不定積分例題與答案解析

1、第4章 不定積分容概要名稱主要容不設(shè)f(x) , x I，若存在函數(shù)F(x)，使得對任意x I均有F (x) f(x)疋或 dF(x) 1(x)dx，則稱F (x)為f (x)的一個原函數(shù)。積f (x)的全部原函數(shù)稱為 f (x)在區(qū)間1上的不定積分，記為分f (x)dx F(x) C的注：(1 )若f (x)連續(xù)，則必可積；(2 )若F(x),G(x)均為f(x)的原函數(shù)，概則F (x) G(x) C。故不定積分的表達式不唯一。念性性質(zhì)1 :dxf (x)dxf (x)或 d f (x)dxf (x)dx ；質(zhì)性質(zhì)2 : F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C ；性質(zhì)3 :

2、f (x)g(x)dxf (x)dxg(x)dx，,為非零常數(shù)。計設(shè)f (u)的 原函數(shù)為F(u) , u(x)可導(dǎo)，則有換兀公式：算第一換元f( (x) (x)dx f( (x)d (x) F( (x) C方積分法法(湊微分法)不第二類設(shè)x(t)單調(diào)、可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零，f (t) (t)有原函數(shù)疋換元積F(t),則積分法f(x)dxf( (t) (t)dt F(t) C F( 1(x) C分分部積分u(x)v (x)dx u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x)法有理函數(shù)積分若有理函數(shù)為假分式，則先將其變?yōu)槎囗検胶驼娣质降暮?；對?分式的處理按情況確定。本章 的地 位與 作用

3、在下一章定積分中由微積分基本公式可知-求定積分的問題，實質(zhì)上是求被積函數(shù)的原函數(shù)問題；后繼課程無論是二重積分、三重積分、曲線積分還是曲面積分，最 終的解決都歸結(jié)為對定積分的求解；而求解微分方程更是直接歸結(jié)為求不定積分。從這種意義上講，不定積分在整個積分學(xué)理論中起到了根基的作用，積分的問題會 不會求解及求解的快慢程度，幾乎完全取決于對這一章掌握的好壞。這一點隨著學(xué) 習(xí)的深入，同學(xué)們會慢慢體會到！課后習(xí)題全解習(xí)題4-11.求下列不定積分：知識點：直接積分法的練習(xí)一一求不定積分的基本方法。思路分析：利用不定積分的運算性質(zhì)和基本積分公式，直接求出不定積分!dxx x15思路:被積函數(shù)2 一x 2，由積

4、分表中的公式（2）可解。x 一 xdx523解：=x 2dxx2 Cx xr3(2)(3 x1= )dx思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。1 1解：(3x =)dx(x3仮1 1 1x 2 )dxx3dxx 2dx(3) (2x x2)dx思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì),將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。解：(2x x2)dx2xdxx2dx 1 x3 Cln2 3(4)、.x(x 3)dx思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì),將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。3解：.x(x 3)dxx2dx1x2dx(5)思路:觀察到3x4 3x21x213x2后，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)

5、分項,13x4 3x212 dx x 1分別積分。3x21x21dx3x2dx3dxx arcta n x Cx2(6) dx1 x思路:注意到2x1 x2，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項,x分別積分。2x 解：一1dx xdx xarctan x C.注：容易看出(6)兩題的解題思路是一致的。一般地，如果被積函數(shù)為一個有理的假分式, 通常先將其分解為一個整式加上或減去一個真分式的形式，再分項積分。(7)(2-+4-4)x2 x x x解:(x-1+x3-x4、4 )dxx1 23 2xln|x|x42思路:分項積分。丄32(F7廠x2)dx11xdx-dx2x43-x3 C.33 x

6、 3dx 4 x 4dx思路:分項積分。解：2.r=2)dxxdx 2dx 3arctan x2x2arcsin x C.(9)dx . 1 1 1思路：X , X . x ?看到 x x xx2 4 87x8，直接積分。7x8dx15(10)1x2(1-dxx2)15C.思路:裂項分項積分。解:1x2(1dxx2)dxxdxxarctan x C.(11)2xexe解:2xex e1dx1(e'1)(ex 1)dx(ex 1)dxx C.(12) 3x exdx思路:初中數(shù)學(xué)中有同底數(shù)幕的乘法：指數(shù)不變，底數(shù)相乘。顯然 3xex (3e)解：3xexdx(3e)dx 畧 c.In (

7、3e)(13) cot xdx思路應(yīng)用三角恒等式"cot2 x csc x 122解： cot xdx (csc x 1)dx cotx x C(14)3x5 2x3xdx思路:被積函數(shù)2 3x 5 2x2 5(),積分沒困難。3解:2 3x 5 2xdx(2 5(卽)dx2x(|)x51 n2 In 3C.”2 x ,解:cos d21(16)dx1 cos2xx(15) cos2 dx2思路:若被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶次方時，一般地先降幕，再積分。1 cosx11 .dx x si nx C. 2 2思路:應(yīng)用弦函數(shù)的升降幕公式,先升幕再積分。se£ xdx1 tanx C

8、.2& 1 1解:dxdx1 cos2x 2cos xcos2x ,(17)dxcosx sin x思路:不難，關(guān)鍵知道“ cos2xcos2 xsin2 x(cos x sin x)(cos xsin x) ”?！眂os2x ,解：dxcosx sin x,cos2x ,(18)2 dxcos x sin x(cosxsin x)dxsin x cosx C.思路侗上題方法，應(yīng)用“cos2x2 cos x2sin x ”，分項積分。cos2x解:2dxcos x sin xcos2 x.2sin x2 . 2 dx cos x sin x1廠dx sin x1廠xcos xC.csc

9、 xdx sec xdx cot x tan x(19)21 x2,應(yīng)用公式(5)即可。2(20)1 cos x , dx1 cos2x解:1 21tan x xsec xdxdxC22221 cos x dx1 cos2xarccosx C，求 f (x)。2、設(shè) xf (x)dx12 cos x21 cos x1 212sec x，則積分易得。1cos2x2cos x22思路:注意到被積函數(shù)知識點：考查不定積分(原函數(shù))與被積函數(shù)的關(guān)系。pl思路分析：直接利用不定積分的性質(zhì)1: 一 f(x)dx f (x)即可。dx解：等式兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得：xf(x)1f(x)_1_X * 1x23、設(shè)f

10、(x)的導(dǎo)函數(shù)為sinx，求f (x)的原函數(shù)全體。知識點：仍為考查不定積分(原函數(shù))與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：連續(xù)兩次求不定積分即可。解：由題意可知，f(x) sin xdx cosx C1所以f(x)的原函數(shù)全體為：(cosx Cjdxsinx Gx C2。4、證明函數(shù)1 2xe2exshx 禾口 exchx 者E是xechx- shx的原函數(shù)知識點：考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：只需驗證即可。e2x 由 d 1 2xd xd x2x解：e ，而 一(e) e shx e chx e“ chx shxdx 2dxdx25、一曲線通過點(e ,3)，且在任意點處的切線的

11、斜率都等于該點的橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求此 曲線的方程。知識點：屬于第12章最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實質(zhì)仍為考查原函數(shù)(不定 積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得曲線方程的一般式，然后將點的坐標(biāo)帶入方程確定具體的方程即可。d1解：設(shè)曲線方程為y f (x)，由題意可知：f(x)， f (x) In | x | C ；dxx2 2又點(e ,3)在曲線上，適合方程，有 3 ln(e ) C, C 1，所以曲線的方程為 f(x) In |x| 1.6、一物體由靜止開始運動，經(jīng)t秒后的速度是3t2(m/s)，問：(1) 在3秒后物體離開出發(fā)點的距離是多少？(2) 物體走完360米需要多少時間？知識點：屬于最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實質(zhì)仍為考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得物體的位移方程