圓錐曲線的綜合應(yīng)用課件

1、 掌握探究與圓錐曲線相關(guān)的最值掌握探究與圓錐曲線相關(guān)的最值問(wèn)題、定點(diǎn)與定值問(wèn)題、參變數(shù)取值問(wèn)題、定點(diǎn)與定值問(wèn)題、參變數(shù)取值范圍問(wèn)題的基本思想與方法，培養(yǎng)并范圍問(wèn)題的基本思想與方法，培養(yǎng)并提升運(yùn)算能力和思維能力提升運(yùn)算能力和思維能力.1.已知已知R,則不論則不論取何值，曲線取何值，曲線C：x2-x-y+1=0恒過(guò)定點(diǎn)恒過(guò)定點(diǎn)( )DA.(0,1) B.(-1,1)C.(1,0) D.(1,1) 由由x2-x-y+1=0,得得(x2-y)-(x-1)=0. x2-y=0 x=1 x-1=0 y=1,可知不論可知不論取何值取何值,曲線曲線C過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)(1,1).依題設(shè)依題設(shè),即即2.已知已知kR,

2、直線直線y=kx+1與橢圓與橢圓 =1恒有公恒有公共點(diǎn)共點(diǎn),則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是 .1,5)(5,+)225xym 由于直線由于直線y=kx+1過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)P(0,1)，則當(dāng)則當(dāng)P(0,1)在橢圓上或橢圓內(nèi)時(shí)，直線在橢圓上或橢圓內(nèi)時(shí)，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，因此與橢圓恒有公共點(diǎn)，因此m且且m5,求求得得m1,5)(5,+).3.雙曲線雙曲線x2-y2=4上一點(diǎn)上一點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線的在雙曲線的一條漸近線上的射影為一條漸近線上的射影為Q，已知，已知O為坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則原點(diǎn)，則POQ的面積為定值的面積為定值 .1 如圖如圖,雙曲線雙曲線x2-y2=4的的兩條漸近線為兩條漸

3、近線為y=x,即即xy=0.又又|PQ|= ,|PR|= ，所以所以SPOQ= |PQ|PR|= =1.00|2xy00|2xy122200|4xy4.已知定點(diǎn)已知定點(diǎn)A(2,3),F是橢圓是橢圓 =1的右焦的右焦點(diǎn)點(diǎn),M為橢圓上任意一點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn),則則|AM|+2|MF|的最小值為的最小值為 .221612xy6 由于點(diǎn)由于點(diǎn)A在橢圓內(nèi)，過(guò)在橢圓內(nèi)，過(guò)M點(diǎn)作橢點(diǎn)作橢圓右準(zhǔn)線圓右準(zhǔn)線x=8的垂線，垂足為的垂線，垂足為B.由橢圓第二定義，得由橢圓第二定義，得2|MF|=|MB|，則則|AM|+2|MF|AM+|BM|，當(dāng)當(dāng)A、B、M三點(diǎn)共線且垂直于準(zhǔn)線時(shí)，三點(diǎn)共線且垂直于準(zhǔn)線時(shí)，|AM|+

4、2|MF|的最小值為的最小值為6.1.基本概念基本概念在圓錐曲線中，還有一類曲線系方程，在圓錐曲線中，還有一類曲線系方程，對(duì)其參數(shù)取不同值時(shí)，曲線本身的性質(zhì)不對(duì)其參數(shù)取不同值時(shí)，曲線本身的性質(zhì)不變；或形態(tài)發(fā)生某些變化，但其某些固有變；或形態(tài)發(fā)生某些變化，但其某些固有的共同性質(zhì)始終保持著，這就是我們所指的共同性質(zhì)始終保持著，這就是我們所指的定值問(wèn)題的定值問(wèn)題.而當(dāng)某參數(shù)取不同值時(shí)，某幾而當(dāng)某參數(shù)取不同值時(shí)，某幾何量達(dá)到最大或最小，這就是我們指的最何量達(dá)到最大或最小，這就是我們指的最值問(wèn)題值問(wèn)題.曲線遵循某種條件時(shí)，參數(shù)有相應(yīng)曲線遵循某種條件時(shí)，參數(shù)有相應(yīng)的允許取值范圍，即我們指的參變數(shù)取值的允許

5、取值范圍，即我們指的參變數(shù)取值范圍問(wèn)題范圍問(wèn)題.2.基本求法基本求法解析幾何中的最值和定值問(wèn)題是以解析幾何中的最值和定值問(wèn)題是以圓錐曲線與直線為載體，以函數(shù)、不等圓錐曲線與直線為載體，以函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)為背景，綜合解決實(shí)際式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)為背景，綜合解決實(shí)際問(wèn)題，其常用方法有兩種：?jiǎn)栴}，其常用方法有兩種：(1)代數(shù)法：引入?yún)⒆兞?，通過(guò)圓錐代數(shù)法：引入?yún)⒆兞?，通過(guò)圓錐曲線的性質(zhì)，及曲線與曲線的交點(diǎn)理論、曲線的性質(zhì)，及曲線與曲線的交點(diǎn)理論、韋達(dá)定理、方程思想等，用變量表示韋達(dá)定理、方程思想等，用變量表示(計(jì)計(jì)算算)最值與定值問(wèn)題，再用函數(shù)思想、不最值與定值問(wèn)題，再用函數(shù)思想、不等式方法得到最

6、值、定值；等式方法得到最值、定值；(2)幾何法：若問(wèn)題的條件和結(jié)論能明幾何法：若問(wèn)題的條件和結(jié)論能明顯的體現(xiàn)幾何特征，利用圖形性質(zhì)來(lái)解決顯的體現(xiàn)幾何特征，利用圖形性質(zhì)來(lái)解決最值與定值問(wèn)題最值與定值問(wèn)題.在圓錐曲線中經(jīng)常遇到求范圍問(wèn)題，在圓錐曲線中經(jīng)常遇到求范圍問(wèn)題，這類問(wèn)題在題目中往往沒(méi)有給出不等關(guān)系，這類問(wèn)題在題目中往往沒(méi)有給出不等關(guān)系，需要我們?nèi)ふ倚枰覀內(nèi)ふ?對(duì)于圓錐曲線的參數(shù)的取對(duì)于圓錐曲線的參數(shù)的取值范圍問(wèn)題值范圍問(wèn)題,解法通常有兩種解法通常有兩種:當(dāng)題目的條件當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時(shí)和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時(shí), 可考慮利用數(shù)形結(jié)合法求解或構(gòu)造參數(shù)可考慮

7、利用數(shù)形結(jié)合法求解或構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式（如雙曲線的范圍，直線滿足的不等式（如雙曲線的范圍，直線與圓錐曲線相交時(shí)與圓錐曲線相交時(shí)0等），通過(guò)解不等），通過(guò)解不等式（組）求得參數(shù)的取值范圍；當(dāng)題等式（組）求得參數(shù)的取值范圍；當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系時(shí)，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)關(guān)系時(shí)，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域化為求解函數(shù)的值域.例例1 已知已知A(1,0),B(-1,0),P是平面上一動(dòng)是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足點(diǎn)，且滿足| | |= . (1)求點(diǎn)求點(diǎn)P的軌跡的軌跡C的方程；的方程； (2)已知點(diǎn)已知點(diǎn)M(m,2)在曲線在曲線

8、C上，過(guò)點(diǎn)上，過(guò)點(diǎn)M作作直線直線l1、l2與與C交于交于D、E兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且 l1、l2的斜率的斜率k1、k2滿足滿足k1k2=2,求證：直線求證：直線DE過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn).PA BA PB AB (1)設(shè)設(shè)P(x,y),則則 =（1-x,-y), =(-1-x,-y), =(-2,0), =(2,0).因?yàn)橐驗(yàn)閨 | |= ，所以所以 2=2(x+1),即即y2=4x,所以點(diǎn)所以點(diǎn)P的軌跡的軌跡C的方程為的方程為y2=4x .(2)證明證明:由由(1)知知M(1,2),設(shè)設(shè)D( ,y1),E( ,y2),所以所以k1k2= =2,整理得整理得(y1+2)(y2+2)=8

9、. PA BA PB AB PA BA PB AB 22(1)xy214y224y122211221144yyyykDE= = =k,所以所以y1+y2= . 由知由知y1y2=4- ,所以直線所以直線DE的方程為的方程為y-y1= (x- ),整理得整理得4x-(y1+y2)y+y1y2=0,即即4x- y+4- =0,即即(x+1)k-(y+2)=0,所以直線所以直線DE過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)(-1,-2).4k12221244yyyy124yy8k124yy214y4k8k 與圓錐曲線有關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題的探求與圓錐曲線有關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題的探求一般途徑是恰當(dāng)引入?yún)⒆兞?，將題設(shè)轉(zhuǎn)化一般途徑是恰當(dāng)引入?yún)⒆兞?，?/p>

10、題設(shè)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系式，然后通過(guò)分析參變量取符為坐標(biāo)關(guān)系式，然后通過(guò)分析參變量取符合題設(shè)條件的任何一個(gè)值時(shí)，坐標(biāo)關(guān)系式合題設(shè)條件的任何一個(gè)值時(shí)，坐標(biāo)關(guān)系式恒成立的條件，而獲得定點(diǎn)坐標(biāo)恒成立的條件，而獲得定點(diǎn)坐標(biāo).例例2 如圖，如圖，F(xiàn)1(-3,0),F2(3,0)是雙曲線是雙曲線C的兩焦點(diǎn)的兩焦點(diǎn),其一條漸近線方程為其一條漸近線方程為y= x,A1、A2是雙曲線是雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線是雙曲線C右支上異于右支上異于A2的一的一 動(dòng)點(diǎn)，直線動(dòng)點(diǎn)，直線A1P,A2P交直線交直線 x= 分別于分別于M、N兩點(diǎn)兩點(diǎn). (1)求雙曲線求雙曲線C的方程；的方程； (2)求證：求證：

11、是定值是定值.524312FM F N (1)由已知，由已知，c=3, = .又又c2=a2+b2，所以，所以a=2,b=5.所求雙曲線所求雙曲線C的方程為的方程為 =1.(2)證明：設(shè)證明：設(shè)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x0,y0),M、N的縱坐的縱坐標(biāo)分別為標(biāo)分別為y1、y2,因?yàn)橐驗(yàn)锳1(-2,0),A2(2,0),所以所以 =(x0+2,y0), =(x0-2,y0), =( ，y1), =(- ,y2).ba522245xy1AP2A P 1AM1032A N23因?yàn)橐驗(yàn)?與與 共線，共線，所以所以(x0+2)y1= y0,y1= .同理同理y2=- .因?yàn)橐驗(yàn)?=( ,y1), =(- ,

12、y2),所以所以 =- +y1y2=- -=- - =-10，為定值，為定值.1AP1AM10300103(2)yx 0023(2)yx 1FM1332F N 531FM2F N 6596592020209(4)yx 65920205(4)2049(4)xx例例3 設(shè)設(shè)F1、F2分別是橢圓分別是橢圓 +y2=1的左、右的左、右焦點(diǎn)焦點(diǎn). (1)若若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求求 的的最大值與最小值；最大值與最小值； (2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線的直線l與橢圓交于不同的與橢圓交于不同的兩點(diǎn)兩點(diǎn)A、B，且，且AOB為銳角（其中為銳角（其中O為坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線原

13、點(diǎn)），求直線l的斜率的斜率k的取值范圍的取值范圍.24x12PF PF (1)由方程易知由方程易知a=2,b=1,c=3，所以所以F1(- ,0),F2( ,0).設(shè)設(shè)P(x,y),則則 =(- -x,-y)( -x,-y)=x2+y2-3=x2+1- -3 = (3x2-8).因?yàn)橐驗(yàn)閤-2,2，所以，所以0 x2，故故 的最大值為的最大值為1，最小值為，最小值為-2.3324x12PF PF 331412PF PF (2)顯然直線顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線可設(shè)直線l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx+2 +y2=1,消去消去y,整理得

14、整理得(k2+ )x2+4kx+3=0.所以所以x1+x2= ,x1x2= .由由=(4k)2-4(k2+ )3=4k2-30,解得解得k 或或k- . 聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組24x142414kk 2314k 143232又又0AOB0,得得 0, 所以所以 =x1x2+y1y20.又又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4 = + +4= .所以所以 + 0,即即k2b0)的離心率為的離心率為e= ，右焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程，方程ax2+bx-c=0的兩個(gè)實(shí)根分別為的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和和x2，則點(diǎn)，則點(diǎn)P(x1,x2)( )A.必在圓必在圓

15、x2+y2=2內(nèi)內(nèi)B. 必在圓必在圓x2+y2=2上上C. 必在圓必在圓x2+y2=2外外D. 以上三種情形都有可能以上三種情形都有可能2222xyab12A 橢圓的離心率為橢圓的離心率為e= ，故，故a=2c,b= c,代入代入ax2+bx-c=0,得得2x2+3x-1=0，所以，所以x1+x2=- ，x1x2=- .故故P(x1,x2)到圓心到圓心(0,0)的距離，的距離，d= = = = 2,所以點(diǎn)所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，故選在圓內(nèi)，故選A.12332122212xx21212()2xxx x74231()2 ()22 學(xué)例2 (2009浙江卷浙江卷)已知橢圓已知橢圓C1： =1(ab0)的右頂

16、點(diǎn)為的右頂點(diǎn)為A(1，0)，過(guò)，過(guò)C1的焦點(diǎn)且的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1. (1)求橢圓求橢圓C1的方程；的方程； (2)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P在拋物線在拋物線C2： y=x2+h(hR)上，上，C2在在 點(diǎn)點(diǎn)P處的切線與處的切線與C1交于交于 點(diǎn)點(diǎn)M、N.當(dāng)線段當(dāng)線段AP的中的中 點(diǎn)與點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí),求求h的最小的最小值值.2222xyab b=1 a=2 2 =1 b=1.因此，所求的橢圓方程為因此，所求的橢圓方程為 +x2=1.(2)設(shè)設(shè)M（x1,y1）,N(x2,y2),P(t,t2+h)，則拋物，則拋物線線C2在點(diǎn)在點(diǎn)P處的切線斜率為處的切線斜率為y|x=t=2t，直線，直線MN的方程為：的方程為：y=2tx-t2+h.將上式代入橢將上式代入橢圓圓C1的方程中，得的方程中，得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0.即即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0. (1)由題意，得由題意，得，從而，從而2ba24y因?yàn)橹本€因?yàn)橹本€MN與橢圓與橢圓C1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以式中的所以式中的1=16-t4+2(h+2)t2-h2+40.設(shè)線段設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是的