完全平方數(shù)知識講解

1、奧數(shù)：完全平方數(shù)1、把150這50個數(shù)的平方數(shù)從小到大排成一個多位數(shù)149162536，請問這個多位數(shù)共有（ ）位數(shù)字。分析與解答：1-3的平方只有一位數(shù)，共3個數(shù)字；4-9的平方有兩位數(shù)字，共2×6=12個數(shù)字；10-31的平方有三位數(shù)字，共有3×22=66個數(shù)字；32-50的平方有四位數(shù)字，共有4×19=76個數(shù)字；合計：3+12+66+76=157個數(shù)字。2、46305乘以一個自然數(shù)a，積是一個完全平方數(shù)，則最小的a是（ ）。分析與解答：46305=5×3×3×3×7×7×7所以a最小是5×

2、;3×7=105。3、祖孫三人，孫子和爺爺?shù)哪挲g之積是1512，而爺爺，父親，孫子三人的年齡之積是完全平方數(shù)，父親的年齡是（ ）歲。分析與解答：1512=3×3×3×2×2×2×7要使1521乘一個數(shù)的積是完全平方數(shù)，那么這個數(shù)最小是：3×2×7=42。所以父親的年齡是42歲。4、把一個兩位數(shù)的個位與十位數(shù)字交換后得到一個新數(shù)，它與原來的數(shù)字加起來恰好是某個自然數(shù)的平方，這個和數(shù)是（ ）。分析與解答：我們設(shè)這個數(shù)原來為10a+b，那么現(xiàn)在是10b+a，它們的和為11×（a+b）是一個完全平方數(shù)，

3、所以a+b必等于11，那么這個和數(shù)就為11×11=121。5、已知n/2是完全平方數(shù)，n/3是立方數(shù)，則n的最小值為（ ）。分析與解答：根據(jù)n/2是完全平方數(shù)，我們知道n里面有奇數(shù)個質(zhì)因數(shù)2，而聯(lián)系n/3是立方數(shù)，所以我們知道n里至少有3個質(zhì)因數(shù)2；同樣的道理我們知道n里至少有4個質(zhì)因數(shù)3，那么n最小值為2×2×2×3×3×3×3=648。6、已知一個自然數(shù)的平方的十位數(shù)是8，這個完全平方數(shù)的個位數(shù)字是（ ）。分析與解答：一個整數(shù)的完全平方數(shù)的末兩位數(shù)字只能由這個整數(shù)的末兩位數(shù)字所決定。我們設(shè)這個自然數(shù)N的末兩位數(shù)字為10a

4、+b，那么（10a+b)2=100a2+20a+b2=100a2+2ab×10+b2因為2ab是偶數(shù)，8也是偶數(shù)，那么b2要么不進位，要么進位為偶數(shù)。如果不進位，那么只能是b2=0，1，4，9，如果進位那么只能是b2=25，49，64，81。我們又知道如果一個完全平方數(shù)的末尾是0，那么必須是成對出現(xiàn)（偶數(shù)個），所以0可以排除；如果末尾是5，那么十位必須是2，所以5也可以排除。所以一個自然數(shù)的平方的十位數(shù)是8，這個完全平方數(shù)的個位數(shù)字是：1，4，9。比如：92=81；222=484；332=1089。7、如n減58是完全平方數(shù)，n加31也是完全平方數(shù)，則n是（ ）。分析與解答：這題目小

5、學(xué)里有點麻煩，但是如果知道平方差公式，那么就非常簡單了。平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)58+31=89，89是素數(shù)，只能是1×89，所以a+b=89,a-b=1我們可以知道a=45，所以n=45×45-31=1994。8、從1986，1989，1992，1995，1998這五個數(shù)中挑出不能寫成兩個自然數(shù)的平方差的數(shù)是（ ）。分析與解答：我們從上題只知道了平方差公式，我們還可以知道a+b與a-b的奇偶性是相同的。1986=1×1986=2×993=6×331；1989=1×1989；1992=2×996；1995

6、=1×1995；1998=1×1998=2×999=.從上面我們發(fā)現(xiàn)1986與1998不能寫成兩個奇偶性相同的數(shù)的乘積，所以1986和1998不能寫成兩個自然數(shù)平方差的形式。9、用240個5和若干個0組成的數(shù)，是否為完全平方數(shù)？分析與解答：我們知道240個5與若干個0組成的數(shù)的數(shù)字和是1200，1200能被3整除，所以這240個5和若干個0組成的數(shù)是3的倍數(shù)，如果它是完全平方數(shù)，那么它就必須是9的倍數(shù)，但是1200不能被9整除，所以用240個5和若干個0組成的數(shù)，不是完全平方數(shù)。10、是否存在自然數(shù)a,b使得2ab11×7是完全平方數(shù)？分析與解答：由于2

7、ab11×7是完全平方數(shù)，所以2ab11必是一個完全平方數(shù)×7，又由于3×7=21，所以這個完全平方數(shù)的尾數(shù)是3，而我們知道：完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9，所以不存在自然數(shù)a,b使得2ab11×7是完全平方數(shù)。11一所小學(xué)開運動會，全體學(xué)生在操場上排隊，如果每行24人，26行排不完，27行又有余；如果每行23人，27行排不完，28行又有余。后來體育老師調(diào)整了隊形，正好排成每行人數(shù)和行數(shù)相等的隊形，問這所小學(xué)共有學(xué)生多少人？ 分析與解答：從“如果每行24人，26行排不完，27行又有余”可以知道人數(shù)超過24×26=624而小于24

8、×27=648；從“如果每行23人，27行排不完，28行又有余”知道人數(shù)超過23×27=621，小于23×28=644。所以人數(shù)在624到644之間。又由于“正好排成每行人數(shù)和行數(shù)相等的隊形”，所以知道人數(shù)是一個完全平方數(shù)。我們知道24×24=576，25×25=625，26×26=676，所以這所小學(xué)共有625人。12小東和小明一起到果園去栽樹，準(zhǔn)備好的樹苗正好可以把這些果樹栽成每行每列相同棵數(shù)的方陣，每人栽好8棵就休息一次，當(dāng)他們把300多棵樹苗都栽好時，每人休息的次數(shù)相同，但最后一次小明栽的樹不到8棵。問他們共栽了多少樹？分析與

9、解答 ：從“當(dāng)他們把300多棵樹苗都栽好時”，我們可以知道這個數(shù)是一個為300多的完全平方數(shù)，在300多的完全平方數(shù)里只有18×18=324，19×19=361符合條件。又從“每人休息的次數(shù)相同，但最后一次小明栽的樹不到8棵”知道比16的倍數(shù)少，但是少的部分比8小，而324=16×20+（16-12），顯然12比8大，所以不是324；361=16×22+（16-7），7比8小，所以他們共栽了361棵。 13小亮邀請小強一起玩彈子游戲，小亮拿出一盒彈子，彈子的數(shù)量是一個完全平方數(shù)。他們每人10個、10個的輪流取出，但到最后一輪，小強只拿到6個。為了平均分配

10、，小亮給了小強2個，這樣兩人拿到的彈子就一樣多了。問這盒彈子共有多少個？分析與解答： 從“他們每人10個、10個的輪流取出，但到最后一輪，小強只拿到6個”我們可以知道這個完全平方數(shù)的尾數(shù)為6，根據(jù)”如果一個完全平方數(shù)的個位是6，那么這個數(shù)的十位一定是奇數(shù)”，這題目好象有點問題，只要尾數(shù)是6的完全平方數(shù)：16，36，196，256，.都符合條件。14兩個正整數(shù)的和比積小1997，并且其中一個是完全平方數(shù)，求較大數(shù)與較小數(shù)的差。分析與解答：我們設(shè)這兩個數(shù)為a,b(a>b)，根據(jù)題意得：ab-a-b=1997a(b-1)-b=1997a(b-1)-b+1-1=1997(a-1)(b-1)-1=

11、1997(a-1)(b-1)=1998根據(jù)ab-a-b=1997=ab-(a+b)，我們知道a,b的奇偶性肯定不同，所以a-1與b-1的奇偶性也不相同。1998=2×999=3×666=6×333=9×222=18×111=54×37由于有一個數(shù)是完全平方數(shù)，很顯然只有3+1=4才是完全平方數(shù)，所以另一個數(shù)為667，那么較大數(shù)-較小數(shù)=667-4=663。15設(shè)p,m,n為一組勾股數(shù)，其中p為奇質(zhì)數(shù)，且n>p, n>m。求證：2n-1必為完全平方數(shù)。分析與解答：由于p,m,n為一組勾股數(shù)，且n>p, n>m，所

12、以n2=m2+p2n2-m2=p2(n+m)(n-m)=p2又由于p為奇質(zhì)數(shù)，所以n+m=p2,n-m=1那么(n+m)+(n-m)=p2+12n-1=p2所以設(shè)p,m,n為一組勾股數(shù)，其中p為奇質(zhì)數(shù)，且n>p, n>m。那么2n-1必為完全平方數(shù)。16設(shè)平方數(shù)y2是11個相繼整數(shù)的平方和，求y的最小值。分析與解答：我們設(shè)這11個數(shù)分別為（x-5),(x-4),(x-3),(x-2),(x-1),x,(x+1),(x+2),(x+3),(x+4),(x+5)那么他們的平方和就是（x-5)2+(x-4)2+(x-3)2+(x-2)2+(x-1)2+x2+(x+1)2+(x+2)2+(

13、x+3)2+(x+4)2+(x+5)2=11x2+110=11×（x2+10)要使11×（x2+10)是完全平方數(shù)，那么x2+10最小是11，即x=1，y=1+10=11 。但是如果在小學(xué)里顯然x不能等于1，那么x至少等于23，即y=77。 17求自然數(shù)n，使Sn=9+17+25+（8n+1）=4n2+5n為完全平方數(shù)。分析與解答：4n2+5n=n(4n+5)若4n2+5n=n(4n+5)是完全平方數(shù)，那么4n+5就必是n的倍數(shù)，并且還是完全平方倍，我們設(shè)它為k2倍（k為自然數(shù)），即4n+5=k2n,4n+5=k2n(k2-4)n=5由于5是素數(shù)，所以k2-4與n里必有一個

14、為5，一個為1，若k2-4=1，那么k2=5，顯然k就不能為自然數(shù)，不符合；那么k2-4=5,則k2=9,k=3,符合條件，在這種情況下n只能等于1，所以只有n=1時， Sn=9+17+25+（8n+1）=4n2+5n才能為完全平方數(shù)。18是否存在一個2000位的整數(shù)，它是某整數(shù)的平方，且在十進制中至少有1999個數(shù)字是5?分析與解答：假如這2000位數(shù)字都是5，那么肯定不是完全平方數(shù)；假如有1999位是數(shù)字5，其他一位不是數(shù)字5，有如下情況：假如個位不是5，那么個位只能是0，1，4，6，9。如果個位是0，那么必須至少是2個才有可能是完全平方數(shù)，所以0可以排除；如果個位是1，4，9，那么必須十

15、位是偶數(shù)才有可能是完全平方數(shù)，所以1，4，9也可以排除；如果個位是6，那么這2000個數(shù)的數(shù)字和為10001，可以寫成3k+2的形式，而完全平方數(shù)只能是3k或3k+1的形式，所以6也可以排除；假如個位數(shù)字是5，那么十位只能是2，否則就不可能是完全平方數(shù)；如果十位數(shù)字是2，個位數(shù)字是5，那么這數(shù)為一個末位是5的奇數(shù)的平方我們可以表示為(5k)2=25k2,我們知道奇數(shù)的平方都是8的倍數(shù)+1，所以25k2=25(8n+1)=200n+25,所以百位上是偶數(shù)，但是百位上是5，所以也不是完全平方數(shù)。綜上所述，不存在一個2000位的整數(shù)，它是某整數(shù)的平方，且在十進制中至少有1999個數(shù)字是5。 19是否

16、存在兩個正整數(shù)a,b，使得（a2+2b）與（b2+2a）同為完全平方數(shù)？分析與解答:我們設(shè)ab,那么a2<a2+2ba2+2a<(a+1)2根據(jù)兩個連續(xù)自然數(shù)之間不存在其他完全平方數(shù),所以在a2與(a+1)2之間不存在a2+2b為完全平方數(shù),同理也不存在（b2+2a）為完全平方數(shù). 20若a,b為整數(shù)，求證：a4+b4+(a+b)4/2是完全平方數(shù)。分析與解答:a4+b4+(a+b)4=a4+2a2b2+b4+(a+b)4-2a2b2=(a2+b2)2+(a+b)4-2a2b2=(a2+b2)2-a2b2+(a+b)4-a2b2=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab)+(a+b)

17、2+ab(a+b)2-ab=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab)+(a2+b2+ab)(a2+b2+3ab)=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab+a2+b2+3ab)=(a2+b2+ab)(2a2+2ab+2b2)=2(a2+b2+ab)(a2+b2+ab)=2(a2+b2+ab)2所以a4+b4+(a+b)4/2=(a2+b2+ab)2是完全平方數(shù).21求k的最大值，使得37可以表示為k個連續(xù)正整數(shù)之和。 分析與解答：我們假設(shè)這k個數(shù)為a,a+1,a+2,.,a+k-1；那么這k個數(shù)的和為（a+a+k-1)k÷2=37所以，(2a+k-1)×k=2×37

18、我們可以知道2a+k-1>k, 且34>2×33,所以k最大為2×33=54.22若a,b為整數(shù)，且24a2+1=b2。求證：a,b中有且僅有一個是5的倍數(shù)。分析與解答：這題目說實話我沒找到好方法，想了一下，還是從尾數(shù)特征來說吧。假設(shè)a,b都是5的倍數(shù)，我們不妨設(shè)a=5m,b=5n，則24a2=24×25×m2=600m2，那么24a2的尾數(shù)只能為1，而b2=25n2的尾數(shù)只能為0或5，所以假設(shè)不成立；假設(shè)a,b都不是5的倍數(shù)，那么a只能是5m+1,5m+2,5m+3,5m+4;b只能等于5n+1,5n+2,5n+3,5n+4。若a=5m+1

19、，那么24a2+1=24×（25m2+10m+1)+1=600m2+240m+24+1，尾數(shù)為5；若a=5m+2，那么24a2+1=24×（25m2+20m+4)+1=600m2+480m+96+1，尾數(shù)為7；若a=5m+3，那么24a2+1=24×（25m2+30m+9)+1=600m2+720m+216+1，尾數(shù)為7；若a=5m+4，那么24a2+1=24×（25m2+40m+16)+1=600m2+960m+384+1，尾數(shù)為5；若b=5n+1,那么b2=（5n+1)2=25n2+10n+1,尾數(shù)只能是1或6；若b=5n+2,那么b2=（5n+2）

20、2=25n2+20n+4,尾數(shù)只能是4或9；若b=5n+3,那么b2=（5n+3)2=25n2+30n+9,尾數(shù)只能是4或9；若b=5n+4,那么b2=（5n+4)2=25n2+40n+16,尾數(shù)只能是1或6。從上面看不可能兩數(shù)都不是5的倍數(shù)。所以至少有一個是5的倍數(shù)，并且只有一個是5的倍數(shù)。23求證：若a是完全平方數(shù)，則a的正約數(shù)的個數(shù)一定是奇數(shù)；反之，若自然數(shù)a的正約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)，則a是完全平方數(shù)。分析與解答：一個整數(shù)被它的約數(shù)除后，所得的商也是它的約數(shù)，這樣的兩個約數(shù)可以配成一對.即：一個整數(shù)的約數(shù)和商是成對出現(xiàn)的，當(dāng)商與約數(shù)不出現(xiàn)相同情況時，這個數(shù)的所有約數(shù)應(yīng)該有偶數(shù)個。只有配成對的

21、兩個約數(shù)相同時，也就是這個數(shù)是完全平方數(shù)時，它的約數(shù)的個數(shù)就會減少一個，所以完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)為奇數(shù) 24求出滿足下列條件的所有三位數(shù)：這個三位數(shù)的平方的末三位數(shù)就是原來的三位數(shù)。分析與解答:設(shè) n=a×100+b×10+c 是這樣的三位數(shù)，則由題意， n（n1） 能被1000整除也就是能被53 × 23整除;由于n和n-1是相鄰的自然數(shù)，所以n和n-1是互質(zhì)的,且n<1000,所以只有兩種可能(1) n被125整除, 且（n-1）被8整除；(2) n被8整除, 且（n-1）被125整除； 所以由(1)可得n=625; 由(2)可得 n=37625若d為自

22、然數(shù)，求證：2d-1,5d-1,13d-1不可能都是完全平方數(shù)。分析與解答:設(shè) 2d1x2 （1） 5d1y2 （2） 13d1z2 （3）其中x、y、z是自然數(shù)由（1）式得，x必是奇數(shù)，假如我們設(shè)x2n1那么2d1（2n1）2，所以d2n22n1 （4）即d也必是奇數(shù)所以y、z都是偶數(shù)，設(shè)y2a，z2b，5d1=4a2 (5), 13d1=4b2 (6),(6)-(5)得：8d=4b2-4a2,所以2db2a2（ba）（ba）因為2d是偶數(shù)，所以b2-a2是偶數(shù)，所以a、b奇偶性相同，從而ba和ba都是偶數(shù)，即2d是4的倍數(shù)，因此d是偶數(shù)這與d是奇數(shù)相矛盾，假設(shè)不成立，命題得證。26加上40

23、0后就可以成為完全平方數(shù)的四位數(shù)有幾個？分析與解答:這個四位數(shù)加上400,最小是1400,最大也比10400小,而382=1444,1022=10404,所以符合條件的有(101-38)+1=64個。 27四個連續(xù)正整數(shù)的倒數(shù)和為19/20，則著四個整數(shù)的平方和是。分析與解答：因為1/3+1/4+1/5+1/6=19/20，所以這四個自然數(shù)是3，4，5，6。四個數(shù)的平方和為9+16+25+36=86。 28求證：對任意正整數(shù)k，2k-1和2k+1兩數(shù)中至少有一個不能等于兩整數(shù)的平方和。分析與解答：我們設(shè)2k-1=m2+n2,2k+1=a2+b2(2k-1)(2k+1)=(m2+n2)(a2+b

24、2)=4k2-1我們知道4k-13（mod4)又知道一個整數(shù)的平方要么是4的倍數(shù)，要么除以4余1，所以m2,n2,a2,b2除以4的余數(shù)只能是0或1，所以（m2+n2)(a2+b2）除以4的余數(shù)只能是0或2或4，所以等式左邊右邊（mod4)所以假設(shè)不成立，即對任意正整數(shù)k，2k-1和2k+1兩數(shù)中至少有一個不能等于兩整數(shù)的平方和。 29若a,b是相鄰兩個自然數(shù)，c=a×b，求證：a2+b2+c2是某個奇數(shù)的平方。分析與解答：根據(jù)題意我們可以假設(shè)b>a，b=a+1，那么c=a2+aa2+b2+c2=a2+(a+1)2+(a2+a)2=a2+a2+2a+1+(a2+a)2=(a2+

25、a)2+2(a2+a)+1=(a2+a+1)2由于a2與a的奇偶性相同，所以a2+a是一個偶數(shù)，那么a2+a+1就必定為奇數(shù)。命題得證。30使得m2+m+7是完全平方數(shù)的所有整數(shù)m的積是多少？分析與解答:若m2+m+7是完全平方數(shù),那么我們設(shè)m2+m+7=k2(k>0, kN)m2+m+7=k2m2+m+1/4+27/4=k2(m+1/2)2+27/4=k2(m+1/2)2-k2=-27/4(m+1/2+k)(m+1/2-k)=-27/4(2m+2m+1)/2×(2m-2k+1)/2=-27/4(2m+2k+1)(2m-2k+1)=-27由于k>0,(2m+2k+1)&g

26、t;(2m-2k+1),并且m,n都是整數(shù);27=27×(-1)=1×(-27)=9×3=3×(-9)2m+2k+1=27且2m-2k+1=-1,可以得到k=7,m=6;2m+2k+1=1且2m-2k+1=27,可以得到k=7,m=-72m+2k+1=9且2m-2k+1=-3,可以得到k=3,m=12m+2k+1=3且2m-2k+1=-9,可以得到k=3,m=-2所以使得m2+m+7是完全平方數(shù)的所有整數(shù)m的積是6×(-7)×1×(-2)=84.由于本人只是小學(xué)數(shù)學(xué)老師，水平有限，難免有些錯誤或不簡便的方法,如果有人有更好的

27、方法和建議，請在題目下面留言，謝謝支持！31設(shè)正整數(shù)a,b,c,d滿足a2+62=b2, d2+102=c2，求c2+d2-a2-b2的值。 分析與解答:這題目開始我還以為是用其他什么方法解答的,可是算了一通,發(fā)現(xiàn)不能化簡到一個數(shù)值,所以就想了其他方法.其實就是一道使用奇偶性解答的問題.a2+62=b2,b2-a2=36,(b+a)(b-a)=36,由于(b+a)與(b-a)的奇偶性相同,36又是偶數(shù),所以b+a=18,b-a=2,a=8,b=10;同樣的方法可以得到c=26,d=24.c2+d2-a2-b2=(c+a)(c-a)+(d+b)(d-b)=(26+8)(26-8)+(24+10)

28、(24-10)=34×32=1088.32使28+211+2n為完全平方數(shù)的n的值。分析與解答:28+211+2n=(24)2+2×24×26+2n要使(24)2+2×24×26+2n為完全平方數(shù),那么n必須為12.當(dāng)n=12時,28+211+212=(24+26)2. 33若A1,A2,A3,Ak是n的全部正約數(shù)，求證nk是完全平方數(shù)。分析與解答: 若k為偶數(shù),那么nk就肯定是完全平方數(shù),如果k為奇數(shù),那么n就有奇數(shù)個約數(shù),所以n就必為完全平方數(shù),所以nk也必是完全平方數(shù).34設(shè)正整數(shù)d不等于2,5,13，求證在集合2,5,13,d中可以找到

29、兩個不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方數(shù)。分析與解答:2d1、5d1、13d1這三個數(shù)中至少有一個不是完全平方數(shù)即可用反證法，設(shè)5d1x2 （1）5d1y2 （2）13d1z2 （3）其中x、y、z是正整數(shù)由（1）式知，x是奇數(shù)，不妨設(shè)x2n1代入有 2d1（2n1）2即d2n22n1 （4）（4）式說明d也是奇數(shù)于是由（2）、（3）知y、Z是偶數(shù)，設(shè)y2p，z2q，代入（2）、（3）相減后除以4有2dq2p2（qp）（qp）因2d是偶數(shù)，即q2p2是偶數(shù)，所以p、q同為偶數(shù)或同為奇數(shù)，從而qp和qp都是偶數(shù)，即2d是4的倍數(shù)，因此d是偶數(shù)這與d是奇數(shù)相矛盾，所以命題得證35求一

30、個三位數(shù)，使它等于一個自然數(shù)n的平方，且各位數(shù)字之積等于n-1。分析與解答:這題目一直沒找到好的方法，只能找到這個數(shù)為361=19 2.36接連寫出偶數(shù)個1形成的數(shù)A，再寫出一半那么多個的4形成的數(shù)B, 試征：A+B+1是完全平方數(shù)。分析與解答: 設(shè)A=111.11(2n個1),B=444.44(n個4)那么A+B+1=111.11(2n個1)+444.44(n個4)+1=111.11(2n個1)+4×111.11(n個1)+1=111.11(n個1)000.00(n個0)+5×111.11(n個1)+1=111.11(n個1)000.00(n個0)-111.11(n個1)+6×111.11(n個1)+1=111.1(n-1個1)088.88(n-1個8)9+6×111.11(n個1)+1=333.3²(n個3)+2×333.33(n個3)+1=(333.3+1)²所以A+B+1是完全平方數(shù)。37若某整數(shù)為完全平方數(shù)，且末四位數(shù)字相同，求這種整數(shù)。分析與解答: 性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。性質(zhì)2：奇數(shù)的平方的個位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)。性質(zhì)3：如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個位數(shù)字一定是6；反之，如果完全平方數(shù)的個