo)方程也可以先求出直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程題型二求圓的極坐標(biāo)方程【例 2】求以c(4,0) 為圓心，半徑等于4 的圓的極坐標(biāo)方程反思：在極坐標(biāo)系中，求圓的極坐標(biāo)方程時(shí)，關(guān)鍵是找出曲線上的點(diǎn)滿足的關(guān)系，將它用坐標(biāo)表示并化簡(jiǎn)，得到 和 的關(guān)系，即為所求極坐標(biāo)方程題型三極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化【例 3】 將下列式子進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化(1)x2y24；(2)(x1)2(y2)2 4；(3) 3cos ；(4) cos 4. 反思：極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系都是用一對(duì)有序?qū)崝?shù)來(lái)確定

8、平面上點(diǎn)的位置的方法，都是研究平面圖形的重要工具在進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時(shí)，除了正確使用互化公式外，還要注意變形的等價(jià)性題型四圓錐曲線的極坐標(biāo)方程【例 4】平面直角坐標(biāo)系中，有一定點(diǎn)f(2,0) 和一條定直線l：x 2. 求與定點(diǎn)f的距離和定直線l的距離的比等于常數(shù)12的點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程分析：用待定系數(shù)法求極坐標(biāo)方程反思：求圓 錐曲線的極坐標(biāo)方程，關(guān)鍵是建立極坐標(biāo)系，明確p的幾何意義，求出e和p，圓錐曲線的極坐標(biāo)方程就求出來(lái)了答案：【例 1】解：如圖所示，設(shè)m( ，)( 0)為直線l上除p點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，極點(diǎn)為o，連接om，op，該直線交ox于點(diǎn)a，教育資源4 則有 |om| ，

9、|op| 2，mop | 4| ，opm2，所以 |om|cos mop|op| ，即 cos 42，即 cos 42，顯然點(diǎn)p也在這條直線上故所求直線的極坐標(biāo)方程為cos 42. 【例 2】解： 如圖所示，由題設(shè)可知，這個(gè)圓經(jīng)過(guò)極點(diǎn)，圓心在極軸上，設(shè)圓與極軸的另一個(gè)交點(diǎn)是a，在圓上任取一點(diǎn)p( ，) ，連接op，pa，在 rtopa中， |oa| 8，|op| ， aop，|oa| cos ，即 8cos ，即 8cos 就是圓c的極坐標(biāo)方程【例 3】 解： (1) 將xcos ，ysin 代入x2y24 得( cos )2( sin )24，即 24. (2) 將(x1)2(y 2)24

10、展開得x22xy24y 1. 將xcos ，ysin 代入x22xy24y 1，得 ( cos )22cos ( sin )24sin 1. 化簡(jiǎn)，得 22cos 4sin 10. (3) 因?yàn)?3cos ，所以 2 3cos ，即x2y23x. (4) 由 cos 4cos cos4sin sin422cos 22sin . 整理，得 222cos 22sin ，即x2y222x22y. 即x222xy222y 0. 【例 4】解：過(guò)定點(diǎn)f作定直線l的垂線，垂足為k，以f為極點(diǎn)，fk的反向延長(zhǎng)線fx教育資源5 為極軸，建立極坐極系由題意，設(shè)所求極坐標(biāo)方程為ep1ecos ，定點(diǎn)f(2,0)

11、，定直線l：x 2，p為f點(diǎn)到直線l的距離，為2( 2) 4. 又常數(shù)12e，所求點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為ep1ecos 124112cos ，即 42cos . 1 極坐標(biāo)方程為2cos 的圓的半徑是 ( ) a1 b2 c12 d3 2 過(guò)點(diǎn)a(2,0)，并且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是( ) acos 2 bsin 2 ccos 1 dsin 1 3 已知一條直線的極坐標(biāo)方程為2sin42，則極點(diǎn)到該直線的距離是_4 從原點(diǎn)o引直線交直線2x 4y10 于點(diǎn)m，p為射線om上一點(diǎn)，已知|op| |om|1. 求p點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程答案：1a 2cos ， 22cos ，即x2y22x. 化簡(jiǎn)，得 (x 1)2y21. 半徑為1. 2a 如圖所示，設(shè)m(，) 為直線上除a(2,0) 外的任意一點(diǎn)， 連接om，則有aom為直角三角形，并且aom ，|oa| 2，|om| ，所以有 |om|cos |oa| ，即 cos 2，顯然當(dāng)2，0 時(shí)，也滿足方程 cos 2，所以所求直線的極坐標(biāo)方程為cos 2. 322sin 4 sin cos4cos sin422sin 22cos 22，sin cos 1，即xy1. 則極點(diǎn)到該直線的距離d|0 01|222. 4解： 以o