中考數(shù)學(xué)壓軸題型研究——動點(diǎn)幾何問題解題方法（精編版）

1、動點(diǎn)問題靜態(tài)問題的劃分面積公式的使用不同情況的考慮例 1：（北京市石景山區(qū)2010 年數(shù)學(xué)期中練習(xí)）在abc中， b=60° ,ba=24cm,bc=16cm,(1) 求 abc的面積；(2) 現(xiàn)有動點(diǎn) p 從 a 點(diǎn)出發(fā)，沿射線ab向點(diǎn) b 方向運(yùn)動，動點(diǎn)q從 c點(diǎn)出發(fā)，沿射線cb也向點(diǎn) b 方向運(yùn)動。如果點(diǎn) p的速度是 4cm/秒，點(diǎn) q的速度是 2cm/秒，它們同時出發(fā)， 幾秒鐘后， pbq的面積是 abc的面積的一半？(3) 在第（ 2）問題前提下， p,q 兩點(diǎn)之間的距離是多少？b靜態(tài)問題的劃分線段長度的表示方程的構(gòu)建（相似）3例 4：（ 09 齊齊哈爾）直線yx46 與坐

2、標(biāo)軸分別交于a、b 兩點(diǎn)，動點(diǎn) p、q 同yc時從 o 點(diǎn)出發(fā)，同時到達(dá)a 點(diǎn)，運(yùn)動停止點(diǎn)q 沿線段 oa運(yùn)動，速度為每秒1 個單位長度，ba點(diǎn) p 沿路線 o b a 運(yùn)動（ 1）直接寫出a、b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；p（ 2）設(shè)點(diǎn) q 的運(yùn)動時間為t 秒， opq48的面積為 s ，求出 s 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式；oqax（ 3）當(dāng) s時，求出點(diǎn) p 的坐標(biāo)， 并直接寫出以點(diǎn)o、p、q 為頂點(diǎn)的平行四邊形的5第四個頂點(diǎn)m 的坐標(biāo)靜態(tài)問題的劃分線段長度的表示方程的構(gòu)建（相似）例 5：（ 2009 寧夏） 已知： 等邊三角形abc 的邊長為 4 厘米， 長為 1 厘米的線段mn 在 abc的邊 ab

3、上沿 ab 方向以 1 厘米/ 秒的速度向b點(diǎn)運(yùn)動（運(yùn)動開始時，點(diǎn)m 與點(diǎn) a重合，點(diǎn) n 到達(dá)點(diǎn) b 時運(yùn)動終止），過點(diǎn) m 、n分別作 ab 邊的垂線，與 abc的其它邊交于p、q 兩點(diǎn)，線段 mn 運(yùn)動的時間為t 秒（ 1）線段 mn 在運(yùn)動的過程中，t 為何值時，四邊形mnqp 恰為矩形？并求出該矩形的面積；（ 2）線段 mn 在運(yùn)動的過程中， 四邊形 mnqp 的面積為 s ，運(yùn)動的時間為t 求四邊形 mnqp 的面積 s隨運(yùn)動時間 t 變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t 的取值范圍c解：（ 1）過點(diǎn) c 作 cdab ，垂足為 d 則 ad2 ，q3當(dāng) mn 運(yùn)動到被 cd 垂直平分

4、時，四邊形mnqp 是矩形，即am時，2p四邊形 mnqp 是矩形，3t秒時，四邊形mnqp 是矩形2amnbcqpq pmamtan6033 ，s33°=四邊形 mnqp22amnb（ 2） 1°當(dāng) 0t1 時， s四邊形 mnqp1 (pmqn ·) mn3t322c13p2°當(dāng)1 t 2 時， s四邊形 mnqp( pmqn ·) mn 322q3°當(dāng) 2t3 時，s四邊形 mnqp1 (pmqn·) mn23t732amnb點(diǎn)評：此題關(guān)鍵也是對p、q兩點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類。靜態(tài)問題的劃分線段長度的表示方程的構(gòu)建（幾何

5、中等量關(guān)系）例 6：（2009 四川樂山）如圖（15），在梯形 abcd 中，dc ab，a90°， ad6 厘米，dc4厘米， bc 的坡度 i34，動點(diǎn) p 從 a出發(fā)以 2 厘米/ 秒的速度沿ab 方向向點(diǎn) b 運(yùn)動， 動點(diǎn) q 從點(diǎn) b 出發(fā)以3 厘米/ 秒的速度沿 bcd 方向向點(diǎn) d 運(yùn)動，兩個動點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)dc終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動的時間為t 秒（ 1）求邊 bc 的長；q（ 2）當(dāng) t 為何值時，pc 與 bq 相互平分；ap eb（ 3）連結(jié) pq，設(shè) pbq的面積為y，探求 y 與 t 的函數(shù)關(guān)系式，求t 為何值時，y 有最圖（

6、3）大值？最大值是多少？6.解：（ 1）作 ceab 于點(diǎn) e ，如圖（ 3）所示，則四邊形aecd 為矩形ce3aecd4， ceda6又i34， eb8， ab122 分eb4在 rt ceb中，由勾股定理得：bcce 2eb210（ 2）假設(shè) pc 與 bq 相互平分由dc ab，則 pbcq 是平行四邊形（此時q 在 cd 上）·· ·2222即 cqbp， 3t10122t解得 t，即 t秒時， pc 與 bq 相互平分55（ 3）當(dāng) q 在 bc 上，即100 t 時，作 qfab 于 f ，則 ce qf3qfbqqf3t9t119t9281，即 q

7、f s pbqpb·qf(122t·)=(t3)cebc610522555· · ·· · ·· ·· · · ·· ·· ···· ·· · ·· · ·· · ·· ·· · · ·· ·· &#

8、183;··· ··· · ·812當(dāng) t3 秒時，s pbq 有最大值為厘米 5當(dāng) q 在 cd 上，即10 t 14 時，33s pbq1 pb·ce122(122t )6 = 366t10102易知 s 隨 t 的增大而減小故當(dāng)t秒時，3s pbq 有最大值為36616厘米 3812綜上，當(dāng) t3 時，s pbq 有最大值為厘米 5例 7：（包頭）如圖，已知中點(diǎn) abc 中，abac10 厘米， bc8 厘米，點(diǎn) d 為 ab 的a（ 1）如果點(diǎn) p 在線段 bc上以 3 厘米/ 秒的速度由b 點(diǎn)向

9、 c 點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)q 在線段 ca上由 c點(diǎn)向 a 點(diǎn)運(yùn)動dq若點(diǎn) q 的運(yùn)動速度與點(diǎn)p的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1 秒后， 請說明理由； bpd與cqp 是否全等，bcp若點(diǎn) q 的運(yùn)動速度與點(diǎn)p的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn) q 的運(yùn)動速度為多少時，能夠使bpd與cqp 全等？（ 2）若點(diǎn) q 以中的運(yùn)動速度從點(diǎn)c出發(fā)， 點(diǎn) p 以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)b 同時出發(fā)， 都逆時針沿 abc 三邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間點(diǎn)p 與點(diǎn) q 第一次在 abc的哪條邊上相遇？解：（ 1） t1秒，bpcq313 厘米， ab10 厘米，點(diǎn) d 為 ab 的中點(diǎn)，bd5 厘米又 pcbcbp， bc8 厘米， pc835

10、 厘米， pcbd 又 abac ，bc ， bpd cqp vpvq ， bpcq ，又 bpd cqp ，bc ，則bppc4， cqbd5 ，點(diǎn) p，點(diǎn) q 運(yùn)動的時間 tbp433 秒， vqcq515t44315厘米/ 秒80（ 2）設(shè)經(jīng)過 x 秒后點(diǎn) p與點(diǎn) q 第一次相遇，由題意，得x3x4210 ，解得x秒3點(diǎn) p共運(yùn)動了 803380 厘米 8022824 ，點(diǎn) p 、點(diǎn) q 在 ab 邊上相遇，經(jīng)過80 秒點(diǎn) p 與點(diǎn) q 第一次在邊ab 上相遇3靜態(tài)問題的劃分線段長度的表示方程的構(gòu)建（相似）例 8：（09 濟(jì)南）如圖，在梯形 abcd 中， ad bc， ad3，dc5，

11、ab42， b45 動點(diǎn) m 從 b點(diǎn)出發(fā)沿線段bc 以每秒 2 個單位長度的速度向終點(diǎn)c 運(yùn)動；動點(diǎn) n 同時從 c 點(diǎn)出發(fā)沿線段cd以每秒 1 個單位長度的速度向終點(diǎn)d 運(yùn)動設(shè)運(yùn)動的時間為t 秒（ 1）求 bc 的長（ 2）當(dāng) mn ab 時，求 t 的值（ 3）試探究： t 為何值時， mnc為等腰三角形解：（ 1）如圖，過a、 d 分別作 akbc 于 k ， dhbc 于 h ，則四邊形adhk 是矩形 khad3在 rt abk 中，2akab gsin 45424222bkab gcos 4542 g224 在， rt cdh中，由勾股定理得，hc543 bcbkkhhc4331

12、0adad（2）如圖，過d 作 dg ab 交 bc 于 g 點(diǎn)，則四邊形adgb 是平行四邊形 mn ab mn dg bgad3 gc1037n由題意知，當(dāng)m 、 n 運(yùn)動到 t 秒時，cnt， cm102t dg mn nmcb dgc 又 ccncmtkch（圖）102tcbgmc50（圖） mnc gdc即cdcg57解得， t17（ 3）分三種情況討論：當(dāng)ncmc 時，如圖，即t102t t103當(dāng) mnnc 時，如圖，過n 作 nemca 于 edad n11n解法一：由等腰三角形三線合一性質(zhì)得ecmc22b102tm5tcbmh ec在 rt cen中， coscec5t 又在

13、 r（t圖d）hc中， coscch35（圖t）3解得t258nctcd5t5 cc，dhcnec90 nec dhc ncect5t即dchc5325t· · ·· · ·· ·· · ·· ···· ··· ···· ·· ·· · · ·· ·· ·&#

14、183;·· ··· ···· · ·8當(dāng) mnmc 時，如圖，過m 作 mfcn 于 f 點(diǎn).解法一：（方法同中解法一）fc1 nc1 t22adnfbh mc（圖）coscfc mc解法二：1 t2102t360解得 t517 cc，mfcdhc1 t90 mfc dhc2fcmc即102t60 thcdc3517102560綜上所述，當(dāng)t、 t或t時， mnc為等腰三角形3817例 9：（呼和浩特）如圖，在直角梯形abcd中， ad bc， abc90o ， ab12cm， ad

15、 8cm，bc22cm ， ab 為 o 的直徑，動點(diǎn) p 從點(diǎn) a 開始沿 ad 邊向點(diǎn) d以 1cm/s 的速度運(yùn)動， 動點(diǎn) q 從點(diǎn) c開始沿 cb邊向點(diǎn) b 以 2cm/s的速度運(yùn)動， p、q 分別從點(diǎn) a、c同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動設(shè)運(yùn)動時間為t ( s) ( 1) 當(dāng) t 為何值時，四邊形pqcd為平行四邊形？( 2) 當(dāng) t 為何值時， pq與 o 相切？apdo解： ( 1) 直角梯形abcd，ad bcpd qcbqc當(dāng) pdqc 時，四邊形pqcd 為平行四邊形由題意可知：apt，cq2tapd8t2t ， 3t88 ， t83obqc當(dāng)ts

16、時，四邊形pqcd 為平行四邊形3apd h（ 2）解：設(shè) pq與o 相切于點(diǎn) h ，過點(diǎn) p 作 pebc，垂足為 eoq 直角梯形 abcd， ad bcpeab 由題意可知：apbet，cq2tbqbccq222tbeqc22q ab 為o 的直徑，abcdab90°ad、bc 為o 的切線apph，hqbq在 rtpeq 中，pe 2eq 2pq 2122(223t )2(22t )即： 8t88t1440t 211t180 ， (t2)(t9)0t2， t97 分12因?yàn)?p 在 ad 邊運(yùn)動的時間為ad88秒，而 t98t9 （舍去）11當(dāng) t2 秒時， pq 與o 相切

17、例 10. 如圖，在矩形abcd中， bc=20cm，p， q，m，n 分別從 a，b，c， d 出發(fā)apnd沿 ad，bc，cb，da 方向在矩形的邊上同時運(yùn)動，當(dāng)有一個點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動邊的另一個端點(diǎn)時，運(yùn)動即停止已知在相同時間內(nèi)，若bq=xcm( xcm=3xcm， dn=x2cm0 )，則 ap=2xcm，（ 1）當(dāng) x 為何值時，以pq，mn 為兩邊 ,以矩形的邊（ ad 或 bc）的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形；（ 2）當(dāng) x 為何值時，以p， q，m ，n 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；bqmc（ 3）以 p，q， m， n 為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能

18、，請說明理由 解：（ 1）當(dāng)點(diǎn) p 與點(diǎn) n 重合或點(diǎn) q 與點(diǎn) m 重合時，以 pq，mn 為兩邊，以矩形的邊（ad 或 bc）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個三角形當(dāng)點(diǎn) p與點(diǎn) n 重合時，2由x2x20， 得 x1211，x2211（舍去） 因?yàn)?bq+cm= x3x4(211)20 ，此時點(diǎn) q與點(diǎn) m 不重合所以x211符合題意當(dāng)點(diǎn) q 與點(diǎn) m 重合時，由x3x20,得 x5 此時2dnx2520，不符合題意故點(diǎn)q 與點(diǎn) m 不能重合所以所求 x 的值為211 2（ 2）由（ 1）知，點(diǎn) q 只能在點(diǎn)m 的左側(cè)，當(dāng)點(diǎn) p在點(diǎn) n 的左側(cè)時，由20(x3x)20(2 xx )，解得 x10(舍去)，x22 當(dāng) x=2 時四邊形 pqmn 是平行四邊形當(dāng)點(diǎn) p在點(diǎn) n 的右側(cè)時，由20(x3x