微積分學(xué)習(xí)總結(jié)(共58頁)

1、第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 函數(shù)§1.1 函數(shù)內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖區(qū)間定義域不等式 定義集合對應(yīng)法則 表格法 表達方法 圖象法初等函數(shù)解析法非初等函數(shù)單調(diào)性 函數(shù)的特性 奇偶性函數(shù)周期性有界性定義反函數(shù) 重要的函數(shù)存在性定理復(fù)合函數(shù)符號函數(shù)：幾個具體重要的函數(shù) 取整函數(shù)：，其中x表示不超過x的最大整數(shù).狄里克雷函數(shù)：§1.2 內(nèi)容提要與釋疑解難 一、函數(shù)的概念 定義:設(shè)A、B是兩個非空實數(shù)集，如果存在一個對應(yīng)法則f，使得對A中任何一個實數(shù)x，在B中都有唯一確定的實數(shù)y與x對應(yīng)，則稱對應(yīng)法則f是A上的函數(shù)，記為 .y稱為x對應(yīng)的函數(shù)值，記為 .其中x叫做自變量，y又叫因變量，A稱為函數(shù)f

2、的定義域，記為D（f）， , 稱為函數(shù)的值域，記為R（f），在平面坐標系Oxy下，集合 稱為函數(shù)y=f(x)的圖形。函數(shù)是微積分中最重要最基本的一個概念，因為微積分是以函數(shù)為研究對象，運用無窮小及無窮大過程分析處理問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。 1、由確定函數(shù)的因素是定義域、對應(yīng)法則及值域，而值域被定義域和對應(yīng)法則完全確定，故確定函數(shù)的兩要素為定義域和對應(yīng)法則。從而在判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)時，只要看這兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則是否相同，至于自變量、因變量用什么字母，函數(shù)用什么記號都是無關(guān)緊要的。 2、函數(shù)與函數(shù)表達式的區(qū)別：函數(shù)表達式指的是解析式子，是表示函數(shù)的主要形式，而函數(shù)除了用表達式來表示，還

3、可以用表格法、圖象法等形式來表示，不要把函數(shù)與函數(shù)表達式等同起來。 二、反函數(shù) 定義 設(shè)y=f(x)，若對R(f)中每一個y，都有唯一確定且滿足y=f(x)的與之對應(yīng)，則按此對應(yīng)法則就能得到一個定義在R（f）上的函數(shù)，稱這個函數(shù)為f的反函數(shù)，記作 .由于習(xí)慣上用x表示自變量，y表示因變量，所以常把上述函數(shù)改寫成. 1、由函數(shù)、反函數(shù)的定義可知，反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域，值域是原來函數(shù)的定義域。 2、函數(shù)y=f(x)與x=f-1(y)的圖象相同，這因為滿足y=f(x)點（x,y）的集合與滿足x=f-1(y)點(x,y)的集合完全相同，而函數(shù)y=f(x)與y=f-1(x)圖象關(guān)于直線y=x對

4、稱。 3、若y=f(x)的反函數(shù)是x=f-1(y)，則 4、定理1（反函數(shù)存在定理）嚴格增（減）的函數(shù)必有嚴格增（減）的反函數(shù)。三、復(fù)合函數(shù) 定義 設(shè)，若，則y通過u構(gòu)成x的函數(shù)，稱為由y=f(u)與復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱為復(fù)合函數(shù)，記作。復(fù)合函數(shù)的定義域為，其中x稱為自變量，y稱為因變量，u稱為中間變量，稱為內(nèi)函數(shù)，f(u)稱為外函數(shù)。1、在實際判斷兩個函數(shù)能否構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，只要看的定義域是否為非空集，若不為空集，則能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，否則不能復(fù)合函數(shù)。2、在求復(fù)合函數(shù)時，只要指出誰是內(nèi)函數(shù)，誰是外函數(shù)，例如y=f(x), y=g(x),若y=f(x)作為外函數(shù)，y=g(x)作為內(nèi)函數(shù)。則復(fù)合函數(shù)

5、，若作為外函數(shù)，作為內(nèi)函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為y=g(f(x)。3、我們要學(xué)會分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，既要會把幾個函數(shù)復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)，又要會把一個復(fù)合函數(shù)分拆成幾個函數(shù)的復(fù)合。四 初等函數(shù)常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。大家一定要記住基本初等函數(shù)的定義域，值域，會畫它們的圖象，并且要知道這些函數(shù)在哪些區(qū)間遞增，在哪些區(qū)間遞減，是否經(jīng)過原點？與坐標軸的交點是什么？以后我們常常要用到。由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或有限次復(fù)合運算所得到的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)。不是初等函數(shù)稱為非初等函數(shù)。一般來說，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但有些分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，例如

6、，是由復(fù)合而成。五 具有某些特性的函數(shù)1奇（偶）函數(shù)定義 設(shè)D是關(guān)于原點對稱的數(shù)集，y=f(x)為定義在D上 的函數(shù)，若對每一個，都有，則稱y=f(x)為D上的奇（偶）函數(shù)。 （1）定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件。 （2）若f(x)為奇函數(shù)，則f(0)=0，事實上，由定義知f(-0)=-f(0)，有f(0)=-f(0)，得f(0)=0. 2周期函數(shù) 定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若存在某個非零常數(shù)T，使得對一切，都有f(x+T)=f(x)，則稱y=f(x)為周期函數(shù)，T稱為y=f(x)的一個周期。 顯然，若T是f(x)的周期，則也是f（x）的周期，若周期函數(shù)f(x)

7、的所有正周期中存在最小正周期，則稱這個最小正周期為f(x)的基本周期，一般地，函數(shù)的周期是指的是基本周期。 必須指出的是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，例如f(x)=c（c為常數(shù)），因為對任意的實常數(shù)T，都有f(x+T)=f(x)=c。所以f(x)=c是周期函數(shù)，但在實數(shù)里沒有最小正常數(shù)，所以，周期函數(shù)f(x)=c沒有最小正周期。 如果f(x)為周期函數(shù)，且周期為T，任給，有f(x)=f(x+kT)，知。所以D是無窮區(qū)間，即無窮區(qū)間是周期函數(shù)的必要條件。 3單調(diào)函數(shù) 定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若對D中任意兩個數(shù)x1,x2且x1<x2,總有 ，則稱y=f(x)為D上的遞增（

8、遞減）函數(shù)，特別地，若總成立嚴格不等式 ，則稱y=f(x)為D上嚴格遞增（遞減）函數(shù)。 遞增和遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，嚴格遞增和嚴格遞減函數(shù)統(tǒng)稱為嚴格單調(diào)函數(shù)。 4分段函數(shù)如果一個函數(shù)在其定義域內(nèi)，對應(yīng)于不同的x范圍有著不同的表達形式，則稱該函數(shù)為分段函數(shù)。注意分段函數(shù)不是由幾個函數(shù)組成的，而是一個函數(shù)，我們經(jīng)常構(gòu)造分段函數(shù)來舉反例，常見的分段函數(shù)有符號函數(shù)、狄里克雷函數(shù)、取整函數(shù)。 5有界函數(shù)與無界函數(shù) 定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若存在常數(shù)NM，使對每一個，都有 則稱f(x)為D上的有界函數(shù)，此時，稱N為f(x)在D上的一個下界，稱M為f(x)在D上的一個上界。由定義可知上、下

9、界有無數(shù)個，我們也可寫成如下的等價定義，使用更加方便。定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若存在常數(shù)M>0，使得對每一個，都有 則f(x)為D上的有界函數(shù)。幾何意義，若f(x)為D上的有界函數(shù)，則f(x)的圖象完全落在直線y=-M與y=M之間。注意：直線y=-M，y=M不一定與曲線相切。有界函數(shù)定義的反面是定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若對每一個正常數(shù)M（無論M多么大），都存在，使，則稱f(x)為D上的無界函數(shù)。 6函數(shù)的延拓與分解 有時我們需要由已知函數(shù)產(chǎn)生新的函數(shù)來解決實際問題，這里我們從函數(shù)的特性出發(fā)，開拓由已知產(chǎn)生新的函數(shù)的方法。 設(shè)，我考慮區(qū)間-a,a上的函數(shù)F(

10、x)，它是偶函數(shù)，且在0,a上，使F(x)=f(x)，則應(yīng)有稱F（x）是f(x)的偶延拓同樣可給出f(x)的奇延拓，即函數(shù)F（x）在-a,a上的奇函數(shù)，且在（0,a）上，F(xiàn)（x）=f(x)，則應(yīng)有這樣，研究f(x)只要，研究F（x）就可以了。 同樣，對于函數(shù)y=f(x),，可以構(gòu)造一個以（b-a）為周期的周期函數(shù)F（x），在（a,b）上，F(xiàn)（x）=f(x)，則有這就是函數(shù)f(x)的周期延招，研究f(x)只要研究F（x）就可以了。 此外，定義在區(qū)間（-a,a）上的任何一個函數(shù)f(x)都可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)和事實上設(shè) 由奇偶函數(shù)的定義知，f1(x)是奇函數(shù)。 f2(x)是偶函數(shù)，且.我

11、們還可以證明f1(x)，f2(x)是唯一存在，如果,其中g(shù)1(x)是奇函數(shù)，g2(x)是偶函數(shù)，于是,解得，§1.3解題基本方法與技巧一、求函數(shù)定義域的方法1若函數(shù)是一個抽象的數(shù)學(xué)表達式子，則其定義域應(yīng)是使這式子有意義的一切實數(shù)組成的集合，且在（1）分式的分母不能為零； （2）偶次根號下應(yīng)大于或等于零；（3）對數(shù)式的真數(shù)應(yīng)大于零且 底數(shù)大于零不為1； （4）arc sin 或arc，其；（5），其 （6）若函數(shù)的表達式由幾項組成，則它的定義域是各項定義域的交集；（7）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。2.若函數(shù)涉及到實際問題，定義域是除了使數(shù)學(xué)式子有意義還應(yīng)當確保實際有意

12、義自變量取值全體組成的集合。3.對于抽象函數(shù)的定義域問題，要依據(jù)函數(shù)定義及題設(shè)條件。 例1 求下列函數(shù)的定義域：（1）； （2） 解（1）要使函數(shù)式子有意義，就必須滿足?；営?,即 .解之，得定義域為。（2）要使函數(shù)式子有意義，就必須滿足 ，即，化簡有，不等式各邊除以（-2）有，各邊取倒數(shù)得，。解之，得函數(shù)的定義域為。 例2 不清設(shè)，求f(x)的定義域。 解 要使函數(shù)式子有意義，必須滿足 即 故所給函數(shù)的定義域為。注意：如果把化簡為，那么函數(shù)的定義域為的一切實數(shù)，因此，求函數(shù)的定義變形式時需特別小心，避免出錯。 例3 已知且，求并寫出它的定義域。 解 由，得，由，得，即x0，所以 。 例4

13、設(shè)f(x)的定義域為0，1，試求f(x+a)+f(x-a)的定義域（a>0）。 解 要使f(x+a)+f(x-a)有意義，必須滿足 得 當時，由，知函數(shù)的定義域為。當時，由a>1a，知定義域不存在。二、求函數(shù)值域的方法1. 由定義域x的范圍，利用不等式求出f(x)的范圍；2. 若y=f(x)有反函數(shù)x=f-1(y)，求出反函數(shù)的定義域就是函數(shù)的值域；3. 利用一元二次方程的判別式求函數(shù)的值域。 例5 求下列函數(shù)值域：（1）； （2）； （3）。 解（1）令，于是。當且僅當，即時，。故函數(shù)的值域是。 （2）由，得(x+3)y=x+1，解之，是的反函數(shù)，而的定義域是，故函數(shù)值域是。（3

14、）由原函數(shù)式變形，得 ，即 。當y-1=0，即y=1時，x=0；當，即。故函數(shù)的值域為0，4。 三、判斷兩函數(shù)是否為同一函數(shù)的方法 例6 判斷下列各組函數(shù)是否為同一函數(shù)： （1）（i）； （ii） （2）（i）； （ii）。 解（1）由y=sinx的定義域是0，的定義域是0，。知兩函數(shù)定義域相同，又知兩函數(shù)對應(yīng)法則相同，故（i）（ii）為同一函數(shù)。 （2）由的定義域是的全體實數(shù)，的定義域是的全體實數(shù)，知兩函數(shù)定義域不同，盡管當時，知兩函數(shù)對應(yīng)法則相同，但（i）（ii）不是同一個函數(shù)。 四、求反函數(shù)方法 步驟：1. 從y=f(x)中解出x=f-1(y) ;2.改寫成y=f-1(x),則y=f-1

15、(x)是x=f-1(y)的反函數(shù). 例7 求下列函數(shù)的反函數(shù): (1)； （2）； （3） 解（1）由，知反函數(shù)為， 。 （2）由兩邊立方得即 解之 。所以反函數(shù)為（3）由 則反函數(shù)為 五、求復(fù)合函數(shù)的方法。 1代入法 某一個函數(shù)中的自變量用另一個函數(shù)的表達式來替代，這種構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的方法，稱之為代入法，該法適用于初等函數(shù)的復(fù)合，關(guān)健搞清誰是內(nèi)函數(shù)，誰是外函數(shù)。2分析法根據(jù)外函數(shù)定義的各區(qū)間段，結(jié)合中間變量的表達式及中間變量的定義域進行分析，從而得出復(fù)合函數(shù)的方法，該方法用于初等函數(shù)與分段函數(shù)或分段函數(shù)與分段函數(shù)的復(fù)合。例8 設(shè).解 ， ，猜想 。當n=1時，結(jié)論已成立，假設(shè)n=k時，成立，當

16、n=k+1時， 。即n=k+1時結(jié)論成立，故。 例9 設(shè)。 解 當，當。故 f(f(x)=1。 例10 設(shè)。 解 由（1）當時或。或（2）當時或?；虻?六、判斷奇偶函數(shù)的方法 偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱。奇偶函數(shù)的運算性質(zhì) 1. 奇函數(shù)的代數(shù)和仍為奇函數(shù)，偶函數(shù)的代數(shù)和仍為偶函數(shù)。 2. 偶數(shù)個奇（偶）函數(shù)之積為偶函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的積為奇函數(shù)。 3. 一奇一偶的乘積為奇函數(shù) 4. 兩個奇函數(shù)復(fù)合仍為奇函數(shù)，一奇一偶復(fù)合為偶函數(shù)，兩個偶函數(shù)復(fù)合仍為偶函數(shù)。判斷方法 1用定義 2.若f(x)+f(-x)=0，則f(x)為奇函數(shù)，這種方法適合用定義比較困難的

17、題目。 例11 判斷下列函數(shù)的奇偶性： （1）； （2）； （3）（a>0,a1常數(shù)） 解（1）由，知f(x)為偶函數(shù) （2）由 知f(x)為奇函數(shù)。 （3）由 ，知f(x)為奇函數(shù) 七、周期函數(shù)的判斷與周期的求法 1周期函數(shù)周期的求法 （1）若T為f(x) 的周期，則f(ax+b)的周期為 （2）若f(x)的周期為T1，g(x)的周期為T2，則c1f(x)+c2g(x)的周期為T1，T2的最小公倍數(shù)。 2周期函數(shù)的判斷方法。 （1）用定義。 （2）用周期函數(shù)的運算性質(zhì)。常見函數(shù)的周期：sinx,cosx,其周期T=2；其周期T=。 例12 求下列函數(shù)周期 （1）； （2）； （3）。

18、解（1）由的周期，的周期。故f(x)的周期性期為6。 （2）由 ，知f(x)的周期。 （3）設(shè)，T為任意整數(shù),由知任意整數(shù)均為其周期，則最小周期T=1。 例13 若函數(shù)的圖形關(guān)于兩條直線x=a和x=b對稱（b>a），則f(x)為周期函數(shù)。 證 由條件函數(shù)的對稱性知 ， （1） ， （2）故函數(shù)在a,b中點(a+b)/2處的值等于點a/和處的函數(shù)值從而猜想如果f(x)為周期函數(shù)，則周期應(yīng)為 。事實上 所以f(x)是以2(b-a)為周期的周期函數(shù)。 八、單調(diào)函數(shù)的判斷方法1用定義。2利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)。 （1）兩個遞減（增）函數(shù)的復(fù)合是遞增函數(shù)，一個遞增、一個遞減函數(shù)的復(fù)合是遞減函數(shù)。 例1

19、4 設(shè)及f(x)為遞增函數(shù)證明：若 （1） 則 （2） 證 設(shè)x0為三個函數(shù)公共域內(nèi)的任一點，則 由（1）以及函數(shù)f(x)的遞增性知，；從而 同理可證 。由x0的任意性知，于是（2）式成立。 九、函數(shù)有界性的判斷 判斷函數(shù)是否有界，經(jīng)常用定義。 例15 判斷下列函數(shù)是否有界： （1）； （2）。 解（1）由f(x)的定義域是R。當，當，知，所以f(x)為有界函數(shù)。 （2）。 由無界函數(shù)的定義知f(x)在（0，1）上無界。第二節(jié) 函數(shù)極限與連續(xù)§2.1 函數(shù)極限內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的閉區(qū)間上連續(xù)最大（?。┲刀ɡ砹阒迭c定理（根的存在定理）介值定理函數(shù)極限與

20、連續(xù) 夾逼定理判斷函數(shù)極限存在準則 單調(diào)有界定理單側(cè)極限與雙側(cè)極限函數(shù)極限與數(shù)列極限歸結(jié)原則。關(guān)系定理 函數(shù)極限與無窮小 無窮大與無窮小無窮小的階高階、同階、等價。函數(shù)連續(xù)定義 可去間斷點 第一類間斷點 跳躍間斷點間斷點分類 第二類間斷點 §2.2內(nèi)容提要與釋疑解難一、函數(shù)極限的概念1.。2. 把1中“”換成“”。3 把1中“”換成“”。定理且4設(shè)在的某空心鄰域內(nèi)有定義，若存在一個常數(shù)A，都有。5 設(shè)在的某左半鄰域內(nèi)有定義，若存在一個常數(shù)A，時，都有。此時也可用記號或表示左極限值A(chǔ)，因此可寫成6. 設(shè)在的某右半鄰域內(nèi)有定義，若存在一個常數(shù)，當時，都有。此時也可用或表示右極限。因此可寫

21、成。定理 且該定理是求分界點兩側(cè)表達式不同的分段函數(shù)在該分界點極限是否存在的方法，而如果在的左右極限存在且相等，則在該點的極限存在，否則不存在。7時，都有。此時稱時，是無窮大量。而，只要把公式中“”改成“”，只要把上式中“”改成“”。8.。當時，都有。讀者同理可給出定義。注：（常數(shù)）與的區(qū)別，前者是表明函數(shù)極限存在，后者指函數(shù)極限不存在，但還是有個趨于無窮大的趨勢。因此，給它一個記號，但還是屬于極限不存在之列，以后，我們說函數(shù)極限存在，指的是函數(shù)極限值是個常數(shù)。9。稱當是無窮小量。這里的可以是常數(shù)，也可以是。定理 。其中。10若時，都有，稱時是有界量。二、無窮小量階的比較，無窮小量與無窮大量關(guān)

22、系設(shè)，（這里可以是常數(shù)，也可以是，以后我們不指出都是指的這個意思）（1）若，稱當時是的高階無窮小量，記作。（2）若，稱時是的同價無窮小量。（3）若，稱時是的等價無窮小量，記作，此時（2）式也可記作。（4）若，稱時是的k階無窮小量。由等價無窮量在求極限過程中起到非常重要的作用，因此，引入若。記作，如果均是無窮小量，稱為等價無窮小量；如果均是無窮大量，稱為等價無窮大量；如果既不是無窮小也不是無窮大，我們稱為等價量。例如 ，則。注：A不能為零，若A=0，不可能和0等價。無窮小量的性質(zhì)：1若均為無窮小量，則（i）其中均為常數(shù)。（ii）。2若時是有界量，則。無窮大量的性質(zhì)：1有限個無窮大量之積仍是無窮大

23、量。2有界量與無窮大量之和仍是無窮大量。無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系：若；若。三、函數(shù)連續(xù)的概念。定義1 若處連續(xù)。用語言可寫為定義 設(shè)的某鄰域內(nèi)有定義，若時，都有，稱連續(xù)。用函數(shù)值增量形式可寫為定義 若，稱在處連續(xù)。若,稱處左連續(xù)。若稱處右連續(xù)。定理處連續(xù)處既是左連續(xù)又是右連續(xù)。如果處不連續(xù)，稱為的間斷點。間斷點的分類：（1）若點。若為函數(shù)的可去間斷點，只須補充定義或改變函數(shù)在該點連續(xù)。但須注意，這時函數(shù)與已經(jīng)不是同一個函數(shù)但僅在處不同，在其它點相同。我們正是利用這一性質(zhì)去構(gòu)造一個新的函數(shù)，使在某閉區(qū)間上處處連續(xù)，因而有某種性質(zhì)。當時，也具有這種性質(zhì)。而時，所以在的范圍內(nèi)也具有這種性質(zhì)，從而

24、達到了我們的目的。例如 ，但 則在處連續(xù)，但與定義域不同，雖然，又如知。設(shè)則在處連續(xù)，雖然與定義域相同，但在處，兩個函數(shù)值不同，知與不是同一函數(shù)，但僅在不同，其余點函數(shù)值處處相同。（2）若但，稱為的跳躍間斷點，稱的跳躍度。（1）（2）兩種類型的特點是左右極限都存在，我們統(tǒng)稱為第一類間斷點。（3）若處，左、右極限至少有一個不存在，我們稱。若，我們也稱為的無窮型間斷點，屬于第二類間斷點。四、函數(shù)極限的性質(zhì)在下述六種類型的函數(shù)極限：（1） （2） （3） （4） （4） （6）它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，我們以為例，其它類型極限的相應(yīng)性質(zhì)的敘述只要作適當修改就可以了。性質(zhì)1（唯一性）若極限存

25、在，則它只有一個極限。性質(zhì)2（局部有界性）若極限存在，則存在的某空心鄰域，使在內(nèi)有界。注意：存在，只能得出在的某鄰域內(nèi)有界，得不出在其定義域內(nèi)有界。性質(zhì)3 若，則存在的某空心鄰域，使時，都有。性質(zhì)4（局部保號性） 若，則對任何常數(shù)，存在的某空心鄰域，使得對一切，都有 成立。性質(zhì)5（不等式）若，且存在的某空心鄰域，使得對一切，都有。性質(zhì)6 （復(fù)合函數(shù)的極限）若，且存在的某空心鄰域，當時， ，則。性質(zhì)6是求極限的一個重要方法變量替換法，即。性質(zhì)7（函數(shù)極限的四則運算）若均存在，則函數(shù)（1）； （2）；（3）；又若在時的極限也存在，且有（4）。利用極限的四則運算，可得下列重要結(jié)果。上面的結(jié)論可作為公

26、式用。性質(zhì)8（歸結(jié)原則或海涅（Heine）定理）存在的充要條件是：都存在且相等。逆否定理若存在兩個數(shù)列=且或存在不存在，則不存在。此定理是判斷函數(shù)極限不存在的一個重要方法。五、函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)若函數(shù)處連續(xù)，即，利用極限的性質(zhì)1-5可得到函數(shù)在連續(xù)的局部有界性，局部保號性，不等式等，只要把即可，讀者自己敘述出來。利用極限的四則運算，我們有性質(zhì)1（連續(xù)函數(shù)的四則運算）若處連續(xù)，則。性質(zhì)2 若處連續(xù)，則處也連續(xù)且在滿足性質(zhì)2的條件下，極限符號與外函數(shù)可交換順序，如果僅要可交換順序，有推論 若。證 設(shè)則處連續(xù)，又處連續(xù)，由性質(zhì)2知。由于。在這里，我們巧妙地利用可去間斷點的性質(zhì)，構(gòu)造一個連續(xù)函數(shù)，以滿足所

27、需的條件，上面的性質(zhì)2及推論也是求函數(shù)極限的一個重要方法。即極限符號與外函數(shù)交換順序，把復(fù)雜函數(shù)極限轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)極限。定理 初等函數(shù)在其定義域上連續(xù)。六、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理 （最大值與最小值定理）若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一定能取到最大值與最小值，即存在，使得對一切，都有。推論1 若上連續(xù)，則上有界。定理（根的存在定理或零值點定理）若函數(shù)上連續(xù)，則至少存在一點。推論1 若函數(shù)上連續(xù)，且之間的任何常數(shù)，則至少存在一點。推論2 若函數(shù)上連續(xù)，則。這幾個定理非常重要，請大家要記住這些定理的條件與結(jié)論，并會運用這些定理去解決問題。七、重要的函數(shù)極限與重要的等價量利用初等函數(shù)的連續(xù)性及極限符號與

28、外函數(shù)的可交換性及等價量替換，夾逼定理可得到下面的重要的函數(shù)極限。1 2. .3.4.5. .6、.7.8.9 .10 .11若=即 。注：不僅要記住這些公式的標準形式，更要明白一般形式。即上面公式中的可換成，只要時，結(jié)論依然成立。利用上述重要極限，我們可以得到下列對應(yīng)的重要的等價無窮小量，在解題中經(jīng)常要利用他們當時，.注：上式中的可換成，只要時，.結(jié)論依然成立。例如 。此外，若.§2.3 解題基本方法與技巧一、求函數(shù)極限的有關(guān)定理等價量替換定理，若（1）；（2）；，則.證,即.這個定理告訴我們，在求函數(shù)極限時，分子、分母中的因式可用它的簡單的等價的量來替換，以便化簡，容易計算。但替

29、換以后函數(shù)極限要存在或為無窮大。需要注意的是，分子、分母中加減的項不能替換，應(yīng)分解因式，用因式替換，包括用等價無窮小量、等價無窮大量或一般的等價量來替換。夾逼定理 若 ，且存在的某空心鄰域，使得對一切，都有，則 。單調(diào)有界定理（1）若在內(nèi)遞增（或遞減）有下界（或上界），則存在。（2）若在內(nèi)遞增（或遞減）有下界（或上界），則存在。請讀者給出的敘述。函數(shù)的單調(diào)有界定理應(yīng)用的較少，大家只要了解就可以。洛必達法則I 設(shè)（1）；（2）存在的某鄰域，當時，都存在，且 ；（3），則.洛必達法則II，設(shè)（1）；（2）存在的某鄰域，當時，都存在且 ；（3），則.1上述兩個法則中的改成時，條件（2）只須作相應(yīng)的修

30、改，結(jié)論依然成立。2在用洛必達法則求極限之前，應(yīng)盡可能把函數(shù)化簡，或把較復(fù)雜的因式用簡單等價的因式來替換，以達到簡化，再利用洛必達法則。3利用洛必達法則求極限時，可在計算的過程中論證是否滿足洛必達法則的條件，若滿足洛必達法則的條件，結(jié)果即可求出；若不滿足，說明不能使用洛必達法則，則需用其它求極限的方法。此外，可重復(fù)使用洛必達法則，但只能用有限次。注：洛比達法則是第三章內(nèi)容。二、函數(shù)極限的類型1 若是初等函數(shù)，的定義域，由初等函數(shù)的連續(xù)性知.2若，則（1）（2）對于因式中含有對數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)時，一般放在分子、否則利用洛必達法則很繁，或求不出來。（3）當同號時，這時，把化成分式，通分、化簡，化

31、成“”或“”，再利用洛必達法則。（4）(i)當時，我們有兩種方法求該未定式的極限，一種方法利用重要極限來計算，另一種方法，化為以e為底的指數(shù)函數(shù)，再利用洛必達法則。即解法一 再根據(jù)具體情況化成。解法二 這兩種方法，我們經(jīng)常還是利用解法一方便。（ii）當時，（iii）當時這時，只有化成以e為底的指數(shù)函數(shù)，再利用洛必達法則。即.而不屬于未定式，因為。三、已知函數(shù)的表達式，求函數(shù)的極限1求函數(shù)極限的四種重要方法 （1）極限的四則運算；（2）等價量替換；（3）變量替換；（4）洛必達法則。對于未定式的極限，先用等價量替換或變量替換或極限的四則運算化簡，再利用洛必達法則求極限。很多情況下，這幾種方法常常綜

32、合運用。例1 求.解 （）=。例2 求.解 ,由得原式=。注：本題雖然是未定式，但巧妙地用變量替換，并沒用洛必法則就直接求出了極限。例3 求。解 原式，由時，得原式。例4 求.解 原式，由時，得原式 .例5 求.解 原式.例6 求.解法一 由，故原式=.解法二 原式,由，得原式.例7 求.解法一 原式,且時，原式=.解法二 原式 例8 求.解 原式 由。得原式.例9 求.解 原式由，得原式.例10 求.解 原式.例11 求.解 原式.例12 求.解 原式.例13 求.解法一 原式.解法二 原式.例14 求.解 原式 .例15 求.解 例16 求.解 .例17 求.解 例18 設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù)

33、，求解 于是=例19 求.分析 因為，所以洛必達法則不適用，宜改用其它方法。解 原式例20 求.無限循環(huán)，所以不能用洛必達法則.解 原式.2利用泰勒公式求函數(shù)極限。若。事實上，.因此，利用帶有佩亞諾余項的泰勒公式可以求出某些函數(shù)極限，當時，若 則例21 求.解 由于,，所以 .對于求時的函數(shù)極限，若用泰勒公式求極限，可令，變成求時的的函數(shù)極限，再利用上述的方法去解決。3利用夾逼定理求函數(shù)極限。例22 求.解 .由，根據(jù)夾逼定理知，.例23 求.分析 本題雖然屬于型，但不能用洛必達法則，因為不存在。因此，用其它方法，解 對任意自然數(shù) ，有 ，當時，成立不等式 .由根據(jù)夾逼定理知原式=.

34、注：這里是的函數(shù)，是分段函數(shù)，即.4利用定義證明函數(shù)極限的存在利用函數(shù)極限定義證明函數(shù)極限與利用數(shù)列極限定義證明數(shù)列極限存在完全類似，在這里我們就不再重復(fù)了，一般情況，能不用盡量不用。除非要求用定義證，且考研出這種題的可能性較小。例24 用定義證明。證 不妨設(shè)，則，任給，要使，由，只要時，都有，由定義知。注：這里用了公式。至于用函數(shù)極限的單調(diào)有界定理求函數(shù)極限的可能性更小。四、已知函數(shù)極限且函數(shù)表達式中含有字母常數(shù)，確定字母常數(shù)數(shù)值。這種題型考的可能性更大，因為這種題型更能考察考生運用無窮小量階的比較和洛必達法則分析問題，解決問題的能力。例25 求，求常數(shù)a, b.解 令，于是原式，由，知分子

35、當時，是分母的同階無窮小量，所以.得原式。例26 設(shè)，求常數(shù)解 ，由，知分子是分母的同階無窮小量，得有，解得。例27 試確定常數(shù)。解 由題意知.由于=arcsin,所以,必有例28 已知為常數(shù)，求常數(shù)a和k，使時，解 ，由，知，從而，得例29 確定常數(shù)的值，使，解 由 知分子、分母是同階無窮小量有，且故,注： （1）必有，與（1）矛盾，若。故。例30 設(shè)在存在二階導(dǎo)數(shù)，且 ，求。分析：這里表面上沒有字母常數(shù)，實際上 就是待求的字母常數(shù)。解法一 由，得.由。于是。由。從而，得，注：求時不能用下述方法，。雖然結(jié)論對了，但過程是錯的。因為存在，推不出在的某空心鄰域內(nèi)存在且在不知是否連續(xù)，所以。解法二

36、 由，利用在處的帶有二階余項的佩亞諾展開式，得由 從而有又。于是，所以五、判斷函數(shù)極限不存在的方法。1若極限不存在。例31 討論極限.解 取取而不存在。2若例32 討論極限.解 取，知不存在。六、關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用和間斷點的討論。1函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用例33 設(shè)在區(qū)間X上的連續(xù)，且在有理點處都等于0，則。證取有理數(shù)列，使，由，根據(jù)歸結(jié)原則知。例34 若在區(qū)間X上連續(xù)，當為有理數(shù)，則在區(qū)間X遞增。證，取有理數(shù)列, 根據(jù)條件有由于，在不等式（1）中，令，得。所以在區(qū)間X是遞增函數(shù)。注：這里區(qū)間X可以是閉區(qū)間、開區(qū)間、半閉半開區(qū)間或無窮區(qū)間。例35 設(shè)在上連續(xù)，若，證明：存在一，使。證 由閉區(qū)間上連續(xù)

37、，則在一定能取到最小值，最大值M，且值域,有又，于是。故至少存在一點，使得。例36 證明：若函數(shù)在上連續(xù)，且對任何，存在相應(yīng)的，使得。 證 ，由條件知存在，使，同樣存在使，如此下去，存在數(shù)列，使，由 對于一切，都有，從而。令，得，由是上任意一點，故。例37 設(shè)。證明：若對任何，都有，則為常值函數(shù)。證 （i）當時，由條件得是常值數(shù)列。又在處連續(xù)，由歸結(jié)原則，（ii）當時，由條件得是常值數(shù)列。由，而，知，且由，知，知。2間斷點的討論如果初等函數(shù)，若在處沒有定義，但在一側(cè)或兩側(cè)有定義，則是間斷點，再根據(jù)在處左右極限來確定是第幾類間斷點。如果是分段函數(shù)，分界點是間斷點的懷疑點。例38 求極限，記此極限

38、為，求函數(shù)的間斷點并指出其類型。解 ，由于在處沒定義，而在兩側(cè)有定義，故是間斷點。又所以是函數(shù)的第一類（可去）間斷點。例39 討論的間斷點，并指出間斷點的類型。解 由于所以是第二類間斷點。例40 討論的間斷點，并指出類型。解 由于且所以是跳躍間斷點。七、關(guān)于分段函數(shù)在分界點連續(xù)性的討論。例41 設(shè)。解 由。故。注：由是初等函數(shù)表達式。在處有意義知連續(xù)且為左連續(xù)，以后遇到類似情況，我可直接得出左連續(xù)，從而只要右連續(xù)即可。例42 已知解 因為。所以。八、雜題例43 若。解法一 由于，故從而。解法二 .例44 設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且，求.解 令,于是 ， 故 原式。例45 設(shè)存在，證明證：由存在，知

39、時，存在。當充分小時，在上對應(yīng)用拉格朗日定理得，其中。 由且，由夾逼定理知而 ，故 .例46 求.分析 這題雖然是“”型，但直接用洛必達法則或等價量替代，都不能求出結(jié)果。然而從被求的式子構(gòu)成形式，啟發(fā)我們用微分中值定理解原式 .注：由于介于之間，當時，根據(jù)夾逼定理知例47 .解原式 .注：此題也可用微分中值定理去求。第三節(jié) 數(shù)列極限§3.1 數(shù)列極限內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖兩個子列極限存在但不相等數(shù)列極限數(shù)列極限的定義用定義證明數(shù)列極限的方法直接證法間接證法收斂數(shù)列的性質(zhì)唯一性有界性不等式保號性四則運算判斷數(shù)列收斂的準則夾逼定理單調(diào)有界定理判斷數(shù)列發(fā)散的準則有一個子列發(fā)散數(shù)列無界重要的數(shù)列極限(k

40、>0常數(shù))（|q|<1常數(shù)）(a>0常數(shù))§3.2 內(nèi)容提要與釋疑解難一、數(shù)列極限的概念定義 設(shè)an是一個數(shù)列，a是一個確定的常數(shù)，若對任意給定的正數(shù)，總存在一個自然數(shù)N，使得n>N時，都有，則稱數(shù)列an的極限是a，或者說數(shù)列an收斂于a，記作。注意：1. 的任意性，的作用在于衡量an與a的接近程度，從而限制小于某一個正常數(shù)，不影響衡量an與a接近的程度，但不能限制大于某一個正常數(shù)，定義中的可用2、或2等本質(zhì)上是任意的正常數(shù)來替代，同樣也可把“<”號換成“”號。2. N的相應(yīng)性。一般說，N是隨著的變小而變大，但并不是由唯一確定，因為給定，確定N，當n&g

41、t;N，有，則N+1，N+2，同樣也符合要求。此外，n>N中的N只是下標的一個界線，要求n是自然數(shù)，故N可以是實數(shù)，而且n>N也可改成nN。3.幾何意義：，表明a的任何給定的鄰域中都含有數(shù)列an中除了有限項以外的全有項。二、收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)1 （唯一性）若數(shù)列an極限存在，則極限值是唯一的。性質(zhì)2 改變數(shù)列的有限項，不改變數(shù)列的收斂性與極限。有了性質(zhì)2，對于判定數(shù)列斂散性的定理中要求從第一項就具有某種性質(zhì)的條件可減弱為從某一項開始具有該性質(zhì)，結(jié)論依然成立。性質(zhì)3（有界性）數(shù)列an收斂，則an為有界數(shù)列，即存在某正常數(shù)M，使得對一切正整數(shù)n，都有。推論 若數(shù)列an無界，則數(shù)列an發(fā)

42、散。該推論是判斷數(shù)列an發(fā)散的一個簡單有效的辦法。性質(zhì)4 設(shè)，且 a<b，則存在N0，當n>N0時（即n充分大時），都有an<bn。推論（保號性），若，則對于滿足0<<a(a<<0)的任何常數(shù)，存在N，當n>N時，都有an>>0(an<<0)。性質(zhì)5（不等式）若，且存在N0，當n>N0時，都有anbn，則ab.注意在性質(zhì)5中，即使存在N0，當n>N0時，都有an>bn，也不能保證a>b.例如 ，an>bn（n=1，2，），但，而0=0。性質(zhì)6 數(shù)列an收斂的充要條件是：數(shù)列an的任何一個子數(shù)列

43、都收斂且極限相等。逆否定理 若數(shù)列an有兩個子數(shù)列極限存在不相等或有一個子數(shù)列極限不存在，則數(shù)列an發(fā)散。該定理是判斷數(shù)列an發(fā)散的一個重要方法。性質(zhì)7 （數(shù)列極限的四則運算）若，則數(shù)列an±bn，anbn，（b0）的極限都存在，且（1）； （2）；特別地，當k為常數(shù)時，有；（3）.注意：數(shù)列極限的四則運算前提是兩個數(shù)列極限都存在，并可把數(shù)列極限推廣到有限項極限的四則運算，但數(shù)列極限的運算法則不能推廣到無限項.例 。§3.3 解題方法與技巧一、求數(shù)列極限的方法1.利用數(shù)列極限定義證明數(shù)列極限存在要證，即證明，當n>N時，都有.由定義可知，n>N是成立的充分條件，

44、從而有（1）直接證法（充要條件），找出使成立的充要條件（當然也是充分條件），即和中學(xué)解一般不等式的方法相同，由。例1 證明 （|q|<1，且q為常數(shù)）.證（i）當q=0時，知為常值數(shù)列，有.（ii）當時，要使（由為負數(shù)），取，當n>N時，都有，所以，總之。（2）適當放大法（充分條件）有時從中等價解出很困難。這時我們就可用適當放大法，使得（）。只要，取，當n>N時，有。在使用適當放大法時，我們要求：放大以后的g(n)要盡可能簡單，從g(n)<中等價解出n>N2（）容易，即放大以后的式子必須以0為極限(a)直接放大，把化簡一步一步放大，使.（b）間接放大，有時從直接放

45、大不容易，我們可借助于其它公式如二項式公式及各種不等式等輔助工具來達到放大的目的。例2 證明 。證 設(shè) 可得，可推出，即，于是.所以，要使，只要，取，當n>N時，都有，所以.2利用重要數(shù)列極限和極限四則運算求極限例3 求其中a0，a1，am，b0，b1，bk均為常數(shù)且a00，b00。解 原式 這個例子表明當分子最高次冪小于分母最高次冪時，分式極限為零；當分子最高次冪等于分母最高次冪時，分式極限就是分子、分母最高次冪的系數(shù)之比；當分子最高次冪大于分母最高次冪時，分式的極限為，以后該例題的結(jié)果可以作為結(jié)論用，同理可證對分子、分母的每一項冪指數(shù)是正數(shù)時結(jié)果仍成立，例如。例4 求 .解 原式 =

46、3. 利用夾逼定理求極限夾逼定理 設(shè)an，bn為收斂數(shù)列，且，若存在N0，當n>N0時，都有，則數(shù)列cn收斂，且.夾逼定理適合數(shù)列的項有多項相加或相乘式時，有無窮項相加或相乘，且不能化簡，不能利用極限的四則運算，此時可嘗試用夾逼定理。夾逼定理不僅能證明數(shù)列極限并可求出極限的值。例5 求極限 ，其中a1，a2，am均為正常數(shù)解 不妨設(shè)，由于，且，由夾逼定理知.例6 求 解 由 且（1-a>0且為常數(shù)），根據(jù)夾逼定理知例7 求解 設(shè)，由于且根據(jù)夾逼定理知例8 求解 由于，所以 ，即 ，且，由夾逼定理知例9 ，當n3時，求。解法一 由條件知un遞增，知從而 , 得 且，根據(jù)夾逼定理知解法

47、二 由條件知un>0，顯然un遞增，知遞減，且，由單調(diào)有界定理知收斂，設(shè)，有. 若不然, 有，又 ，得=0，與相矛盾，故假設(shè)不成立，所以.例10 求.解 設(shè)，由在和式中，。,令知且在上連續(xù)必可積。而是在上，把區(qū)間0，1等分，取每個小區(qū)間左端點得到的和式，由定積分定義知 ，且，根據(jù)夾逼定理知。例11 求.解法一 由,且0=0，=0，根據(jù)夾逼定理知 =0。解法二 由=，其中，而，知為有界量，又，根據(jù)夾逼定理知。從而原式（有界量乘以無窮小量仍是無窮小量）.4利用單調(diào)有界定理證明數(shù)列遞增（遞減）有上界（下界），則數(shù)列收斂，即單調(diào)有界數(shù)列有極限。單調(diào)有界定理適合數(shù)列的項用遞推關(guān)系式給出的數(shù)列。單調(diào)有界定理僅能證明數(shù)列極限存在，至于數(shù)列極限的值是多少只能用別的方法去解決。例12 設(shè)為常數(shù)，證明極限存在，并求。分析 由于，容易觀察出是遞增的，并可用數(shù)學(xué)歸納法證明。關(guān)鍵是證明它有上界，哪一個數(shù)是的上界呢？我們觀察不出來。由于是遞增的，所以，若極限存在，則極限