DVD在線租賃的分配決策(萬(wàn)兵 劉浪 喬勇)

1、DVD在線租賃的分配決策萬(wàn)兵 劉浪 喬勇指導(dǎo)教員：數(shù)模組（海軍航空工程學(xué)院，煙臺(tái)，264001）摘要：本文研究了DVD在線租賃的分配決策問(wèn)題。首先對(duì)問(wèn)卷調(diào)查中的部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行了概率統(tǒng)計(jì)，通過(guò)對(duì)租賃次數(shù)的悲觀估計(jì)和折衷估計(jì)，建立了對(duì)5種DVD碟量的評(píng)估模型。結(jié)合兩種會(huì)員的數(shù)量比例，對(duì)其評(píng)估結(jié)果進(jìn)行加權(quán)，從而得到所需DVD數(shù)量的最低要求。其次在處理對(duì)當(dāng)前訂單的DVD的分配問(wèn)題時(shí)，以偏大型柯西分布隸屬函數(shù)定義單個(gè)會(huì)員的單張碟片的滿意度，并進(jìn)一步定義單個(gè)會(huì)員的綜合滿意度，由此建立了以所有會(huì)員最大綜合滿意度為目標(biāo)的整數(shù)規(guī)劃模型，用lingo8.0求解得最大滿意度為2660.105。最后對(duì)此模型進(jìn)行了檢驗(yàn)和

2、靈敏度分析。對(duì)于問(wèn)題3），建立了以所有會(huì)員綜合滿意度最高和碟片總購(gòu)買(mǎi)量最小的雙目標(biāo)規(guī)劃模型。首先充分分析了DVD的需求預(yù)測(cè)、購(gòu)買(mǎi)和分配，然后通過(guò)邏輯思維反證法對(duì)給定的95%進(jìn)行了準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，同時(shí)，通過(guò)巧妙的對(duì)交易成功這一概念的引入，對(duì)隨機(jī)變動(dòng)的DVD流通次數(shù)進(jìn)行了分類(lèi)確定。接下來(lái)在充分分析了模型的合理性后，引入松弛變量將兩種決策變量轉(zhuǎn)化為一種決策變量。最后利用目標(biāo)主次法，將購(gòu)買(mǎi)量轉(zhuǎn)化為一個(gè)約束條件，從而使該模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃，求得最優(yōu)解。求解得滿意度為2639.165。本文還對(duì)DVD在線租賃的分配決策模型進(jìn)行了進(jìn)一步的討論與分析，就會(huì)員群體的差異性問(wèn)題建立了相應(yīng)的加權(quán)組合模型，就會(huì)員存碟時(shí)間

3、問(wèn)題建立了存碟時(shí)間評(píng)估模型。此外，在模型的最后還進(jìn)一步提出了模型的改進(jìn)方向，針對(duì)問(wèn)題3）模型求解提出一種改進(jìn)的算法偏好系數(shù)組合法。關(guān)鍵字：DVD租賃；滿意度評(píng)價(jià)函數(shù)；目標(biāo)主次法；01整數(shù)規(guī)劃；雙目標(biāo)規(guī)劃。 1問(wèn)題重述 1.1背景知識(shí)隨著信息時(shí)代的到來(lái)，網(wǎng)絡(luò)成為人們生活中越來(lái)越不可或缺的元素之一。許多網(wǎng)站利用其強(qiáng)大的資源和知名度，面向其會(huì)員群提供日益專(zhuān)業(yè)化和便捷化的服務(wù)。例如，音像制品的在線租賃就是一種可行的服務(wù)。這項(xiàng)服務(wù)充分發(fā)揮了網(wǎng)絡(luò)的諸多優(yōu)勢(shì)，包括傳播范圍廣泛、直達(dá)核心消費(fèi)群、互動(dòng)性強(qiáng)、感官性強(qiáng)、成本相對(duì)低廉等，為顧客提供更為周到的服務(wù)。 考慮如下的在線DVD租賃問(wèn)題。顧客繳納一定數(shù)量的月費(fèi)

4、成為會(huì)員，訂購(gòu)DVD租賃服務(wù)。會(huì)員對(duì)哪些DVD有興趣，只要在線提交訂單，網(wǎng)站就會(huì)通過(guò)快遞的方式盡可能滿足要求。會(huì)員提交的訂單包括多張DVD，這些DVD是基于其偏愛(ài)程度排序的。網(wǎng)站會(huì)根據(jù)手頭現(xiàn)有的DVD數(shù)量和會(huì)員的訂單進(jìn)行分發(fā)。每個(gè)會(huì)員每個(gè)月租賃次數(shù)不得超過(guò)2次，每次獲得3張DVD。會(huì)員看完3張DVD之后，只需要將DVD放進(jìn)網(wǎng)站提供的信封里寄回（郵費(fèi)由網(wǎng)站承擔(dān)），就可以繼續(xù)下次租賃。1.2問(wèn)題提出某網(wǎng)站準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)一些新的DVD，通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查1000個(gè)會(huì)員，得到了愿意觀看這些DVD的人數(shù)。由歷史數(shù)據(jù)顯示，60%的會(huì)員每月租賃DVD兩次，而另外的40%只租一次。假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有10萬(wàn)個(gè)會(huì)員，對(duì)所給出的5種

5、DVD來(lái)說(shuō)，應(yīng)該至少準(zhǔn)備多少?gòu)?，才能保證希望看到該DVD的會(huì)員中至少50%在一個(gè)月內(nèi)能夠看到該DVD。另外求保證在三個(gè)月內(nèi)至少95%的會(huì)員能夠看到該DVD條件下應(yīng)準(zhǔn)備的張數(shù)。已知網(wǎng)站100種DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的1000位會(huì)員的在線訂單，求解如何對(duì)這些DVD進(jìn)行分配，才能使會(huì)員獲得最大的滿意度。以及列出前30位會(huì)員（即C0001C0030）分別獲得的DVD。利用已知的1000位會(huì)員的在線訂單，求解當(dāng)DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0時(shí)，每種DVD的購(gòu)買(mǎi)量，以及對(duì)這些DVD的分配方案，使得一個(gè)月內(nèi)95%的會(huì)員得到他想看的DVD，并且滿意度最大。對(duì)DVD的需求預(yù)測(cè)、購(gòu)買(mǎi)和分配中可能有的重要問(wèn)題進(jìn)行

6、進(jìn)一步研究，并明確提出的問(wèn)題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。2模型假設(shè)在考慮糟糕情況時(shí)，假設(shè)租賃兩次的會(huì)員只會(huì)在每個(gè)月中旬將碟片寄回，但這些碟片不會(huì)在本月中再次使用。對(duì)于租賃一次的會(huì)員，其碟片將不會(huì)在本月中途寄回，碟片也只會(huì)被利用一次；同時(shí)會(huì)員也要確保在下月開(kāi)始前將所有碟片郵回網(wǎng)站；每張DVD碟的價(jià)格均相同，即它們除了種類(lèi)不同外無(wú)其它差別；在處理當(dāng)前DVD的分配問(wèn)題時(shí)，不考慮這些碟片的循環(huán)利用率；交易成功定義為會(huì)員收到的DVD碟片全部是在其訂單中所含有的，交易失敗定義為會(huì)員沒(méi)有收到網(wǎng)站郵來(lái)的任何碟片；會(huì)員得到其想看的DVD理解為會(huì)員與網(wǎng)站交易成功，反之交易不成功；網(wǎng)站郵寄碟片只能是一次3張；網(wǎng)站碟片的郵

7、購(gòu)時(shí)間不會(huì)發(fā)生很大波動(dòng)，租賃兩次的會(huì)員有足夠的時(shí)間在月中旬將碟片寄回。3符號(hào)說(shuō)明：第種DVD的數(shù)目；：第種DVD被觀看的總次數(shù)；：第種DVD在會(huì)員選擇碟片總數(shù)量中的比重；：0-1變量，會(huì)員是否分配到第種DVD；：網(wǎng)站擁有的第種DVD的數(shù)量； ：會(huì)員租賃第種DVD的單項(xiàng)滿意度； ：會(huì)員對(duì)所分配的DVD的綜合滿意度；：所有會(huì)員對(duì)所分配的DVD的綜合滿意度之和；4問(wèn)題分析問(wèn)題1） 給出了對(duì)1000名會(huì)員的部分調(diào)查結(jié)果，求解會(huì)員數(shù)量為10萬(wàn)時(shí)需要的碟片數(shù)目。依據(jù)調(diào)查結(jié)果，可以推算出愿意觀看DVD1、DVD2、DVD3、DVD4、DVD5碟片的會(huì)員數(shù)目。另外由模型假設(shè)可知有40%的碟片在一個(gè)月內(nèi)只使用了

8、一次，另外60%的碟片雖然可以使用兩次，但針對(duì)本問(wèn)題，考慮最悲觀情形即它們只被使用了一次。這樣可求得在一個(gè)月內(nèi)碟片的使用次數(shù)。為保證愿意觀看某種碟片的會(huì)員有50%得到該碟片，只需保證此會(huì)員數(shù)目等于碟片的使用數(shù)目就可得到五種DVD數(shù)目的評(píng)估模型。問(wèn)題2) 給出了網(wǎng)站100種DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的1000位會(huì)員的在線訂單。分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)即使每個(gè)會(huì)員都分配三張碟片，總數(shù)為3000，小于網(wǎng)站擁有的碟片總數(shù)3007。顯然我們只需要建立一個(gè)基于最大滿意度的整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題，從而求得分配的最優(yōu)方案。問(wèn)題3） 會(huì)員在線訂單情況不變而各種DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0。在95%的會(huì)員得到想要的碟片的前提下除了考慮

9、所有會(huì)員的綜合滿意度外還要考慮碟片的總購(gòu)買(mǎi)量，問(wèn)題3）與問(wèn)題2）在要求求解模型上是相似的都是最優(yōu)綜合滿意度模型的處理，而問(wèn)題3）主要是解決一個(gè)先購(gòu)買(mǎi)后分配的問(wèn)題，這就將全部的問(wèn)題歸結(jié)為網(wǎng)站方對(duì)各種DVD的購(gòu)買(mǎi)量問(wèn)題，及如何對(duì)這些DVD的合理分配問(wèn)題，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)量一定時(shí)如何分配DVD使得會(huì)員的綜合滿意度最大，當(dāng)會(huì)員滿意度非常容易滿足時(shí)，如何分配使得DVD購(gòu)買(mǎi)量最小。于是我們就建立以所有會(huì)員的綜合滿意度之和最大以及碟片的總購(gòu)買(mǎi)量最小為目標(biāo)函數(shù)的雙目標(biāo)規(guī)劃模型。因?yàn)橐獫M足95%的會(huì)員得到想要的碟片，此時(shí)我們引入雙方交易成功來(lái)準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)這95%。然后對(duì)該雙目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的求解，便可采用目標(biāo)主次法來(lái)求得最優(yōu)的會(huì)

10、員滿意度且只需購(gòu)買(mǎi)盡量低的DVD數(shù)量。對(duì)于問(wèn)題4）這種開(kāi)放式的問(wèn)題，我們只是從我們前面模型中未得到合理解決的問(wèn)題著手，重新分析其它影響模型的變量和因素。5模型的建立與求解5.1問(wèn)題一由前面的分析建立對(duì)五種DVD數(shù)量的評(píng)估模型。設(shè)所需種DVD數(shù)目為。60%的會(huì)員每月租賃DVD兩次，另外的租賃一次，則首次分發(fā)時(shí)分配到租賃兩次的會(huì)員的DVD數(shù)量為0.6，分配到租賃一次的會(huì)員的DVD數(shù)量應(yīng)為0.4?？紤]這五種DVD分別被觀看的總次數(shù)。由假設(shè)知在月中旬時(shí)候網(wǎng)站就將收回前半個(gè)月租賃出去的碟片，因此可以評(píng)估得到碟片利用總次數(shù)?；诰W(wǎng)站對(duì)1000個(gè)會(huì)員調(diào)查的部分結(jié)果的顯示，對(duì)于網(wǎng)站給出的五種DVD碟，就有與之

11、相對(duì)應(yīng)的愿意觀看的人數(shù)，由此可分別得到人們對(duì)這五種DVD的相對(duì)喜愛(ài)程度，即第種DVD在會(huì)員選擇碟片總數(shù)量中的比重為,求解如下表所示：DVD類(lèi)型比重20%10%.5%2.5%1%需要求的是當(dāng)會(huì)員數(shù)為10萬(wàn)時(shí)需要準(zhǔn)備的碟片數(shù)量，可以根據(jù)1000會(huì)員時(shí)的比重求得相對(duì)應(yīng)的所需碟片數(shù)，即。為求得，考慮到在計(jì)算所需碟片時(shí)，是至少要滿足愿意觀看會(huì)員人數(shù)的50%。為了盡最大可能的實(shí)現(xiàn)這個(gè)條件，在這里就應(yīng)該保證所購(gòu)買(mǎi)的碟片數(shù)可以滿足遇到的最糟糕情況。每種碟片只是用一次的合理性在模型的假設(shè)里已經(jīng)說(shuō)得很清楚了，這里直接利用假設(shè)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)其求邊緣情況的問(wèn)題。對(duì)于保證愿意觀看會(huì)員至少50%在一個(gè)月內(nèi)能夠看到該DV

12、D的問(wèn)題, 求解的條件為：同理利用此條件求得5種碟片需求量的結(jié)果如下：DVD類(lèi)型需求量6250 31251563782313可以通過(guò)柱狀圖清楚的看到，5種碟片的需求量和愿意觀看人數(shù)呈相似比例，這也是符合現(xiàn)實(shí)生活常理的。對(duì)于保證三個(gè)月內(nèi)至少95%的會(huì)員看到該DVD問(wèn)題，采用上面同樣的處理方式。即: ,最后求得需求量結(jié)果為：DVD類(lèi)型需求量3959 1980990495198同時(shí)注意到并沒(méi)有考慮購(gòu)買(mǎi)DVD1對(duì)其他類(lèi)型購(gòu)買(mǎi)的影響，下面說(shuō)明這樣求解的合理性： 在調(diào)查愿意觀看的人數(shù)時(shí)，并沒(méi)有規(guī)定每個(gè)人只有一個(gè)選擇權(quán)，這樣難免造成有的人將對(duì)多種DVD感興趣，這樣調(diào)查的結(jié)果中愿意觀看的人數(shù)之和并不一定就能完

13、全表達(dá)租賃人數(shù)總和的情況，按照愿意觀看人數(shù)來(lái)確定租賃人數(shù)，由于人員租賃碟片的的有限性，這樣來(lái)確定碟片需求量的將不可避免的造成求得的網(wǎng)站供給量大于真正的需求量。但在這里處理的是一個(gè)邊緣問(wèn)題，必須考慮到最大可能需求量的情況，即每個(gè)會(huì)員在問(wèn)卷調(diào)查中都只是選擇了他會(huì)租賃的DVD類(lèi)型，愿意觀看DVD1的人數(shù)和觀看DVD2的人數(shù)以及其他類(lèi)型都沒(méi)有交叉數(shù)字。因此在上面的求解中就忽略了此問(wèn)題，不但簡(jiǎn)化了模型還有利于提高問(wèn)題解決的合理性 。5.2問(wèn)題二當(dāng)前DVD分配問(wèn)題5.2.1幾個(gè)基本問(wèn)題的處理 現(xiàn)有DVD張數(shù)及會(huì)員的在線訂單的處理 根據(jù)問(wèn)題2）所提供的在線訂單排序表，以及網(wǎng)站現(xiàn)有的DVD數(shù)量之間的關(guān)系，對(duì)該

14、表格做出如下簡(jiǎn)單的處理：首先是對(duì)會(huì)員訂單的喜愛(ài)程度進(jìn)行無(wú)差別的處理，也就是將表格中會(huì)員的所有訂單項(xiàng)的喜愛(ài)程度都可以認(rèn)為是相當(dāng)?shù)?，即所有的非零?xiàng)都用1來(lái)替代，具體的替代結(jié)果見(jiàn)附錄。同時(shí)做出了一個(gè)假定網(wǎng)站對(duì)所有的會(huì)員的這些無(wú)差別的非零項(xiàng)（其值為1）都分配上其想要得到的DVD。在這處理后的無(wú)差別訂單表格中，對(duì)所有100列、1000行、以及網(wǎng)站提供的DVD求其總和。具體的處理結(jié)果如下圖： 會(huì)員租賃的DVD的訂單中的滿意度分析如果只從會(huì)員訂單的喜歡程度的排序中來(lái)討論其滿意度的話，那么無(wú)形中就已經(jīng)默認(rèn)了這些喜歡程度的排序是均等的，而這不符合實(shí)際生活中的等級(jí)愛(ài)好的偏差。同時(shí)，就對(duì)于該網(wǎng)站上注冊(cè)的所有會(huì)員而言

15、，就比如，如果網(wǎng)站方給會(huì)員分配的DVD為（1，6，7）或者分配給該會(huì)員（2，5，7），此時(shí)若按上述的方法來(lái)處理的話，它們的效果是相同的。然而實(shí)際中出現(xiàn)這種情況并非十分合理，畢竟，對(duì)每個(gè)會(huì)員而言，能夠看上一部他認(rèn)為是最精彩的DVD遠(yuǎn)比多看上幾部一般DVD的滿意度要強(qiáng)得多。鑒于前面的喜愛(ài)程度假設(shè)，以及上面的論述，可以借助于會(huì)員對(duì)DVD的喜愛(ài)程度的排序進(jìn)行逐個(gè)單項(xiàng)滿意度的確定。注意到，網(wǎng)站方給會(huì)員分配的DVD是為中的其中的三項(xiàng)，因此會(huì)員對(duì)其所得到的DVD定有相應(yīng)的評(píng)價(jià)，不妨設(shè)其有相應(yīng)的10個(gè)評(píng)價(jià)集，對(duì)應(yīng)的數(shù)值為。同時(shí)，還充分考慮到了網(wǎng)站方或是一時(shí)出錯(cuò)分配了不在訂單上的DVD的情形。根據(jù)實(shí)際情況取偏大

16、型柯西分布函數(shù)，即為會(huì)員租賃的第種DVD的訂單中的單項(xiàng)滿意度函數(shù)： （*）其中為待定常數(shù)。實(shí)際上，在DVD的分配中，在訂單上當(dāng)喜愛(ài)度為1的位置上分配了DVD，則其隸屬度為1，；同理當(dāng)喜愛(ài)度為5時(shí)為時(shí)，則隸屬度為0.8，即；當(dāng)喜愛(ài)度為6時(shí)，則隸屬度為0.7；當(dāng)喜愛(ài)度為10時(shí)，則隸屬度為0.4。將自己所假定的結(jié)果代入到（*）式中，可以求出該單項(xiàng)滿意度函數(shù)的四個(gè)系數(shù)，通過(guò)對(duì)這幾個(gè)隸屬度的代入計(jì)算得，于是可以得到的單項(xiàng)滿意度函數(shù)為：將代入其中可得如下表：喜愛(ài)度12345單項(xiàng)滿意度10.91380.86340.82770.7999喜愛(ài)度6789100單項(xiàng)滿意度0.70.64560.57860.49700

17、.40此時(shí)可以得到這1000個(gè)對(duì)這100種DVD的各單項(xiàng)滿意度的矩陣，具體的結(jié)果可參照附錄中程序運(yùn)行出的結(jié)果。根據(jù)這單項(xiàng)滿意度函數(shù)，于是可求得會(huì)員對(duì)所分配的三張DVD的綜合滿意度的大小，記作，其中表示為DVD的分配方式方法，就為會(huì)員對(duì)所分配的DVD的綜合滿意度。5.2.2基于會(huì)員滿意度的評(píng)價(jià)函數(shù)的整數(shù)規(guī)劃模型經(jīng)過(guò)對(duì)會(huì)員滿意度進(jìn)行處理之后，由問(wèn)題2）如何對(duì)這些DVD進(jìn)行分配以及的“問(wèn)題分析”部分對(duì)會(huì)員滿意度的分析討論，便設(shè)計(jì)以所有會(huì)員總體滿意度為目標(biāo)的，用（網(wǎng)站給會(huì)員分配第種DVD）作為決策變量的01整數(shù)規(guī)劃模型。當(dāng)前DVD在線訂單的約束對(duì)這些DVD進(jìn)行分配時(shí)，必須滿足1) 對(duì)每種DVD，網(wǎng)站的

18、分配量必須不超過(guò)網(wǎng)站所擁有的DVD量；2) 因?yàn)榇颂巸H考慮當(dāng)前在線租賃問(wèn)題，故只考慮租賃一次的情況，于是對(duì)每名會(huì)員而言其被分配的DVD量應(yīng)當(dāng)為3；3) 基本量的條件約束，主要考慮，?；谠u(píng)價(jià)函數(shù)的整數(shù)規(guī)劃模型的建立根據(jù)問(wèn)題2）的要求，如何對(duì)這些DVD進(jìn)行分配，才能使會(huì)員獲得最大的滿意度。又由上面的的引入，于是，將問(wèn)題歸結(jié)為網(wǎng)站如何對(duì)所有會(huì)員進(jìn)行分配DVD，才能使得取得最大值，即該問(wèn)題的模型為，這顯然屬于一個(gè)01整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題，采用LINGO軟件來(lái)求解，得到的最優(yōu)綜合滿意度為2660.105，具體分配結(jié)果可見(jiàn)附錄。這里具體的列出了網(wǎng)站對(duì)前30會(huì)員的DVD分配情況，如以下表所示：網(wǎng)站對(duì)前30會(huì)員的D

19、VD的分配方案會(huì)員分配DVD會(huì)員分配DVD會(huì)員分配DVD18 41 981159 63 662145 50 5326 44 62122 31 412238 55 57332 50 801321 78 962329 41 9547 18 411423 52 892437 41 76511 66 681513 66 85259 69 81619 53 661610 55 972622 68 9578 26 811747 51 672750 58 78831 35 711841 60 78288 34 47953 78 1001966 84 862926 30 551055 60 852045 61

20、 893037 62 98通過(guò)用LINGO計(jì)算出的結(jié)果，然后再比較網(wǎng)站擁有的DVD量與網(wǎng)站給所有會(huì)員分配第種DVD的量 大小關(guān)系，如下圖所示。 5.2.3模型的結(jié)果分析以及靈敏度的分析 基于上述01整數(shù)規(guī)劃模型，可以對(duì)所求得的結(jié)果再結(jié)合前面的假設(shè)進(jìn)行合理的分析和評(píng)價(jià)。當(dāng)網(wǎng)站給在線訂單中的會(huì)員分配的三張DVD都是會(huì)員想得到的時(shí)，則認(rèn)為是相當(dāng)理想的分配結(jié)果，否則只要有一種DVD分配不是會(huì)員想得到的，則認(rèn)為是網(wǎng)站強(qiáng)行錯(cuò)誤分配，即是一種不合理的分配方式。針對(duì)題目中所提供的那些在線會(huì)員訂單的喜愛(ài)度，結(jié)合模型所求1000個(gè)在線會(huì)員的DVD分配結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其中有8個(gè)會(huì)員被強(qiáng)行執(zhí)行了錯(cuò)誤分配，也就是該模型分配出

21、的結(jié)果能夠使得有的會(huì)員獲得他們所想要看的DVD。由我們模型假定中的成功交易的定義，這8 個(gè)依照的目標(biāo)函數(shù)得到的被強(qiáng)行執(zhí)行了錯(cuò)誤分配的會(huì)員，認(rèn)為在引次交易中，網(wǎng)站方就沒(méi)有給這類(lèi)會(huì)員分配DVD。靈敏度的分析此處我們所做的靈敏度分析，主要討論的是在系數(shù)變化情況下對(duì)最優(yōu)解帶來(lái)的變化以及對(duì)最優(yōu)綜合滿意度目標(biāo)函數(shù)的影響。系數(shù)是單項(xiàng)滿意度，可采用自定義評(píng)價(jià)函數(shù)來(lái)調(diào)整，這里，所定義的評(píng)價(jià)函數(shù)可由一些簡(jiǎn)單的規(guī)定算法來(lái)實(shí)現(xiàn)。 §單項(xiàng)滿意度處理之一，把的取值定義為在線會(huì)員的訂單中的喜愛(ài)度，即為他們各自的單項(xiàng)滿意度，同時(shí)訂單中的喜愛(ài)度0得進(jìn)行跨躍處理成單項(xiàng)滿意度為100。說(shuō)明：數(shù)字越小表示會(huì)員的偏愛(ài)程度越高

22、，數(shù)字100表示對(duì)應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會(huì)員的在線訂單中，也即為會(huì)員國(guó)對(duì)該DVD是極其不滿意，且與在訂單中的滿意情況有著鴻溝差距。即此時(shí)的單項(xiàng)滿意度：喜愛(ài)度12345單項(xiàng)滿意度12345喜愛(ài)度6789100單項(xiàng)滿意度678910100依據(jù)前面最優(yōu)綜合滿意度整數(shù)規(guī)劃模型，也采用LINGO軟件來(lái)求解，當(dāng)取得最優(yōu)滿意度時(shí)，此時(shí)的最優(yōu)滿意度8991，相應(yīng)的分配方案也產(chǎn)生與上面一致的情況。1000個(gè)在線會(huì)員的DVD分配結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其中有8個(gè)會(huì)員被強(qiáng)行執(zhí)行了錯(cuò)誤分配。同理，因而由我們模型假定中的成功交易的定義，我們認(rèn)為這8 個(gè)依照的目標(biāo)函數(shù)得到的被強(qiáng)行執(zhí)行了錯(cuò)誤分配的會(huì)員，認(rèn)為在引次交易中，網(wǎng)站方就沒(méi)有給這類(lèi)會(huì)

23、員分配DVD。§單項(xiàng)滿意度處理之二，與上面相似，令在線會(huì)員的訂單中的喜愛(ài)度的倒數(shù)為單項(xiàng)滿意度，同時(shí)對(duì)訂單中的喜愛(ài)度為0得進(jìn)行階躍跨躍處理成單項(xiàng)滿意為-100。 此時(shí)的單項(xiàng)滿意度為：喜愛(ài)度12345單項(xiàng)滿意度11/21/31/41/5喜愛(ài)度6789100單項(xiàng)滿意度1/61/71/81/91/10-100同理求解的方法還是求解這個(gè)最優(yōu)綜合滿意度整數(shù)規(guī)劃模型，通過(guò)的LINGO可求得，當(dāng)取得最優(yōu)滿意度830.868時(shí)，相應(yīng)的分配方案也產(chǎn)生與上面一致的情況1000個(gè)在線會(huì)員的DVD分配結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其中有8個(gè)會(huì)員被強(qiáng)行執(zhí)行了錯(cuò)誤分配。同理，認(rèn)為這8 個(gè)依照的目標(biāo)函數(shù)得到的被強(qiáng)行執(zhí)行了錯(cuò)誤分配的會(huì)員

24、，在引次交易中，網(wǎng)站方就沒(méi)有給這類(lèi)會(huì)員分配DVD。5.3問(wèn)題三雙目標(biāo)（總購(gòu)買(mǎi)量、總滿意度）最優(yōu)規(guī)劃模型5.3.1模型的準(zhǔn)備：1 對(duì)網(wǎng)站滿足95%會(huì)員要求的理解題中要求網(wǎng)站購(gòu)買(mǎi)DVD 數(shù)量并對(duì)其進(jìn)行分配使其95%的會(huì)員能夠得到他們想看的DVD，在這里對(duì)會(huì)員能夠看到他們想看到的碟片這種情況給予下面所述的理解并說(shuō)明其合理性：本文認(rèn)為會(huì)員得到他想看的DVD即指網(wǎng)站首次郵寄給他的碟片全部是在其訂單中的，會(huì)員得不到他所想看的即指由于網(wǎng)站沒(méi)有更多的供給量造成這部分會(huì)員將得不到任何碟片。這在文中是一個(gè)5%的小概率事件，如果站在消費(fèi)者的角度，當(dāng)你付費(fèi)成為會(huì)員后卻得不到碟片，是一個(gè)對(duì)網(wǎng)站滿意度大大降低的事件。但如

25、果從網(wǎng)站方面考慮，這樣做并非不合理，下面試說(shuō)明其合理性：作為網(wǎng)站，由文中的假設(shè)知，網(wǎng)站將在月初給有訂單的會(huì)員郵寄碟片，如果不考慮95%的滿足率，網(wǎng)站只要按照每個(gè)會(huì)員的滿意度最高的前三種碟片進(jìn)行購(gòu)買(mǎi)并按照會(huì)員的要求予以分配，這樣網(wǎng)站僅需要購(gòu)進(jìn)3000張碟片就毫無(wú)疑問(wèn)的使會(huì)員的滿意度達(dá)到最大值，而在本文中，只是讓95%的會(huì)員予以滿足，所以網(wǎng)站的定購(gòu)量就一定是小于3000張的，其中一部分人網(wǎng)站就會(huì)讓其得不到任何碟片。在這種前提下，通過(guò)合理的分配滿足大多數(shù)人的需求而獲得滿意度的最大值就將是本問(wèn)題的解決所在。 對(duì)碟片可利用次數(shù)的理解本文在模型的建立中只將第一次碟片的發(fā)放情況予以考慮，即對(duì)于租賃兩次的會(huì)員

26、，第二次所得到的碟片不會(huì)影響其在第一次分配中所得到的滿意度。這樣的認(rèn)識(shí)并不是合乎常理的，下文給予其合理性說(shuō)明：文中的用戶租賃次數(shù)是不可確定的，也是不可模擬的。對(duì)于租賃兩次的用戶，有理由相信他們?cè)诒驹轮醒畷?huì)將碟片寄回以增大網(wǎng)站對(duì)碟片的可利用率。但同時(shí)作為網(wǎng)站本身，如果過(guò)分依賴(lài)于這種隨機(jī)的結(jié)果，是不能正常地保證網(wǎng)站滿意度的穩(wěn)定的，就要求從一個(gè)情況較壞的角度來(lái)看待這個(gè)問(wèn)題，即網(wǎng)站第二次被會(huì)員郵回的碟片不能夠有效的滿足以前并沒(méi)有得到滿足的會(huì)員的要求。這時(shí)為了保證網(wǎng)站的滿意度保持穩(wěn)定而忽略碟片可重用帶來(lái)的滿意度的提升是符合網(wǎng)站的經(jīng)營(yíng)策略的。5.3.2雙目標(biāo)規(guī)劃模型的建立確定目標(biāo)函數(shù)：要在上述前提下滿意度

27、最大，且使購(gòu)買(mǎi)總量最小。引入決策變量和，這里同模型二相似，用來(lái)表示第個(gè)人是否被分配第種DVD。當(dāng)?shù)趥€(gè)會(huì)員被分配第種時(shí)，=1，否則=0。表示第種DVD的購(gòu)買(mǎi)總量。利用模型二中給出的滿意度，可以定義目標(biāo)函數(shù)為：（表示購(gòu)買(mǎi)總量，表示滿意度）確定約束條件：a . 由于每個(gè)會(huì)員在第一次得到的碟片數(shù)有0和3兩種情況，得到：，b. 第種DVD的發(fā)放量應(yīng)小于等于其購(gòu)買(mǎi)量，且為正整數(shù)。得到：，c. 所有會(huì)員中本月只有95%的會(huì)員得到他想看的DVD，得到：，d. 網(wǎng)站給第個(gè)會(huì)員分配第種DVD的情況，只有0和1的選擇。得到： 綜上所述,可以得到多目標(biāo)規(guī)劃模型如下：S.T 考慮到上述求解的復(fù)雜性，引入交易系數(shù)，當(dāng)取1

28、時(shí)表示交易成功，即會(huì)員得到所要碟片，當(dāng)取0時(shí)表示交易失敗，即會(huì)員沒(méi)有得到所要碟片?？蓪⑸鲜瞿Ｐ偷募s束條件轉(zhuǎn)化為：S.T5.3.3松弛變量的引入在上面所建立的雙目標(biāo)決策模型中，決策變量為兩種，而這兩決策變量間僅滿足的關(guān)系。似乎看來(lái)這二目標(biāo)函數(shù)毫無(wú)聯(lián)系，但是借助整數(shù)規(guī)劃中的松弛變量的思想，同樣也可引進(jìn)這樣的變量用來(lái)松弛其中的不等的約束條件，也稱(chēng)為第個(gè)松弛系數(shù)，于是此處便可用來(lái)替代的不等關(guān)系。此時(shí)的僅為參變量，同時(shí)該多目標(biāo)規(guī)劃模型便可轉(zhuǎn)化為同一決策變量的一般性的多目標(biāo)決策模型。于是上面所建的模型便可修改簡(jiǎn)化為：約束條件：僅對(duì)約束條件做變換，變?yōu)?，且為參變量?.3.4模型的進(jìn)一步簡(jiǎn)化作為一個(gè)雙目標(biāo)規(guī)

29、劃模型，在本問(wèn)題中定義了以下兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，一個(gè)是使總體購(gòu)買(mǎi)量最小，一個(gè)是使?jié)M意度最大。由前面的假設(shè)和合理性分析可知，如果要使95%的人得到3張自己想看的碟，其他5%得到碟片為0，就可忽略總體購(gòu)買(mǎi)量最小的目標(biāo)限制，由于總量已近似確定，在約束條件中考慮單類(lèi)DVD分配量小于網(wǎng)站單類(lèi)購(gòu)買(mǎi)量在總體問(wèn)題解決中不是十分必要的因素。因?yàn)榧词蛊湓谀愁?lèi)獲得了動(dòng)態(tài)平衡中的最小值，但其總量的確定將使另外DVD類(lèi)別的購(gòu)買(mǎi)量增大。因此模型可轉(zhuǎn)化為：S.T由lingo8.0求解前30人的分配方案為：會(huì)員分配DVD會(huì)員分配DVD會(huì)員分配DVD18 82 981119 59 632145 53 6526 44 62122 7

30、312238 55 5734 50 801321 78 1002329 81 9547 18 411423 43 522441 76 79511 66 681513 85 88259 69 94616 19 53166 84 972622 68 9578 26 811747 51 672722 42 58815 71 991841 60 78288 34 82953 78 1001967 84 862930 44 551055 60 852045 61 89301 37 625.4問(wèn)題四DVD在線租賃模型的進(jìn)一步分析在DVD的預(yù)測(cè)、購(gòu)買(mǎi)和分配中，還可以從以下幾個(gè)方面來(lái)進(jìn)行進(jìn)一步的研究: 5.4

31、.1會(huì)員群體的相異性導(dǎo)致滿意度的確定發(fā)生變化 由于在生活中，不同會(huì)員對(duì)于自身滿意度的確定是有很大差別的，可定義會(huì)員為下面類(lèi)別： A愛(ài)好專(zhuān)一型 ：對(duì)與此類(lèi)會(huì)員，由于其對(duì)碟片的判斷中存在明顯的等級(jí)劃分，可以定義其在偏愛(ài)程度較大的DVD類(lèi)別中滿意度分布和偏愛(ài)程度較小時(shí)的滿意度分布具有非均等性，且有較大的差異。這里采用倒數(shù)法，對(duì)文中所給均等滿意程度進(jìn)行倒數(shù)求解，這樣就拉大了偏愛(ài)程度較大的滿意度差異，可以鮮明的表達(dá)此種類(lèi)型會(huì)員的滿意度分布。B愛(ài)好廣泛型 ： 對(duì)于此類(lèi)會(huì)員，由于其對(duì)碟片的滿意程度起伏不是很大，就可定義其滿意程度符合均勻變化，而不帶有波動(dòng)起伏。這里就采用文中所給的均差滿意度來(lái)定義此類(lèi)人的性格

32、。對(duì)于文中表格所出現(xiàn)的0值，可以用一個(gè)很大的負(fù)數(shù)來(lái)替代它，以確保在求解最優(yōu)結(jié)果中可能出現(xiàn)的幾率大大減小甚至不存在。這里沒(méi)有改變DVD問(wèn)題用整數(shù)規(guī)劃求解的優(yōu)化處理方法，但是通過(guò)滿意度定義的分類(lèi)將得到不同的數(shù)學(xué)模型。如果考慮一般的情況，可以綜合上面兩類(lèi)情況，對(duì)其目標(biāo)函數(shù)的確定中加上適當(dāng)?shù)臋?quán)值以得到綜合求解。加權(quán)組合法 定義A類(lèi)的滿意度矩陣為，B類(lèi)的滿意度矩陣為，（具體數(shù)據(jù)可以參看附錄）。同時(shí)A類(lèi)人所占比重為，B類(lèi)人所占比重為。在處理需求量的問(wèn)題中，以問(wèn)題二為例，整數(shù)規(guī)劃過(guò)程如下：（其中，的值可由日常生活中差異人群的比例估計(jì)）這樣就可建立一個(gè)統(tǒng)籌的模型，來(lái)進(jìn)行問(wèn)題的深入研究。作為一個(gè)網(wǎng)站經(jīng)營(yíng)人員，這

33、些情況時(shí)是很有必要進(jìn)行一定考慮的。5.4.2網(wǎng)站確定用戶存碟時(shí)間限制帶來(lái)的碟片利用率問(wèn)題 網(wǎng)站的經(jīng)營(yíng)目的重要的是利潤(rùn)值的最大化，這里就是尋求用較小的付出得到較大的收獲的合適交界點(diǎn)。這樣的前提下，如果網(wǎng)站能提高碟片的利用率，使其被使用周期減小，從而增大其在固定時(shí)間內(nèi)，如一個(gè)月內(nèi)的循環(huán)次數(shù)，這將有效的減小網(wǎng)站的碟片購(gòu)買(mǎi)量，從而減小支出，增加收入。 如果定義網(wǎng)站對(duì)會(huì)員使用碟片的限制如下，對(duì)租賃兩次用戶要求其存碟時(shí)間為,租賃一次用戶要求其存碟時(shí)間為, 同時(shí)由客觀條件得碟片的單程郵寄時(shí)間為，那么便可對(duì)DVD的需求預(yù)測(cè)建立和郵寄時(shí)間，存碟時(shí)間有關(guān)的模型，以問(wèn)題一的求解模型為例：同樣設(shè)DVDI的需求量為，此

34、處評(píng)估模型將變?yōu)椋海?，或可由網(wǎng)站方面根據(jù)實(shí)際情況來(lái)確定）這樣的規(guī)則指定將給網(wǎng)站掌握碟片利用率帶來(lái)自由的空間，從而帶來(lái)額外的經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)。也提高了用戶獲得自己喜歡碟片的概率。但這樣可能由于時(shí)間的緊迫，造成部分用戶的滿意度降低，但這不在本模型考慮之列，可作為模型的改進(jìn)進(jìn)行求解。6模型的改進(jìn)由于目標(biāo)主次法模型的求解在一定程度上是有其局限性的，這是因?yàn)榫W(wǎng)站方對(duì)各種DVD的分配量的購(gòu)置的偏好度與對(duì)會(huì)員的綜合滿意度的偏好程度是一個(gè)未知待定的參變量，于是對(duì)問(wèn)題3）模型提出一種改進(jìn)算法偏好系數(shù)組合法。網(wǎng)站方?jīng)Q策者的最終目的是購(gòu)置和分配DVD，使得在會(huì)員總的綜合滿意度一定的情況下，網(wǎng)站方購(gòu)置量是最少，或者是在網(wǎng)站方

35、購(gòu)置量一定的條件下，如何分配使得會(huì)員總的綜合滿意度最大。網(wǎng)站方的決策者從長(zhǎng)遠(yuǎn)考慮或是僅從眼前利益來(lái)考慮，于是便要求考慮作為網(wǎng)站方對(duì)這二者的偏好程度。偏f p fg ftj r在實(shí)際真正的決策中，他必須會(huì)考慮到并充分地去兼顧這二者，然后就得根據(jù)各種DVD需購(gòu)量的組合，從而確定出決策者對(duì)滿意度購(gòu)買(mǎi)量的偏好參數(shù)。此時(shí)所需求解的多目標(biāo)決策模型化為單目標(biāo)規(guī)劃模型： 偏好系數(shù) 為此模型中的偏好參數(shù)，直觀的表現(xiàn)也就是對(duì)滿意度購(gòu)買(mǎi)量這兩優(yōu)化目標(biāo)的重視程度，顯然的取值范圍為，值越大，說(shuō)明決策者（網(wǎng)站）對(duì)會(huì)員國(guó)滿意度是相當(dāng)重視的。但是在真正的實(shí)際決策當(dāng)中，偏好參數(shù)還是由決策者來(lái)定的。7模型的評(píng)價(jià)本題建立的模型簡(jiǎn)潔

36、易懂，清晰明了，建模的思想也易于理解，可操作性強(qiáng)。同時(shí)都具有很強(qiáng)的推廣性和一般性，我們可以對(duì)其他租賃問(wèn)題、借貸問(wèn)題建立相類(lèi)似的模型。另外模型中通過(guò)柯西分布的隸屬函數(shù)來(lái)定義單個(gè)會(huì)員的單項(xiàng)滿意度，具有很好的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)和較強(qiáng)的說(shuō)服力，從而推算出的滿意度函數(shù)也有很好的實(shí)際意義。但由于模型所要處理的會(huì)員的訂單數(shù)據(jù)較大，算法的時(shí)間復(fù)雜度較大，同時(shí)我們做出的人為假設(shè)也相對(duì)較多，但都較為合理。參考文獻(xiàn) 薛毅，最優(yōu)化原理與方法，北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，2003。 盧險(xiǎn)峰，最優(yōu)化方法應(yīng)用基礎(chǔ)，上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2003。 張志勇，精通Matlab6.5版，北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2005。 熊偉，運(yùn)籌學(xué)

37、，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005年。 陳叔平 譚永基，一類(lèi)投資問(wèn)題的建模與分析，數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，VOL.29 NO.1:45-49頁(yè)，1999。 韓中庚 招聘公務(wù)員問(wèn)題的優(yōu)化模型與評(píng)述，工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，VOL.21 NO.7:147-154頁(yè)，2004。附錄：（1）%問(wèn)題一aa=200 100 50 25 10;subplot(1,3,1);bar(aa)xlabel('已知DVD愿意觀看人數(shù)');n=zeros(1,5);n=ceil(1e5*(aa./1000)*0.5/1.6);subplot(1,3,2);bar(n);xlabel('(50%時(shí))DVD'

38、;);n2=zeros(1,5);n2=ceil(1e5*(aa./1000)*0.95/(3*1.6);n2;subplot(1,3,3);bar(n2);xlabel('(三個(gè)月95%時(shí))DVD');（3）%lingo結(jié)果的分析clc,clearload out6w.txtload data1.txtsolu=reshape(out6w,100,1000);b=solu'a=data1;geshu=0;ii=zeros(66,1);k=1;for i=1:1000 for j=1:100 if (a(i,j)=0)&&(b(i,j)=1) geshu

39、=geshu+1; ii(k)=i;k=k+1; end endendgeshu（4）clc,clearload out2.txtload data2.txtsolu=reshape(out2,100,1000);solu=solu'ss=sum(solu);bar(ss,0.5); hold on;plot(data2,'r');legend('分配情況','原有DVD數(shù)量');xlabel('求解后的分配情況與原有DVD數(shù)量的比較');（5）%滿意度clcclearload data1.txtload data2.txta=data1;save qiao1 a;a(find(a=0)=0;a(find(a=2)=0.9138;a(find(a=3)=0.8643;a(find(a=4)=0.8277;a(find(a=5)=0.7999;a(find(a=6)=0.7;a(find(a=7)=0.6456;a(f