2022年2022年抽象函數(shù)解題方法與技巧

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1. 換元法抽象函數(shù)的解題技巧精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載換元法包括顯性換元法和隱性換元法,它為解答抽象函數(shù)問題的基本方法.2例1.已知 f1+sinx=2+sinx+cos 2x、求 fx精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解: 令 u=1+sinx、 就 sinx=u-10 u 2、 就 fu=-u2+3u+10 u 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載故 fx=-x+3x+10 u 22.方程組法運用方程組通過消參.消元的途徑也可以解決有關(guān)抽象函數(shù)的問題

2、；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 2. 設(shè)yf x為實數(shù)函數(shù)即x、 f x 為實數(shù) 、 且f x 2f 1 xx 、 求證 :| f x |22.3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解: 用 1x代換 x、 得f 1 x22f x 1 、 與已知得x 2x23xf x20精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由0 得 9fx 420、| f x |2.3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 3.已知 f x f x11 xx 、 x0且x1、 求fx.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解

3、:f x x - 1f x11x xx1x0且xx11x1、1x1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載用代換 x 得 : f xxf 1、x1xx精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載即 f x - 1xf 11x112x1 .x2再以11 - x代換1中的 x得 :精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f 1x1f 1x111x1、 即f1x11 - xf x 2x .1x3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載132x 3x 21精品學習資料精選學習資料 - - -

4、 歡迎下載由得 : f x 22x 22xx0且x1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3.待定系數(shù)法假如抽象函數(shù)的類型為確定的,就可用待定系數(shù)法來解答有關(guān)抽象函數(shù)的問題；例 4.已知 fx 為多項式函數(shù),且fx+1+fx-1=2x2-4x、 求 fx.解: 由已知得fx 為二次多項式,設(shè)fx=ax 2+bx+ca 0 代入比較系數(shù)得過且過:a=1、b= -2、c= -1、fx=x 2 -2x-1.4.賦值法精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載有些抽象函數(shù)的性質(zhì)為用條件恒等式給出的,可通過賦特別值法使問題得以解決；例 5.對任意實數(shù)x、y,均滿意fx+y 2

5、=fx+2fy2 且 f1 0、就 f2001= .解: 令 x=y=0、 得： f0=0、 令 x=0、y=1、 得 f0+1 2=f0+2f1 2、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f 10、f 11.令x2n、 y1、 得f n1f n22 f 11f n、 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載即 fn1 - fn1 、 故f n2n 、f 2001 22001.2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 6. 已知 fx 為定義在r 上的不恒為零的函數(shù),且對于任意的函數(shù)a、b 都滿意fab=afb+bfa.1求 f0 ,f1 的值； 2 判定 fx 的奇

6、偶性 、并證明你的結(jié)論;n3 如 f2=2、u n=f2 n n*、 求證 :u n+1>unn n*.解:1 令 a=b=0、得 f0=0、 令 a=b=1、 得 f1=0.2fx 為奇函數(shù) .由于 :令 a=b=-1、 得 f-1-1=-f-1-f-1、f-1=0、故 f-x=f-1x= -fx+xf-1= -fx、故 fx 為奇函數(shù) .3 先用數(shù)學歸納法證明:un=f2 n>0n n* 略5.轉(zhuǎn)化法通過變量代換等數(shù)學手段將抽象函數(shù)具有的性質(zhì)與函數(shù)的單調(diào)性等定義式建立聯(lián)系,為問題的解決帶來極大的便利.例 7.設(shè)函數(shù) fx 對任意實數(shù)x、y,都有 fx+y=fx+fy、如 x&g

7、t;0 時 fx<0、 且 f1= -2、 求 fx在-3 ,3 上的最大值和最小值.解: 令 x=y=0、 得 f0=0、 令 y=-x、 得 f-x+fx=f0=0、即 fx 為奇函數(shù) .設(shè) x1<x 2、就 x 2-x 1>0、由已知得fx 2-x 1<0、 故 fx 2=fx 2-x1+x 1 =fx 2-x 1 +fx 1< fx 1.所以 fx 為 r 上的減函數(shù) 、又 f3=f1+f2=-6、f-3=6.故 fx 在 -3、3 上的最大值為6、最小值為 -6.例 8.定義在 r+ 上的函數(shù) fx 滿意 : 對任意實數(shù)m、fx m=mfx; f2=1.

8、1 求證 :fxy=fx+fy對任意正數(shù)x、y 都成立 ;2 證明 fx 為 r+ 上的單調(diào)增函數(shù);3 如 fx+fx-3 2、求 x 的取值范疇 .解:1 令 x=2 m、y=2 n、其中 m、n 為實數(shù) 、就 fxy=f2 m+n =m+nf2=m+n.2又 fx+fy=f2m+f2 n=mf2+nf2=m+n、所以 fxy=fx+fy精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 2 證明 : 設(shè)0x1x 2 、 可令 mn且使 x 12m 、 x2 n 、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由1 得f x 1 f x 2 f x1

9、 x 2f 2m n mnf 2mn0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載故 fx 1<fx 2、即 fx 為 r+上的增函數(shù) .3 由 fx+fx-3 2 及 fx的性質(zhì) 、 得 fxx-3 2f2=f2解得3<x 4.6.遞推法精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載對于定義在正整數(shù)集n* 上的抽象函數(shù)、用遞推法來探究,假如給出的關(guān)系式具有遞推性,也常用遞推法來求解.例 9.為否存在這樣的函數(shù)fx、 使以下三個條件: fn >0、n n; fn 1+n2 =fn 1fn 2、n1、n2 n* ;f2=4 同時成立 .如存在 、求出函數(shù) fx

10、 的解析式；如不存在,說明理由.解: 假設(shè)存在這樣的函數(shù)fx、 滿意條件 、得 f2=f1+1=4、 解得 f1=2.又 f2=4=2 2、f3=2 3、由此猜想 :fx=2 xx n* 數(shù)學歸納證明略）例 10.已知 fx 為定義在 r 上的函數(shù),f1=1、 且對任意 x r 都有 fx+5 fx+5、fx+1 fx+1.如 gx=fx+1-x、 就 g2002= .解: 由 gx=fx+1-x、得 fx=gx+x-1.所 以 gx+5+x+5-1 gx+x-1+5、gx+1+x+1-1 gx+x-1+1即gx+5 gx、gx+1 gx.所以 gx gx+5 gx+4 gx+3 gx+2 g

11、x+1、 故 gx=gx+1又 g1=1、 故 g2002=1.22例 11.設(shè)定義在 r 上的函數(shù) fx、 滿意當 x>0 時、fx>1、 且對任意 x、y r、有 fx+y=fxfy、f1=2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1 解不等式f 3xx4、 ; 2解方程 f x1 f x23f21.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解:1 先證 fx>0、 且單調(diào)遞增,由于fx=fx+0=fxf0、x>0時 fx>1、 所以 f0=1.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載又f xf x2xx2 f 220、 假設(shè)存在某個 x or

12、 、 使 f x o 0、就精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載fx=fx-xo+x o=fx-x ofx o=0、與已知沖突,故fx>0任取 x1、x2 r 且 x1<x 2、就 x 2-x 1>0、fx 2 -x1>1、所以 fx 1-fx 2=fx 2-x 1+x 1-fx 1=fx 2-x 1fx 1-fx 1=fx 1fx 2-x 1-1>0.所以 x r 時、fx 為增函數(shù) . 解得 :x|1<x<22f1=2、f2=2、f3=8、原方程可化為:fx 2+4fx-5=0、 解得 fx=1 或 fx=-5 （舍 由1 得 x=0.例

13、 12.已知函數(shù)fx 對任何正數(shù)x、y 都有 fxy=fxfy、且 fx 0、當 x>1 時、fx<1. 試判定 fx在0、+ 上的單調(diào)性 、并說明理由 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解: 對xr有f xf xx f 2 x 0、 又 f x0、故f x 0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載設(shè)x1 、 x 2r、 且x 1x、 就 x 22x11、 就精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f x 2 f x 2x 1x 1 f x 2 x1f x 1 f

14、 x 2 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f x1 f x 1 f x 1 x 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所以 fx 1>fx 2、故 fx 在 r+ 上為減函數(shù) .才能訓練精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1. 假如 f xyf x f y、且 f 12、 就f 2f 1f 4f 3f 6f 5f 2000f 2001的值為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載a.1999b.2000c.2001d.20022.已知不恒為零的函數(shù)fx 對任意實數(shù)x、y 都滿意 fx+y+fx-y=2fx+fy、就 fx 為a.

15、偶函數(shù)b.奇函數(shù)c.既為奇函數(shù)又為偶函數(shù)d. 非奇非偶函數(shù)精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3. 定義在實數(shù)集上的函數(shù)的值為 .f x 滿意 f x11f x1f x1 、就f 1f 2f 31f 2000精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4.已知函數(shù)f x 滿意 af x bf 1 xcx 、其中 a、 b、 c為不為零的常數(shù)、 且ab、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載就 fx= .f x cax 2 a2bb .2 x精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下

16、載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載5. 定義在 1、1上的函數(shù)f x 滿意: 1 對任意 x 、 y1、1、 都有 f xf y f xy 1xy精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2 當 x -1、0 時 、有 fx>0. 求證 : fx 為奇函數(shù)；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（）1f 111f 191f 2n5n1f . 53精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解:1易證 fx為奇函數(shù)；（2）易證 fx在-1、0、0、1上為單調(diào)遞減函數(shù).111精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載又f n21f 5n5n12n31fn 1n

17、2n312n3fn2n3111n2n31f n2f 1n3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f 1 11f 1 19f 1n 25n f 1 53f 1 4 f 14f 15f 13f 1n3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載又f 1 n30、f 1 3f 1n3f 1.命題成立3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載6. 定義域為 r的函數(shù) fx 滿意：對于任意的實數(shù)x ,y都有 fx+y=fx+fy成立,且當 x0時fx0恒成立 .1 判定函數(shù) fx 的奇偶性,并證明你的結(jié)論；2 證明 fx 為減函數(shù)；如函數(shù)fx

18、 在-3 , 3）上總有 fx 6成立,試確定 f1 應滿意的條件；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3解關(guān)于 x的不等式12f axnf x 12f a xnf a、 n為一個給定的自然數(shù)、 a0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解: （ 1）由已知對于任意x r, y r, f （ x+y） =f （ x） + f （ y）恒成立令x=y=0 ,得 f（ 0+0 ） = f （0） + f （ 0）, f （ 0） =0令x=-y ,得 fx-x = f x + f -x =0對于任意 x ,都有 f -x = - f x f x 為奇函數(shù) .（2）設(shè)任意 x1, x2 r且x1 x2,就 x 2-x 1 0,由已知 f（ x 2-x 1） 0（ 1） 又f （x 2-x 1） = f （x2 ）+ f （ -x 1） = f （ x 2） - f （ x1）（ 2）由（ 1）（ 2）得 f x1 f x 2、 依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義知f x 0在 -, + 上為減函數(shù) .f x 在-3 , 3 上的最大值為f -3 .要使 f x 6恒成立,當且僅當f -3 6,又 f（ -3）= - f （ 3）= - f （ 2+1 ）=- f （ 2）+ f （ 1）= - f （ 1） +