高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)第七篇不等式第2講一元二次不等式及其解法理

1、- 1 - 【2013 年高考會(huì)這樣考】1會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式模型2考查一元二次不等式的解法及其“三個(gè)二次”間的關(guān)系問(wèn)題3以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)為載體，考查不等式的參數(shù)范圍問(wèn)題【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1結(jié)合“三個(gè)二次”之間的聯(lián)系，掌握一元二次不等式的解法2熟練掌握分式不等式、無(wú)理不等式、含絕對(duì)值不等式、高次不等式、指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式的解法基礎(chǔ)梳理1一元二次不等式的解法(1) 將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式ax2bxc0(a0) 或ax2bxc0(a0) (2) 求出相應(yīng)的一元二次方程的根(3) 利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集2一元二次不等式與相應(yīng)的二

2、次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表：判別式b24ac 0 0 0 二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖象一元二次方程ax2bxc0 (a0) 的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1x2) 有兩相等實(shí)根x1x2b2a沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2bxc0 (a0) 的解集x|xx2或xx1 x|xb2arax2bxc0 (a0) 的解集x|x1xx2?一個(gè)技巧一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的確定受a的符號(hào)、b24ac的符號(hào)的影響，且與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程有密切聯(lián)系，可結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)yax2bxc(a0)的圖- 2 - 象，數(shù)形結(jié)合求得不等式的解集若一元二次不等式經(jīng)過(guò)不等式的同解變形后，化為ax2b

3、xc 0(或 0)( 其中a0)的形式，其對(duì)應(yīng)的方程ax2bxc 0 有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，(x1x2)( 此時(shí) b24ac0) ，則可根據(jù)“大于取兩邊，小于夾中間”求解集兩個(gè)防范(1) 二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，參數(shù)的符號(hào)影響不等式的解集；不要忘了二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的情況；(2) 解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對(duì)根的大小進(jìn)行分類(lèi)討論；若不能因式分解，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)要不重不漏雙基自測(cè)1( 人教 a版教材習(xí)題改編) 不等式x23x20 的解集為 ( ) a( ， 2)( 1， ) b( 2， 1) c( ， 1) (2 ， ) d(1,2) 解析(x 1)(x2

4、) 0， 1x2. 故原不等式的解集為(1,2) 答案d 2(2011廣東 ) 不等式 2x2x10 的解集是 ( ) a. 12，1b(1 ，)c( ， 1) (2 ， ) d. ，12(1，)解析2x2x1(x1)(2x1) 0，x 1或x12. 故原不等式的解集為，12(1 ， ) 答案d 3不等式9x26x10 的解集是 ( ) a.x|x13b. 13c.x| 13x13dr解析9x26x1(3x1)20，9x2 6x10 的解集為x|x13. 答案b - 3 - 4(2012許昌模擬) 若不等式ax2bx20 的解集為x| 2x14，則ab( )a 28 b 26 c28 d26

5、解析x 2，14是方程ax2bx20 的兩根， 2a1412，ba74，a 4，b7. ab28. 答案c 5不等式ax22ax10 對(duì)一切xr恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)解析當(dāng)a0 時(shí)，不等式為10 恒成立；當(dāng)a0時(shí)，須a0，0，即a0，4a2 4a0.0a1，綜上0a1.答案0,1 考向一一元二次不等式的解法【例 1】?已知函數(shù)f(x) x22x，x0，x2 2x，x 0，解不等式f(x) 3. 審題視點(diǎn) 對(duì)x分x0、x0 進(jìn)行討論從而把f(x) 3 變成兩個(gè)不等式組解由題意知x0，x22x3或x0，x2 2x3，解得：x1. 故原不等式的解集為x|x1 解一元二次不等式的一般步驟是：(

6、1) 化為標(biāo)準(zhǔn)形式；(2) 確定判別式 的符號(hào)；(3) 若 0，則求出該不等式對(duì)應(yīng)的二次方程的根，若0，則對(duì)應(yīng)的二次方程無(wú)根；(4)結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集特別地，若一元二次不等式的左邊的二次三項(xiàng)式能分解因式，則可立即寫(xiě)出不等式的解集【訓(xùn)練 1】 函數(shù)f(x) 2x2x3log3(3 2xx2) 的定義域?yàn)?_- 4 - 解析依題意知2x2x30，32xx20，解得x32或x1，1x3.1x3. 故函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)?1,3) 答案1,3) 考向二含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例 2】?求不等式 12x2axa2(ar)的解集 審題視點(diǎn) 先求方程12x2axa2的根，討論根的大

7、小，確定不等式的解集解12x2axa2， 12x2axa20，即(4xa)(3xa) 0，令 (4xa)(3xa) 0，得：x1a4，x2a3. a 0時(shí)，a4a3，解集為x|xa4或xa3；a 0時(shí)，x20，解集為 x|xr且x0；a 0時(shí)，a4a3，解集為x|xa3或xa4. 綜上所述：當(dāng)a0 時(shí)，不等式的解集為x|xa4或xa3；當(dāng)a0 時(shí)，不等式的解集為x|xr且x0；當(dāng)a0 時(shí)，不等式的解集為x|xa3或xa4. 解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：(1) 二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于 0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式(2) 判斷方程的根的個(gè)數(shù)，討論判別

8、式 與 0 的關(guān)系(3) 確定無(wú)根時(shí)可直接寫(xiě)出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式【訓(xùn)練 2】 解關(guān)于x的不等式 (1 ax)21. 解由(1 ax)21，得a2x22ax 0，即ax(ax2)0，當(dāng)a0 時(shí)，x?. 當(dāng)a0 時(shí)，由ax(ax 2)0，得a2x x2a0，- 5 - 即 0 x2a. 當(dāng)a0 時(shí)，2ax 0. 綜上所述：當(dāng)a0 時(shí)，不等式解集為空集；當(dāng)a0 時(shí)，不等式解集為x0 x2a；當(dāng)a0 時(shí)，不等式解集為x2ax 0 . 考向三不等式恒成立問(wèn)題【例 3】?已知不等式ax24xa12x2對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 審題視點(diǎn) 化為標(biāo)準(zhǔn)形

9、式ax2bxc 0 后分a 0 與a0 討論當(dāng)a0 時(shí)，有a0，b2 4ac0.解原不等式等價(jià)于(a2)x2 4xa 10 對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立， 顯然a 2 時(shí)，解集不是 r，因此a 2，從而有a20，42aa0，整理，得a 2，aa0，所以a 2，a 3或a2，所以a2. 故a的取值范圍是 (2 ， ) 不等式ax2bxc 0 的解是全體實(shí)數(shù)( 或恒成立 ) 的條件是當(dāng)a0 時(shí)，b0，c0；當(dāng)a0 時(shí)，a0， 0；不等式ax2bxc0 的解是全體實(shí)數(shù)( 或恒成立 ) 的條件是當(dāng)a0 時(shí)，b0，c0；當(dāng)a0 時(shí)，a0，0.【訓(xùn)練 3】 已知f(x) x22ax2(ar) ，當(dāng)x 1， ) 時(shí)，f

10、(x) a恒成立，求a的取值范圍解法一f(x) (xa)22a2，此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為xa. 當(dāng)a( ， 1) 時(shí)，f(x) 在 1， ) 上單調(diào)遞增，f(x)minf( 1) 2a3. 要使f(x) a恒成立，只需f(x)mina，即 2a3a，解得 3a 1；當(dāng)a 1， ) 時(shí)，f(x)minf(a) 2a2，- 6 - 由 2a2a，解得 1a1.綜上所述，所求a的取值范圍為 3,1 法二令g(x) x22ax2a，由已知，得x22ax2a0 在 1， ) 上恒成立，即 4a24(2 a) 0 或0，a 1，g解得 3a1.所求a的取值范圍是 3,1 規(guī)范解答 12 怎樣求解含參數(shù)不

11、等式的恒成立問(wèn)題【問(wèn)題研究】含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題越來(lái)越受高考命題者的青睞，且由于新課標(biāo)對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的加強(qiáng)，這些不等式恒成立問(wèn)題往往與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題交織在一起，在近年的高考試題中不難看出這個(gè)基本的命題趨勢(shì). 對(duì)含有參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，破解的方法主要有：分離參數(shù)法和函數(shù)性質(zhì)法. 【解決方案】解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將恒成立問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，使之轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題. 【示例】 ?( 本題滿(mǎn)分14 分)(2011 浙江 ) 設(shè)函數(shù)f(x)(xa)2ln x，ar. (1) 若x e 為yf(x) 的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a；(2) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的x(0,3e，恒有f(x) 4e2成立注： e

12、為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)本題對(duì)于 (1) 問(wèn)的解答要注意對(duì)于結(jié)果的檢驗(yàn)，因?yàn)閒(x0) 0，x0不一定是極值點(diǎn)；對(duì)于 (2) 問(wèn)的解答可以采用分離參數(shù)求最值的方法進(jìn)行突破，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為單邊求最值，相對(duì)分類(lèi)討論求解要簡(jiǎn)單的多 解答示范 (1)求導(dǎo)得f(x) 2(xa)ln xxa2x (xa)(2ln x1ax) (2 分) 因?yàn)閤e 是f(x) 的極值點(diǎn)，所以f(e) (e a) 3ae0，解得ae 或a3e. 經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以ae 或a3e.(4分) (2) 當(dāng) 0 x1 時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，恒有f(x) 0 4e2成立 (5 分) 當(dāng) 1x3e 時(shí)，由題意，首先有f(3e) (3e a

13、)2ln(3e) 4e2，解得 3e2ea3e2e(6 分) - 7 - 由(1) 知f(x) xa2ln x1ax.(8分) 令h(x) 2ln x1ax，則h(1) 1a0，h(a) 2ln a 0，且h(3e) 2ln(3e)1a3e2 ln(3e) 13e2e3e2ln 3e 13ln 3e0.(9 分 ) 又h(x)在 (0 ， ) 內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)h(x) 在(0 ， ) 內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為x0，則 1x03e,1 x0a. 從而，當(dāng)x(0，x0) 時(shí)，f(x) 0；當(dāng)x(x0，a)時(shí)，f(x) 0；當(dāng)x(a，) 時(shí)，f(x)0. 即f(x) 在(0，x0) 內(nèi)單調(diào)遞增，

14、在(x0，a) 內(nèi)單調(diào)遞減，在(a， ) 內(nèi)單調(diào)遞增所以要使f(x) 4e2對(duì)x(1,3e 恒成立，只要fx0 x0a2ln x04e2，fa22，成立 (11 分) 由h(x0) 2ln x01ax00，知a2x0ln x0 x0.(3) 將(3) 代入 (1) 得 4x20ln3x04e2. 又x01，注意到函數(shù)x2ln3x在(1 ， ) 內(nèi)單調(diào)遞增，故1x0e.再由 (3) 以及函數(shù)2xln xx在(1 ， ) 內(nèi)單調(diào)遞增，可得1a3e.由(2) 解得， 3e2ea3e2e. 所以 3e2ea3e.(13分) 綜上，a的取值范圍為3e2ea3e.(14分) 本題考查函數(shù)極值的概念，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生推理論證能力分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力難度較大，做好此類(lèi)題目，一要有信心，二要結(jié)合題意進(jìn)行恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化，化難為易，化陌生為熟悉【試一試】設(shè)函數(shù)f(x) ax33x1，若對(duì)于任 意x 1,1 ，都有f(x) 0成立，求實(shí)數(shù)a的值 嘗試解答 (1) 若x 0，則不論a取何值，f(x) 10 恒成立(2) 若x 0，