1綜合法和分析法

1、第:章推理與證昭§2.2直接證明與間接證明2.2.1綜合法和分析法2了解分析法和綜合法的思學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解直接證明的兩種基本方法：分析法與綜合法 維過程和特點(diǎn).3會用分析法、綜合法證明實(shí)際問題 .知識梳理自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一綜合法 1定義一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo) 出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法2基本模式綜合法的證明過程如下：已知條件？結(jié)論Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法用即用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,框圖可表示為：f 一 Qn? Q3綜合法的證明格式因為，所以，所以，所以成立思考 綜合法的推理過程是合情推理

2、還是演繹推理? 答案演繹推理知識點(diǎn)二分析法 1分析法一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)， 逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后， 把要證明的結(jié)論 歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件 （已知條件、定理、定義、公理等 ）為止，這種證明方法叫做 分析法 2基本模式用Q表示要證明的結(jié)論，P表示條件，則分析法可用框圖表示為: Q?P1 T|Pl?P2It|P2?P3f 一 |得到一個明顯成立的條件 3分析法的證明格式要證，只需證，只需證，因為成立，所以成立思考 分析法與綜合法有哪些異同點(diǎn)？答案 相同點(diǎn)：兩者都是直接利用原命題的條件(或結(jié)論)，逐步推得命題成立的證明方法直接證明法不同點(diǎn)：證法 1由因?qū)Ч?，使用綜合法；證

3、法 2，執(zhí)果索因，使用分析法題型探究重點(diǎn)突破題型一綜合法的應(yīng)用例1 已知a, b是正數(shù)，且a+ b = 1，求證：1+1 > 4.a b證明方法一 / a, b是正數(shù)，且a + b= 1,a + b 1=> 4. ab ab1 a + b> 2 ab,二 ab< 刁,方法二 / a, b 是正數(shù)， a+ b > 2 ,ab>0 ,方法三 1+ b= 業(yè)+ 竽=1 + b + a+ 1 >2 + 2 -= 4.當(dāng)且僅當(dāng)a = b時，取“=”號.a b a ba b a b反思與感悟 利用綜合法證明問題的步驟:(1)分析條件選擇方向：仔細(xì)分析題目的已知條件

4、(包括隱含條件),分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別，選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法(2)轉(zhuǎn)化條件組織過程：把題目的已知條件， 轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言， 主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化，組織過程時要有嚴(yán)密的邏輯，簡潔的語言，清晰的思路(3)適當(dāng)調(diào)整回顧反思：解題后回顧解題過程，可對部分步驟進(jìn)行調(diào)整，并對一些語言進(jìn)行 適當(dāng)?shù)男揎?，反思總結(jié)優(yōu)化解法.跟蹤訓(xùn)練1已知a, b, c R,且它們互不相等，求證a4+ b4+ c4> a2b2+ b2c2+ c2a2.證明 - a4 + b4>2a2b2 ,b4+ c4>2b2c2,a4+ c4>2a2c

5、2, / 2(a4 + b4 + c4)>2(a2b2+ b2c2+ c2a2),4 , i_4 ,4、詁 2 ,2 ,2 2即 a + b + c > a b + b c + c a .又：a, b, c互不相等. a4 + b4 + c4> a2b2 + b2c2 + c2a2.題型二分析法的應(yīng)用例 2 已知 a>5,求證，a 5 a 3v a 2 a.證明 要證” a 5 a 3v ” a 2 a,只需證、.ja 5+ qav ;a 3+ %： a 2,只需證（；.：a 5+ a）? v （、j a 3 + .； a 2）2,只需證2a 5 + 2 a2 5a v

6、 2a 5+ 2寸a2- 5a+ 6,只需證 ' j a 5av a 5a + 6,只需證 a 5av a 5a + 6,只需證0v 6.因為0v 6恒成立，所以-a 5 a 3v a 2 .a成立.反思與感悟分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為一個明顯成立的條件.利用分析法證明時，要求一般格式要規(guī)范，其關(guān)鍵詞“要證”“只需證”等不能漏掉，這是用分析法證題易忽視的地方跟蹤訓(xùn)練2若a, b, c是不全相等的正數(shù)，求證lg a_b+ lg b'+c+ lg >Ig a+ Ig b + Igc.證明方法一（分析法）a+ b b+

7、 c c+ a要證 lg 2 + lg 2 + lg 2 > lg a+ lg b+ lg c,a+ b b+ c c + a即證 lg> lg（abc）,V 222 Ja+ b b + c c+ a只需證一廠 > abc.a + bb+ cc+ a廠> ab> 0,> bc> 0, > ca> 0,a + b b + cc+ a廠> abc > 0 成立.(*)又 a, b, c是不全相等的正數(shù), (*)式等號不成立，原不等式成立方法二(綜合法)/ a, b, c R +,a + bb+ cc+ a廠ab> 0, .bc

8、> 0, 一> . ca> 0.又 a, b, c是不全相等的正數(shù),a + b b + cc+ a2 > abc,'a+ b b+ c c+ a '、 丿lg(abc),a+ b b+ c c+ a lg 2 + lg 2 + lg 2 > lg a + lg b + lg c.題型三綜合法和分析法的綜合應(yīng)用例3 已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，且 0<x<1.求證：logxl + logxbT_c+ logx號£logxa+ logxb+ logxc.證明要證logx-2a + b b + c a+ c+ logx-+ lo

9、gx-<logxa + logxb+ logxc,只需證logxa+ b b + c a+ c ； 盲 T ,<logx(abc).由已知a+ b b + c a+ c0<x<1，只需證明>abc.由公式a+ bb+ ca + c> ,ab>0,> bc>0,> ac>0,又 a, b, c是不全相等的正數(shù),a + b b + c a+ c2 T T> Ja2b2c2= abc.a + b b + c a+ c即L>abc 成立.a + bb + ca+ c'jogx-+ logx-+ logx-<lo

10、gxa + logxb+ logxc 成立.反思與感悟綜合法推理清晰，易于書寫，分析法從結(jié)論入手，易于尋找解題思路，在實(shí)際證明命題時，常把分析法與綜合法結(jié)合起來使用，稱為分析綜合法，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q;根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P(yáng);若由P可推出Q,即可得證.跟蹤訓(xùn)練3 設(shè)a, b, c為任意三角形的三邊長，1= a+ b + c, S= ab+ bc+ ca,試證明：3S< I2V 4S.證明 I = a + b + c, S= ab + bc+ ca, - -1 = (a+ b + c) = a + b + c + 2(ab +

11、bc+ ac) = a +b2 + c2 + 2S.于是，要證 3SW I2v 4S,即證 3SW a2 + b2+ c2 + 2Sv 4S,即證 S< a2+ b2+ c2v 2S.(1)要證 Sw a?+ b?+ c?,即證 a?+ b? + c? ab bc ca0,即證(a? + b? 2ab)+ (b?+ c? 2bc)2 2 2 2 2+ (a + c 2ca)0，即證(a b) + (b c) + (a c)0. (a b)?>0 , (b c)2> 0, (a c)?0,二(a b)? + (b c)? + (a c)?0,二 Sw a?+ b? + c? 成

12、立.要證 a + b + c V 2S,即證 a + b + c 2ab 2bc 2acv 0，即證(a ab ac) + (b ab bc) + (c ac bc) v 0，即證 aa (b+ c) + bb (a+ c) + cc (a + b) v 0. a, b, c 為任 意三角形的三邊長， a>0, b>0, c>0, 且 a + b>c, a+ c>b, b + c>a,aa (b+ c) v 0, bb (a + c) v 0, cc (a + b) v 0, aa (b + c) + bb (a+ c) + c c (a+ b) v 0,

13、a2 + b2 + c2v 2S 成立.綜合(1)(2)可知，Sw a2+ b2 + c2v 2S成立，于是 3Sw I2v 4S成立.易錯易混因誤用證明依據(jù)而出錯例4 已知a, b, c均為正實(shí)數(shù)，求證2 2 | -2 2 | 2 2 ab+ bc+ ca > abc.錯解 因為 a1A.b B. b C. D. 7 bb答案 B解析 函數(shù)f(x)的定義域為x| 1 v xv 1，且f( x) = f(x)，二函數(shù)f(x)為奇函數(shù)， f( a)b2 + b2c2+ c2a23-a2b2 b2c2 c2a2 =3abcabc, a + b + c> 3abc,所以牯 + b% +

14、c苛=f(a)= b.3. 若+ b心> a& + b諂，貝U a, b應(yīng)滿足的條件是 . 答案 a> 0, b> 0且a工bababc= abc. a+ b + c3 爲(wèi)錯因分析由于對不等式的性質(zhì)把握不清而導(dǎo)致錯誤不等式的性質(zhì)：若a>b>0,c>d>0,a b則ac> bd,但a > &卻不一定成立.c2a2 + a2b2> 2a2bc,正解 因為 a2b2 + b2c2>2ab2c, b2c2 + c2a2>2abc2,把以上三式相加，并化簡得a2b2+ b2c2+ c2a2> abc(a + b

15、 + c).2 2 2 2 a b + b c + c a兩邊同除以正數(shù) a+ b + c,得> abc.a+ b+ c性質(zhì)、公理、法則進(jìn)防范措施在利用分析法或綜合法證明問題時，要嚴(yán)格依據(jù)有關(guān)定理、 行證明h當(dāng)堂檢測 自查自糾1. 分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的()A. 充分條件B.必要條件C.充要條件D.等價條件答案 A1 一 x2. 已知函數(shù) f(x) = lg ，若 f(a) = b,貝V f( a)等于()1 + x解析 a a+ b b>a b + b a? ( a b)2( a+ ,b)>0? a>0, b> 0,且 a工 b.194

16、. 已知a, b,卩 (0,),且-+匚=1,則使得a+ b>卩恒成立的的取值范圍是 .a b答案 (0,16解析/ a, b (0, + g)，且 1 + 9 = 1,. a+ b=(a+ b) £+ 9 = 10+ 曽+£ > 10+ 2 9 = 16 , a+ b的最小值為16 , 要使a + b恒成立，需16禺/ 0v 產(chǎn)16.5.求證:亠+亠+亠2Iog519 Iog319 Iog219 厶1證明因為臥=gb，所以左邊 =log 195 + 2log 193 + 3log 19223=log 195 + log 193 + Iog19223=log 1

17、9(5 x 3 x 2 ) =log 19360.因為 Iog19360<log 19361 = 2 ,所以123+<2 Iog519 + Iog319+ Iog219<2課堂小結(jié)1. 綜合法：(1)用綜合法證明不等式，證明步驟嚴(yán)謹(jǐn)，逐層遞進(jìn),步步為營，條理清晰，形式簡潔，利于表達(dá)推理的思維軌跡.(2)綜合法證明問題的步驟：第一步，分析條件，選擇方向;第二步，轉(zhuǎn)化條件，組織過程；第三步，回顧反思，適當(dāng)調(diào)整2. 分析法：所證結(jié)論較為復(fù)雜或不好直接從條件證明時，我們往往采用分析法證明問題，其 關(guān)鍵是對結(jié)論進(jìn)行等價變形，不等價無意義，也找不到成立的條件3. 分析綜合法：有時解題需要

18、一邊分析，一邊綜合，稱之為分析綜合法，它表明分析與綜合相互聯(lián)系，分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn)，綜合的終點(diǎn)又進(jìn)一步成為分析的起點(diǎn) .運(yùn)用綜合法與 分析法聯(lián)合解題時，一方面要特別注意 “分析”那部分的敘述，不能與綜合混為一談， 也就 是說要注意它們之間的區(qū)別； 另一方面，要習(xí)慣用分析法探求解題的途徑， 再用綜合法完成 命題的證明1. 要證明3 +.6v . 19,可選擇的方法有下面幾種，其中最合適的是（）A.綜合法B.分析法C.特殊值法D.其他方法答案 B2. 已知a, b, c為互不相等的正數(shù)，且a2 + c2 = 2bc,則下列關(guān)系中可能成立的是（）A.a> b>cB.b> c&g

19、t; aC.b > a> cD.a > c> b答案 C解析 由 a2+ c2>2ac, a2 + c2= 2bc,得 2bc>2ac.又/ c> 0,二 b> a,可排除 A , D.令 a= 2,5b= 5，可得c= 1或c = 4,可知C可能成立.1113. 若實(shí)數(shù)a, b, c滿足a+ b + c= 0, abc>0，則一 +匚+一的值（）a b cA. 一定是正數(shù)B. 一定是負(fù)數(shù)C.可能是0D.正、負(fù)不能確定答案 B解析/ （a + b+ c）2= a2+ b2+ c2 + 2（ab+ bc+ ac） = 0,且 a2+ b2+

20、c2> 0（由 abc> 0,知 a, b,c均不為零）, ab + bc+ acv 0,.+ + =a b cabc< 0.4.設(shè) 0<x<1，則 a = 2x,1b = 1 + x, c= 1x中最大的個是A.aB.bC.cD.不能確定答案 C解析/ b- c= (1 + x)11 x 1x2= <0,1 x1 x1x b<c.又 / b= 1 + x> 2xa, ' a<b<c.(111 ab+ bc+ ca5.已知 A、B ABC 的內(nèi)角，貝U A>B 是 sin A>sin B 的（）A. 充分不必要條件

21、B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 即不充分也不必要條件答案 C 解析由正弦定理sn_=爲(wèi)，又a、B為三角形的內(nèi)角, / sin A>0， sin B>0， / sin A>sin B? 2Rsin A>2Rsin B? a>b? A>B.6已知直線l, m,平面a, 3,且I丄a m? 3,給出下列四個命題：若 a/ 3,貝U I丄m;若I丄m,貝ya/3；若a丄3,貝y I丄m；若I / m,貝ya丄3其中正確命題的個數(shù)是( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析若I丄a, m? 3,all 3貝U 1丄3,所以1丄m ,正確;若I丄a, m? 3

22、I丄m ,a與3可能相交，不正確；若 I _L a , m? 3 a丄 3,I與m可能平行或異面， 不正確；若 1 丄 a , m? 3 I / m ,則m丄a ,所以a丄3,正確.二、填空題7. 定義在(一汽)上的函數(shù)y= f(x)在(一汽 2)上是增函數(shù)，且函數(shù)y= f(x+ 2)為偶函數(shù),則f(- 1), f(4), 唏丿的大小關(guān)系是 .答案 f(4) > f(- 1) > f51解析f(x+ 2)為偶函數(shù)， f(x+ 2) = f(-x+ 2),故f(x)關(guān)于x= 2對稱，且開口向下，畫出圖 象(圖略)，顯然有f(4)>f( 1)>f 52 .2 a_8. 已知

23、函數(shù)y= x+ 在3 ,)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是x答案9解析 若函數(shù)y= x+在3 ,+)，上是增函數(shù)，則 y' = 1 x在3, +)大于等于0恒xx成立，只需x 3 , + g)時知1 恒成立，即 2a< x2,只需 2a< (x2)min = 9, a<|._1 x,-,9函數(shù)y= a (a> 0且1)的圖象恒過定點(diǎn) A,若點(diǎn)A在直線mx+ ny 1 = 0(mn> 0)上，則 + 1的最小值為m n答案 4解析 t函數(shù)y= a1 x(a>0且a* 1)恒過點(diǎn) A(1,1)，點(diǎn)A在直線 mx+ ny 1 = 0上，/ m+ n1 = 0

24、即 m + n = 1.又 mn>0,二 m> 0,n> 0.1 +1=丄 + 1 (m+ n)= 2 + 耳 + m> 2+ 2m n g n J m nm n1=2 + 2 = 4(當(dāng)且僅當(dāng)m= n=2時取等號)10. 當(dāng) n N*時，定義函數(shù) N(n)表示 n 的最大奇因數(shù).如 N(1) = 1 , N(2) = 1,N(3) = 3, N(4) = 1 , N(5) = 5, N(10) = 5，記 S(n)= N(2n1) + N(2n 1 + 1) + N(2n 1 + 2) + N(2n 1)(n N*)，則：(1)S(3) =； (2)S(n) =.答案

25、(1)16(2)4n1解析 (1)依題意知，S(3) = N(4) + N(5) + N(6) + N=1 + 5+ 3 + 7= 16.依題意得，N(2n)= 1.當(dāng)n為奇數(shù)時，N(n) = n.在從2n 1到2n 1這2n 1個數(shù)中，奇數(shù)有 2n-2個，偶數(shù)有2n-2個.在這2n-2個偶數(shù)中，不同的偶數(shù)的最大奇因數(shù)一定不同.注意到N(2nn 1n2 1+ 2 121) = 1 , N(2n 1) = 2n 1，且從N(2n-)到N(2n 1)共有2n 1項，它們分別為互不相等的正 奇數(shù)，其中最小的項是 1,最大的項是2n 1，而從1到2n 1共有2n- 1個連續(xù)的奇數(shù)，因 此 N(2n ) + N(2n 1+ 1)+ N(2n 1+ 2) + + N(2n 1) = 1 + 3+ 5+ + 2n 1 = =4n 1,即卩 S(n)= 4n-1.三、解答題11. 已知函數(shù)y= f(x)(x R)，若函數(shù)f(x+ 1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，求證y= f x+寸為偶函數(shù).證明 設(shè)點(diǎn)P(x, y)是函數(shù)y= f(x)上任一點(diǎn)， f(x+ 1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.則點(diǎn)P '( x, y)在函數(shù)y= f(x+