平行四邊形的判定

1、第二課時一、教案目標(biāo)知識與技能理解和領(lǐng)會三角形中位線的概念，掌握三角形中位線定理及其應(yīng)用過程與方法經(jīng)過探索三角形中位線定理的過程，理解它與平行四邊形的內(nèi)在聯(lián)系，感悟幾何學(xué)的推理方法情感、態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學(xué)生合情推理意識，形成幾何思維分析思路，體會幾何學(xué)在日常生活中的應(yīng)用價值二、重點難點重點：理解并應(yīng)用三角形中位線定理難點：理解三角形中位線定理的推導(dǎo)，感悟幾何的思維方法。三、教案準(zhǔn)備多媒體， 直尺、圓規(guī)；補充本節(jié)課資料四、教案方法分組討論，講練結(jié)合法。五、教案過程( 一) 復(fù)習(xí)導(dǎo)入1平行四邊形的定義是什么？2平行四邊形具有哪些性質(zhì)？3平行四邊形是如何判定的？教師板書：畫出一個平行四邊形，如下圖（

2、幫助理解）學(xué)生活動：踴躍發(fā)言，相互討論，歸納出平行四邊形的性質(zhì)與判定課堂演練（ 教師板書 ）：演練題：如圖，平行四邊形ABCD 中，對角線AC、BD 相交于 O，E、F 分別為 BO、DO 的中點求證： AF CE（請你用兩種方法證明）1/10思路點撥：方法 1：證明 AOF COE，推出 AFE= CEF，從而得證 AF CE方法 2：連結(jié) AE、 CF，去證明四邊形 AECF 為平行四邊形教師活動：組織學(xué)生完成“演練題”，巡視、關(guān)注“學(xué)困生”，對于思路較好的學(xué)生，請他們完成后再上臺演示教師注意糾正他們的書寫學(xué)生活動：獨立完成“演練題”，結(jié)合本道題，回顧和應(yīng)用平行四邊形性質(zhì)，判定師生共識：構(gòu)

3、圖 :設(shè)計意圖： 采用先回顧（ 提問式 ）平行四邊形性質(zhì)、判定，再通過“演練題”進(jìn)行實際應(yīng)用，這樣不空洞，且能調(diào)動積極性，有利于歸納、提升( 二) 新課教授例 1.（補充）已知：如圖， ABCD 中， E、 F 分別是 AD 、 BC 的中點，求證：BE=DF分析：證明BE=DF ，可以證明兩個三角形全等，也可以證明四邊形 BEDF 是平行四邊形，比較方法，可以看出第二種方法簡單證明：四邊形ABCD 是平行四邊形， ADCB，AD=BC E、F 分別是 AD 、 BC 的中點， DEBF，且 DE= 1 AD ，BF= 1 BC22 DE=BF四邊形 BEDF 是平行四邊形（ 一組對邊平行且相

4、等的四邊形是平行四邊形 ） BE=DF2/10此題綜合運用了平行四邊形的性質(zhì)和判定，先運用平行四邊形的性質(zhì)得到判定另一個四邊形是平行四邊形的條件，再應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)得出結(jié)論；題目雖不復(fù)雜，但層次有三，且利用知識較多，因此應(yīng)使學(xué)生獲得清晰的證明思路例 2.（補充）已知：如圖， ABCD 中， E、F 分別是 AC 上兩點，且 BEAC 于 E，DFAC 于 F求證：四邊形 BEDF 是平行四邊形分析：因為 BE AC 于 E， DF AC 于 F，所以 BE DF需再證明 BE=DF，這需要證明 ABE 與 CDF 全等，由角角邊即可證明：四邊形ABCD 是平行四邊形， AB=CD ，且 A

5、B CD BAE= DCF BEAC 于 E，DFAC 于 F， BEDF，且 BEA= DFC=90° ABE CDF （AAS ） BE=DF四邊形 BEDF 是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）( 三) 例題講解例1在下列給出的條件中，能判定四邊形 ABCD 為平行四邊形的是（ C ）（A）AB CD，AD=BC （B） A=B， C=D（C）AB=CD ，AD=BC（D）AB=AD ，CB=CD解讀： A 錯，一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形可能是等腰梯形； B 錯，兩組鄰角相等可能為等腰梯形； D錯，雖然鄰邊相等但不能保證對邊也相等；排除法選 C。答案

6、 C。例2已知：如圖，ACED，點B在AC上，且 AB=ED=BC ，找出圖中的平行四邊形，并說明理由解讀：利用平行四邊形的判定性質(zhì)。答：四邊形 ABDE 、四邊形 BCDE為平行四邊形。例 3已知：如圖，在ABCD 中， AE、CF 分別是 DAB 、 BCD3/10的平分線求證：四邊形 AFCE 是平行四邊形解讀：利用組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。證明： AE、CF 分別是 DAB 、 BCD 的平分線 DAE= 1 DAB ， BCF= 1 BCD.22又四邊形 ABCD 是平行四邊形 . DAB= BCD， D=B，即 DAE= BCF.又 BC=DA. ADE CBF （AS

7、A ） BF=DE,即 AF=CE.又 AF CE(已知條件 ).四邊形 AFCE 是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）（四）鞏固練習(xí)1判斷題：(1) 相鄰的兩個角都互補的四邊形是平行四邊形( )(2) 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；( )(3) 一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；( )(4) 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；( )(5) 對角線相等的四邊形是平行四邊形；( )(6) 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形()2延長 ABC 的中線 AD 至 E，使 DE=AD 求證：四邊形 ABEC 是平行四邊形3在四邊形ABCD 中， (1)A

8、B CD；(2)AD BC；(3)AD BC；(4)AO OC；(5)DO BO； (6)AB CD選擇兩個條件，能判定四邊形 ABCD 是平行四邊形的共有 _對答案1. (1)對； (2)對； (3)錯； (4)對； (5)對； (6)對2. 略 3.共有 9對（五）全課小結(jié)1、熟記平行四邊形判定定理。4/102、進(jìn)一步掌握定理的應(yīng)用。六、板書設(shè)計19.2 平行四邊形的判定復(fù)習(xí)回顧：例題講解：平行四邊形的性質(zhì)例 1新課教授：例2平行四邊形判定定理鞏固練習(xí)：小結(jié)：平行四邊的性質(zhì)與判定定理之間關(guān)系1、熟記平行四邊形判定定理2、進(jìn)一步掌握定理的應(yīng)用定理的幾方面應(yīng)用作業(yè)布置：七、對應(yīng)練習(xí)1如圖所示，

9、矩形 ABCD中的兩條對角線相交于點 O， AOD=120°， AB=4cm，則矩形的對角線的長為 _2若四邊形 ABCD的對角線 AC，BD相等，且互相平分于點O， 則 四 邊 形ABCD?是 _ 形 ，若 AOB=60° ， 那 么AB：AC=_3如圖所示， ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于 E，F(xiàn)，G，H兩點，試說明四邊形 EFGH是矩形4. 在 ABC 中， CE， CF 分別平分 ACB 和它的鄰補角ACDAE?CE于 E，AFCF于 F，直線 EF分別交 AB，AC于 M， N兩點，則四邊形 AECF是矩形嗎？為什么？答案5/1018cm2矩； 1：23 解

10、：在 ABCD中，因為AD BC，所以 DAB+CBA=180°，11 CBA又因為 HAB=DAB， HBA=22所以 HAB+HBA=90°，所以 H=90°同理可求得 HEF=?F=?FGH=90°，所以四邊形 EFGH是矩形4 解：四邊形 AECF是矩形理由：因為 CE平分 ACB，?CF?平分 ACD，所以 ACE=1 ACB， ACF=1 ACD所以 ECF=1 （222ACB+ACD）=90°又因為 AECE，AF CF，所以 AEC=AFC=90°，所以四邊形 AECF是矩形八、教案反思經(jīng)過這兩節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生基本掌握

11、了學(xué)習(xí)幾何證明題的學(xué)習(xí)方式和方法，基本能應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)和判定方法解決問題。在以后的學(xué)習(xí)過程中最主要的任務(wù)是讓學(xué)生落實到筆頭上，及要讓學(xué)生學(xué)會反思做完的每一道題九、知識鏈接中國古代和近代數(shù)學(xué)發(fā)展的簡單歷史知識中國古代是一個世界上數(shù)學(xué)先進(jìn)的國家，用近代科目來分類的話，可以看出無論在算術(shù)、代數(shù)、幾何和三角各方面都十分發(fā)達(dá)?，F(xiàn)在就讓我們來簡單回顧一下初等數(shù)學(xué)在中國發(fā)展的歷史。（一）屬于算術(shù)方面的材料大約在 3000 年以前中國已經(jīng)知道自然數(shù)的四則運算，這些運算只是一些結(jié)果，被保存在古代的文字和典籍中。乘除的運算規(guī)則在后來的“孫子算經(jīng)”（公元三世紀(jì)）內(nèi)有了詳細(xì)的記載。中國古代是用籌來計數(shù)的，在我們

12、古代人民的計數(shù)中，已利用了和我們現(xiàn)在相同的位率，用籌計數(shù)的方法是以縱的籌表示單位數(shù)、百位數(shù)、萬位數(shù)等；用橫的籌表示十位數(shù)、千位數(shù)等，在運算過程中也很明顯的表現(xiàn)出來?！皩O子算經(jīng)”用十6/10六個字來表明它，“一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng)?！?和其他古代國家一樣，乘法表的產(chǎn)生在中國也很早。乘法表在中國古代叫九九，估計在 2500 年以前中國已有這個表，在那個時候人們便以九九來代表數(shù)學(xué)?，F(xiàn)在我們還能看到漢代遺留下來的木簡（公元前一世紀(jì)）上面寫有九九的乘法口訣?，F(xiàn)有的史料指出，中國古代數(shù)學(xué)書“九章算術(shù)”（約公元一世紀(jì)前后）的分?jǐn)?shù)運算法則是世界上最早的文獻(xiàn)，“九章算術(shù)”的分?jǐn)?shù)四則運算和現(xiàn)在我們

13、所用的幾乎完全一樣。古代學(xué)習(xí)算術(shù)也從量的衡量開始認(rèn)識分?jǐn)?shù)，“孫子算經(jīng)”（公元三世紀(jì)）和“夏候陽算經(jīng)”（公元六、七世紀(jì)）在論分?jǐn)?shù)之前都開始講度量衡，“夏侯陽算經(jīng)”卷上在敘述度量衡后又記著：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，萬乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，萬除退四等。”這種以十的方冪來表示位率無疑地也是中國最早發(fā)現(xiàn)的。小數(shù)的記法，元朝（公元十三世紀(jì)）是用低一格來表示，如 13.56作 1356 。在算術(shù)中還應(yīng)該提出由公元三世紀(jì)“孫子算經(jīng)”的物不知數(shù)題發(fā)展到宋朝秦九韶（公元1247 年）的大衍求一術(shù)，這就是中國剩余定理，相同的方法歐洲在十九世紀(jì)才進(jìn)行研究。宋朝楊輝所著的書中（公元

14、1274 年）有一個 1300 以內(nèi)的因數(shù)表，例如 297用“三因加一損一”來代表，就是說297=3×11×9，（ 11101 叫加一， 9101 叫損一）。楊輝還用“連身加”這名詞來說明 201300 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)。（二）屬于代數(shù)方面的材料從“九章算術(shù)”卷八說明方程以后，在數(shù)值代數(shù)的領(lǐng)域內(nèi)中國一直保持了光輝的成就?！熬耪滤阈g(shù)”方程章首先解釋正負(fù)術(shù)是確切不移的，正象我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)初等代數(shù)時從正負(fù)數(shù)的四則運算學(xué)起一樣，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)便豐富了數(shù)的內(nèi)容。我們古代的方程7/10在公元前一世紀(jì)的時代已有多元方程組、一元二次方程及不定方程幾種。一元二次方程是借用幾何圖形而得到證明。不定方程的出

15、現(xiàn)在兩千多年前的中國是一個值得重視的課題，這比我們現(xiàn)在所熟知的希臘丟番圖方程要早三百多年。具有 x3px2qxA和 x3 px2 A 形式的三次方程，中國在公元七世紀(jì)的唐代王孝通“緝古算經(jīng)”已有記載。用“從開立方除之”而求出數(shù)字解答（可惜原解法失傳了），不難想象王孝通得到這種解法時的愉快程度，他說誰能改動他著作內(nèi)的一個字可酬以千金。十一世紀(jì)的賈憲已發(fā)明了和霍納（ 17861837）方法相同的數(shù)字方程解法，我們也不能忘記十三世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家秦九韶在這方面的偉大貢獻(xiàn)。在世界數(shù)學(xué)史上對方程的原始記載有著不同的形式，但比較起來不得不推中國天元術(shù)的簡潔明了。四元術(shù)是天元術(shù)發(fā)展的必然產(chǎn)物。級數(shù)是古老的東西，

16、兩千多年前的“周髀算經(jīng)”和“九章算術(shù)”都談到算術(shù)級數(shù)和幾何級數(shù)。十四世紀(jì)初中國元代朱世杰的級數(shù)計算應(yīng)給予很高的評價，他的有些工作，歐洲在十八、九世紀(jì)的著作內(nèi)才有記錄。十一世紀(jì)時，中國已有完備的二項式系數(shù)表，并且還有這表的編制方法。歷史文獻(xiàn)揭示出在計算中有名的盈不足術(shù)是由中國傳往歐洲的。內(nèi)插法的計算，中國可上溯到六世紀(jì)的劉焯，并且七世紀(jì)末的僧一行有不等間距的內(nèi)插法計算。十四世紀(jì)以前，屬于代數(shù)方面許多問題的研究，中國是先進(jìn)國家之一。就是十八、九世紀(jì)由李銳（ 17731817）、汪萊（ 17681813）到李善蘭（ 1811 1882），他們在這一方面的研究上也都發(fā)表了很多的名著。（三）屬于幾何方面

17、的材料自明朝后期（十六世紀(jì)）到歐幾里得“幾何原本”中文譯本一部分出版之前，中國的幾何早已在獨立發(fā)展著。應(yīng)該重視古代的許多工藝品以及建8/10筑工程、水利工程上的成就，其中蘊藏了豐富的幾何知識。中國的幾何有悠久的歷史，可靠的記錄從公元前十五世紀(jì)談起，甲骨文內(nèi)已有規(guī)和矩兩個字，規(guī)是用來畫圓的，矩是用來畫方的。漢代石刻中矩的形狀類似現(xiàn)在的直角三角形，大約在公元前二世紀(jì)左右，中國已記載了有名的勾股定理（勾、股兩個字的起源比較遲）。圓和方的研究在古代中國幾何發(fā)展中占了重要位置。墨子對圓的定義是：“圜，一中同長也?！币粋€中心到圜周相等的叫圜，這解釋要比歐幾里得還早一百多年。在圓周率的計算上有劉歆（？23）

18、、張衡（ 78139）、劉徽（ 263）、王蕃（ 219 257）、祖沖之（ 429500）、趙友欽（公元十三世紀(jì)）等人，其中劉徽、祖沖之、趙友欽的方法和所得的結(jié)果舉世聞名 。祖 沖 之 所 得 的 結(jié) 果 =355/133 要 比 歐 洲 早 一 千 多年。在劉徽的“九章算術(shù)”中曾多次顯露出他對極限概念的天才。在平面幾何中用直角三角形或正方形和在立體幾何中用錐體或長方柱體進(jìn)行移補，這構(gòu)成中國古代幾何的特點。中國數(shù)學(xué)家善子把代數(shù)上的成就運用到幾何上，而又用幾何圖形來證明代數(shù)，數(shù)值代數(shù)和直觀幾何有機的配合起來，在實踐中獲得良好的效果正好說明十八、九世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家對割圜連比例的研究和項名達(dá)（ 17891850）用割圜連比例求出橢圓周長。這都是繼承古代方法加以發(fā)揮而得到的（當(dāng)然吸收外來數(shù)學(xué)的精華也是必要的）。（四）屬于三角方面的材料三角學(xué)的發(fā)生由干測量，首先是天文學(xué)的發(fā)展而