(1)微分方程模型

1、微分方程模型 微分方程與微分方程建模法一 , 微分方程知識簡介我們要掌握常微分方程的一些基礎(chǔ)知識,對一些可以求解的微分方程及其方程組 ,要求掌握其解法 ,并了解一些方程的近似解法。微分方程的體系 :(1)初等積分法 (一階方程及幾類可降階為一階的方程 )(2)一階 線性微分方程組 (常系數(shù)線性微分方程組的解法 )(3) 高階線性微分方程 (高階線性常 系數(shù)微分方程解法 ).其中還包括了常微分方程的基本定理 .常數(shù)變易法 :常數(shù)變易法在 上面的 (1)(2)(3)三部分中都出現(xiàn)過 ,它是由線性齊次方程 (一階或高階 )或方程組的解 經(jīng)常數(shù)變易后求相應(yīng)的非齊次方程或方程組的解的一種方法 .初等積分

2、法 :掌握變量可分離方程 ,齊次方程的解法 ,掌握線性方程的解法 ,掌握全微分 方程(含積分因子 )的解法 ,會一些一階隱式微分方程的解法 (參數(shù)法 ),會幾類可以降階 的高階方程的解法 (恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程 ).分離變量法 :(1)可分離變量方程 :(2) 齊次方程 :常數(shù)變易法 :(1) 線性方程 ,(2) 伯努里方程 , 積分因子法 :化為全微分方程 ,按全微分方程求解 . 對于一階隱式微分方程有 參數(shù)法 :(1) 不含 x 或 y 的方程 :(2) 可解出 x 或 y 的方程 :對于高階方程 ,有降階法:恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程 一階方程的應(yīng)用問題 (即建模問題 ).2. 一階線性微分方程組 :本部分主

3、要內(nèi)容有 :一是一階線性微分方程組的基本理論 (線 性齊次 ,非齊次微分方程組的通解結(jié)構(gòu) ,劉維爾公式等 ),二是常系數(shù)線性微分方程組的 解法 (求特征根 ,單根與重根 待定系數(shù)法 ),三是常數(shù)變易法 .本部分內(nèi)容與線性代數(shù)關(guān) 系密切 ,如線性空間 ,向量的線性相關(guān)與線性無關(guān) ,基與維數(shù) ,特征方程 ,特征根與特征 向量 ,矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型等 .高階線性微分方程 :了解高階線性微分方程的基本理論 (線性齊次 ,非齊次微分方程的 通解結(jié)構(gòu) ,劉維爾公式等 );n 階線性常系數(shù)微分方程解法 :(1)求常系數(shù)齊次線性微分方程基本解組的待定指數(shù)函 數(shù)法 ;(2)求一般非齊次線性方程解的常數(shù)變易法 ;(

4、3)求特殊型非齊次常系數(shù)線性方程 解的待定系數(shù)法 ;(4)求解初值問題的拉普拉斯變換法 ;(5)求二階線性方程的冪級數(shù)解 法.常微分方程的基本定理 : 常微分方程的幾何解釋 (線素場 ),初值問題解的存在與唯一 性定理(條件與結(jié)論),求方程的近似解 (歐拉折線法與畢卡逐次逼近法 ),解的延展定理 與比較定理 ,唯一性定理證明解的存在區(qū)間 (如為左右無窮大 ),奇解與包絡(luò)線 ,克萊羅 方程.常微分方程的穩(wěn)定性理論 :掌握穩(wěn)定性的一些基本概念 ,以及運用特征根法判斷常系 數(shù)線性方程 (組)的解的穩(wěn)定性 ,運用李雅普諾夫函數(shù)法判斷一般方程 (組)的解的穩(wěn)定 性.常微分方程的定性理論 :掌握定性理論的

5、一些基本概念 ,運用特征根法判斷奇點類型 , 極限環(huán) .差分方程 .偏微分方程 .微分方程模型 動態(tài)連續(xù)模型當(dāng)描述實際對象的某些特性隨時間（或空間） 而演變的過程、 分析它的變化規(guī)律、 預(yù)測 它的未來性態(tài)， 研究它的控制手段時， 通常要建立對象的動態(tài)模型。 建模時首先要根據(jù)建模 目的和對問題的具體分析作出簡化建設(shè)， 然后按照對象內(nèi)在的或可以類比的其他對象的規(guī)律 列出微分方程， 求出方程的解并將結(jié)果翻譯回實際對象， 就可以進(jìn)行描述、 分析、 預(yù)測或控 制了。穩(wěn)定性模型雖然動態(tài)過程的變化規(guī)律一般要用微分方程建立的動態(tài)模型來描述， 但是對于某些實際 問題，建模的主要目的不是要尋求動態(tài)過程每個瞬間的性

6、態(tài)， 而是研究某種意義下穩(wěn)定狀態(tài) 的特性， 特別是當(dāng)時間充分長以后動態(tài)過程的變化趨勢。 比如在什么條件下描述過程的變量 會越來越接近某些確定的數(shù)值，在什么情況下又會越來越遠(yuǎn)離這些數(shù)值而導(dǎo)致過程不穩(wěn)定。差分方程模型 動態(tài)離散模型二 , 數(shù)學(xué)建模的微分方程方法微分方程作為數(shù)學(xué)科學(xué)的中心學(xué)科,已經(jīng)有三百多年的發(fā)展歷史 ,其解法和理論已日臻完善 ,可以為分析和求得方程的解（或數(shù)值解 ）提供足夠的方法 ,使得微分方程模型具有極大的普遍性 ,有效性和非常豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵.微分方程建模包括常微分方程建模 ,偏微分方程建模 ,差分方程建模及其各種類型的方程組建模.微分方程建模對于許多實際問題的解決是一種極有效的

7、數(shù)學(xué)手段,對于現(xiàn)實世界的變化 ,人們關(guān)注的往往是其 變化速度 ,加速度以及所處位置隨時間的發(fā)展規(guī)律,其規(guī)律一般可以用微分方程或方程組表示 .微分方程建模適用的領(lǐng)域比較廣,利用它可建立 純數(shù)學(xué) （特別是幾何 ）模型 ,物理學(xué)（如動力學(xué),電學(xué),核物理學(xué)等）模型,航空航天（火箭,宇宙飛船技術(shù) ）模型,考古（鑒定文 物年代）模型,交通（如電路信號 ,特別是紅綠燈亮的時間 ）模型,生態(tài)（人口,種群數(shù)量 ）模 型,環(huán)境（污染）模型,資源利用（人力資源 ,水資源,礦藏資源,運輸調(diào)度 ,工業(yè)生產(chǎn)管理 ）模 型,生物（遺傳問題,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)問題 ,動植物循環(huán)系統(tǒng) ）模型,醫(yī)學(xué)（流行病,傳染病問題 ）模 型,經(jīng)濟(jì)（商

8、業(yè)銷售 ,財富分布 ,資本主義經(jīng)濟(jì)周期性危機(jī)）模型,戰(zhàn)爭（正規(guī)戰(zhàn),游擊戰(zhàn)）模型等 .其中的連續(xù)模型適用于常微分方程和偏微分方程及其方程組建模,離散模型適用于差分方程及其方程組建模.下面 ,我們給出如何利用方程知識建立數(shù)學(xué)模型的幾種方法 .1. 利用題目本身給出的或隱含的等量關(guān)系建立微分方程模型. 這就需要我們仔細(xì)分析題目 ,明確題意 ,找出其中的等量關(guān)系 ,建立數(shù)學(xué)模型 .例如在光學(xué)里面 ,旋轉(zhuǎn)拋物面能將放在焦點處的光源經(jīng)鏡面反射后成為平行光線,為了證明具有這一性質(zhì)的曲線只有拋物線 ,我們就是利用了題目中隱含的條件 入 射角等于反射角來建立微分方程模型的。 又如在天文學(xué) ,氣象學(xué)中常用到的等角

9、軌線 , 已知曲線或曲線族（c）,求曲線（等角軌線或正交軌線），使與（C）中每條曲線相交成給定 的角度（這是題目中明確給出的條件,即曲線的切線相交成給定的角度,這樣,就在它們 的導(dǎo)數(shù)之間建立了聯(lián)系）,又題目中隱含的條件是：在與（C）中曲線相交點處，它們的函 數(shù)值相等 ;這樣,我們只要求出已知曲線或曲線族的微分方程 ,根據(jù)它們之間的聯(lián)系 ,就 可以建立等角軌線的微分方程模型 ,從而求出等角軌線的方程 5.2. 從一些已知的基本定律或基本公式出發(fā)建立微分方程模型.我們要熟悉一些常用的基本定律，基本公式例如從幾何觀點看，曲線y=y（x）上某點的切線斜率即函數(shù) y=y（x）在該點的導(dǎo)數(shù)；力學(xué)中的牛頓第

10、二運動定律:f=ma,其中加速度a就是位移對時 間的二階導(dǎo)數(shù) ,也是速度對時間的一階導(dǎo)數(shù) ;電學(xué)中的基爾霍夫定律等 .從這些知識出 發(fā)我們可以建立相應(yīng)的微分方程模型 .例如在動力學(xué)中 ,如何保證高空跳傘者的安全問題 .對于高空下落的物體 ,我們可以利 用牛頓第二運動定律建立其微分方程模型 ，設(shè)物體質(zhì)量為 m,空氣阻力系數(shù)為，在速度 不太大的情況下 ,空氣阻力近似與速度的平方成正比 ;設(shè)時刻 t 時物體的下落速度為 , 初始條件 :.由牛頓第二運動定律建立其微分方程模型 :求解模型可得 :由上式可知 ,當(dāng)時,物體具有極限速度 :其中,阻力系數(shù) ,為與物體形狀有關(guān)的常數(shù) ,為介質(zhì)密度 ,s 為物體

11、在地面上的投影面積 . 根據(jù)極限速度求解式子 ,在一定時 ,要求落地速度不是很大時 ,我們可以確定出 s 來,從 而設(shè)計出保證跳傘者安全的降落傘的直徑大小來 .3. 利用導(dǎo)數(shù)的定義建立微分方程模型. 導(dǎo)數(shù)是微積分中的一個重要概念。 商式表示單位自變量的改變量對應(yīng)的函數(shù)改變量 ,就是函數(shù)的瞬時平均變化率,因而其極限值就是函數(shù)的變化率 .函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù) ,就是函數(shù)在該點的變化率 .由于一切事物都 在不停地發(fā)展變化 ,變化就必然有變化率 ,也就是變化率是普遍存在的 ,因而導(dǎo)數(shù)也是 普遍存在的 .這就很容易將導(dǎo)數(shù)與實際聯(lián)系起來 ,建立描述研究對象變化規(guī)律的微分 方程模型。例如在考古學(xué)中 ,為了測定某

12、種文物的絕對年齡,我們可以考察其中的放射性物質(zhì)（如鐳,鈾等）,已經(jīng)證明其裂變速度 （單位時間裂變的質(zhì)量 ,即其變化率 ）與其存余量成 正比我們假設(shè)時刻t時該放射性物質(zhì)的存余量R是t的函數(shù)，由裂變規(guī)律，我們可以建立微分方程模型 : 期中是一正的比例常數(shù)，與放射性物質(zhì)本身有關(guān)求解該模型，我們解得：，其中c是由初 始條件確定的常數(shù) .從這個關(guān)系式出發(fā) ,我們就可以測定某文物的絕對年齡 .（參考碳定 年代法）另外,在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中 ,導(dǎo)數(shù)概念有著廣泛的應(yīng)用,將各種函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) （即函數(shù)變化率）稱為該函數(shù)的邊際函數(shù) ,從而得到經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析理論.4. 利用微元法建立微分方程模型. 一般的 ,如果某一實

13、際問題中所求的變量p 符合下列條件:p是與一個變量t的變化區(qū)間a, b有關(guān)的量;p對于區(qū)間a, b具有可加性; 部分量的近似值可表示為 .那么就可以考慮利用微元法來建立微分方程模型 ,其步驟 是:首先根據(jù)問題的具體情況，選取一個變量例如t為自變量，并確定其變化區(qū)間a, b; 在區(qū)間a, b中隨便選取一個任意小的區(qū)間并記作,求出相應(yīng)于這個區(qū)間的部分量的 近似值如果能近似的標(biāo)示為a, b上的一個連續(xù)函數(shù)在t處的值與的乘積，我們就把 稱為量的微元且記作 .這樣,我們就可以建立起該問題的微分方程模型 : .對于比較簡單的模型 ,兩邊積分就可以求解該模型 .例如在幾何上求曲線的弧長 ,平面圖形的面積 ,

14、旋轉(zhuǎn)曲面的面積 ,旋轉(zhuǎn)體體積 ,空間立體 體積3;代數(shù)方面求近似值 3以及流體混合問題 4;物理上求變力做功 ,壓力,平均值, 靜力矩與重心 3; 這些問題都可以先建立他們的微分方程模型,然后求解其模型 .在 2005 年的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 A 題（原題見競賽試題 ）中 ,對于長江流域的三 類主要污染物 溶解氧 ,高錳酸鹽指數(shù)與氨氮污染 ,我們運用微元法 ,建立了其含參數(shù)的微分方程模型 ,并用平均值法估計出了其參數(shù),具體求出了他們的解 ,之后 ,我們又給出了他們統(tǒng)一的微分方程模型及其求解公式 .5. 熟悉一些經(jīng)典的微分方程模型, 對一些類似的問題 ,經(jīng)過稍加改進(jìn)或直接套用這些模型 . 多

15、年來 ,在各種領(lǐng)域里 ,人們已經(jīng)建立起了一些經(jīng)典的微分方程模型,熟悉這些模型對我們是大有裨益的 .下面 ,我們僅以人口問題為例 ,說明用常微分方程 ,偏微 分方程和差分方程建立的人口問題模型 .1）常微分方程模型 設(shè)為時刻人口總數(shù) , 為人口的增長率 ,其中分別為出生率與死亡率,他們可以是的函數(shù).1798年,英國神父 Malthus 建立了最簡單的人口增長模型為 得出了人口按幾何級數(shù)增長的結(jié)論.此結(jié)論在短時期內(nèi)與人口的實際增長吻合得比較好 ,時間越長誤差越大 .經(jīng)過對一些地區(qū)具體人口資料的分析,發(fā)現(xiàn)在人口基數(shù)較少時 ,人口的繁衍增長起重要作用 ,人口的自然增長率r 基本為常數(shù) ,但隨著人口基數(shù)

16、的增加 ,人口增長將越來越受自然資源,環(huán)境條件等的限制 .此時人口的自然增長率是變化的 ,即人口的自然增長率與人口數(shù)量有關(guān).1837（8）年,荷蘭生物學(xué)家 P.F.Verhulst 修改了上述模型 ,引入本地區(qū)自然資源和環(huán) 境條件允許下的最大人口數(shù)目為,給出了類似于電感器產(chǎn)生阻抗的生物反饋因子,將Malthus模型中的假設(shè)條件",人口自然增長率r為常數(shù)"修正為人口自然增長率為，得 出上述模型的修正模型 該模型為著名的Logistic（邏輯斯諦）模型,方程為變量分離方程，帶入初始條件，可以求 出其解.上述模型對單種群群體規(guī)模的變化規(guī)律是很好地描述 .2）差分方程模型 上面考慮的是人口群體變化的規(guī)律問題,該模型沒有考慮種群的年齡結(jié)構(gòu),種群的數(shù)量主要由總量的固有增長率決定.但不同年齡的人的繁殖率和死亡率有著明顯的不同考慮按年齡分組的種群增長模型，我們介紹Leslie在20世紀(jì)40年代建立的一個具 有年齡結(jié)構(gòu)的人口離散模型 .我們將人口按年齡劃分成m個年齡組，即1,2,口組.此處還隱含假定所有人的年齡不能超過 m 組的年齡 .現(xiàn)將時間也離散為時段 ,并且的間隔與年齡區(qū)間大小相等.記時段第 i 年齡組的種群數(shù)量為 ,記時段種群各年齡組的分布向量為 則我們可以建立人口增長的差分方程模型為 此處 L 為已知矩陣 .當(dāng)時段各年齡組的人數(shù)已知時 ,即已知時 ,可以求得時