2015第十五屆“中環(huán)杯”七年級數(shù)學(xué)決賽B試題(pdf版)

1、 第第 1515 屆中環(huán)杯決賽試題解析（七年級屆中環(huán)杯決賽試題解析（七年級 b b 卷）卷） 一、填空題一、填空題（本大題共（本大題共 1010 小題，每題小題，每題 6 6 分，共分，共 6060 分）分）： 1. 計算：321130.1251.51316111240.7593 _. 【答案】99 【解答】 321130.1251.51316111240.7593211313 0.1253.3751316113494121.751191616994449 2. 方程1172213311339xxx的解為_. 【答案】30 x 【解答】直接觀察出結(jié)果 3. 有理數(shù), ,a b c使得1abca

2、bc ，則32abcabc的最大值為_. 【答案】4 【解答】利用1abcabc ，我們知道, ,a b c兩正一負(fù)或者三負(fù)。如果, ,a b c三負(fù)，那么326abcabc ，取到最小值；如果, ,a b c兩正一負(fù)，為了使得32abcabc最大，則取, a b正，c負(fù)，此時323214abcabc 4. 20142014201420145 1512201415 1512201425 1512201435 151220144除以 25 的余數(shù)為_. 【答案】24 【解答】令20145 151220145k，則 20142014201420145 1512201415 1512201425 1

3、5122014355253 54kkkk 這個多項式展開后除了一次項以及常數(shù)項以外，別的都肯定是 25 的倍數(shù)了，一次項為51 2 3 1 241 3 42 3 4250kk ，顯然也是 25 的倍數(shù)，而常數(shù)項為1 2 3 424 ，所以答案為 24 5. 如圖，四邊形abcd中，13aead，13cfbc，其中be與af相交于點g，ce與df相交于點h，若四邊形egfh的面積為 40。則abg與dch的面積和為_. hgfeabcd 【答案】40 【解答】如下左圖所示，113133baebadbaedcfabcddcfdcbsssssss。如下右圖所示，221323

4、33cdecadcdeabfabcdafceabcdabfabcsssssssss。至此，我們推出baedcfafcesss?？紤]到baedcfgaehfcafceegfhgaehfcsssssssss陰，所以40egfhss陰 hgfeabcd hgfeabcd 6. 已知11, 11xy ，若122xyxy，記xy的最大值和最小值分別為m、m，則mm_. 【答案】3 【解答】由122xyxy得11022xy，所以12x 或12y （1）若12x ，maxmin31,22xyxy （2）若12y ，maxmin13,22xyxy 綜上所述，33,22mm ，所以3mm 7. 能使得2256n

5、為完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值為_. 【答案】11 【解答】由于8225622nn （1）當(dāng)8n，通過枚舉，發(fā)現(xiàn)不存在這樣的正整數(shù)； （2）當(dāng)8n時，888225622221nnn，考慮到82已經(jīng)是完全平方數(shù)，所以821n也必須為完全平方數(shù)。令82821211nnkkk ?？紤]到8n，所以82n肯定是偶數(shù)，從而推出12112abkabk 。兩個等式相減得2221ba b。如果1ab，則21a b是大于 1 的奇數(shù)，顯然不可能是 2 的因數(shù)，從而推出222121 1ba bab ，所以83222211nabn 8. 如圖，在abc中，取bc上一點m，延長ma至點d，作de/ab與cb延長線交于點e，

6、作df/ac與bc延長線交于點f，過點a作gh/bc。若凹四邊形dbac面積為 12 平方厘米，且2.52.5bmbecmcf，則梯形gefh的面積為_. hgfemabcd 【答案】54 【解答】如下圖所示，考慮到de/ab，所以ebadbass。容易知道ageb為平行四邊形，所以2agebebass。根據(jù)題意，2.52.5abmabebmbess，所以22.54.54.5agemagebabmebaebaebadbasssssss 。同理，4.5ahfmdcass，所以4.54.54.54.54.5 1254gefhagemahfmdbadcadbadcadbacssssssss hgfe

7、mabcd 9. 已知2222112233101011+223310101540aaaaaaaa，則333312310aaaa的最大值為_. 【答案】3025 【解答】由于11221010112224101020aaaaaa，所以22221122331010222222211+223310102420212101540aaaaaaaa 為了取到等號，則121011221010aaa ，所以333312310aaaa的最大值為233331 10101231030252 10. 一串正整數(shù)1234,a a a a與另一串正整數(shù)1234,b b b b滿足下面的性質(zhì) （1）1234120aaaa；

8、（2）1234120bbbb； （3）31241234aaaabbbb； 滿足條件的兩串?dāng)?shù)字1234,a a a a與1234,b b b b有_種不同的安排 【答案】5353 【解答】（1）我們先對111ab的情況進行分析，此時相當(dāng)于223344ababab，這種的數(shù)字串有4204845c種； （2）接下來對111ab的情況進行分析，考慮到31241234aaaabbbb，后面的三個分?jǐn)?shù)相當(dāng)于對11ab的分子分母同時乘以一個數(shù)，比如246836912。由于4112045bbb，所以11ab的分?jǐn)?shù)值可以是12、13、23、14、34、15、25、35、45。 對于12來說，1234,b b b

9、 b可以從 2、4、20 中取四個，有410210c種； 對于13和23來說，1234,b b b b可以從 3、6、18 中取四個，有4622 1530c種； 對于14和34來說，1234,b b b b可以從 4、8、20 中取四個，有4522 510c種； 對于15、25、35、45來說，1234,b b b b可以從 5、10、15、20 中取四個，有4444 14c 種； 所以，對于111ab的情況，一共有21030 104254種 （3）對于111ab的情況，與111ab的情況完全對稱，前面分析過13，那么這里就有31，畢竟此時要求4112045aaa，所以也有254種 綜上所述，

10、一共有4845254 25353 二二、動手動腦、動手動腦（本大題共（本大題共 4 4 小題，每題小題，每題 1010 分，共分，共 4040 分）分）： 11. 如下圖所示，12ll，90bad，95bcd，1290 ，求：34 4312l1abcdl2 【答案】85 【解答】9017595badbdbcd ，容易證明1324bd ，所以1234175 ?？紤]到1290 ，所以3485 12. 已知238201131xxmx，則使得m為整數(shù)的自然數(shù)x有幾個？ 【答案】4 【解答】容易知道2313 31201438201120142 19 533331313131xxxxxmxxxxxx，當(dāng)2

11、 195331x為整數(shù)時，m為整數(shù)，所以31|2 19 53x?？紤]到312 mod3x ，可能的情況有312,53,2 19,19 53x ，有 4 個解 13. 若1100011000ab，并且22ab與33ab都是 5 的倍數(shù)，求：這樣的有序數(shù)對, a b有多少對 【答案】250000 【解答】容易發(fā)現(xiàn)4142434422 mod524 mod5023 mod521 mod5kkkkk、4142434433 mod534 mod5032 mod531 mod5kkkkk，為了使得5|225|33abab，則,41,43a bkk、42,44kk、43,41kk、44,42kk，也就是說，

12、無論a取哪個數(shù)，與其對應(yīng)的b有10004250個，所以答案為1000 250250000 14. n個數(shù)圍成一圈，每次操作把其中某一個數(shù)換成下面兩個數(shù)中的一個： （1）這個數(shù)依次加上與它相鄰的兩個數(shù)后所得的和； （2）這個數(shù)依次減去與它相鄰的兩個數(shù)后所得的差； 例如： 1+2+5=85432854321 1 2 5= 65432654321 （1）能否通過若干次操作完成下圖中的變換？請說明理由 100720152014011 （2）能否通過若干次操作完成下圖中的變換？ 請說明理由 4222012014214214 （3）能否通過若干次操作完成下圖中的變換？ 請說明理由 9753157321 【答案】（1）可以，如下圖所示；（2）不能；（3）不能； 【解答】（1） 201510072014201410071006100710061100601021011 （2）不能。214214