第7章 梁的強度問題

1、1第七章第七章 梁的強度問題梁的強度問題主講教師：毛衛(wèi)國主講教師：毛衛(wèi)國單單 位：材料與光電物理學院位：材料與光電物理學院2 對于梁的受力彎曲，其橫截面上的應力分布將不對于梁的受力彎曲，其橫截面上的應力分布將不再均勻，如何確定梁橫截面上的應力分布便成了首要再均勻，如何確定梁橫截面上的應力分布便成了首要解決的問題。解決的問題。 只有確定了梁上任意橫截面的應力分布情況，才能只有確定了梁上任意橫截面的應力分布情況，才能知道知道“危險截面危險截面” 進而進行強度設計，考慮是否存在安全問題等。進而進行強度設計，考慮是否存在安全問題等。 絕大多數(shù)細長梁的失效，絕大多數(shù)細長梁的失效，主要與正應力有關，切應主

2、要與正應力有關，切應力的影響是次要的力的影響是次要的，本章將主要確定梁橫截面上，本章將主要確定梁橫截面上正應正應力以及與正應力有關力以及與正應力有關的強度問題。的強度問題。37.1 工程中的彎曲構(gòu)件工程中的彎曲構(gòu)件47.2 與與應力應力分析相關的截面圖形的幾何性質(zhì)分析相關的截面圖形的幾何性質(zhì) 不同受力形式下桿件的應力和變形，不僅取決于內(nèi)不同受力形式下桿件的應力和變形，不僅取決于內(nèi)力分量的類型、大小以及桿件的尺寸，而且與桿件橫力分量的類型、大小以及桿件的尺寸，而且與桿件橫截面的幾何形狀有關。因此，研究桿件的應力與變形，截面的幾何形狀有關。因此，研究桿件的應力與變形，研究失效問題以及強度、剛度、穩(wěn)

3、定問題，都要涉及研究失效問題以及強度、剛度、穩(wěn)定問題，都要涉及到與到與截面圖形的幾何形狀和尺寸截面圖形的幾何形狀和尺寸有關的量。這些量統(tǒng)有關的量。這些量統(tǒng)稱為幾何量，包括：稱為幾何量，包括：形心形心、靜矩靜矩、慣性矩慣性矩、慣性半徑慣性半徑、極慣性矩極慣性矩、慣性積慣性積、主軸主軸等。等。57.2.1 靜矩、形心及其相互關系靜矩、形心及其相互關系AyzdASAzydAS1. 截面一次矩截面一次矩 或或 靜矩靜矩靜矩單位為靜矩單位為m3 如果將如果將dA視為垂直于圖形平面的視為垂直于圖形平面的力力，則，則ydA和和zdA分別為分別為dA對于對于z軸和軸和y軸的軸的力矩力矩，而，而Sz和和Sy則分

4、別為則分別為A對對z軸和軸和y軸的力矩。軸的力矩。yz6圖形幾何形狀的中心稱為圖形幾何形狀的中心稱為形心形心(Centroid of an area) 若將若將面積面積視為垂直于圖形平面的視為垂直于圖形平面的力力，則，則形心形心即為即為合力的作用點。合力的作用點。設設zc、yc為形心坐標，則根據(jù)合力矩定理：為形心坐標，則根據(jù)合力矩定理：cyAzS czAyS AydAASyAzcAzdAASzAyc形 心 坐 標形 心 坐 標與 靜 矩 之與 靜 矩 之間的關系間的關系7 根據(jù)上述關于靜矩的定義以及靜矩與形心之間的關系根據(jù)上述關于靜矩的定義以及靜矩與形心之間的關系可以看出：可以看出：T靜矩靜矩

5、與坐標軸有關，同一平面圖形對于不同的坐標軸與坐標軸有關，同一平面圖形對于不同的坐標軸有不同的靜矩：對某些坐標軸靜矩為正；對另外一些坐有不同的靜矩：對某些坐標軸靜矩為正；對另外一些坐標軸靜矩則可能為負；標軸靜矩則可能為負；對于通過形心的坐標軸，圖形對對于通過形心的坐標軸，圖形對其靜矩等于零其靜矩等于零(證明見下一頁證明見下一頁)。T如果已經(jīng)計算出靜矩，就可以確定形心的位置；反之，如果已經(jīng)計算出靜矩，就可以確定形心的位置；反之，如果已知形心在某一坐標系中的位置，則可計算圖形對如果已知形心在某一坐標系中的位置，則可計算圖形對于這一坐標系中坐標軸的靜矩。于這一坐標系中坐標軸的靜矩。8yzbhCAzyd

6、AS/2/2hhbydy/22/2102hhby對于通過形心的坐標軸，圖形對其靜矩等于零對于通過形心的坐標軸，圖形對其靜矩等于零.9 對于對于組合圖形組合圖形，則先將其分解為若干個簡單圖形，則先將其分解為若干個簡單圖形(可以可以直接確定形心位置的圖形直接確定形心位置的圖形)；然后由式；然后由式(72)分別計算它分別計算它們對于給定坐標軸們對于給定坐標軸(同一個給定坐標系同一個給定坐標系)的靜矩，并求其的靜矩，并求其代數(shù)和代數(shù)和，即，即1122111221nccncniciinccncniciiyzSAzA zA zAzSA yA yA yA y在在同一個同一個坐標系中求解！坐標系中求解！10再

7、利用式子再利用式子(7-3)，可以得到，可以得到組合圖形組合圖形的的形心坐標：形心坐標：11niycniiiciSAzzAA11nizcniiiciSA yyAA117.2.2 慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑1) 截面二次軸距截面二次軸距(second moment of an area)慣性矩慣性矩(moment of inertia)AydAzI2AzdAyI22) 二次極距二次極距(second polar moment of an area)極慣性矩極慣性矩APdArI2單位為單位為m4單位為單位為m4zyPIIIzyr222123) 慣性積慣性積

8、 (Product of inertia)AyzyzdAI4) 慣性半徑慣性半徑 (radius of gyration )yyIiA單位為單位為m4定義zzIiA慣性矩和極慣性矩恒為正慣性矩和極慣性矩恒為正；而；而慣性積慣性積則由于坐標軸位置則由于坐標軸位置的不同，可能為正，可能為負。三者的單位均為的不同，可能為正，可能為負。三者的單位均為m4。13對于圓形橫截面：對于圓形橫截面： 此時坐標軸通過橫截面的形心，此時坐標軸通過橫截面的形心，得到得到極慣性矩極慣性矩為：為：APdArI2drrdArA22RPrdrrI02232244dR類似的得到圓環(huán)截面對于類似的得到圓環(huán)截面對于圓環(huán)中心的極慣

9、性矩為：圓環(huán)中心的極慣性矩為：DdDIP4413214 當當坐標軸坐標軸通過某通過某圓形橫截面的中心圓形橫截面的中心，則該圓形橫截面，則該圓形橫截面對其中任意兩根軸具有對其中任意兩根軸具有相同相同的慣性矩。其數(shù)值均為：的慣性矩。其數(shù)值均為：644dIIIzy類似的，對于圓環(huán)形狀的橫截面，具有類似的結(jié)果為：類似的，對于圓環(huán)形狀的橫截面，具有類似的結(jié)果為：DdDIIIzy4416415當坐標軸原點位于當坐標軸原點位于矩形矩形橫截面的中心，則其慣性矩分別為：橫截面的中心，則其慣性矩分別為：123hbAydAzI2hdzdA 222bbyhdzzI123bhIz167.2.3 慣性矩與慣性積的慣性矩與

10、慣性積的移軸定理移軸定理dAzyyzyzzyIIIo1111zyzyIIIz1y1y1z1O?ba111 122yyzzy zyzIIIIIb Aa AabAI的正負號有關。，的增加與否，與總是增加的。、baIIIzyzy1111移軸定理移軸定理要求要求原原坐標軸通過橫坐標軸通過橫截面的形心。截面的形心。172222112yIz dAzb dAzzbb dA222z dAb zdAb dA22yb AIb zdA22yyb AbSI這是一個這是一個通式通式！18一定記?。菏褂靡欢ㄓ涀。菏褂靡戚S定理移軸定理，老坐標系中坐標軸要，老坐標系中坐標軸要經(jīng)過形心經(jīng)過形心！老老的坐標系的坐標系新新的坐標系

11、的坐標系197.2.4 慣性矩與慣性積的慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸定理轉(zhuǎn)軸定理dAzyyzoz1y1y1z1yzzyIII1111zyzyIII?2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111yzzyzyyzzyzyzyzzyzyyIIIIIIIIIIIIIIII轉(zhuǎn) 軸 定 理轉(zhuǎn) 軸 定 理不不要要求求原原坐標軸通過坐標軸通過橫截面的形心。橫截面的形心。20轉(zhuǎn)軸公式推導過程：轉(zhuǎn)軸公式推導過程：217.2.5 主軸與形心主軸、主慣性矩與形心慣性矩主軸與形心主軸、主慣性矩與形心慣性矩2cos2sin211yzzyzyIIII0ooozy 和，相應的坐標軸就可以得到某個如果圖形對于過一

12、點的一對坐標軸的如果圖形對于過一點的一對坐標軸的慣性積慣性積等于等于零零，則稱這則稱這一對坐標軸一對坐標軸為過這一點的為過這一點的主軸主軸(principal axis)。圖形對于主軸的慣性矩稱為圖形對于主軸的慣性矩稱為主慣性矩主慣性矩(principal moment of inertia of an area)。主慣性矩具有。主慣性矩具有極大值極大值或極小值或極小值的特征。的特征。 22maxm n2i21422yyzzyzyzIIIIIIIII主慣性矩為：主慣性矩為：1 1sin2cos022yzy zyzIIII2tan2yzzyIII這就確定了主軸這就確定了主軸 的方位。的方位。ym

13、axmincos2sin222yyzyzyzzIIIIIIIII特別注意：對于特別注意：對于任意一點任意一點(圖形內(nèi)或圖形外圖形內(nèi)或圖形外)都是主軸。都是主軸。而通過而通過形心形心的主軸稱為的主軸稱為形心主軸形心主軸，圖形對形心主軸的，圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩，簡稱慣性矩稱為形心主慣性矩，簡稱形心主矩形心主矩。23AyzyzdAIhdzdA822yhbyzhdzIboyz822yhbyzhdzIobyz242526niiniciizcAyAASy11212211AAyAyAcc2728111 122yyzzy zyzIIIIIb Aa AabAI29小結(jié)小結(jié)dAyzzyrAdAA

14、面積：面積：AyzdASAzydAS截 面 一 次 矩截 面 一 次 矩(靜矩靜矩)截 面 二 次 矩截 面 二 次 矩(慣性矩慣性矩)AydAzI2AzdAyI2截面二次極矩截面二次極矩(極慣性矩極慣性矩)APdArI2截 面 二 次 矩截 面 二 次 矩(慣性積慣性積)AyzyzdAI慣性半徑慣性半徑AIiyyAIizz是對原點而言下標軸而言是對下標軸而言是對下標r) 3zzyy)2) 1zyPIII30特點：特點：靜矩、慣性矩、慣性積、極慣性矩、慣性半徑都是靜矩、慣性矩、慣性積、極慣性矩、慣性半徑都是對對某一指定坐標系某一指定坐標系而言。而言。其中其中靜矩靜矩和和慣性積慣性積可正可負，也

15、可以為零可正可負，也可以為零。慣性矩、極慣性矩、慣性半徑慣性矩、極慣性矩、慣性半徑都是都是大于零的正值大于零的正值，且它們的值隨不同坐標系變化而變化。且它們的值隨不同坐標系變化而變化。慣性半徑的量綱是長度的慣性半徑的量綱是長度的一次方一次方，面積的量綱是長，面積的量綱是長度的度的二次方二次方，靜矩的量綱是長度的，靜矩的量綱是長度的三次方三次方，其余的，其余的(慣性矩、慣性積、極慣性矩慣性矩、慣性積、極慣性矩)量綱是長度的量綱是長度的四次方四次方。31靜矩和形心位置的確定靜矩和形心位置的確定AydAASyAzcAzdAASzAyc niciicnncczniciicnnccyyAyAyAyASz

16、AzAzAzAS1221112211單個圖形的情況：單個圖形的情況：組合圖形的情況：組合圖形的情況：注意：注意：各個小面積各個小面積中，距離的度量中，距離的度量都都是參考在是參考在同一同一個個坐坐標系標系中求解！中求解！32注意幾點：注意幾點：I平面圖形有平面圖形有兩個兩個對稱軸，則形心必定位于兩個對稱軸對稱軸，則形心必定位于兩個對稱軸的的交點交點上。上。I平面圖形有平面圖形有一個一個對稱軸，則形心必定必在這一條對對稱軸，則形心必定必在這一條對稱軸上，只需確定其具體位置即可。稱軸上，只需確定其具體位置即可。33I在工程中求平面圖形在工程中求平面圖形形心形心時，往往不用積分方法求靜時，往往不用積

17、分方法求靜矩，而盡量采用矩，而盡量采用組合圖形組合圖形求靜矩。求靜矩。I對同一平面圖形選取不同的參考坐標系，其對同一平面圖形選取不同的參考坐標系，其形心形心位置位置的坐標也會不同。但的坐標也會不同。但形心在平面圖形中的位置是不變形心在平面圖形中的位置是不變的的。I平面圖形對通過其形心的平面圖形對通過其形心的坐標軸坐標軸的的靜矩為零靜矩為零，因此若，因此若平面圖形對某個軸的靜矩為零，則該坐標軸必通過平平面圖形對某個軸的靜矩為零，則該坐標軸必通過平面圖形的形心。面圖形的形心。yzhb02222bbAAyzhzhdzzdAS02212bbAAzybybdyydAS34平行移軸公式平行移軸公式dAzy

18、yzyzzyIIIo111yzzyIIIz1y1y1z1O?baAbzdAbdAzdAbzdAzIAAAAy2222112AbbSIyy22如果參考坐標系如果參考坐標系oyz的原點位于形心，則：的原點位于形心，則：0yS35dAzyyzoz1y1y1z1轉(zhuǎn)軸公式的幾點說明：轉(zhuǎn)軸公式的幾點說明：角從原坐標軸角從原坐標軸y量起，量起，以以逆時針為正，順時針為負。逆時針為正，順時針為負。對于對于同一坐標原點同一坐標原點的任意兩的任意兩個坐標系個坐標系yoz和和y1o1z1存在下列存在下列關系：關系：11zyzyPIIIII36主軸與形心主軸、主慣性矩與形心慣性矩主軸與形心主軸、主慣性矩與形心慣性矩2

19、cos2sin211yzzyzyIIII0ooozy 和，相應的坐標軸就可以得到某個如果圖形對于過一點的一對坐標軸的慣性積等于零，則稱如果圖形對于過一點的一對坐標軸的慣性積等于零，則稱這這一對坐標軸一對坐標軸為過這一點的主軸為過這一點的主軸(principal axis)。圖形對于主軸的慣性矩稱為圖形對于主軸的慣性矩稱為主主慣性矩慣性矩(principal moment of inertia of an area)。主慣性矩具有。主慣性矩具有極大值或極小值極大值或極小值的特的特征。征。 22minmax4212xyzyzyzoyoIIIIIIIII主慣性矩為：主慣性矩為：zyyzoIII22t

20、an37644dIIIzyDdDIIIzy44164123hbIy123bhIz幾個簡單平面圖形的幾個簡單平面圖形的形心主慣性矩形心主慣性矩圓形截面圓形截面環(huán)形截面環(huán)形截面矩形截面矩形截面387.3 平面彎曲時梁橫截面上的正應力平面彎曲時梁橫截面上的正應力7.3.1 平面平面彎曲和彎曲和純純彎曲的概念彎曲的概念 對稱面對稱面：梁的橫截面具有對稱軸，所有相同的對：梁的橫截面具有對稱軸，所有相同的對稱軸組成的平面，稱為梁的對稱面稱軸組成的平面，稱為梁的對稱面(symmetric plane) 梁的橫截面沒有對稱軸，但是都有通過橫截面形心梁的橫截面沒有對稱軸，但是都有通過橫截面形心的形心主軸，的形心

21、主軸，所有所有相同的形心主軸組成的平面，稱為相同的形心主軸組成的平面，稱為梁的梁的主軸平面主軸平面(plane including principal axis)。由于。由于對稱軸也是主軸，所以對稱面也是主軸平面；反之則不對稱軸也是主軸，所以對稱面也是主軸平面；反之則不然。以下的分析和敘述中均使用然。以下的分析和敘述中均使用主軸平面主軸平面。 39平面彎曲平面彎曲：所有外力：所有外力(包括力、力偶包括力、力偶) 都作用梁的都作用梁的同一主軸平面內(nèi)時，梁的軸線彎曲后將彎曲成平面同一主軸平面內(nèi)時，梁的軸線彎曲后將彎曲成平面曲線，這一曲線位于外力作用平面內(nèi)，這種彎曲線，這一曲線位于外力作用平面內(nèi)，這

22、種彎 曲稱曲稱為平面彎曲為平面彎曲(plane bending)。40純純彎曲彎曲：一般情形下，平面彎曲時，梁的橫截面上一般：一般情形下，平面彎曲時，梁的橫截面上一般將有兩個內(nèi)力分量，就是剪力和彎矩。如果梁的橫截面將有兩個內(nèi)力分量，就是剪力和彎矩。如果梁的橫截面上上只有彎矩只有彎矩一個內(nèi)力分量，這種平面彎曲稱為一個內(nèi)力分量，這種平面彎曲稱為純彎曲純彎曲(pure bending)。 純彎曲情形下，由于梁的橫截面上只有彎矩，因純彎曲情形下，由于梁的橫截面上只有彎矩，因而，便只有垂直于橫截面的而，便只有垂直于橫截面的正應力正應力。 僅在僅在AB段區(qū)間段區(qū)間41 橫向彎曲橫向彎曲：梁在垂直梁軸線的橫

23、向力作用下，：梁在垂直梁軸線的橫向力作用下，其橫截面上將同時產(chǎn)生其橫截面上將同時產(chǎn)生剪力和彎矩剪力和彎矩。這時，梁的橫截。這時，梁的橫截面上不僅有正應力，還有切應力。這種彎曲稱為橫向面上不僅有正應力，還有切應力。這種彎曲稱為橫向彎曲，簡稱彎曲，簡稱橫彎曲橫彎曲(transverse bending)。 7.3.2 純彎曲純彎曲時梁橫截面上正應力分析時梁橫截面上正應力分析v分析梁橫截面上的正應力，就是要確定梁橫截面上各點分析梁橫截面上的正應力，就是要確定梁橫截面上各點的的正應力與彎矩、橫截面的形狀和尺寸正應力與彎矩、橫截面的形狀和尺寸之間的關系。之間的關系。v由于橫截面上的應力是看不見的，而梁的

24、變形是可以看由于橫截面上的應力是看不見的，而梁的變形是可以看見的，應力又和變形有關，因此，可以根據(jù)梁的變形情見的，應力又和變形有關，因此，可以根據(jù)梁的變形情形推知梁橫截面上形推知梁橫截面上 的正應力分布。的正應力分布。 421. 平面假定與應變分布平面假定與應變分布 在伸長層與縮短層交界處的那一層，既不伸長也不縮在伸長層與縮短層交界處的那一層，既不伸長也不縮短，該層稱為短，該層稱為中性層或中性面中性層或中性面(neutral surface)。中性層與橫截面的交線，稱為中性層與橫截面的交線，稱為中性軸中性軸(neutral axis) 中性軸中性軸垂直于加載方向，對于具有對稱軸的橫截面梁，垂直

25、于加載方向，對于具有對稱軸的橫截面梁，中性軸垂直于橫截面的中性軸垂直于橫截面的對稱軸對稱軸。 43變形前變形前變形后變形后整體變形效果整體變形效果假設假設OO為中性層，并建立如圖所示的坐標為中性層，并建立如圖所示的坐標OXY。弧弧AA=dy弧弧OO=dx=d dxy ddyd 那么弧那么弧AA的絕對伸長量為：的絕對伸長量為：那么弧那么弧AA的相對伸長量為：的相對伸長量為：1 xdxydydxdx1ddx44 (2) 物理方程物理方程假設：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單項應力狀態(tài)。假設：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單項應力狀態(tài)。 (7-24) xxEyECy x xF橫截面上

26、的橫截面上的彎曲正應力彎曲正應力沿橫截面的高度方向從中性軸為零沿橫截面的高度方向從中性軸為零開始呈開始呈線性線性分布。分布。F該式子還只是給出了正應力分布情況，但是還不能具體求該式子還只是給出了正應力分布情況，但是還不能具體求出數(shù)值。主要因為：出數(shù)值。主要因為：y坐標是從中性軸開始計算的，而坐標是從中性軸開始計算的，而中中性軸的位置還沒有確定性軸的位置還沒有確定；中性軸的；中性軸的曲率半徑曲率半徑也沒有確定也沒有確定。45M(3) 純彎曲純彎曲情況下的情況下的靜力學關系靜力學關系：ddd0NzAAAEyEEFAAy AS0 zSyzx0NF 中心軸中心軸Z通過截面形心，并且垂直于對稱軸，所以，

27、通過截面形心，并且垂直于對稱軸，所以，中心軸的位置就是確定截面的形心位置。中心軸的位置就是確定截面的形心位置。 純彎曲純彎曲時，在時，在任何一個任何一個橫截面上橫截面上只能只能有有彎矩彎矩一個內(nèi)力一個內(nèi)力分量，分量，軸力軸力必須等于零。必須等于零。46(d )zdd0yAAyzAEyEEyzMAAAzI因為因為y軸為橫截面的一個對稱軸，所以其截面的軸為橫截面的一個對稱軸，所以其截面的慣性積慣性積等于等于0。2(d )ddzzAAzAEyEEyyMAy AMAI1zzMEIyzx0yMzzMM1xxEyEEy zxzM yI (7-34)(7-29)(3) 純彎曲純彎曲情況下的情況下的靜力學關系

28、靜力學關系：在橫截面上：在橫截面上：475. 最大正應力公式最大正應力公式與與彎曲截面模量彎曲截面模量mmaxaxzzzzyMMIWmax其中zzIWy圓形截面圓形截面環(huán)形截面環(huán)形截面矩形截面矩形截面644dIIIzyDdDIIIzy44164123hbIy123bhIz122bhhIWzz323dWWWzyDdDWWWzy43132zzxM yIWz稱為彎曲截面模量稱為彎曲截面模量486. 梁彎曲后其軸線的梁彎曲后其軸線的曲率公式曲率公式zzIMCECzzEIM1稱為梁的彎曲剛度。zEI 這一結(jié)果表明：梁的軸線彎曲后的這一結(jié)果表明：梁的軸線彎曲后的曲率曲率與彎矩成與彎矩成正比正比，與與彎曲剛

29、度彎曲剛度成成反比反比。497.3.3 梁的彎曲正應力公式的應用與推廣梁的彎曲正應力公式的應用與推廣需要注意幾個問題需要注意幾個問題Y首先是關于正應力的首先是關于正應力的正負號正負號：決定正應力是拉應力還是壓應力。：決定正應力是拉應力還是壓應力。確定正應力正負號比較簡單的方法是：首先確定正應力正負號比較簡單的方法是：首先確定確定橫截面上橫截面上彎矩的彎矩的實際方向?qū)嶋H方向，確定中性軸的位置確定中性軸的位置；然后根據(jù)所要求應力的那一點的；然后根據(jù)所要求應力的那一點的位置，以及位置，以及“彎矩是由分布正應力合成的合力偶矩彎矩是由分布正應力合成的合力偶矩”這一關系。這一關系。就可以確定這一點的正應力

30、是就可以確定這一點的正應力是拉應力拉應力還是還是壓應力壓應力(圖圖7-17)。 Y其次是關于其次是關于最大正應力計算最大正應力計算： 如果梁的橫截面具有如果梁的橫截面具有一對一對相互垂直的對稱軸，并且加載方向與相互垂直的對稱軸，并且加載方向與其中一根對稱軸一致時，則其中一根對稱軸一致時，則中性軸與另一對稱軸一致中性軸與另一對稱軸一致。此時最大拉。此時最大拉應力與最大壓應力應力與最大壓應力絕對值相等絕對值相等，由式，由式(7-30)計算。計算。50如果梁的橫截面只有如果梁的橫截面只有一根一根對稱軸，而且加載方向與對稱軸一致，對稱軸，而且加載方向與對稱軸一致，則中性軸通過則中性軸通過截面形心截面形

31、心并并垂直對稱軸垂直對稱軸。這時，橫截面上最大拉應。這時，橫截面上最大拉應力與最大壓應力，可由力與最大壓應力，可由絕對值不相等絕對值不相等，下列二式分別計算：下列二式分別計算：)()(maxmaxmaxmax壓拉zbczbczbzbIyMIyM51 此外還要注意的是，此外還要注意的是，某一個某一個橫截面上的最大正應力橫截面上的最大正應力不一定不一定就就是梁內(nèi)的最大正應力，應該首先判斷可能產(chǎn)生最大正應力的那些是梁內(nèi)的最大正應力，應該首先判斷可能產(chǎn)生最大正應力的那些截面，這些截面稱為截面，這些截面稱為危險截面危險截面；然后比較所有危險截面上的最大；然后比較所有危險截面上的最大正應力，其中正應力，其

32、中最大者最大者才是梁內(nèi)橫截面上的最大正應力。保證梁安才是梁內(nèi)橫截面上的最大正應力。保證梁安全工作而不發(fā)生破壞，最重要的就是保證這種最大正應力不得超全工作而不發(fā)生破壞，最重要的就是保證這種最大正應力不得超過允許的數(shù)值。過允許的數(shù)值。 2. 純彎曲純彎曲正應力可以推廣到正應力可以推廣到橫向彎曲橫向彎曲 以上有關純彎曲的正應力的公式。對于非純彎曲，也就是橫截以上有關純彎曲的正應力的公式。對于非純彎曲，也就是橫截面上除了彎矩之外、還有剪力的情形。如果是細長桿，也是面上除了彎矩之外、還有剪力的情形。如果是細長桿，也是近似近似適適用的。理論與實驗結(jié)果都表明，由于切應力的存在，梁的橫截面在用的。理論與實驗結(jié)

33、果都表明，由于切應力的存在，梁的橫截面在梁變形之后將不再保持平面，而是要發(fā)生梁變形之后將不再保持平面，而是要發(fā)生翹曲翹曲，這種翹曲對正應力，這種翹曲對正應力分布的影響是很小的。對細長梁更小，通常都可以忽略不計。分布的影響是很小的。對細長梁更小，通常都可以忽略不計。 527.4 平面彎曲正應力公式應用舉例平面彎曲正應力公式應用舉例53在中性軸上，橫截面上的在中性軸上，橫截面上的正應力正應力 =0 ！54xM02xFxqxMRAxqlqxM22128,22qlMlx55565758597.5 梁的梁的強度強度計算計算7.5.1 梁的梁的失效判據(jù)失效判據(jù) 與拉伸或壓縮桿件失效類似。與拉伸或壓縮桿件失

34、效類似。對于韌性材料制成的梁，當梁的危險截面上的最大正應對于韌性材料制成的梁，當梁的危險截面上的最大正應力達到材料的力達到材料的屈服點屈服點時，便認為梁發(fā)生失效；時，便認為梁發(fā)生失效；對于脆性材料制成的梁，當梁的危險截面的最大正應力對于脆性材料制成的梁，當梁的危險截面的最大正應力達到材料的達到材料的抗拉強度抗拉強度時，便認為梁發(fā)生失效。即時，便認為梁發(fā)生失效。即 maxmaxb()()s韌性材料脆性材料607.5.2 梁的梁的彎曲強度彎曲強度計算準則計算準則 ssnmax bbnmax根據(jù)上述強度條件，同樣可以解決三類強度問題：根據(jù)上述強度條件，同樣可以解決三類強度問題：強度校核、截面尺寸設計

35、、確定許用載荷強度校核、截面尺寸設計、確定許用載荷。 617.5.3 梁的彎曲強度梁的彎曲強度計算步驟計算步驟 根據(jù)梁的彎曲強度設計準則，進行彎曲強度計算的一根據(jù)梁的彎曲強度設計準則，進行彎曲強度計算的一般般步驟步驟為：為：Y根據(jù)梁約束性質(zhì)，分析梁的受力，確定約束力。根據(jù)梁約束性質(zhì)，分析梁的受力，確定約束力。Y畫出梁的彎矩圖：根據(jù)彎矩圖，確定可能的危險截面。畫出梁的彎矩圖：根據(jù)彎矩圖，確定可能的危險截面。 Y根據(jù)應力分布和材料的拉伸與壓縮強度性能是否相等，根據(jù)應力分布和材料的拉伸與壓縮強度性能是否相等，確定可能的危險點確定可能的危險點:Z 對于拉、壓強度相同的材料對于拉、壓強度相同的材料(如低

36、碳鋼等如低碳鋼等)，最大拉應力，最大拉應力作用點與最大壓應力作用點具有相同的危險性，通常不作用點與最大壓應力作用點具有相同的危險性，通常不加以區(qū)分；加以區(qū)分；Z 對于拉、壓強度性能不同的材料對于拉、壓強度性能不同的材料(如鑄鐵等脆性材料如鑄鐵等脆性材料)最最大壓應力作用點和最大壓應力作用點都有可能是危險點。大壓應力作用點和最大壓應力作用點都有可能是危險點。 秘笈秘笈62Y應用強度條件進行強度計算：應用強度條件進行強度計算：Z對于拉伸和壓縮強度對于拉伸和壓縮強度相等相等的材料，應用強度條件式的材料，應用強度條件式(7-38)和式和式(7-39)；Z對于拉伸和壓縮強度對于拉伸和壓縮強度不相等不相等

37、的材料，強度條件式的材料，強度條件式 (7-38)和式和式(7-39)可以改寫為可以改寫為 bbmaxbbnbcbcmaxbcbcn抗拉許用應力抗拉許用應力抗拉強度抗拉強度63646566672. 根據(jù)危險截面上的正應力分布確定可能的危險點根據(jù)危險截面上的正應力分布確定可能的危險點683. 計算危險點的正應力，進行計算危險點的正應力，進行強度校核強度校核 上述結(jié)果表明：梁上所有危險截面的危險點的強度上述結(jié)果表明：梁上所有危險截面的危險點的強度都是安全的。都是安全的。69lxFFPAlxlFFPB)( 70kNlxFFPA200kNlxlFFPB150)(由此解出：由此解出：mkNmkNx667

38、. 23004200mkNmkNmx230041504于是得到了于是得到了Fp加在輔助梁上作用點的范圍為：加在輔助梁上作用點的范圍為：mxm667. 22712. 確定輔助梁所需要的確定輔助梁所需要的工字鋼型號工字鋼型號72737.6 斜斜彎曲彎曲當外力施加在當外力施加在梁的對稱面梁的對稱面(或或主軸平面主軸平面)內(nèi)時，梁將產(chǎn)生平面彎曲。內(nèi)時，梁將產(chǎn)生平面彎曲。所有外力都作用在同一平面內(nèi)，但是這一平面所有外力都作用在同一平面內(nèi)，但是這一平面不是不是對稱面對稱面(或主軸或主軸平面平面)，梁也將會產(chǎn)生彎曲，但不是平面彎曲，這種彎曲稱為，梁也將會產(chǎn)生彎曲，但不是平面彎曲，這種彎曲稱為斜彎斜彎曲曲(s

39、kew bending)。還有一種情形也會產(chǎn)生斜彎曲。這就是所有外力都作用于對稱面還有一種情形也會產(chǎn)生斜彎曲。這就是所有外力都作用于對稱面(或主軸平面或主軸平面)內(nèi)，但不是同一對稱面內(nèi)，但不是同一對稱面(梁的截面具有兩個或兩個以梁的截面具有兩個或兩個以上對稱軸上對稱軸)或主軸平面內(nèi)?；蛑鬏S平面內(nèi)。74雙雙對稱截面梁的對稱截面梁的非非對稱彎曲對稱彎曲非非對稱彎曲問題解釋對稱彎曲問題解釋：F梁的彎曲變形梁的彎曲變形不在不在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)?？v向?qū)ΨQ面內(nèi)。F雖然梁存在雖然梁存在2個對稱縱向面，但當作用在梁上的載個對稱縱向面，但當作用在梁上的載荷偏離縱向?qū)ΨQ面，或者在荷偏離縱向?qū)ΨQ面，或者在2個縱向?qū)ΨQ面

40、同時存?zhèn)€縱向?qū)ΨQ面同時存在作用有載荷下的梁變形情況。在作用有載荷下的梁變形情況。一、彎曲一、彎曲正正應力分析應力分析斜彎曲斜彎曲F分解為分解為Fz和和Fy變成了兩個獨立的對稱彎曲變成了兩個獨立的對稱彎曲在在Fz和和Fy的作用下，某一個截面的作用下，某一個截面x的彎矩為：的彎矩為：yzMxFzyMFx繞繞y軸軸轉(zhuǎn)動！轉(zhuǎn)動！繞繞z軸軸轉(zhuǎn)動！轉(zhuǎn)動！橫截面橫截面x上任意一點上任意一點k(y, z)處正應力處正應力yyzzIzIyMM是關于是關于y和和z的的一次函數(shù)！一次函數(shù)！二、二、中性軸中性軸與與最大最大彎曲彎曲正正應力應力yyzzIzIyMM是關于是關于y和和z的一次函數(shù)！的一次函數(shù)！Y應力平面變

41、成了一個應力平面變成了一個傾斜傾斜的平面！的平面！Y該該應力平面應力平面與與橫截面橫截面的交線即為的交線即為中中性軸性軸( (紅色虛線紅色虛線) )，不再是圖中的，不再是圖中的z z軸軸！Y橫截面上應力最大的位置發(fā)生在離橫截面上應力最大的位置發(fā)生在離中性軸最遠的各點處。中性軸最遠的各點處。Y為了計算最大彎曲正應力，首先確為了計算最大彎曲正應力，首先確定中性軸的位置。定中性軸的位置。確定中心軸的位置：確定中心軸的位置：0yzyzMzIMyI在中性軸位置處，其正應力等于在中性軸位置處，其正應力等于0。任意取一點任意取一點發(fā)現(xiàn)：中性軸為通過截面形心的直線，其斜率為：發(fā)現(xiàn)：中性軸為通過截面形心的直線，

42、其斜率為：tanyzzyIMyIzM中心軸確定之后，在其兩側(cè)各作一條與中心軸平行，并與截中心軸確定之后，在其兩側(cè)各作一條與中心軸平行，并與截面周邊相切的直線，所得切點面周邊相切的直線，所得切點a和和b即為距離中心軸最遠點，即為距離中心軸最遠點，然后求出相應的最大彎曲正應力。然后求出相應的最大彎曲正應力。797.3 斜彎曲斜彎曲 為了確定斜彎曲時梁橫截面上的應力，為了確定斜彎曲時梁橫截面上的應力，在小變形的條件下，在小變形的條件下，可可以將斜彎曲分解成以將斜彎曲分解成兩個兩個縱向?qū)ΨQ面內(nèi)縱向?qū)ΨQ面內(nèi)(或主軸平面或主軸平面)的平面彎曲，然的平面彎曲，然后將兩個平面彎曲引起的同一點應力的后將兩個平面

43、彎曲引起的同一點應力的代數(shù)值相加代數(shù)值相加。便得到斜彎曲。便得到斜彎曲在該點的應力值。在該點的應力值。 zzyybWMWMmaxzzyybcWMWMmax80 上式不僅對于上式不僅對于矩形矩形截面，而且對于截面，而且對于槽形槽形截面、截面、工字工字形截面也是適形截面也是適用的。因為這些截面上由兩個主軸平面內(nèi)的彎矩引起的最大拉應力用的。因為這些截面上由兩個主軸平面內(nèi)的彎矩引起的最大拉應力和最大壓應力都發(fā)生和最大壓應力都發(fā)生在同一點在同一點。 對于圓截面，上述計算公式是對于圓截面，上述計算公式是不不適用的。這是因為，兩個對稱適用的。這是因為，兩個對稱面內(nèi)的彎矩所引起的最大拉應力不發(fā)生在同一點，最大

44、壓應力也不面內(nèi)的彎矩所引起的最大拉應力不發(fā)生在同一點，最大壓應力也不發(fā)生在同一點。發(fā)生在同一點。 對于圓截面，因為對于圓截面，因為過形心的任意軸過形心的任意軸均為截面的對稱軸，所以當均為截面的對稱軸，所以當橫截面上同時作用有兩個彎矩時，可以將彎矩用矢量表示，然后求橫截面上同時作用有兩個彎矩時，可以將彎矩用矢量表示，然后求二者的矢量和，這一合矢量仍然沿著橫截面的對稱軸分布，二者的矢量和，這一合矢量仍然沿著橫截面的對稱軸分布，合彎矩合彎矩的作用面的作用面仍然與仍然與對稱面一致對稱面一致，所以平面彎曲的公式依然適用。于是，所以平面彎曲的公式依然適用。于是，圓截面上的最大拉應力和最大壓應力計算公式為圓

45、截面上的最大拉應力和最大壓應力計算公式為 WMMWMzyb22maxWMMWMzybc22max81 此外還可以證明，斜彎曲情形下，橫截面依然存在此外還可以證明，斜彎曲情形下，橫截面依然存在中性軸，而且中性軸一定通過橫截面的中性軸，而且中性軸一定通過橫截面的形心形心，但不垂直但不垂直于加載方向于加載方向，這是斜彎曲與平面彎曲的，這是斜彎曲與平面彎曲的重要區(qū)別重要區(qū)別。 max82yzFP834sin4)(maxlFlFFMPPzPz4cos4)(maxlFlFFMPPyPy3. 計算兩個平面彎曲情形下的最大正應力計算兩個平面彎曲情形下的最大正應力8485具有很強的工程意義！具有很強的工程意義！

46、867.7 彎矩與軸力彎矩與軸力同時作用時橫截面上的同時作用時橫截面上的正應力正應力 當桿件同時承受垂直于軸線的橫向力和沿著軸線當桿件同時承受垂直于軸線的橫向力和沿著軸線方向的縱向力時，桿件的橫截面上將同時產(chǎn)生軸力、彎方向的縱向力時，桿件的橫截面上將同時產(chǎn)生軸力、彎矩和剪力。忽略剪力的影響，軸力和彎矩都將在橫截面矩和剪力。忽略剪力的影響，軸力和彎矩都將在橫截面上產(chǎn)生正應力。上產(chǎn)生正應力。 如果作用在桿件上的縱向力與桿件的軸線不一致，這種如果作用在桿件上的縱向力與桿件的軸線不一致，這種情形稱為情形稱為偏心加載偏心加載。這時如果將縱向力向橫截面的形心。這時如果將縱向力向橫截面的形心簡化，同樣，將在

47、桿件的橫截面上產(chǎn)生簡化，同樣，將在桿件的橫截面上產(chǎn)生軸力和彎矩軸力和彎矩。 8788AFWMNbmaxAFWMNbcmax max89902. 確定危險截面并計算最大應力確定危險截面并計算最大應力91927.8 結(jié)論與討論結(jié)論與討論7.8.1 關于彎曲正應力公式的關于彎曲正應力公式的應用條件應用條件平面彎曲平面彎曲正應力公式只能應用于正應力公式只能應用于平面彎曲平面彎曲情形。對于截面有情形。對于截面有對稱對稱軸軸的梁，外加載荷的作用線必須位于梁的對稱平面內(nèi)，才能產(chǎn)生的梁，外加載荷的作用線必須位于梁的對稱平面內(nèi)，才能產(chǎn)生平面彎曲。平面彎曲。對于沒有對稱軸截面的梁、外加載荷的作用線如果位對于沒有對

48、稱軸截面的梁、外加載荷的作用線如果位于梁的主軸平面內(nèi)，也可以產(chǎn)生平面彎曲。于梁的主軸平面內(nèi)，也可以產(chǎn)生平面彎曲。 只有在只有在彈性范圍彈性范圍內(nèi)加載，橫截面上的正應力才會內(nèi)加載，橫截面上的正應力才會線性分布線性分布，才會，才會得到平面彎曲正應力公式。得到平面彎曲正應力公式。平面彎曲正應力公式是在平面彎曲正應力公式是在純彎情形純彎情形下得到的，但是，對于下得到的，但是，對于細長桿細長桿，由于剪力引起的切應力比彎曲正應力小得多，對強度的影響很小，由于剪力引起的切應力比彎曲正應力小得多，對強度的影響很小，通常都可以忽略。通常都可以忽略。 由此，平面彎曲正應力公式也適用于橫截面上由此，平面彎曲正應力公

49、式也適用于橫截面上有剪力作用的情形。也就是對于有剪力作用的情形。也就是對于細長梁純彎曲細長梁純彎曲的正應力公式也適的正應力公式也適用于橫彎曲。用于橫彎曲。 937.8.2 彎曲彎曲切切應力的概念應力的概念X當梁發(fā)生當梁發(fā)生橫向橫向彎曲時，橫截面上一般都有彎曲時，橫截面上一般都有剪力剪力存在，截存在，截面上與剪力對應的分布內(nèi)力在各點的強弱程度稱為面上與剪力對應的分布內(nèi)力在各點的強弱程度稱為切應切應力力，用希臘字母，用希臘字母表示。表示。X切應力的方向一般與剪力的方向相同，作用線位于橫截切應力的方向一般與剪力的方向相同，作用線位于橫截面內(nèi)，如圖面內(nèi)，如圖7-30所示。所示。X彎曲切應力在截面上的彎

50、曲切應力在截面上的分布是不均勻的，分布分布是不均勻的，分布狀況與截面的形狀有關，狀況與截面的形狀有關，一般情形下一般情形下最大切應力最大切應力發(fā)生在橫截面中性軸上發(fā)生在橫截面中性軸上的各點。的各點。 對稱彎曲對稱彎曲切應力切應力一、一、矩形矩形截面梁的彎曲切應力截面梁的彎曲切應力假設假設： 橫截面上各點處的切應力，均橫截面上各點處的切應力，均平行平行于剪力或截面?zhèn)扔诩袅蚪孛鎮(zhèn)冗?，并沿截面寬度方向邊，并沿截面寬度方向均勻分布均勻分布。對稱彎曲對稱彎曲切應力切應力0 xF 對微元段的平衡問題分析對微元段的平衡問題分析()0FFdFbdx1 dFb dx( )y1( )dFyb dx1( )dFy

51、b dx*( )zzzzFdAdAMIM yIdSIyAMsdMFdx( )()1(zzzszdMIdxFSSI byb312zbhI 22( )24zb hyS223( )412sFybyhh(整個截面整個截面)(y處橫線一側(cè)的部分截面，處橫線一側(cè)的部分截面，與所考察的切應力位置有與所考察的切應力位置有關！關！)223( )412sFybyhh矩形截面梁的彎曲切應力沿截面高度呈拋物線分布。矩形截面梁的彎曲切應力沿截面高度呈拋物線分布。在橫截面上下邊緣，在橫截面上下邊緣，= 0。在中心軸在中心軸(y=0)處，切應力最大，為處，切應力最大，為max03322sysFFbhA98對于寬度為對于寬度為b、高度為、高度為h的矩形截面，最大切應力為的矩形截面，最大切應力為:hbFQ23max對于直徑為對于直徑為d的圓截面，最大切應力為的圓截面，最大切應力為:AFQ34max42dA對于內(nèi)徑為對于內(nèi)徑為d、外徑為、外徑為D的圓環(huán)截面，最大切應力為的圓環(huán)截面，最大切應力為:AFQ 2max422dDA