2017-2018期末隨機過程試題及答案

1、隨機過程期末考試卷1設(shè)隨機變量x服從參數(shù)為的泊松分布，則x的特征函數(shù)為 。2設(shè)隨機過程 其中為正常數(shù)，和是相互獨立的隨機變量，且和服從在區(qū)間上的均勻分布，則的數(shù)學(xué)期望為 。3強度為的泊松過程的點間間距是相互獨立的隨機變量，且服從均值為 的同一指數(shù)分布。4設(shè)是與泊松過程對應(yīng)的一個等待時間序列，則服從 分布。5袋中放有一個白球，兩個紅球，每隔單位時間從袋中任取一球，取后放回，對每一個確定的t對應(yīng)隨機變量，則 這個隨機過程的狀態(tài)空間 。 6設(shè)馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，步轉(zhuǎn)移矩陣，二者之間的關(guān)系為 。7設(shè)為馬氏鏈，狀態(tài)空間，初始概率，絕對概率，步轉(zhuǎn)移概率，三者之間的關(guān)系為 。8設(shè)是泊松過程，且對于任意

2、則9更新方程解的一般形式為 。10記 。得 分評卷 人二、證明題（本大題共4道小題，每題8分，共32分）1.設(shè)為三個隨機事件，證明條件概率的乘法公式：。2.設(shè)x(t),t³0是獨立增量過程, 且x(0)=0, 證明x(t),t³0是一個馬爾科夫過程。3.設(shè)為馬爾科夫鏈，狀態(tài)空間為，則對任意整數(shù)和，步轉(zhuǎn)移概率 ，稱此式為切普曼科爾莫哥洛夫方程，證明并說明其意義。4.設(shè)是強度為的泊松過程，是一列獨立同分布隨機變量，且與獨立，令，證明：若，則。得 分評卷 人三、計算題（本大題共4道小題，每題8分，共32分）1.設(shè)齊次馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為，求其平穩(wěn)分布。2.設(shè)顧客以每分鐘2人

3、的速率到達，顧客流為泊松流，求在2分鐘內(nèi)到達的顧客不超過3人的概率。3.設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過去的天氣無關(guān)。又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為，而今天無雨明天有雨的概率為；規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0，無雨天氣為狀態(tài)1。設(shè)，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。4.設(shè)有四個狀態(tài)的馬氏鏈，它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣（）畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖；（）對狀態(tài)進行分類；（）對狀態(tài)空間進行分解。得 分評卷 人四、簡答題（本題6分）簡述指數(shù)分布的無記憶性與馬爾科夫鏈的無后效性的關(guān)系。一填空題1為。2 。3 4 5 。 6。 7。8 9。 10. 二證明題1.證明：左邊=右邊 2.證明：當(dāng)時，=，又因為=，故= 3.證明：= =，其意義為步轉(zhuǎn)移概率可以用較低步數(shù)的轉(zhuǎn)移概率來表示。 4.證明：由條件期望的性質(zhì)，而=，所以。 三計算題（每題10分，共50分）1. 解：解方程組和，即解得，故平穩(wěn)分布為2.解：設(shè)是顧客到達數(shù)的泊松過程，故，則 3.解：由題設(shè)條件，得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為，于是，四步轉(zhuǎn)移概率矩陣為，從而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率為。4. 解：（1）圖略； （2）均為零，所以狀態(tài)3構(gòu)成一個閉集，它是吸收態(tài)，記；0，1兩個狀態(tài)互通，且它們不能到達其它狀態(tài)，它們構(gòu)成一個閉集，記，且它們都是正常返非周期狀態(tài)；由于狀態(tài)2可達中的狀態(tài)，而中的狀態(tài)不可