2019-2020學(xué)年浙江省杭州市高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2019-2020學(xué)年浙江省杭州市高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知直線在軸和軸上的截距相等，則的值是（ ）a1b-1c-2d2【答案】a【解析】試題分析：由題意得，直線的截距式方程為，所以，故選a【考點(diǎn)】直線的截距式方程的應(yīng)用2邊長(zhǎng)為的正方形，其水平放置的直觀圖的面積為（）ab1cd8【答案】c【解析】正方形的邊長(zhǎng)為，故面積為8，而原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系，故直觀圖的面積為8×= ，故選c3已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）abcd【答案】b【解析】方程，化為表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可得，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選b.4若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最

2、大值等于（ ）a2b1c-2d-4【答案】a【解析】作出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)，找到取最大值的點(diǎn)，然后可求最大值.【詳解】根據(jù)題意作出可行域如圖：平移直線可得在點(diǎn)a處取到最大值，聯(lián)立可得,代入可得最大值為2，故選a.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃，作出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)，求出最值點(diǎn)是主要步驟，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).5與直線x+y+3=0平行，且它們之間的距離為的直線方程為（ ）axy+8=0或xy1=0bx+y+8=0或x+y1=0cx+y3=0或x+y+3=0dx+y3=0或x+y+9=0【答案】d【解析】試題分析：設(shè)所求直線方程為x+y+m=0，運(yùn)用兩平行直線的距離公式，解關(guān)

3、于m的方程，即可得到所求方程解：設(shè)所求直線方程為x+y+m=0，則由兩平行直線的距離公式可得d=3，解得m=9或3則所求直線方程為x+y3=0或x+y+9=0，故選d【考點(diǎn)】?jī)蓷l平行直線間的距離6已知雙曲線一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為（ ）abcd【答案】a【解析】先求得漸近線的方程，利用兩條直線垂直斜率相乘等于列方程，結(jié)合求得雙曲線離心率.【詳解】由題可知雙曲線的漸近線方程為，則，即，又，所以.故選a.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線以及離心率的求法，考查兩條有斜率的直線相互垂直時(shí)，斜率相乘等于，屬于基礎(chǔ)題.7一個(gè)正方體紙盒展開后如圖，在原正方體紙盒中有下列結(jié)論：abef；

4、ab與cm成60°的角；ef與mn是異面直線；mncd.其中正確的是()abcd【答案】d【解析】【詳解】將展開圖還原為正方體，由于efnd，而ndab，efab；顯然ab與cm平行；ef與mn是異面直線，mn與cd也是異面直線，故正確，錯(cuò)誤.8過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，若，則的斜率是（ ）abcd【答案】c【解析】試題分析：由題意得，拋物線準(zhǔn)線方程為，如圖所示，當(dāng)直線的傾斜角為銳角時(shí)，分別作點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，在中，由，可得，因?yàn)檩S，所以，此時(shí)；當(dāng)直線的傾斜角為鈍角時(shí)，可得，故選c【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合應(yīng)用9如圖，已知三棱錐，記二面角的平面角為，直

5、線與平面所成的角為，直線與所成的角為，則（ ）abcd【答案】a【解析】不妨設(shè)三棱錐d-abc是棱長(zhǎng)為2的正四面體，取ab中點(diǎn)e，dc中點(diǎn)m，ac中點(diǎn)m，連結(jié)de、ce、mn、en，過d作doce，交ce于o，連結(jié)ao，則dec=，dao=，mne=，由此能求出結(jié)果【詳解】不妨設(shè)三棱錐d-abc是棱長(zhǎng)為2的正四面體，取ab中點(diǎn)e，dc中點(diǎn)m，ac中點(diǎn)m，連結(jié)de、ce、mn、en，過d作doce，交ce于o，連結(jié)ao，則dec=，dao=，mne=， ， ， ，取bc中點(diǎn)e，連結(jié)de、ae，則debc，aebc，又deae=e，bc平面aed，bcad，=90°故選a【點(diǎn)睛】本題考查

6、二面角、線面角、異面直線所成角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題10已知是橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，直線經(jīng)過原點(diǎn)，直線經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率是（ ）abcd【答案】b【解析】設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為e，令|cf|=m，|bf|=|ae|=4m， |af|=2a-4m，在直角三角形eac中，4m2+（2a-4m +m）2=（2a-m）2，化簡(jiǎn)可得a=3m，在直角三角形eaf中，4m2+（2a-4m）2=（2c）2，即為5a2=9c2，可得e=故選b點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，

7、b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.二、填空題11邊長(zhǎng)為2的等邊三角形繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，該幾何體的體積是_，該幾何體的表面積是_【答案】，【解析】【詳解】試題分析：如圖所示，繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到兩個(gè)相同的圓錐，因?yàn)榈冗吶切蔚倪呴L(zhǎng)為，所以圓錐的高為，底面半徑為，母線長(zhǎng)為所以該幾何體的表面積為；該幾何體的體積為【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體的定義及表面積與體積的計(jì)算12已知點(diǎn)在曲線上，則的取值范圍是_，的最小值為_.【答案】； . 【解析】根據(jù)題意，得到曲線表示圓

8、的一半，畫出圖形，根據(jù)表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖形即可得出結(jié)果；記是曲線上任意一點(diǎn)，令，根據(jù)圖像求出最小值，即可得出的最小值.【詳解】因?yàn)榍€可化為，表示圓的一半，畫出圖形如下：式子表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，根據(jù)圖像可得：半圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率最小為，半圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率最大為；所以的取值范圍是；記是曲線上任意一點(diǎn)，令，則，所以表示直線在軸截距的倍，由圖像可得：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，該直線在軸截距最小，此時(shí)；又點(diǎn)在曲線上，所以的最小值等于.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，只需結(jié)合圖像，以及所求式子的幾何意義即可求解，屬于?？碱}型.13若是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)

9、，若，則_，的面積_.【答案】 【解析】根據(jù)雙曲線的概念得到若，則，因?yàn)?，而?dāng)p點(diǎn)落在軸上時(shí)才會(huì)有，故舍掉最終因?yàn)槿切?是直角三角形，故 故答案為(1). (2). .14設(shè)p、a、b、c是一個(gè)球面上的四個(gè)點(diǎn)，pa、pb、pc兩兩垂直，且，則該球的體積為_.【答案】【解析】將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，從而得到外接球的球心為長(zhǎng)方體的中心，再利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的平方等于三條棱的平方和，即可求得球的半徑，從而得到球的體積.【詳解】p、a、b、c是一個(gè)球面上的四個(gè)點(diǎn)，pa、pb、pc兩兩垂直，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球的球心與長(zhǎng)方體的球心為同一個(gè)，都是長(zhǎng)方體體對(duì)角線的中點(diǎn)，設(shè)球的半徑為，.故答案

10、為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐與球的切接問題、球的體積計(jì)算，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意補(bǔ)形法的應(yīng)用.15如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，分別為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正切值為_；異面直線與所成角的余弦值是_【答案】，【解析】【詳解】試題分析：由兩兩垂直，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，其中平面的一個(gè)法向量為，所以與平面所成角的正弦值為，所以；又向量與所成角的余弦值為，又，所以異面直線與所成角的余弦值是【考點(diǎn)】空間向量的運(yùn)算及空間角的求解16定長(zhǎng)是3的線段ab的兩端點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，m是線段ab的中點(diǎn)，則m到y(tǒng)軸距離的最小值是_

11、.【答案】【解析】由拋物線定義可求得，根據(jù)可求得的最小值，由所求距離為可確定所求距離的最小值.【詳解】設(shè)，由拋物線方程知焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為：由拋物線定義知：，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）即，解得：中點(diǎn)到軸距離為，故所求最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的距離最值問題的求解，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用拋物線的定義得到的長(zhǎng)，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可確定三點(diǎn)共線時(shí)取最小值.17如圖，在正方體中，是中點(diǎn)，在上，且，點(diǎn)是側(cè)面（包括邊界）上一動(dòng)點(diǎn)，且平面，則的取值范圍是_.【答案】【解析】先作出平面平面，結(jié)合題意，得到點(diǎn)的軌跡是線段，分別求出點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)重合時(shí)，的值，即可得出結(jié)果.【詳解】

12、作出平面平面，則，因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)的軌跡是線段，因此，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，取得最小值，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，取得最大值，此時(shí)；所以的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查由線面平行求角的問題，熟記線面平行的性質(zhì)即可，屬于常考題型.三、解答題18已知直線與直線的交點(diǎn)為（1）直線過點(diǎn)，且點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，求直線的方程；（2）直線過點(diǎn)且與正半軸交于兩點(diǎn)，的面積為4，求直線的方程【答案】（1）或；（2）【解析】【詳解】試題分析：首先解方程組得到交點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等可知直線ab與直線平行或過ab中點(diǎn)，由此可求得直線方程；（2）設(shè)出直線的截距式方程，由點(diǎn)的坐標(biāo)和三角形面積可求得

13、關(guān)于截距的方程組，解方程組求得截距值，從而得到直線方程試題解析：（1）直線與直線聯(lián)立方程可得交點(diǎn)；點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，所以或直線過ab中點(diǎn)，所以直線方程為或（2）由題可知，直線的橫、縱截距存在，且，則，又過點(diǎn)，的面積為4，解得，故方程為，即【考點(diǎn)】直線方程19如圖，在三棱錐中，平面，.（1）求證：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)題中條件，證明，再由線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）在平面內(nèi)作于，過點(diǎn)作于，連結(jié)，根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，得到，推出即為二面角，再由題中數(shù)據(jù)，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以；又，?/p>

14、以，即；又，且平面，平面，所以平面；（2）因?yàn)槠矫?，所以平面平面，在平面?nèi)作于，則平面，所以；過點(diǎn)作于，連結(jié)，因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，因此，則即為二面角，在中，在中，所以，從而二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本題主要考查證明線面垂直，求二面角的大小，熟記線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，以及二面角的幾何求法即可，屬于?？碱}型.20已知圓的半徑為3，圓心在軸正半軸上，直線與圓相切.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，而且滿足，求直線的方程.【答案】(1) （x2）2+y2=9 (2) xy3=0，17x7y21=0，x=0【解析】試題分析：（1）可設(shè)圓心坐標(biāo)為，由直線與圓相切，知

15、圓心m到切線的距離等于半徑，可求得，從而得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）注意分類討論，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，代入求出a、b兩點(diǎn)坐標(biāo)，檢驗(yàn)是否符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，得直線方程為，代入圓的方程，由韋達(dá)定理得，代入已知等式可求得的值，從而得直線方程試題解析：（i）設(shè)圓心為m（a，0）（a0），直線3x4y+9=0與圓m相切=3解得a=2，或a=8（舍去），所以圓的方程為：（x2）2+y2=9 （ii）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：x=0，與圓m交于a（0，），b（0，），此時(shí)+=x1x2=0，所以x=0符合題意 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx3，由消去y，得（x2）2+（kx3）2=

16、9，整理得：（1+k2）x2（4+6k）x+4=0.（1）所以由已知得：整理得：7k224k+17=0， 把k值代入到方程（1）中的判別式=（4+6k）216（1+k2）=48k+20k2中，判別式的值都為正數(shù)，所以，所以直線l為：，即xy3=0，17x7y21=0綜上：直線l為：xy3=0，17x7y21=0，x=0 點(diǎn)睛：在直線與圓相切時(shí)，一般都用圓心到切線的距離等于圓的半徑來(lái)求解，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算在解決直線與圓（二次曲線）相交問題時(shí)，一般設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，把直線方程與圓的方程聯(lián)立后得一元二次方程，然后利用韋達(dá)定理得出，再由交點(diǎn)滿足的條件得出坐標(biāo)的關(guān)系，代入可得參數(shù)值這就是解析幾何中的“設(shè)而不

17、求”思想21已知等腰梯形中（如圖1），為線段的中點(diǎn)，、為線段上的點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿折起（如圖2）（1）求證：平面；（2）在圖2中，若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）先連接，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）在圖2中，過點(diǎn)作，垂足為，連接，證明平面平面，得到點(diǎn)在底面上的投影必落在直線上，記為點(diǎn)在底面上的投影，連接，得出即是直線與平面所成角，再由題中數(shù)據(jù)求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）連接，因?yàn)榈妊菪沃校ㄈ鐖D1），所以與平行且相等，即四邊形為平行四邊形；所以；又為線段的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，易得：四邊形也為平行四邊形，所以；將四邊形沿折起后，平行關(guān)

18、系沒有變化，仍有：，且，所以翻折后四邊形也為平行四邊形；故；因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）在圖2中，過點(diǎn)作，垂足為，連接，因?yàn)?，翻折前梯形的高為，所以，則，；所以；又，所以，即，所以；又，且平面，平面，所以平面；因此，平面平面；所以點(diǎn)在底面上的投影必落在直線上；記為點(diǎn)在底面上的投影，連接，則平面；所以即是直線與平面所成角，因?yàn)?，所以，因此，故；因?yàn)?，所以，因此，故，所?即直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查證明線面平行，以及求直線與平面所成的角，熟記線面平行的判定定理，以及線面角的求法即可，屬于?？碱}型.22橢圓，右焦點(diǎn)為，是斜率為的弦，的中點(diǎn)為，的垂直平分線交橢圓于，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為.