2022年2022年初中所有函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載函數(shù)學(xué)問點(diǎn)總結(jié) 把握函數(shù)的定義.性質(zhì)和圖像（一）平面直角坐標(biāo)系1.定義：平面上相互垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系,簡(jiǎn)稱為直角坐標(biāo)系2.各個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的特點(diǎn):第一象限： （ +,+） 點(diǎn) p（ x、y ）,就 x 0、y 0； 其次象限： （ - ,+） 點(diǎn) p（ x、y ）,就 x 0、y 0； 第三象限： （ - ,- ） 點(diǎn) p（ x、y ）,就 x 0、y 0； 第四象限： （ +,- ） 點(diǎn) p（ x、y ）,就 x 0、y 0；3.坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：x軸上的點(diǎn),縱坐標(biāo)為零；y 軸上的點(diǎn),橫坐標(biāo)為零；原點(diǎn)的坐標(biāo)為（0 、 0）；兩坐標(biāo)軸

2、的點(diǎn)不屬于任何象限；4.點(diǎn)的對(duì)稱特點(diǎn)：已知點(diǎn)pm、n、關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為m、-n、橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)反號(hào)關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為-m、n縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)反號(hào)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為-m、-n橫,縱坐標(biāo)都反號(hào)5.平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：平行于 x 軸的直線上的任意兩點(diǎn)：縱坐標(biāo)相等；平行于 y 軸的直線上的任意兩點(diǎn)：橫坐標(biāo)相等；6.各象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：第一.三象限角平分線上的點(diǎn)橫.縱坐標(biāo)相等；其次.四象限角平分線上的點(diǎn)橫.縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；7.點(diǎn) p（ x、y ）的幾何意義：點(diǎn) p（x、y）到 x軸的距離為|y|,點(diǎn) p（x、y）到 y軸的距離為|x|；精品學(xué)習(xí)資

3、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載點(diǎn) p（x、y ）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為x2y 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載8.兩點(diǎn)之間的距離：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x 軸上兩點(diǎn)為a x1 、0 .b x2 、0|ab| x2x1 |精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載y 軸上兩點(diǎn)為c0、y1 .d0、y2 |cd|y 2y 1 |精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載已知 a x1 、 y1 .b x2 、 y2 ab|=x2x 2 y2y 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料

4、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載119.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知ax1、y1 .bx2 、 y2 m 為 ab的中點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x2x1就： m=、2y2y1 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載10.點(diǎn)的平移特點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中,將點(diǎn)（ x、y ）向右平移 a 個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（ x+a ,y ）； 將點(diǎn)（ x、y ）向左平移 a 個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（ x-a ,y ）； 將點(diǎn)（ x、y ）向上平移 b 個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（ x , yb）；將點(diǎn)（ x、y ）向下平移 b 個(gè)

5、單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（ x , yb）；留意：對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行平移,這個(gè)圖形上全部點(diǎn)的坐標(biāo)都要發(fā)生相應(yīng)的變化；反過來,從圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)的加減變化,我們也可以看出對(duì)這個(gè)圖形進(jìn)行了怎樣的平移；（二）函數(shù)的基本學(xué)問：基本概念1.變量： 在一個(gè)變化過程中可以取不同數(shù)值的量；常量： 在一個(gè)變化過程中只能取同一數(shù)值的量；2.函數(shù)： 一般的,在一個(gè)變化過程中,假如有兩個(gè)變量x 和 y ,并且對(duì)于x 的每一個(gè)確定的值,y 都有唯獨(dú)確定的值與其對(duì)應(yīng),那么我們就把x 稱為自變量,把y 稱為因變量,y 為 x 的函數(shù)；*判定 a為否為 b 的函數(shù),只要看b 取值確定的時(shí)候,a 為否有唯獨(dú)確定的值與之對(duì)應(yīng)3.確定函

6、數(shù)自變量取值范疇的方法：（ 1）關(guān)系式為整式時(shí),函數(shù)自變量取值范疇為全體實(shí)數(shù)；（ 2）關(guān)系式含有分式時(shí),分式的分母不等于零；（ 3）關(guān)系式含有二次根式時(shí),被開放方數(shù)大于等于零；（ 4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí),底數(shù)不等于零；（ 5）實(shí)際問題中,函數(shù)自變量取值范疇仍要和實(shí)際情形相符合,使之有意義；4.函數(shù)的圖像一般來說,對(duì)于一個(gè)函數(shù),假如把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫.縱坐標(biāo),那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形,就為這個(gè)函數(shù)的圖象5.函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式；6.描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值

7、）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其次步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中,以自變量的值為橫坐標(biāo),相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo),描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)） ；第三步：連線（依據(jù)橫坐標(biāo)由小到大的次序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來）；7.函數(shù)的表示方法列表法：一目了然,使用起來便利,但列出的對(duì)應(yīng)值為有限的,不易看出自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律；解析式法：簡(jiǎn)潔明白,能夠精確地反映整個(gè)變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系,但有些實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系,不能用解析式表示；圖象法：形象直觀,但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系；（三）正比例函數(shù)和一次函數(shù)1.正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地,形如y=kxk為常數(shù), k0

8、 的函數(shù)叫做正比例函數(shù),其中k 叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx k不為零 k不為零 x 指數(shù)為 1 b取零當(dāng) k>0 時(shí),直線 y=kx 經(jīng)過三. 一象限, 從左向右上升, 即隨 x 的增大 y 也增大； 當(dāng) k<0 時(shí),.直線 y=kx經(jīng)過二.四象限,從左向右下降,即隨x 增大 y 反而減小1解析式 ： y=kx （ k 為常數(shù), k 0）2必過點(diǎn) ：（ 0,0）.（ 1,k ）(3) 走向： k>0 時(shí),圖像經(jīng)過一.三象限；k<0 時(shí), .圖像經(jīng)過二.四象限(4) 增減性 ： k>0, y 隨 x 的增大而增大；k<0, y 隨 x 增大而

9、減小(5) 傾斜度 ： |k| 越大,越接近y 軸； |k|越小,越接近x 軸2.一次函數(shù)及性質(zhì)一般地,形如y=kx bk、b為常數(shù), k0 ,那么y 叫做 x 的一次函數(shù) . 當(dāng) b=0 時(shí), y=kx b 即 y=kx ,所以說正比例函數(shù)為一種特殊的一次函數(shù).注：一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx+b k不為零 k 不為零 x 指數(shù)為 1 b 取任意實(shí)數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一次函數(shù)y=kx+b 的圖象為經(jīng)過（ 0,b）和（ -b ,0）兩點(diǎn)的一條直線,我們稱它為直線y=kx+b、 它可k精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載以看作由直線y=kx 平移 |b| 個(gè)單位

10、長(zhǎng)度得到. （當(dāng) b>0 時(shí),向上平移；當(dāng)b<0 時(shí),向下平移）（ 1）解析式 ：y=kx+bk .b 為常數(shù), k0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）必過點(diǎn) ：（0, b）和（ -b, 0）k精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 3）走向：k>0 ,圖象經(jīng)過第一.三象限；k<0 ,圖象經(jīng)過其次.四象限 b>0,圖象經(jīng)過第一.二象限；b<0,圖象經(jīng)過第三.四象限精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載k0直線經(jīng)過第一.二.三象限b0k0直線經(jīng)過第一.三.四象限b0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載k0直線經(jīng)過

11、第一.二.四象限b0k0直線經(jīng)過其次.三.四象限b0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載注： y kx+b 中的 k, b 的作用：1.k 打算著直線的變化趨勢(shì) k>0直線從左向右為向上的 k<0直線從左向右為向下的2.b 打算著直線與y 軸的交點(diǎn)位置 b>0直線與 y 軸的正半軸相交 b<0直線與 y 軸的負(fù)半軸相交（ 4）增減性 ： k>0 , y 隨 x 的增大而增大；k<0, y 隨 x 增大而減小 .（ 5）傾斜度 ：|k|越大,圖象越接近于y 軸； |k| 越小,圖象越接近于x 軸.（ 6）圖像的平移： 當(dāng) b>0 時(shí),將直線y=

12、kx 的圖象向上平移b 個(gè)單位；當(dāng) b<0 時(shí),將直線y=kx 的圖象向下平移b 個(gè)單位 .3.一次函數(shù)y=kx b 的圖象的畫法.依據(jù)幾何學(xué)問：經(jīng)過兩點(diǎn)能畫出一條直線,并且只能畫出一條直線,即兩點(diǎn)確定一條直線,所以畫一次函數(shù)的圖象時(shí),只要先描出兩點(diǎn),再連成直線即可. 一般情形下： 為先選取它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：（ 0,b）,. 即橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為0 的點(diǎn) .注：對(duì)于y kx+b 而言,圖象共有以下四種情形：1.k>0, b>02.k>0, b<03.k<0, b<04. k<0, b>04.直線 y=kx bk 0 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資

13、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(1) 直線 y=kx 與 x 軸. y 軸的交點(diǎn)都為0 , 0 ；(2) 直線 y=kx b 與 x 軸交點(diǎn)坐標(biāo)為與 y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為0 , b 5.用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：（ 1）依據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）將 x .y 的幾對(duì)值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；（ 3）解方程得出未知系數(shù)的值；（ 4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.6.兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法： 方法：聯(lián)立方程組求x .y例題：已知兩直線y x+6與 y 2x-4 交于點(diǎn) p,求 p 點(diǎn)的

14、坐標(biāo)？7.直線 y=k1x+b1 與 y=k2x+b2 的位置關(guān)系（ 1）兩條直線平行：k1=k2 且 b1b2（ 2）兩直線相交：k1k 2（ 3）兩直線重合：k1=k2 且 b1=b2平行于軸（或重合）的直線記作. 特殊地,軸記作直線8.正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系一次函數(shù)y=kx b 的圖象為一條直線,它可以看作為由直線y=kx 平移 |b| 個(gè)單位長(zhǎng)度而得到（當(dāng)b>0時(shí),向上平移；當(dāng)b<0 時(shí),向下平移）.9.一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a, b 為常數(shù), a 0）的形式,所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

15、- - 歡迎下載化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0 時(shí),求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看,相當(dāng)于已知直線y=ax+b 確定它與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.10.一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0 或 ax+b<0（ a, b 為常數(shù), a0）的形式,所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大（小）于0 時(shí),求自變量的取值范疇.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11.一次函數(shù)與二元一次方程組（ 1）以二元一次方程ax+by=c 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y=a xcbb的圖象相同 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載

16、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）二元一次方程組的圖象交點(diǎn) .a1 x a2 xb1 y b2 yc1的解可以看作為兩個(gè)一次函數(shù)y=c2a1 x b1c1和 y=b1a2 xc2b2b2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12.函數(shù)應(yīng)用問題（理論應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用）（ 1）利用圖象解題通過函數(shù)圖象獵取信息,并利用所獵取的信息解決簡(jiǎn)潔的實(shí)際問題.（ 2）經(jīng)營(yíng)決策問題函數(shù)建模的關(guān)鍵為將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,從而解決正確方案,正確策略等問題. 建立一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題,就為要從實(shí)際問題中抽象出兩個(gè)變量,再尋求出兩個(gè)變量之間的關(guān)系,構(gòu)建函數(shù)模型,從而利用數(shù)學(xué)知題. 四 反比例函數(shù)

17、一般地,假如兩個(gè)變量x.y 之間的關(guān)系可以表示成y k x k為常數(shù), k0 的形式,那么稱y 為 x的反比例函數(shù)；取值范疇： k 0;在一般的情形下、自變量x的取值范疇可以為不等于0 的任意實(shí)數(shù);函數(shù)y的取值范疇也為任意非零實(shí)數(shù)；反比例函數(shù)的圖像屬于以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱的雙曲線反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線會(huì)無限接近x 軸 y 軸但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交（k0）；反比例函數(shù)的性質(zhì)：1. 當(dāng) k>0 時(shí),圖象分別位于第一.三象限,同一個(gè)象限內(nèi),y 隨 x 的增大而減??；不同象限 內(nèi), y 隨 x 的增大而增大；當(dāng)k<0 時(shí),圖象分別位于二.四象限,同一個(gè)象限內(nèi)、y隨 x 的增

18、大而增大；不同象限內(nèi),y 隨 x 的增大而減小2. 自變量取值范疇為x0；3. 由于在y=k/xk 0 中,x 不能為0 , y 也不能為0,所以反比例函數(shù)的圖象不行能與x 軸相交,也不行能與y 軸相交；4. 在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)p, q,過點(diǎn)p, q 分別作x 軸, y 軸的平行線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為s1, s2,就 s1 s2=|k|5. 反比例函數(shù)的圖象既為軸對(duì)稱圖形,又為中心對(duì)稱圖形,它有兩條對(duì)稱軸y=xy=-x （即第一三,二四象限角平分線）,對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6. 如設(shè)正比例函數(shù)y=mx 與反比例函數(shù)y=n/x交于 a

19、.b 兩點(diǎn)（ m. n 同號(hào)）,那么a b 兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；7. 反比例函數(shù)關(guān)于正比例函數(shù)y=x、y=-x軸對(duì)稱 、 并且關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.8. 反比例上一點(diǎn)m 向 x .y 軸分別做垂線,交于q .w,就矩形mwqo（ o 為原點(diǎn)）的面積為|k|9.|k|越大,反比例函數(shù)的圖象離坐標(biāo)軸的距離越遠(yuǎn)；（五）二次函數(shù)二次函數(shù)為指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)；二次函數(shù)可以表示為fx=ax2+bx+ca 不為 0 ；其圖像為一條對(duì)稱軸平行于y 軸的拋物線；一般式 已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì).的值,通常挑選一般式.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載y=ax22+bx+ca 0、a .b.

20、c 為常數(shù) ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為-b/2a, 4ac-b/4a；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載頂點(diǎn)式 已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸,通常挑選頂點(diǎn)式. 2y=ax-h+ka 0、a .h.k 為常數(shù) ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h、k ）對(duì)稱軸直線x=h ,有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式；交點(diǎn)式 已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo).,通常選用交點(diǎn)式y(tǒng)=ax-x1x-x2 僅限于與x 軸有交點(diǎn)a（ x 1, 0）和 b （ x 2, 0）的拋物線；拋物線的三要素：開口方向.對(duì)稱軸.頂點(diǎn)頂點(diǎn)拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)p,坐標(biāo)為p -b/2a,4ac-b 2/4a,當(dāng) -b/2a=0時(shí),p 在 y 軸上； 當(dāng) = b2-4ac=0時(shí), p 在 x 軸上；開口二次項(xiàng)系數(shù)a 打算拋物線的開口方向和大小；當(dāng) a 0 時(shí),拋物線向上 開口；當(dāng)a 0 時(shí),拋物線向下 開