大學(xué)線性代數(shù)試題及答案

1、2006學(xué)年第2學(xué)期線性代數(shù)（ a卷 ）一、 填空題 (本題共有30分, 每小題3分)1. 已知，則 .2. 設(shè)為4階方陣，且,則_.3. 已知,，則向量組的秩為 .4. 設(shè)是階方陣，且滿足, 則_.5. 已知方程組無解，則實數(shù)_.6. 設(shè)，當(dāng) 時，線性無關(guān).7. 設(shè)向量，且正交，則 .8. 若4階矩陣與相似，矩陣的特征值為，則行列式_ .9. 二次型的負(fù)慣性指標(biāo)為 .10. 在matlab軟件中，inv() 表示求_.二、單項選擇題（本題共21分，每小題3分）1. 設(shè)維向量和的模分別是4和8，與的距離是，則與的夾角為( ) （a） （b） （c） （d） 2. 設(shè)為5階方陣，且，是的兩個不同

2、的解向量，則的通解為（ ） （a） （b） （c） （d）3. 下列命題中與命題“階方陣可逆”不等價的是（ ）（a） （b）的列向量組線性無關(guān)(c）方程組有非零解 （d）的行向量組線性無關(guān)4. 已知，為3階非零矩陣，且滿足0,則（ ）（a）時的秩必為1 （b）時的秩必為2（c）時的秩必為1 （d）時的秩必為25. 當(dāng)下列哪一個命題成立時，階方陣與相似 （ ） （a） （b）（c）與有相同的特征值 （d）與有相同的特征值，且個特征值各不相同6. 設(shè)是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則下列向量組不能作為的基礎(chǔ)解系的是（ ） （a） （b）（c） （d）7. 設(shè)與均是階正定矩陣，分別為，的伴隨矩陣，則下列

3、矩陣必為正定矩陣的是（ ） （a） （b） （c）（為任意常數(shù)） （d）三、計算階行列式的值. (本題8分)四、設(shè)線性方程組，當(dāng)?shù)扔诤沃禃r，方程組(1) 有惟一解；（2）無解；（3）有無窮多解，并用基礎(chǔ)解系表示方程組的通解. （本題12分）五、設(shè)有向量,，問可否表示成，的線性組合?若可以,請給出一種表達(dá)式. （本題9分）六、證明若階方陣滿足,則的特征值只能是1或3.(本題8分)七、已知二次型通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)型，求參數(shù)及所用的正交變換矩陣.(本題12分)2006學(xué)年第2學(xué)期線性代數(shù)（ a卷 ）答案一. 1. 2. 81 3. 2 4. -( a + 3 e) 5. 3或-16. x 7. -

4、1 8. 24 9. 0 10. 10二.1. a 2. d 3. c 4. c 5. d 6. b 7. b三. = （4分）=（n+1）(6分) =（n+1）= n+1(8分)四（12分） = （+3） .（2分）（1）.當(dāng)0且-3時，方程組有唯一解.(4分)（2）.當(dāng)=-3時 =(7分) r(a)=2r()=3 方程組無解.(8分) （3）.當(dāng)=0時 a=（9分） r(a)=1<3 故方程組有無窮多解(10分) +=0 = =.(11分) 通解=+ ，其中，為任意實數(shù)（12分）五（9分） 設(shè)= (2分) （4分） r(a)=r()=3 方程組有解（5分） （7分） （8分） （9分）六（8分） 證明： 設(shè)為a的特征值， (2分) 則 為的特征值 （4分） 即 =0 (6分) 而 =1或3 （8分）七（12分） （1分） a的特征值為1,2,5 （2分） 即=2（6-）=10 a=1 (舍去-1) （