2022年2022年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載北師大版數(shù)學(xué) （九年級(jí)上冊(cè)）學(xué)問點(diǎn)歸納第一章 證明（二）一.公理 （ 1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“sss”）；（ 2）兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“sas”）；（ 3）兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“asa ”） ；（ 4）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等.對(duì)應(yīng)角相等；推論：兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角角邊”或 “aas ”） ；二.等腰三角形1.等腰三角形的性質(zhì)（ 1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）（ 2）等腰三角形頂角的

2、平分線.底邊上的中線.底邊上的高相互重合（三線合一）；等腰三角形的其他性質(zhì)：等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°等腰三角形的底角只能為銳角,不能為鈍角（或直角）,但頂角可為鈍角（或直角）；等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a,底邊長(zhǎng)為b,就 b <a2等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為a ,底角為 b . c,就 a=180 ° 2180ab , b= c=22.等腰三角形的判定1假如一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱： 等角對(duì)等邊） ；2有兩條邊相等的三角形為等腰三角形.三.等邊三角形性質(zhì)：（1）等邊三角形的三個(gè)角都相等,并且每個(gè)角都等于60

3、°；（ 2）三線合一判定：（1）三條邊都相等的三角形為等邊三角形（ 2）三個(gè)角都相等的三角形為等邊三角形（ 3）：有一個(gè)角為60°的等腰三角形為等邊三角形； 四.直角三角形（一）.直角三角形的性質(zhì)1.直角三角形的兩個(gè)銳角互余2.在直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半4.勾股定理：直角三角形兩直角邊a,b 的平方和等于斜邊c 的平方,即 a 2b2c2其它性質(zhì)：1.直角三角形斜邊上的高線將直角三角形分成的兩個(gè)三角形和原三角形相像；2.常用關(guān)系式：由三角形面積公式可得：兩直角邊的積 =斜邊與斜邊上的高的積（二）.直

4、角三角形的判定1.有一個(gè)角為直角的三角形為直角三角形；2.假如三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形為直角三角形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3.勾股定理的逆定理假如三角形的三邊長(zhǎng)a,b, c 有關(guān)系 a 2b 2c 2 ,那么這個(gè)三角形為直角三角形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（三）直角三角形全等的判定：對(duì)于特殊的直角三角形,判定它們?nèi)葧r(shí),仍有hl 定理（斜邊.直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊.直角邊”或“hl ”）五.角的平分線及其性質(zhì)

5、與判定1.角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線,把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角,這條射線叫做這個(gè)角的平分線；2.角的平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等；3.角的平分線的判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上；六.線段垂直平分線的性質(zhì)與判定1.線段的垂直平分線：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線為這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等； 線段垂直

6、平分線的判定定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上；七.反證法八.互逆命題.互逆定理1.在兩個(gè)命題中,假如一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別為另一個(gè)命題的結(jié)論和條件,那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題,其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題；2.假如一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明為真命題,那么它也為一個(gè)定理,這兩個(gè)定理稱為互逆定理,其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第一章一元二次方程一.一元二次方程（一）.一元二次方程定義含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2 的整式方程叫做一元二次方程；（二）.一元二次方程的一般形式精品學(xué)習(xí)資料

7、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2axbxc0a0 ,它的特點(diǎn)為：等式左邊為一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x 的二次多項(xiàng)式,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載等式右邊為零,其中ax 2 叫做二次項(xiàng),a 叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx 叫做一次項(xiàng),b 叫做一次項(xiàng)系精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載數(shù)； c 叫做常數(shù)項(xiàng)；二.一元二次方程的解法1.直接開平方法直接開平方法適用于解形如xa 2b 的一元二次方程； 當(dāng) b0 時(shí), xab ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

8、- - - 歡迎下載xab；當(dāng) b<0 時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.配方法一般步驟：把方程化成一元二次方程的一般形式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1）方程ax 2bxc0 a0 兩邊同時(shí)除以a、將二次項(xiàng)系數(shù)化為1.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）將所得方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；（ 3）所得方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 4）配方,化成 xa 2b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 5）開方；

9、當(dāng)b0 時(shí), xab ；當(dāng) b<0 時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3.公式法公式法為用求根公式解一元二次方程的解的方法,它為解一元二次方程的一般方法；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一元二次方程ax 2bxc0a0 的求根公式：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bb2x2a4acb 24ac0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4.因式分解法一元二次方程的一邊另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)使用此方法（主要包括 “提公因式”和“十字相乘”）；補(bǔ)充 1：一元二次方程根的

10、判別式根的判別式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1.定義：一元二次方程ax 2bxc0 a0 中, b 24 ac叫做一元二次方程精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ax 2bxc0a0 的根的判別式；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.性質(zhì)：當(dāng)b 24ac 0 時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b 24ac 0 時(shí),方程精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b 24ac 0

11、 時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載補(bǔ)充 2：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x1x2如 果 方 程c；aax2bxc0a0 的 兩 個(gè) 實(shí) 數(shù) 根 為x1, x2b, 那 么 x1x2,a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載補(bǔ)充 3： 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用：（ 1）已知方程的一根,求另一根；2（ 2）不解方程,求二次方程的根x1.x2 的對(duì)稱式的值,特殊留意以下公式：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx2212 x1x 22 x1 x211x1x2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

12、 歡迎下載x1x2x1x2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 x12x2 x12x2 4 x1 x2 | x1x2 |x1x 24x1 x2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2其他能用x1x2 或x1 x2表達(dá)的代數(shù)式；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（3）已知方程的兩根x1.x2,可以構(gòu)造一元二次方程：xx1x2 xx1x20精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2（ 4 ）已知兩數(shù)x1 . x 2 的和與積,求此兩數(shù)的問題,可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程精品學(xué)

13、習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1x 2xx2 xx1x20 的根精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載三.利用方程來解應(yīng)用題時(shí),主要分為兩個(gè)步驟：設(shè)未知數(shù)；查找等量關(guān)系其次章證明（三）一.平行四邊形1 .平行四邊形的定義兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形；2.平行四邊形的性質(zhì)（ 1）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；（ 2）平行四邊形相鄰的角互補(bǔ),對(duì)角相等（ 3）平行四邊形的對(duì)角線相互平分；（ 4）平行四邊形為中心對(duì)稱圖形,對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)；常用點(diǎn)：（ 1）如始終線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn),就這條直線被一組對(duì)邊截下的線段的中點(diǎn)為對(duì)角線的交點(diǎn),并且這條直線二等分此平行四邊

14、形的面積；（ 2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等； 3.平行四邊形的判定（ 1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形為平行四邊形（ 2）定理 1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形為平行四邊形（ 3）定理 2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形為平行四邊形（ 4）定理 3：對(duì)角線相互平分的四邊形為平行四邊形（ 5）定理 4：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形4.平行四邊形的面積s 平行四邊形 =底邊長(zhǎng)×高 =ah精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載二.矩形1.矩形的定義有一個(gè)角為直角的平行四邊形叫做矩形；2.矩形的性質(zhì)（ 1）矩形的對(duì)邊平行且相等（ 2）矩形的四個(gè)角都為直

15、角（ 3）矩形的對(duì)角線相等且相互平分（ 4）矩形既為中心對(duì)稱圖形又為軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)（對(duì)稱中心到矩形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等）；對(duì)稱軸有兩條,為對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；3.矩形的判定（ 1）定義：有一個(gè)角為直角的平行四邊形為矩形（ 2）定理 1：有三個(gè)角為直角的四邊形為矩形（ 3）定理 2：對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形4.矩形的面積s 矩形 =長(zhǎng)×寬 =ab三.菱形1.菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2.菱形的性質(zhì)（ 1）菱形的四條邊相等,對(duì)邊平行（ 2）菱形的相鄰的角互補(bǔ),對(duì)角相等（ 3）菱形的對(duì)角線相互垂直平分,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角（ 4）菱形既為

16、中心對(duì)稱圖形又為軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)（對(duì)稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對(duì)稱軸有兩條,為對(duì)角線所在的直線；3.菱形的判定（ 1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形（ 2）定理 1：四邊都相等的四邊形為菱形（ 3）定理 2：對(duì)角線相互垂直的平行四邊形為菱形4.菱形的面積s 菱形 =底邊長(zhǎng)×高 =兩條對(duì)角線乘積的一半四.正方形（ 310 分）1.正方形的定義有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角為直角的平行四邊形叫做正方形；2.正方形的性質(zhì)（ 1）正方形四條邊都相等,對(duì)邊平行（ 2）正方形的四個(gè)角都為直角（ 3）正方形的兩條對(duì)角線相等,并且相互垂直平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角（

17、4）正方形既為中心對(duì)稱圖形又為軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)；對(duì)稱軸有四條,為對(duì)角線所在的直線和對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；3.正方形的判定判定一個(gè)四邊形為正方形的主要依據(jù)為定義,途徑有兩種：先證它為矩形,再證它為菱形；先證它為菱形,再證它為矩形；4.正方形的面積精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,對(duì)角線長(zhǎng)為bb 2s 正方形 = a 22五.等腰梯形1.等腰梯形的定義兩腰相等的梯形叫做等腰梯形；2.等腰梯形的性質(zhì)（ 1）等腰梯形的兩腰相等,兩底平行；（ 2）等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等,同一腰上的兩個(gè)角互補(bǔ)；（ 3）等腰梯形的對(duì)角線相等；（ 4）

18、等腰梯形為軸對(duì)稱圖形,它只有一條對(duì)稱軸,即兩底的垂直平分線；3.等腰梯形的判定（ 1）定義：兩腰相等的梯形為等腰梯形（ 2）定理：在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形為等腰梯形（ 3）對(duì)角線相等的梯形為等腰梯形；（挑選題和填空題可直接用）六.三角形中的中位線1.三角形的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；2.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半；3.常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線,由此有：三條中位線組成一個(gè)三角形,其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半；三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形；三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形；三角形一條中線和與

19、它相交的中位線相互平分；三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等；七.有關(guān)四邊形四邊中點(diǎn)問題的學(xué)問點(diǎn)：（ 1）順次連接任意四邊形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形為平行四邊形；（ 2）順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形為菱形；（ 3）順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形為矩形；（ 4）順次連接等腰梯形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形為菱形；（ 5）順次連接對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形為菱形；（ 6）順次連接對(duì)角線相互垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形為矩形；（ 7）順次連接對(duì)角線相互垂直且相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形為正方形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下

20、載第四章視圖與投影1.三視圖包括：主視圖.俯視圖和左視圖；（1）三視圖之間要保持長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等；一般地,俯視圖要畫在主視圖的下方, 左視圖要畫在正視圖的右邊；主視圖：基本可認(rèn)為從物體正面視得的圖象俯視圖：基本可認(rèn)為從物體上面視得的圖象左視圖：基本可認(rèn)為從物體左面視得的圖象（2）視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體上一個(gè)表面平面或曲面 ,而相連的兩個(gè)閉合線框肯定不在一個(gè)平面上；（3）在一個(gè)形狀線框內(nèi)所包括的各個(gè)小線框,肯定為平面體（或曲面體）上凸出或凹的各個(gè)小的平面體（或曲面體）；（4）在畫視圖時(shí),看得見的部分的輪廓線通常畫成實(shí)線,看不見的部分輪廓線通常畫成虛線；2.投影投影：物體在光線的照

21、耀下,在地面上或墻壁上留下它的影子,這就為投影現(xiàn)象； 平行投影：太陽(yáng)光線可以看成平行光線,像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影；中心投影： 探照燈. 手電筒.路燈和臺(tái)燈的光線可以看成為從一點(diǎn)發(fā)出的,像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影；3.視點(diǎn).視線.盲區(qū)區(qū)分平行投影和中心投影：觀看光源；觀看影子；眼睛的位置稱為視點(diǎn)；由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)；第五章反比例函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1.反比例函數(shù)的概念一般地假如兩個(gè)變量x ,y 之間的關(guān)系可以表示為yk （ k 為常數(shù), k0）的形式,x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精

22、選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載那么稱 y 為 x 的反比例函數(shù)； （反比例函數(shù)的解析式也可以寫成ykx1的形式；自變量x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的取值范疇為x0 的一切實(shí)數(shù),函數(shù)的取值范疇也為一切非零實(shí)數(shù)；）2.反比例函數(shù)的圖象反比例函數(shù)的圖象為雙曲線,它有兩個(gè)分支,這兩個(gè)分支分別位于第一.三象限,或其次.四象限,它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；由于反比例函數(shù)中自變量x0,函數(shù) y0,所以,它的圖象與x 軸. y 軸都沒有交點(diǎn),即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸,但永久達(dá)不到坐標(biāo)軸；3.反比例函數(shù)的性質(zhì)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載反比例函數(shù)yk k0 x精品學(xué)習(xí)資料精

23、選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載k 的符號(hào)k>0k<0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圖象yy精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載oxox精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 x 的取值范疇為x0,y 的取值范疇為y0；性質(zhì)當(dāng) k>0 時(shí),函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別 在第一.三象限；在每個(gè)象限內(nèi),y 隨 x 的增大而減??； x 的取值范疇為x0,y 的取值范疇為y0；當(dāng) k<0 時(shí),函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在其次.四象限；在每個(gè)象限內(nèi),y隨 x 的增大而增大；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -