高中三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計及習(xí)題及答案

1、第三章三角函數(shù)章節(jié)結(jié)構(gòu)圖三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個重要知識板塊，也是高考的熱點和重點內(nèi)容.在考察中，以容易題和中檔題為主.在復(fù)習(xí)本部分內(nèi)容時， 應(yīng)該充分利用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象和性質(zhì)有機(jī)結(jié)合. 利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)，同時也要學(xué)會利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象.而在三角變換中，角的變換，三角函數(shù)名稱的改變，三角函數(shù)次數(shù)的變換，三角函數(shù)表達(dá)形式的變換， 頻繁出現(xiàn)因此，在訓(xùn)練中，要清楚各種公式，以及它們之間的聯(lián)系，注意總結(jié)規(guī)律，并在 應(yīng)用中注意分析比較，提高能力.3. 1三角函數(shù)的概念（一）復(fù)習(xí)指導(dǎo)1了解任意角的概念，了解弧度制概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化.2 理解任意角三角函數(shù) （正弦、

2、余弦、正切）的定義，掌握任意角的三角函數(shù)在各個象 限的符號.3會應(yīng)用三角函數(shù)線解決與三角函數(shù)有關(guān)的簡單問題.（二）解題方法指導(dǎo)例1 .寫出與一60°終邊相同的角的集合 S,并把S中滿足一2二 a 4二的元素a寫出來.1例2.已知角a終邊上有一點P(x, 1),且coso =,求sin a, tana.2例3.求函數(shù)f（x）二sinx-1的定義域.V 2例4.已知a （0,門），比較sin , tan 的大小.2 2（三）體會與感受1. 重點知識2. 問題與困惑3. 經(jīng)驗問題梳理3. 2同角三角函數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式（一）復(fù)習(xí)指導(dǎo)一 一22sin x1. 理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：si

3、n x cos x=1,tan x.cos xn2. 能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出_，n_的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.23能綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式和同角關(guān)系式對代數(shù)式進(jìn)行化簡.（二）解題方法指導(dǎo)例 1.已知 tanx=2,求 sinx, cosx的值.例 2.求 tan(-120)cos(210)sin(-480)的值. tan(-690 ) sin(-150 ') cos(330 )例 3. 若 sin x一cosx = 2, 求 sinxcosx 的值. sin x + cosx例 4.求證：tan2xsin2x=tan2x sin2x.（三）體會與感受1. 重點知識2. 問題與困

4、惑3. 經(jīng)驗問題梳理3. 3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）（一 ）復(fù)習(xí)指導(dǎo)1. 能畫出y=sinx, y=cosx, y=tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.2. 理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間0 , 2二的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖象與 x 軸交點等）n n3. 理解正切函數(shù)在區(qū)間 （-，）的單調(diào)性.2 2（二）解題方法指導(dǎo)函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)圖象定義域值域周期奇偶性單調(diào)性增區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間對稱性對稱軸對稱軸對稱軸對稱中心對稱中心對稱中心n例1.用五點法畫出函數(shù) y =sin（x）草圖，并求出函數(shù)的周期，單調(diào)區(qū)間，對稱軸,對稱中心.x n例2.求函數(shù)y=2sin（

5、）在區(qū)間0 , 2:上的值域.2 6例3.求下列函數(shù)的值域.(2)y= 2sin xcosx (sinx+ cosx).2(1)y= sin x cosx+2;1 sin x例4 .求函數(shù)y的值域.3-cos x（三）體會與感受1. 重點知識2. 問題與困惑3. 經(jīng)驗問題梳理3. 4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(二)(一) 復(fù)習(xí)指導(dǎo)1. 了解函數(shù)y=Asin(©的物理意義；能畫出y=Asin(ax+妨的圖象，了解參數(shù) A, w,0對函數(shù)圖象變化的影響.2. 了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會用三角函數(shù)解決一些簡單實 際問題.(二) 解題方法指導(dǎo)例1 .在同一個坐標(biāo)系中，用五點法

6、畫出下列函數(shù)的草圖.nn(1)y=sin x, y=sin(x);(2)y=sin 2x, y = sin(2x).3 3n例2.已知函數(shù)f(x)=si n(2x )，該函數(shù)的圖象可以由y=si nx的圖象經(jīng)過怎樣的平6移和伸縮變換得到.例3.若函數(shù)y=Asi n( wx©( w> 0, ©> 0)的圖象的一個最高點為(2. 2)，它到其相鄰的最低點之間的圖象與x軸交于(6, 0)，求這個函數(shù)的一個解析式.例 4.已知函數(shù) f(x)=cos4x 2sinxcosx sin4x.n(i )求f(x)的最小正周期；(n)若x 0,求f(x)的最大值、最小值.(三)體

7、會與感受1. 重點知識2. 問題與困惑3. 經(jīng)驗問題梳理3. 5和、差、倍角的三角函數(shù)(一)(一 )復(fù)習(xí)指導(dǎo)1. 掌握兩角差的余弦公式，能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.2. 能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、 余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.3. 能用上述公式解決一些化簡和求值問題.(二)解題方法指導(dǎo)例 1.若 1 -tanx =“，則 tan(x+ n)的值為 () 1 tanx4V5 （D）-可L_75(A) 5(B) 一 .一 5(C5-22 n例 2. (sinx+cosx) +2sin ( 一x)=42n 1 亠 sin

8、2x2cos x ”例3.已知tan( x)二.求的值.4 21 +cos2x例 4.已知 f(cosx)=cos2x.(n )求 f(sinx).n(I )求 f (cos()的值;16（三）體會與感受1. 重點知識2. 問題與困惑3. 經(jīng)驗問題梳理3. 6和、差、倍角的三角函數(shù)（二）（一 ）復(fù)習(xí)指導(dǎo)1. 能利用三角函數(shù)公式對一些代數(shù)式進(jìn)行化簡和求值.2. 掌握Asinx+Bcosx型代數(shù)式變形方法.（二）解題方法指導(dǎo)4 _ nn例 1 .已知 cos, X 5 ( , n，則 cos()=(5 24(B).210(C)U(D)7 210例 2. f (x)二 cos2x - 2 3 sin

9、 x cosx 的最小值為 冗3冗例 3.已知：0 ： x , cosx ，且y： n,且 sin(x y) ，求 cosy 的值.25213冗-3-4求 sin 3.nsin , cos（：）=-,255（三）體會與感受1. 重點知識2. 問題與困惑3. 經(jīng)驗問題梳理3. 7正弦定理和余弦定理（一 ）復(fù)習(xí)指導(dǎo)1掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.2能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.（二）解題方法指導(dǎo)例1 .在厶ABC中，a : b : c = 3 : 5 : 7,則其最大角為 .例2.在厶ABC中，有acosA=bcosB，判

10、斷 ABC的形狀.例3.在厶ABC中，/ A=60°,面積為10.3，周長為20,求三條邊的長.例4.在一條河的對岸有兩個目標(biāo)物A, B,但不能到達(dá).在岸邊選取相距2 3里的C,D 兩點，并測得/ ACB=75 ° / BCD=45 ° / ADC=30 ° ° / ADB=45 ° ° 且 A , B , C , D 在同 一個平面內(nèi)，求 A , B之間的距離.（三）體會與感受1. 重點知識2. 問題與困惑3. 經(jīng)驗問題梳理例題解析第三章三角函數(shù)3. 1三角函數(shù)的概念例1分析：先把角轉(zhuǎn)化成弧度制，然后寫出與其終邊相同角的集

11、合.nn解：因為60°，所以-2kn ,k Z,3 3S中滿足一 2a 4 n的元素有一匸,_5,11 .3 33例2分析：已知一個角的一個函數(shù)值，可以利用三角函數(shù)定義求其它三角函數(shù)值，也可以利用同角關(guān)系直接求得.解：因為P(X, 1)在角a的終邊上，所以，xcos 二解得x二今，又因為x>0,所以x = -3 ,所以 sin 3 , tan ： = , 3.3 2第10頁共14頁22小結(jié)：知道一個角某個三角函數(shù)值，求其它的函數(shù)值，是三角函數(shù)求值問題中典型問題之一.1 1例3解：因為sin x - 0，所以sin x亠,2 21 5 n當(dāng)sinx 時，X=2kn n或x=2kn

12、，k乙利用三角形函數(shù)線得到，2 6 65x 2kn ,2kn, k Z.6 6例4分析：比較不同三角函數(shù)值的大小，可以充分利用三角函數(shù)線.aa解：因為a (0, n)所以 (0,)，如圖3一 1-2,在單位圓中，作出的正弦線2 2 2MP和正切線 AT,因為Soap V oat,11所以 |OA|MP| |OA| | AT |,22即丨 MP | v| AT |,所以 sin tan 2 2小結(jié)：例3和例4都是三角形函數(shù)線的應(yīng)用， 其中例4還可以利用比較法來解決，實際上有 x 二(0,)時，sinxv xv tanx. 23. 2同角三角函數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式例1分析：知道一個角某個三角函數(shù)值，求

13、其它函數(shù)值，方程思想是通法.解： 因為 tan x = Sin x = 2，又 sin2x+ cos2x=1,cosx聯(lián)立得si nx = 2cosx2 2sin x +cos x =1解這個方程組得2屆sin x =5cosx 亠J5、cosx .5小結(jié)：這道題和3.1.1中的例2屬于同一類型問題.例2分析：這種代數(shù)式化簡，一般要用到誘導(dǎo)公式和同角函數(shù)關(guān)系，要注意公式的正確使用，特別是函數(shù)名稱和符號的變化方法.解：原式tan(-120180 )cos(18030)sin(-360 -120 )tan(-72030o)sin(-150 )cos(360 -30 )tan60 (-cos30 )

14、(-sin120 )3.tan30 (-sin150 )cos30例3分析：這種代數(shù)式求值，可以利用方程組的思想，求出每個函數(shù)值，也可以利用 sinxlcosx 與 sinxcosx的關(guān)系，整體求值.解：法一：因為 sinx-cosx =2,sin x + cosx所以 sinx cosx=2(sinx+ cosx),得到sinx= 3cosx,又sin2x+ cos2x=1，聯(lián)立方程組，解得sinx 礦,V10 cosx 二-百3煩3歸sin x=-怖，COSX3所以 sin xcosx 二10因為sin x - cosx sinx cosx所以 sinx cosx=2(sinx+ cosx

15、), 所以(sinx cosx)2=4(sinx+ cosx)2, 所以 1 2sin xcosx=4 + 8sin xcosx,所以有 sin xcosx 二-10小結(jié)：這兩種方法中，第一種是通法，第二種利用了整體求值.例4分析：這種證明問題，可以從左邊開始變形，向右邊看齊，也可以反過來，還有的時候是兩邊同時變形.在變形的時候，要注意公式的正確使用，同時要時刻注意目標(biāo)是什么.證明：法一：右邊=tan2 x sin2x=tan, (tan, cos2x)=tan2x(1 cos2x)=tan 2x sin2x，問題 得證.法二：左邊 =tan2xsin2x=tan2x(1 cos2x)=tan

16、2x tan2x cos2x=tan2x sin2x,問題得證.3. 3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(一)例1解：.nx + 30n2n3n22 nnn2n7n5 nx36363y01010周期為T=2n,單調(diào)增區(qū)間為(2kn 5 ：2kn+乙6 6單調(diào)減區(qū)間為(2kn + = 2kn + 7), k己乙6 6n對稱軸為x二kn ,k Z,6n 對稱中心為(kn ,0), Z.3小結(jié)：畫圖的時候，要注意五個點的選取.例2分析：在求這樣函數(shù)值域的時候，最好是把括號中與 x有關(guān)的代數(shù)式的取值范圍求出來，然后利用三角函數(shù)圖象求其值域.解：因為0<xw2n,所以0蘭蘭兀n<x + n<7n,

17、由正弦函數(shù)的圖象，2 6 2 6 6得至卩 sin(x n) _,1,2 6 2所以 y 1, 2.例 3 解：(1)y=sin2x cosx+ 2 = 1 cos2x cosx+ 2= (cos2x+ cosx) + 3,人沖212131213令 t=cosx,則 t 一1,1, y = _(t2t) 3 = _(t )2(t )2,242413利用二次函數(shù)的圖象得到y(tǒng)1,13.4(2)y= 2sinxcosx (sinx+ cosx)=(sinx + cosx)2 1 (sinx+ cosx)，令 t=sinx+ cosx =2 ,sin(x n)，則 t 二- 一 2, . 2則，y =

18、t2 - t -1,4利用二次函數(shù)的圖象得到y(tǒng)<2.4小結(jié)：利用三角函數(shù)關(guān)系把代數(shù)式轉(zhuǎn)化成一個二次函數(shù)形式，利用圖象，求其值域，要注意轉(zhuǎn)化后自變量的取值范圍.例 4 解：設(shè) A(3, 1), P(cosx, sinx),把y看成定點A與動點P所在直線的斜率，因為動點P(cosx, sinx)在單位圓上，所以只要求經(jīng)過點 A(3, 1)與單位圓相切的兩條直線的斜率，3兩條切線的斜率分別為0和一，43所以 y 0, 4小結(jié)：這是數(shù)形結(jié)合解題的一個典型問題.3. 4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(二)例1解：x0n2n3n22 ny01010+ n x十一30n2n3n22nnn2n7n5 nx3636

19、3y01010例2分析：這種問題的難點在于確定變換的先后順序. 解：法一：將函數(shù)y=sinx依次作如下變換：把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移 n個單位，得到函數(shù) y =sin(x+ -)的圖象；6 6n1一把函數(shù)y=sin(x+ )圖象上各點的橫坐標(biāo)縮小到原來的一，縱坐標(biāo)保持不變，得到62函數(shù)y =sin(2x - 的圖象.6法二：將函數(shù)y=sinx依次作如下變換：1 一 、(1) 把函數(shù)y=sinx的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮小到原來的，縱坐標(biāo)保持不變，得到函數(shù)y=sin2x的圖象.(2) 把函數(shù)y=sin2x向左平移個單位，得到函數(shù) y =sin2(x )，即y =sin(2x n)的12 12

20、 6圖象.小結(jié)：在進(jìn)行圖象變換的時候，應(yīng)注意平移變換和壓縮變換的順序，順序不一樣，則平移的單位不一樣.如y=sin2x的圖象向左平移 n個單位，得到函數(shù) y=sin2(x n)，即12 12y =sin(2x)的圖象.6例3分析：這樣的問題，首先要清楚幾個參數(shù)A, 3, $對函數(shù)圖象的影響，可以畫出一個草圖來分析問題.解：由最高點為(2,、2)，得到A二一 2，最高點和最低點間隔是半個周期，從而與x軸交點的間隔是 1個周期，這樣求得4Tn4 , T=16，所以=48又由 J2=j2sin(上匯2+®)，得到可以取 ® = n.二 y=j2sin( ”x+ 8484例4分析：

21、這個函數(shù)的解析式比較復(fù)雜，我們先對其進(jìn)行化簡，這包括減少函數(shù)名稱， 降低次數(shù)，然后再求相應(yīng)的問題.71解：(I )因為 f(x)=cos4x 2sinxcosx sin4x= (cos2x sin2x)(cos2x+ sin2x) sin2x =(cos2 x -sin2 x) -sin 2x =cos2x -sin2x = . 2 sin(上-2x) - - . 2 sin(2x - n)4所以最小正周期為 n2 sin(一 =1;4(H )若 x可0,-,則(2x n引,竺,所以當(dāng)x=0時，f(x)取最大值為244 4當(dāng)時,f(x)取最小值為- i 2.3. 5和、差、倍角的三角函數(shù)(一)

22、例1解:1 -ta nx1 tan xntan ta n x4n1 亠 ta n tanx4二 tan(上x) =、5，所以 tan(丄x) 口441tan( ?x) 5選C.小結(jié)：本題還可以例3解：因為tan( x)=42 2sin 2x -2cos x 2sin xcosx -2cos x1 cos2x小結(jié)：在求值問題中, 導(dǎo)出結(jié)果.1 ta nx 11，所以tan x =1 tan x 23_24=tan x -1 =3在化簡的過程中分析如何利用條件推2 cos2 x應(yīng)該先對代數(shù)式進(jìn)行化簡,例4解：(I )因為二f(cos()16n二 COS,8而 cos2 = 一8 2屮且cos4 8

23、n 】2十J2，所以 cos 8 =2tanx把的值求出來，然后使用兩角和的正切公式求值.例 2 解：(sin x cosx)2 2sin2( - x)4n=1 sin 2x 1 cos2( x) =1 sin 2x 1 sin 2x =2.4(n )因為 f (sin x) = f(cos(； -x) =cos(2(-x) =cos(n-2x) =-cos2x.3. 6和、差、倍角的三角函數(shù)(二)例 1 解：因為 cosa = -4 乏(n, n，所以 sin a =，525nnn* 2又cos( - - : J =cos cos爲(wèi)'sin sin，代入求得結(jié)果為，所以選B .44410例 2 解：因為 f (x) =cos2x-2 3sin xcosx = cosx ；3 sin2x=2sin( 2x)，所以其最6小值為2.例3分析：在知值求值問題中，要注意角之間的關(guān)系.解：因為。吩曲弓貝V sin x.124-COS X = 5因為ox吵ny "所以x y吟,所以 cos(x - y),13所以 cosy=cos(x + y) x=cos(x+ y)cosx+ sin(x+ y)sinx12 35416=_X+=13 513565例4解：因為0yn-:n2所以3n,2 24 33又 cos(、；I) ，所以 sin(_：i)，或 sin(二-),5