光學習題課（精編版）

1、1 幾何光學習題課1 基本知識在經(jīng)典物理的范疇內(nèi)，光是電磁播，其傳播規(guī)律由麥克斯韋方程組來描述，但由于光的波長很短，在研究的問題中涉及到的尺度遠大于光波波長時，光的波動性可以忽略，用光線來取代波線，由此建立起來的光傳播理論就是所謂的幾何光學。幾何光學在方法上是幾何的，在物理上不涉及光的本質(zhì)。1.折射率幾何光學的三個定律全反射折射率的定義：vcn，c是光在真空中的速度，v是光在該種媒質(zhì)中的傳播速度；相對折射率的定義：1212nnn。光的直線傳播定律：在均勻媒質(zhì)中光沿直線傳播。光的反射和折射定律：（1）反射線和折射線都在入射面內(nèi)，并分居在法線的兩側；（2）反射角等于入射角；（3）折射角與入射角的正

2、弦比與入射角無關，是一個與媒質(zhì)和光的波長有關的常數(shù)（相對折射率）。 （斯涅耳定律）全反射：當光線從光密媒質(zhì)（2n） 射向光疏媒質(zhì)（21nn）時 ， 當 入 射 角 等 于 或 大 于 某 一 角 度 時 （ 臨 界 角121/sinnnic） ， 折射光線消失， 光線全部反射的現(xiàn)象。2 2. 棱鏡與色散偏向角：11ii，1i：入射角，1i：出射角；最小偏向角產(chǎn)生的充要條件：11ii或22ii作用：用來測透明介質(zhì)的折射率：)2sin(/)2sin(minn。色散產(chǎn)生的原因：介質(zhì)的折射率n是光束波長的函數(shù)，)(nn棱鏡可以用做光譜儀，進行光譜分離。3. 光程費馬原理光程：pqndlqp)(，光程可

3、以理解為在相同的時間內(nèi)光線在真空中傳播的距離。注意，光程是一個非常重要的一個概念，在后面的課程中研究光的干涉、衍射、位相延遲時要經(jīng)常用到。費馬原理： qp兩點間光線的實際路徑是光程)(qp為平穩(wěn)的路徑。數(shù)學表達式為：0pqndl注意：費馬原理的實質(zhì)是揭示光線在媒質(zhì)中沿什么路徑傳播。4. 光的可逆性原理3 當光線的方向反轉(zhuǎn)時，光線將沿著同一路徑傳播。5. 共軸球面組的傍軸成像（1） 、物（像）點、物（像）的焦點、物象的虛實，物（像）正立倒立的概念；（2） 、符號法則：對于折射成像：a、入射光線從左到右；b 若物點在球面鏡頂點之左，則物距大于零，若物點在球面鏡頂點之右，則物距小于零；c、若像點在球

4、面鏡頂點之右，則像距大于零，若像點在球面鏡頂點之左，則像距小于零；d、球心在球面鏡頂點之左， （凹面鏡），半徑小于零，球心在球面鏡頂點之右， （凸面鏡），半徑大于零；e、從光軸轉(zhuǎn)到光線的方向為逆時鐘方向，交角為正，順時鐘方向為負；f 、從法線轉(zhuǎn)到光線的方向為逆時鐘方向，交角為正，順時鐘方向為負；g、對于反射成像，若像點在球面鏡頂點之右，則像距小于零，若像點在球面鏡頂點之左， 則像距大于零。（3） 、反射球面鏡物像距公式：rnnsnsn；4 或：1sfsf， 其中：nnnrf，nnrnf橫向放大率：snnsv（4） 、反射球面鏡物像距公式：rss211；或：fss111，其中：rff2橫向放大率

5、：ssv（5） 、注意上述各物理量的符號以及正負與物象的虛實，正立倒立的關系。放大率為負值，成倒立的像；放大率為正值，成倒立的像物（像）距大于零 : 實物（像）；物（像）距小于零：虛物（像）。放大率絕對值大于1，像放大；放大率絕對值小于 1，像縮小。（6） 、球面反射鏡的作圖規(guī)律（適用于平面鏡）：(a) 平行于主光軸的近軸入射光線，經(jīng)球面反射后，其反射光線通過主焦點；(b) 過主焦點的入射光線，經(jīng)球面反射后，其反射光線和主光軸平行；5 (c) 通過或指向球面曲率中心的入射光線，在投射到球面后其反射光線沿原方向返回；(d) 過反射鏡頂點的入射光線，其反射光線位于以主光軸為法線的另一側，反射角等于

6、入射角。6. 球面折射鏡的作圖規(guī)律： 與球面反射鏡的作圖規(guī)律相似，只是物像的焦距不一樣。7. 薄透鏡透鏡是由兩個折射球面鏡組成的光具組，兩個球面之間是透明的媒質(zhì)。兩個折射球面的成像公式：11111sfsf，12222sfsfdss12，其中d為組成透鏡兩個球面頂點之間的距離，對于薄透鏡，0d。薄透鏡的物像距公式：1sfsf，其中：21rnnrnnnfll，21rnnrnnnfll，n、 n、ln分別為物方空間、像方空間、透鏡媒質(zhì)的折射率。當1 nn的情況下，6 )11)(1(21rrnnffl（磨鏡者公式），物像距公式變?yōu)椋篺ss111。薄透鏡的物像距公式中各物理量的符號和作圖方法與球面鏡的規(guī)

7、則一樣。習題分析與解答1、 （p25:16 題）極限法測液體折射率的裝置如圖所示，abc是直角棱鏡，其折射率gn為已知，將待測液體涂一薄層于其上表面ab ，覆蓋一塊毛玻璃。 用擴展光源在掠入射的方向照明。從棱鏡的ac面出射的光線的折射角有一下限 i（用望遠鏡觀察，則在視場中出現(xiàn)有明顯分界線的半明半暗區(qū)）試證明待測液體的折射率n可按下式算出：sin2inng。用這種方法測液體的折射率，測量范圍受什么限制。 分析與解答 ：在 ab面入射角較小的光線，在ac面出射時，折射角較大，以折射角下限 i出射的光線7 1在 ab面的入射角為090，對于 e點，sinsinidefng對于 d點，090sins

8、innedfng又defedf090所以edfnngsinggggggninnindefndefnsin)sin(1sin1cos2222（這里毛玻璃的作用是增加散射）8 9 10 4、 （p55:1 題）根據(jù)反射定律推導球面反射鏡的物像距公式和焦距公式。 （以凹面球面反射鏡為例） 分析與解答 ：先作出對應的光路圖，并注意各量的正負號的選取。如圖ui,iu在傍軸條件下，rhshu，shu又由反射定律知 ii所以，uuhhhhrssr即：rss211令 s，則：2rfs令s，則：2rfs即：2rff5、 （p55:3 題）凹面鏡的半徑為40cm ，物體放在何處成兩倍的實像？放在何處成兩倍的虛像？

9、 分析與解答 ：首先要搞清楚這里講的凹面鏡成像是反射還是折11 射成像？ 一般來說，題中沒有指明的話，是指反射鏡成像，對于凹面鏡，cmr40。成兩倍的實像，0s，2/ ssv，所以由凹面反射鏡成像公式：rss211可得：cmss3021（像是倒立的）。（如果實像是正立的，由于0s，0v則要求0s，那意味著是虛物成像，不合題意。 ）成兩倍的虛像，0s，2/ ssv，可以求得：cmss1021（像是正立的）。6 （p55: 4 題）要把球反射鏡前10cm 處的燈絲成像于3m 處的墻上，鏡形應該是凸的還是凹的？半徑應為多大？這時象放大了多少？12 分析與解答 ：要成像于墻面上，像必須是實像，球反射鏡

10、前的實物要成實像，所以球面反射鏡必須是凹的。由因為0s、0s，所以cms10，cmms3003，由 凹 面 反 射 鏡 成 像 公 式 ：rss211可得：cmr4.1931150放大率：30/ ssv（像是正立的實像）7. （p55: 6 題）按已約定的正負符號法則（） （）（） （） （）等，標出下列各圖中的物距s、像距 s、曲率半徑r、光線傾角u、 u的絕對值。比較各圖中折射率n、 n的大小，指明各圖中的物、像的虛實。 (1) (2) (3) (4) 13 分析與解答 ：(1) 0s、0 s、0r、0u、0 u、 nn實物、實像。(2) 0s、0 s、0r、0u、0 u、 nn虛物、實像

11、。(3) 0s、0 s、0r、0u、0 u、 nn實物、虛像。(4) 0s、0 s、0r、0u、0 u、 nn虛物、虛像。8、 （p56: 8 題）若空氣中一均勻球形透明體能將平行光束匯聚于其背面的頂點上， 此透明體的折射率應等于到少？ 分析與解答 ：如圖所示， 這是一個折射問題，設空氣的折射率為n（其值取為 1.00 ） ，均勻球形透明體的折射率為 n，平行光束照過來，相當于物距s，匯聚于均勻球形透明體背面的頂點上，相當于像距rs2（是實像0 s） ，則由折射球面物像距公式：14 rnnsnsn可得：00.2 n。9、 （p56: 9 題）如圖，一平行平面玻璃的折射率為n，厚度為h，點光源q

12、發(fā)出的傍軸光束（接近于正入射的光束）經(jīng)上表面成像于1q; 穿過上表面后在下表面反射，在從上表面折射的光束成像于2q。證明1q與2q之間的距離為nh/2。 分析與解答 ：（1） 平面鏡可以看著是半徑為無窮大的球面鏡。（2） 這是三次成像問題：第一次成像有兩個，一是經(jīng)上表面 (a 面)折射，成像為1q（虛象，在上表面上方），二是經(jīng)上表面反射成像于1q（虛象，在上表面下方） ；第二次是折射光線經(jīng)下表面（b面）反射（以1q為虛物） ，成像為2q（虛象，在下表面下方） ；第三次是下表面反射的光線經(jīng)上表面折射（以2q為虛物）成像于2q（虛15 物，在下表面下方）。（3）現(xiàn)在要證明的是1q與2q之間的距離為

13、nh/2。如圖所示，設q離 a 面的距離為1s，q第一次 經(jīng) a面折射成像1q的像距為1s，則：011rnnsnsn（r） ，111nssnns，（在 a面上方） 。q第一次 經(jīng) a面反射成像1q的像距為 1s，11 ss， （在 a面下方） 。第二次 經(jīng) b面反射成像2q距 b面的距離為hnss12， （這里采用了近似 ）距 a面的距離為hnss2 12。第三次 經(jīng) a面折射成像于2q，033snsn，hnsss2 123)2(133nhsnss1q與2q之間的距離為nhsnhssss2)2( 1113。10、 （p56: 10題）如圖，一16 會集光束本來交于p 點，插入一折射率為1.50

14、 的平面平行玻璃板后，像移至p點，求玻璃板的厚度t 。 分析與解答 ：本題是 p點經(jīng)過兩次平面（半徑為無窮大的球面）折射成像于 p點（虛物成虛象）。要用到的公式為：0rnnsnsn（r）所以：111sns，122ssn。考慮到：)(12tss，所以：ntnss)12。tnnstspp1)()(12，所以：1ppnnt，代入有關數(shù)據(jù)可得：mmt9。（從上述可知 t 的結果與 p點到玻璃板的距離無關， 題中 15cm的數(shù)據(jù)是多余的。）11、 （p69: 1 題）某透鏡用折射率50.1n的玻璃制成，它在空氣中的焦距為10.0cm， 它在水中的焦距是多少？（水的折射率為4/3 。 ） 分析與解答 ：1

15、7 本題直接應用公式即可算出。21rnnrnnnfll，)11)(1(121rrnffl空氣空氣，)11)(1(121rrnnffl水水水，11/水空氣水nnnffll，將題中給出的參數(shù)代入上式即可求出：cmf40水。12、 （p70: 2題）一薄透鏡折射率為1.50 ，光焦度為5.00d，將其浸入某液體，光焦度變?yōu)?1.00d 。求此液體的折射率。 分析與解答 ：設透鏡折射率為ln，液體的折射率為2n，空氣的折射率為1n。光焦度：)11)(1(1210rrnnfpl。所以：)1/()1(2121nnnnppll18 將已知條件代入上式即可求得：502.12n。13、 （p71: 8 題）屏幕

16、放在距物 100cm遠，二者之間放一凸透鏡。當前后移動透鏡時，我們發(fā)現(xiàn)透鏡有兩個位置可以使物成像在屏幕上。 測得這兩個位置之間的距離為 20.0cm，求（ 1）這兩個位置到幕的距離和透鏡的焦距； （2）兩個像的橫向放大率。 （3）畫出一種情形的成像光路圖。 分析與解答 ：令屏幕與物之間的距離為l，則：cmssl100由凸透鏡成像公式fss111可得：02sfsls2421lflls，2422lflls又兩次成像的物距為：cmlflsss0.204221cmlslf0 .244)(22，cms0 .401，cms0.602；橫向放大率：32111ssv，23222ssv作圖：19 14. （p7

17、1: 11 題）一光學系統(tǒng)由一焦距為5.0cm 的會聚透鏡 l1和一焦距為 10.0cm 的發(fā)散透鏡 l2組成， l2在l1之右 5.0cm。在 l1之左 10.0cm 處置一小物， 求經(jīng)此光學系統(tǒng)后所成的像的位置和橫向放大率。用作圖法驗證計算結果。 分析與解答 ：這是兩次成像問題， 設對于1l， 其物像距分別為1s、1s，設對于2l，其物像距分別為2s、2s，1l和2l之間的距離為d，則：)(12dss，有透鏡的成像公式fss111和已知條件可得：0.5110.1011s，0.1011)0.5(121ss解得：cms0.101，cms0.102，cms0.52橫向放大率：0. 1111ssv，0.2222ssv總的橫向放大率：0. 221vvv20 15. （p65: 例題 1） 凸透鏡 l1和凹透鏡 l2的焦距分別為 20.0 和 40.0 。l2在 l