2019-2020學(xué)年蘇教版必修四3兩角和與差的正切學(xué)案

1、3.1.3兩角和與差的正切學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)（教師獨具）1. 能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩 角和與差的正切公式.（重點）2. 能利用兩角和與差的正切公式進行化簡、求值、證明.（重點）3. 熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形，并能 靈活應(yīng)用.（難點）通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)谷，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理核心素養(yǎng)自主預(yù)習(xí)時晉新' tg mwx 新知初探.兩角和與差的正切公式tan a tan 3T( a- p)：tan(a-3=1 + tan aan 3tan a+ tan 3T ( a+ (3):tan(a+1 tan aan 3思考：公式T a±3有何結(jié)構(gòu)特征和符號規(guī)律?提

2、示結(jié)構(gòu)特征：公式T（a土®的右側(cè)為分式形式，其中分子為tan a與tanB的和或差，分母為1與tan aan B的差或和.（2）符號規(guī)律：分子同，分母反.対號同號* * *tan A;-Hu PTa詢阪馴切 tJt初試身手.1. tan 15 丄; tan 75 丄.2- 3 2+ 3 tan 15 = tan(45 - 30°)=tan 45 tan 30 ° 1 33 '31+ tan 45 fan 30 = 二3+ 3- 2 3.1+ 3tan 45 + tan 30 tan 75 =1 tan 45 tan 30d 31 + 2 卞=511 tan

3、 a+ tan g，tan atan B=tan a+ tan Btan (a+ ®=1 ta n 153 + tan 15 33 原式= 45 15 = tan(45 15) +禍1 31.1 tan ata n B2 .設(shè)a, B為銳角，且tan a tan B是方程6x2- 5x+1 = 0的根，則tan(a+ 3解tan 2a= tan( a+ ® + (a ®tan a+ B + tan a B 5+ 31 tan a+ Btan a B 1 5x 347,tan 2 B tan( a+ B ( a Btan a+ B tan a B5 3i 1 + t

4、a n a+ B ta n a B 1 + 5x 3 【例2已知tan a,tan B是方程x2 + 3,3x+ 4 0的兩根，且a, B 才，寸, 求a+ B4n 1 + tan 2a 1 7tan 2 a+ t z1 tan 2 a 1 + l + 73_11.Of 拌 6JA求解此類問題的關(guān)鍵是明確已知角和待求角的關(guān)系；求解時要充分借助誘導(dǎo)公式、角的變換技巧等實現(xiàn)求值倘若盲目套用公式，可能帶來運算的繁雜.2n 1 亠n1 .已知 tan(a+ B 5, tan B-,求 tan a+ .“nn解tan a+ tan a+B Bta n a+nB tan Bn1 + ta n a+ Bta

5、 n B322給值求角蹇叩2思路點撥：利用根與系數(shù)的關(guān)系求tan a tan B及tan an B的值，進而求出 tan(a+ B的值，然后由 a B的取值范圍確定 a b的值.解因為tan a, tan B是方程x2 + 3 3x+4= 0的兩根,所以tan (+ tan3 3<0, tan aan B= 4>0,n n所以 tan a 0, tan B< 0.又因為 a B 2，2 ,n所以 a, B 2， 0 ，所以一n< a+ B<0.tan a+ tan B 3I3又因為 tan(a+= ；3,1 ta n aan B 1 42 n所以 a+ A &qu

6、ot;3.1 .給值求角的一般步驟：(1) 求角的某一三角函數(shù)值；(2) 確定角的范圍；(3) 根據(jù)角的范圍寫出所求的角.2. 選取函數(shù)時，應(yīng)遵照以下原則：(1) 已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；n(2) 已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍是 0, 2，選正、 余弦皆可；若角的范圍是(0, n)選余弦較好；若角的范圍為一n，n，選正弦 較好.働眼蹤ill嫦.1 12 .已知 tan( a B = 2，tan B= 7,且 a B (0, n )則 2 a.3 n4由于 tan a tan( a B + Btan a B + tan B 1 ta n a Bta n B1 1=3，所以

7、 a o 4，1 + 3x1 31 1又 tan(2 a2+33=tan (oc3+a =1 廠1,1 一x 2 3n而氏 2， n，所以 2 a ( n 0),T(a±®公式的變形及應(yīng)用空住3 探究問題1 你能結(jié)合T( a±)的公式完成下列空格嗎?(1) T(a+®的變形：tan a+ tan Atan a+ tan tan atan an(a+ ® =.tan aan(2) T(a- ®的變形：tan a tan Ata n a tan f tan atan an(a ® =.tan aan提示：(1)tan a+ ta

8、ntan(a+ 3(1 tan otan ftan a+ tan tan dtan fan(a+ ® = tan(a+ ftan a+ tan ftan aan1 tan a+ 36(2)ta n a tantan (a ®(1 + tan aan ®ta n a tan f tan dtan an(a ® = tan (a ®tan a tan fta n aan B= 1tan a f2 結(jié)合T( a±f公式想一想下列式子如何化簡?1 tan a1 + tan a、;3+ tan a1 3tan a一 1 tan a tan4ta

9、n a n 提示：(1)= tan 4 a1 + tan a 1 + tanntan an書+ tan a tan3 + tan a n(2)'一= tan 3 + a1 3tan a 1tantan a 3【例 3】已知 ABC 中，tan B + tan C+ 3tan Btan C= 3,且 3tan A+ 3tan B = tan Atan B 1,試判斷 ABC 的形狀.思路點撥：充分結(jié)合T(a土®的公式及變形求解.解I ,3tan A+ 3 tan B= tan Atan B 1, 3(tan A+ ta n B) = ta n Atan B 1,ta n A+

10、tan B31 tan Atan B3 '並 tan(A+ B) = 3 .5 nn又 Ov A+ Bv n - A+ B = "6， C = 6,I tan B + tan C+ 3tan Btan C= 3,tan C =3 ,8tan B + 3+ tan B= '3, tan B = fnb=6， a= 2n3，12 ABC為等腰三角形1. 公式T(a+®, T(a-®是變形較多的兩個公式,公式中有tan atan p, tan a + tan p或ta n a tan p, tan(a+ ®(或tan (a p).三者知二可表示

11、或求出第三個2. 一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要注意常值代換.提醒：當(dāng)一個式子中出現(xiàn)兩角正切的和或差時，?？紤]使用兩角和或差的正切公式.加躍訓(xùn)嫌3. (1)化簡：tan 23 +tan 37 +V3tan 23 tan 37 ;°(2)若銳角 a, p滿足(1+/3tan o)(1+73tan p = 4,求 a+p的值.解(1)tan 23 +°tan 37 +3tan 23 tan 37 =tan(23 +37)(1 tan 23 tan37°) + ,'3tan 23 tan 37 = tan 60 (1 tan 23 tan 37 )+ 3ta

12、n 23 tan 37 = , 3.(2) v (1 + 3tan M(1 + .'3tan p=1 + ,'3(ta n a+ tan p + 3ta n aan A 4, tan a+ tan p= . 3(1 tan aan p,二 tan (a+ p =tan a+ tan p1 tan atan p：'3.又v a, p均為銳角， 0°<a+ 仟180°, a+ 60°.亠？斟進Q教師獨具1. 本節(jié)課的重點是兩角和與差的正切公式，難點是公式的靈活運用.2. 要掌握兩角和與差的正切公式的三個應(yīng)用(1) 解決給角求值問題.(2)

13、 解決給值(式)求角問題.(3) 解決條件求值問題.3. 本節(jié)課的易錯點是，解決給值(式)求角問題時，易忽視角的范圍而造成 解題錯誤.i tan51 an6 =( 1+ tan 51 tan 6 ° 'A. tan 57B . tan 57C. 1C 原式=tan (51 6°)= tan 45 =1.2 .若 tanoc=7,tan(a ®= 1,貝U tan =tan tan a ( a 31tan a tan a 37+ 14.1 + tan atan a 3131 73 .不查表求值：tan 15 + tan 30 +tan 15 tan 30 =

14、.1 tan 15 + tan 30 + tan 15 tan 30 = tan(15 + 30°)(1 tan 15 tan 30 )+tan 15°tan 30 = tan 45 (1 tan 15 tan 30 )+ tan 15 tan 30 = 1 tan 15 tan 30 + tan 15°tan 30 = 1.4. 已知A, B, C為銳角三角形ABC的內(nèi)角.求證：tan A+ tan B+ tan C = tan Ata n Bta n C.證明A+ B + C= n,A+ B= n C.tan A+ tan B1 tan Ata n B tan(A+ B)=tan C. tan A+ tan B= tan C+ tan Atan