2019-2020學(xué)年浙江省寧波市鄞州中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2019-2020學(xué)年浙江省寧波市鄞州中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1命題：“若，則”的逆否命題為（ ）a若，則或b若，則或c若，則且d若，則且【答案】d【解析】直接根據(jù)逆否命題的定義得到答案.【詳解】“若，則”的逆否命題為：若，則且.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了逆否命題，屬于基礎(chǔ)題.2已知直線平面且給出下列四個命題：若則若則若則若則其中真命題是（ ）a b c d【答案】c【解析】試題分析：若，則，又因為，所以，故正確；若，則或，又，則可能平行或相交，故錯誤；若，則或，又，則可能平行、相交或異面，故錯誤；若，則或，又，則，故正確；故選c【考點(diǎn)】空間中線面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化3“3<

2、m<5”是“方程表示橢圓”的()a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件【答案】b【解析】求出曲線方程表示橢圓的參數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷【詳解】方程表示橢圓的條件是，即且，故題中應(yīng)為必要不充分條件，故選b【點(diǎn)睛】方程或表示橢圓的條件是，方程或表示雙曲線的條件是4已知空間向量，若與垂直，則等于（ ）abcd【答案】a【解析】先由向量的數(shù)量積運(yùn)算求出，再結(jié)合向量模的運(yùn)算求解即可.【詳解】解：由空間向量，若與垂直，則，即，即，即，即，即，故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量模的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.5已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為

3、，是上一點(diǎn)，是直線與的一個交點(diǎn)，若，則（ ）abcd【答案】d【解析】設(shè)點(diǎn)，利用求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后利用拋物線的定義可得出.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，焦點(diǎn)為.設(shè)點(diǎn)，即，則，解得，因此，.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義的應(yīng)用，同時也考查了共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵就是求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.6如圖，在正三棱柱 abca1b1c1 中，ab = 1 ，若二面角 c - ab - c1 的大小為 60°，則點(diǎn) c 到平面 abc1 的距離為（ ）abcd【答案】a【解析】過c作cdab，d為垂足，連接c1d，則c1dab，c1dc60°，且ab

4、平面c1dc，所以平面abc1平面c1dc，平面abc1平面c1dcc1d，所以過c作cec1d，則ce為點(diǎn)c到平面abc1的距離【詳解】解：如圖，在正三棱柱abca1b1c1中，ab1若二面角cabc1的大小為60°，過c作cdab，d為垂足，連接c1d，則c1dab，c1dc60°，cd，則c1d，cc1，在cc1d中，過c作cec1d，則ce為點(diǎn)c到平面abc1的距離，ce，所以點(diǎn)c到平面abc1的距離為故選：a【點(diǎn)睛】本小題主要考查棱柱，二面角和線面關(guān)系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力7設(shè)p為橢圓上一點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)，若，則p點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）abcd

5、【答案】b【解析】根據(jù)橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積公式求解即可.【詳解】由題知.設(shè)p點(diǎn)的縱坐標(biāo)為則.故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓焦點(diǎn)三角形的面積運(yùn)用,屬于中檔題.8已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，p為雙曲線右支上任一點(diǎn)。若的最小值為8a，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是( )。a(1, 3b(1,2c2,3d3,十)【答案】a【解析】【詳解】.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式等號成立，這時.又，即，因此，. 選a.9已知雙曲線 的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn).設(shè)到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且 則雙曲線的方程為abcd【答案】a【解析】【詳解】分析：由題意首先求得a,b的坐標(biāo)

6、，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求得b的值，之后利用離心率求解a的值即可確定雙曲線方程.詳解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c>0），則，由可得：，不妨設(shè)：，雙曲線的一條漸近線方程為，據(jù)此可得：，則，則，雙曲線的離心率：，據(jù)此可得：，則雙曲線的方程為.本題選擇a選項.點(diǎn)睛：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出的值即可.10如圖，直三棱柱中，側(cè)棱長為4，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是側(cè)面(含邊界)上的動點(diǎn).要

7、使平面，則線段的長的最大值為（ ）abcd【答案】a【解析】分析可得當(dāng)平面時,故在邊界時取最大值,再根據(jù)平面中的邊角比例關(guān)系求解即可.【詳解】由題,當(dāng)平面時,故在邊界時取最大值,此時因為,故.故.故即滿足題意 .此時.故選：a【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)線面垂直計算邊長的關(guān)系的方法.需要根據(jù)題意找到對應(yīng)的角度等量關(guān)系,利用正切值相等進(jìn)行列式求解.屬于中檔題.二、填空題11雙曲線的漸近線方程為_；求與它有相同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線方程是_.【答案】 【解析】直接根據(jù)公式得到漸近線方程，再設(shè)，代入點(diǎn)計算得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：；設(shè)雙曲線方程為：，代入點(diǎn)得到，故.故答案為：；【點(diǎn)睛】

8、本題考查了雙曲線的漸近線方程，根據(jù)漸近線求雙曲線，意在考查學(xué)生對于漸近線的理解和掌握.12己知拋物線的焦點(diǎn)為，弦是過焦點(diǎn)，則的最小值為_；當(dāng)，那么弦的中點(diǎn)到軸的距離為_.【答案】 【解析】設(shè)直線方程為，計算得到，得到最小值，弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，得到答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線方程為，.，故.當(dāng)時，最小值為.弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故到軸的距離為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的弦的最小值，中點(diǎn)到軸的距離，轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是解題的關(guān)鍵.13如圖是某幾何體的三視圖（單位：cm），則該幾何體的表面積是 c，體積是 .【答案】，4【解析】試題分析：根據(jù)三視圖得出：該幾何體是三

9、棱錐，ab=2，bc=3，db=5，cd=4，ab面bcd，bccd，幾何體的表面積是,其體積：【考點(diǎn)】三視圖及幾何體表面積體積14如下圖，地在地的正東方向處，地在地的北偏東30°方向處，河流的沿岸（曲線）上任意一點(diǎn)到的距離比到的距離遠(yuǎn).則曲線的軌跡是_；現(xiàn)要在曲線上選一處建一座碼頭，向兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物.那么這兩條公路的路程之和最短是_.【答案】 【解析】以所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支，計算，得到答案；，計算得到答案.【詳解】如圖所示：以所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系.，根據(jù)雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支.故，故軌

10、跡方程為：.根據(jù)題意知：，.當(dāng)共線時等號成立.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程，最短距離，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.15已知命題“任意”；命題“存在”.若命題“且”是真命題，則實數(shù)的取值范圍為_.【答案】【解析】判斷為真命題且為真命題，分別計算得到和或，得到答案.【詳解】“且”為真命題，故為真命題且為真命題.任意，即，故，即；存在，即，解得或.綜上所述：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)命題的真假求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.16已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個交點(diǎn)，若，則的值為_.【答案】【解析】不妨設(shè)在第一象限，故，且，故，解得答案.【詳解】橢圓與雙

11、曲線有公共焦點(diǎn)，不妨設(shè)在第一象限，故，且，.，即，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.17已知兩矩形與所在的平面互相垂直，若將沿直線翻折，使得點(diǎn)落在邊上（即點(diǎn)），則當(dāng)取最小值時，四面體的外接球的半徑是_.【答案】【解析】如圖所示：連接，為中點(diǎn)，連接，證明得到，取最小值時，四面體的外接球球心在平面的投影為，設(shè)球半徑為，則，解得答案.【詳解】如圖所示：連接，為中點(diǎn)，連接，矩形與所在的平面互相垂直，故平面.平面，故，又，故平面，平面，故.，當(dāng)為中點(diǎn)時等號成立，此時.四面體的外接球球心在平面的投影為，設(shè)球半徑為，則，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考

12、查了翻折問題，三棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.三、解答題18已知命題：“，使等式成立”是真命題（）求實數(shù)的取值集合；（）設(shè)不等式的解集為，若是的必要條件，求的取值范圍【答案】（1）（2）或.【解析】試題分析：（1）方程在有解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的值域，實數(shù)的取值集合可求；（2）是的必要條件，分、三種情況討論即可求的取值范圍(1) 由題意知，方程在上有解，即的取值范圍就為函數(shù)在上的值域，易得7分(2) 因為是的必要條件，所以8分當(dāng)時，解集為空集，不滿足題意 9分當(dāng)時，此時集合則，解得12分當(dāng)時，此時集合則15分綜上16分【考點(diǎn)】命題與邏輯、分類討論思想.19（本小題滿分12

13、分）如圖，三棱柱abc-a1b1c1中，ca=cb，ab=a a1，ba a1=60°.（）證明aba1c;（）若平面abc平面aa1b1b，ab=cb，求直線a1c 與平面bb1c1c所成角的正弦值?！敬鸢浮浚?）取ab的中點(diǎn)o，連接、，因為ca=cb，所以，由于ab=a a1，ba a1=600，所以，所以平面，因為平面，所以aba1c；（2）以o為原點(diǎn)，oa所在直線為x軸，所在直線為y軸建立如圖直角坐標(biāo)系，則，設(shè)為平面的法向量，則，所以為平面的一個法向量，所以直線a1c 與平面bb1c1c所成角的正弦值.【解析】（1）構(gòu)造輔助線證明線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直；（2）利用向量法進(jìn)

14、行求解.【考點(diǎn)定位】本題考查線面垂直的判定、線面垂直的性質(zhì)以及向量法求空間角，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力以及基本運(yùn)算能力.20在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，且到定點(diǎn)的距離比到軸的距離多1.（1）求曲線的方程；（2）點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，且在點(diǎn)的正上方，過點(diǎn)分別作傾斜角互補(bǔ)的直線、與曲線分別交于兩點(diǎn)（均在軸同側(cè)），過點(diǎn)且與垂直的直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】（1）直接根據(jù)拋物線方程定義得到答案.（2）設(shè)：，：，聯(lián)立方程得到，解得，故，計算原點(diǎn)到直線的距離為，得到面積.【詳解】（1）根據(jù)題意到定點(diǎn)的距離比到的距離相等，軌跡為拋物線.拋物線方程為：.（2

15、）計算得到，設(shè)：，：，.聯(lián)立方程：，解得，同理.，故，：，原點(diǎn)到直線的距離為.聯(lián)立方程，得到，故，故.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線軌跡方程，拋物線中的面積問題，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.21如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，且點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn).（1）求二面角的正弦值；（2）設(shè)為棱上的點(diǎn)，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長【答案】（1）；（2）【解析】（1）如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算平面的法向量為，平面的法向量為，計算夾角得到答案.（2）設(shè)，則，是平面的一個法向量，計算得到答案.【詳解】（1）側(cè)棱底面，故兩兩垂直.如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，.設(shè)平面的法向量為，則

16、，故，取，得到；設(shè)平面的法向量為，則，故，取，得到；故，故，故二面角的正弦值為.（2）設(shè)，則，易知是平面的一個法向量，故，解得，故.【點(diǎn)睛】本題考查了二面角，根據(jù)線面夾角求長度，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.22如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓的離心率為，過橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與當(dāng)直線斜率為0時，（1）求橢圓的方程；（2）求的取值范圍【答案】（1），（2）【解析】試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需兩個獨(dú)立條件. 一個是,另一個是點(diǎn)在橢圓上即，所以所以橢圓的方程為（2）研究直線與橢圓位置關(guān)系，關(guān)鍵確定參數(shù)，一般取直線的斜率， 當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，由題意知， 當(dāng)兩弦斜率均存在且不為0時，設(shè)直線的方程為，將直線的方程代入橢圓方程中，并整