單位“1”的使用與工程問題(教案)

1、 個性化教案 單位“1”的使用與工程問題適用學科數(shù)學。適用年級小六教師姓名適用區(qū)域課時時長（分鐘）120學生姓名知識點1.解答分數(shù)應用題，關鍵要通過分析數(shù)量關系，弄清每一道題把什么看作單位“1”，找出解題的數(shù)量關系式，再根據(jù)分數(shù)與除法的關系或一個數(shù)乘以分數(shù)的意義列式解答。2.工程應用題的工作，一般不給出具體數(shù)量。解題時首先要將全部工作看作單位“1”,再求出一個單位時間的工作量占總工作量的幾分之幾，即工作效率，再根據(jù)關系式進行解答。教學目標1.進一步提高分析問題和解決問題的能力。把分數(shù)應用題中的不同單位“1”進行轉(zhuǎn)化。2.掌握工程問題的基本數(shù)量關系式。教學重點1.解答較復雜的分數(shù)應用題時，會把題

2、中不同的單位”1”根據(jù)實際問題轉(zhuǎn)化統(tǒng)一的單位“1”，再解答。2.工程問題中，工作效率隱藏在條件中，及循環(huán)周期工程問題的解題方法。教學難點工程應用題的工作，一般不給出具體數(shù)量。解題時首先要將全部工作看作單位“1”,再求出一個單位時間的工作量占總工作量的幾分之幾，即工作效率，再根據(jù)關系式進行解答。教學過程 一、復習預習今天我們主要講解分數(shù)問題中轉(zhuǎn)化單位”1”的問題，通過學習懂得把不同的數(shù)量當做單位”1”，得到的分率可以在一定的條件下轉(zhuǎn)化。另外我們還要學習工程問題中的一些解題方法。 二、知識講解理論點1：如果甲是乙的，乙是丙的，則甲是丙的。理論點2：工作量=工作效率×工作時間，工作時間=工

3、作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時間。三、例題精析【例題1】單獨干某項工程，甲隊需100天完成，乙隊需150天完成。甲、乙兩隊合干50天后，剩下的工程乙隊干還需多少天？【解析】以全部工程量為單位1。甲隊單獨干需100天，甲的工作效【例題2】一項工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？【答案】天【解析】分析與解：本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意圖：從上圖可直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“

4、乙工作4天”等量替換題中“甲工作5天”這一條件，通過此替換可知乙單獨做這一工程需用20+4=24（天）甲、乙合做這一工程，需用的時間為【例題3】小明看一本故事書，第一天看了全書的還少5頁，第二天看了全書的還多3頁，還剩206頁。這本故事書一共有多少頁？ 【解析】分析：因為第一天、第二天都是與全書比較，所以應以全書的頁數(shù)為單位【例題4】一本文藝書，小明第一天看來全書的，第二天看了余下的，第三天看了再余下的，還剩下80頁。這本書共有多少頁？ 【解析】本題條件中單位“1”的量在變化，依次是“全書的頁數(shù)”、“第一天看后余下的頁數(shù)”、“第二天看后余下的頁數(shù)”，出現(xiàn)了3個不同的單位“1”。按照常規(guī)思路，需

5、要統(tǒng)一單位“1”，轉(zhuǎn)化分率。但在本題中，不統(tǒng)一單位“1”反而更方便。我們先把全書看成“1”，看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全書的四、課堂運用【基礎】 1. 某項工程，甲單獨做需36天完成，乙單獨做需45天完成。如果開工時甲、乙兩隊合做，中途甲隊退出轉(zhuǎn)做新的工程，那么乙隊又做了18天才完成任務。問：甲隊干了多少天？【解析】將題目的條件倒過來想，變?yōu)椤耙谊犗雀?8天，后面的工作甲、乙兩隊合干需多少天？”這樣一來，問題就簡單多了。答：甲隊干了12天。 2. 單獨完成某工程，甲隊需10天，乙隊需15天，丙隊需20天。開始三個隊一起干，因工作需要甲隊中途撤走了，結(jié)果一共用了6天完成這一工程

6、。問：甲隊實際工作了幾天？【解析】乙、丙兩隊自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊6天的工作量，剩下的是甲隊干的，所以甲隊實際工作了【鞏固】1.蓄水池有甲、乙、丙三個進水管，甲、乙、丙管單獨灌滿一池水依次需要10，12，15時。上午8點三個管同時打開，中間甲管因故關閉，結(jié)果到下午2點水池被灌滿。問：甲管在何時被關閉？【解析】上午9時。 2. 甲、乙二人同時從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長時間兩人相遇？【解析】這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時間、路程、速度三者的關系來解

7、答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時間？由此看出，這道題應該用工程問題的解法來解答。答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇。【拔高】1. 一水池裝有一個放水管和一個排水管，單開放水管5時可將空池灌滿，單開排水管7時可將滿池水排完。如果一開始是空池，打開放水管1時后又打開排水管，那么再過多長時間池內(nèi)將積有半池水？【解析】 2. 甲、乙、丙三人做一件工作，原計劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整天做完，并且結(jié)束工作的是乙。若按乙、丙、甲的順序輪流去

8、做，則比計劃多用天；若按丙、甲、乙的順序輪流去做，則比原計劃多用天。已知甲單獨做完這件工作需要9天，那么甲、乙、丙三人一起做這件工作，要用多少天才能完成？【解析】把甲、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無論誰先誰后，完成的總工作量都相同。所以三種順序前面若干輪完成的工作量及用的天數(shù)都相同（見下圖虛線左邊），相差的就是最后一輪（見下圖虛線右邊）。由最后一輪完成的工作量相同，得到課堂小結(jié)這一節(jié)課我們學習了分析單位“1”和工程問題，解決分數(shù)應用題的關鍵是找準”量“與“率”對立關系。對于題中的單位“1”是變化的，我們可通過題中的不變量看作單位“1”,通過把化統(tǒng)一單位”1“然后尋找量與率關系解題。

9、工程問題常常把工作量看作單位” 1”,再根據(jù)基本關系解題。課后作業(yè)【基礎】1、某工程由一、二、三小隊合干，需要8天完成；由二、三、四小隊合干，需要10天完成；由一、四小隊合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的順序，每個小隊干一天地輪流干，那么工程由哪個隊最后完成？【解析】與例4類似，可求出一、二、三、四小隊的工作效率之和是 2. 一項工程，甲、乙兩隊合作需6天完成，現(xiàn)在乙隊先做7天，然后么還要幾天才能完成？【解析】題中沒有告訴甲、乙兩隊單獨的工作效率，只知道他們合作們把“乙先做7天，甲再做4天”的過程轉(zhuǎn)化為“甲、乙合做4天，乙再單獨【鞏固】3、單獨完成一件工作，甲按規(guī)定時

10、間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時間3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的繼續(xù)由乙單獨做，那么剛好在規(guī)定時間完成。問：甲、乙二人合做需多少天完成？【解析】乙單獨做要超過3天，甲、乙合做2天后乙繼續(xù)做，剛好按時完成，說明甲做2天等于乙做3天，即完成這件工作，乙需要的時間是甲的，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要 4、 放滿一個水池的水，若同時打開1，2，3號閥門，則20分鐘可以完成；若同時打開2，3，4號閥門，則21分鐘可以完成；若同時打開1，3，4號閥門，則28分鐘可以完成；若同時打開1，2，4號閥門，則30分鐘可以完成。問：如果同時打開1，2，3，4號閥門，那么多少分鐘可以完

11、成？【解析】同時打開1，2，3號閥門1分鐘，再同時打開2，3，4號閥門1分鐘，再同時打開1，3，4號閥門1分鐘，再同時打開1，2，4號閥門1分鐘，這時，1，2，3，4號閥門各打開了3分鐘，放水量等于一【拔高】5、 一項工程，乙單獨干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，這樣交替輪流干，那么恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙干，第二天甲干，這樣交替輪流干，那么比上次輪流的做法多用半天完工。問：甲單獨干需要幾天？【解析】解：如果兩人輪流做完的天數(shù)是偶數(shù)，那么不論甲先還是乙先，兩種輪流做的方式完成的天數(shù)必定相同（見左下圖）。甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙 甲現(xiàn)在乙先比甲先要多用半天，所以甲先時，完成的天數(shù)一定是奇數(shù)，于是得到右上圖，其中虛線左邊的工作量相同，右邊的工作量也相同，說明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做8.5天。 6、某高速公路收費站對于過往車輛收費標準是：大客車30元，小客車15元，小轎車10元。某日通過該收費站的大客車和小客車數(shù)量之比是56，小客車與小轎車之比是411，收取小轎車的通行費比大客車多210元。求這天這三種車輛通過的數(shù)量【解析】大客車、小轎車通過的數(shù)量都是與小客車相比，如果能將56中的6與411中的4統(tǒng)一成4，6=12，就可以得到大客車小客車小轎車的連比。由56=1012和411=1233，得到大