2015年高考重慶理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（重慶卷）數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求（1）【2015年重慶，理1】已知集合，則（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】d【解析】，故選d（2）【2015年重慶，理2】在等差數(shù)列中，若，則（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】b【解析】利用可求得，故選b（3）【2015年重慶，理3】重慶市2013年各月的平均氣溫（）數(shù)據(jù)的莖葉圖如右，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）（a）19 （b）20 （c）21.5 （d）23【答案】b【解析】這組數(shù)據(jù)是8,9,12,15,18,20

2、,20,23,23,28,31,32 中位數(shù)是，故選b（4）【2015年重慶，理4】“”是“”的（ ）（a）充要條件 （b）充分不必要條件 （c）必要不充分條件 （d）既不充分也不必要條件【答案】b【解析】，故選b（5）【2015年重慶，理5】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】該立體圖形是由一個(gè)三棱錐和一個(gè)半圓柱拼接而成的，其體積為兩部分體積之和：，故選a（6）【2015年重慶，理6】若非零向量滿足，且，則與的夾角為（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】，結(jié)合，可得，故選a（7）【2015年重慶，理7】執(zhí)行如圖所示

3、的程序框圖，若輸入的值為8，則判斷框圖可填入的條件是（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】c【解析】，判斷框內(nèi)應(yīng)該填，故選c（8）【2015年重慶，理8】已知直線：是圓：的對(duì)稱軸，過(guò)點(diǎn) 作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則（ ）（a）2 （b） （c）6 （d）【答案】c【解析】，其圓心坐標(biāo)為，半徑由題意可知直線是圓的直徑所在直線，它過(guò)圓心，所以由幾何圖形可知，故選c （9）【2015年重慶，理9】若，則（ ）（a）1 （b）2 （c）3 （d）4【答案】c【解析】，將式帶入上式可得：，故選c（10）【2015年重慶，理10】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過(guò)作的垂線與雙曲線交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作的垂線

4、交于點(diǎn)若到直線的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】由題意可得：在中，由射影定理有：即點(diǎn)到直線的距離為，由題意得：<而雙曲線的漸近線斜率，故選a二、填空題：本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分把答案填在答題卡的相應(yīng)位置（11）【2015年重慶，理11】設(shè)復(fù)數(shù)的模為，則 【答案】3【解析】復(fù)數(shù)的模為（12）【2015年重慶，理12】的展開(kāi)式中的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）【答案】【解析】故的展開(kāi)式中的系數(shù)為（13）【2015年重慶，理13】在中，的角平分線，則 【答案】【解析】由正弦定理可得： ，再由正弦定理可得：考生

5、注意：（14）、（15）、（16）三題為選做題，請(qǐng)從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分（14）【2015年重慶，理14】如圖，圓的弦相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，則 【答案】2【解析】由切割線定理可得：再由相交弦定理可得：（15）【2015年重慶，理15】已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極 點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為則直線與曲線的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 【答案】【解析】直線的直角坐標(biāo)方程為由由故直線與曲線的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為（16）【2015年重慶，理16】若函數(shù)的最小值為5，則實(shí)數(shù) _【答案】4或-6【解析】分情況討論：（1）當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)分

6、段討論法分段討論并結(jié)合函數(shù)圖像可知：在處取得最小值5，所以；（2）當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)分段討論法分段討論并結(jié)合函數(shù)圖像可知：在處取得最小值5，綜上，可得實(shí)數(shù)或4三、解答題：本大題共6題，共75分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程 （17）【2015年重慶，理17】（本小題滿分13分，（）小問(wèn)5分，（）小問(wèn)8分）端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(gè)（）求三種粽子各取到1個(gè)的概率；（）設(shè)表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望解：（）令表示事件“三種粽子各取到一個(gè)”，則（）所有可能取值為，且， 故分布列

7、見(jiàn)表：012且（個(gè)）（18）【2015年重慶，理18】（本小題滿分13分，（）小問(wèn)7分，（）小問(wèn)6分）設(shè)（）求的最小正周期和最大值；（）討論在上的單調(diào)性解：（）由題，故的最小正周期，最大值為（）由知，從而當(dāng)即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)，單調(diào)遞減因此，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（19）【2015年重慶，理19】（本小題滿分13分，（）小問(wèn)4分，（）小問(wèn)9分）如圖，三棱錐中，平面，分別為線段上的點(diǎn)，且，（）證明：平面；（）求二面角的余弦值解：（）因平面，平面，故又，故 為等腰直角三角形，且因，平面，平面，所以平面 （）如圖，取的中點(diǎn)，連由（）知為等腰直角三角形，故，又，故，因此，從而以為原點(diǎn)，的方向分別為軸

8、的正方向建立空間直角坐標(biāo)系則，故， ，設(shè)為平面的法向量，則即，取得由（）知平面，故即為平面的法向量因，故所求二面角的余弦值為（20）【2015年重慶，理20】（本小題滿分12分，（）小問(wèn)7分，（）小問(wèn)5分）設(shè)函數(shù)（）若在處取得極值，確定的值，并求此時(shí)曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）若在上為減函數(shù)，求的取值范圍解：（）由題，因在處取得極值，故，得因此，從而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為即（）由題知對(duì)恒成立，故即對(duì)恒成立顯然在單調(diào)遞減，故，所以，即的取值范圍為（21）【2015年重慶，理21】（本題滿分12分，（）小問(wèn)5分，（）小問(wèn)7分）如圖，橢圓 的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且 （）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若，求橢圓的離心率解：（）由題，故又，故，因此，從而橢圓方程為（）連，由題，故，從而