實數(shù)的相關(guān)概念（精編版）

1、第一講實數(shù)一、實數(shù)的相關(guān)概念：1.實數(shù)的分類：正整數(shù)整數(shù)零負整數(shù)有理數(shù)有盡小數(shù)或無盡循環(huán)小數(shù)正分數(shù)實數(shù)分數(shù)負分數(shù)正無理數(shù)無理數(shù)無盡不循環(huán)小數(shù) 負無理數(shù)2. 偶數(shù)：為自然數(shù)）nn(2奇數(shù)：為 自 然 數(shù) ）nn( 123. 相反數(shù)只有符號不相同的兩個數(shù)（“0”的相反數(shù)是“0” ）表示：表示一個數(shù)的相反數(shù)，就是在這個數(shù)的前面加“”號如： a相反數(shù) a；ab相反數(shù)（ ab） =ba 性質(zhì)特征：互為相反數(shù)的兩個數(shù)，和為零。4. 倒數(shù)乘積為“ 1”的兩個數(shù)（ “0”沒有倒數(shù)）表示： a倒數(shù)a1特征：互為倒數(shù)的兩個數(shù)積為“1”（若 a 與 b 互為倒數(shù)，則ab=1）5. 絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點到原

2、點的距離. (互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等)a= a； ab=baa=0000aaaaa)(0),( |),( |為零或異號同號bababababaab6.平方根、算術(shù)平方根、立方根：(1) 一個正數(shù)x的平方等于a,即ax2,那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.(記作a). (2) 一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根 . (3) 正數(shù)有兩個平方根（a） ，它們互為相反數(shù)；其中正的平方根（a0）是它的算術(shù)平方根 . (4) “0”的平方根只有一個，就是“0” ;負數(shù)沒有平方根. (5) 完全平方數(shù)平方根是整數(shù)的數(shù)如： 0，1，4，9，16，(6)立方根（3a）,正數(shù)的立方根是正數(shù); “0

3、”的立方根是“0”;負數(shù)的立方根是負數(shù)二、數(shù)軸 : 1.數(shù)軸三要素：原點、正方向、單位長度2.數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應;任意一個有理數(shù)在數(shù)軸上都有一個點與之對應,但數(shù)軸上的任意一個點不一定有一個有理數(shù)與之對應.(無理數(shù)點 ) 三、科學記數(shù)法、近似數(shù)及有效數(shù)字：1科學記數(shù)法：10110aan精確度：（1）保留幾位有效數(shù)字； （2）精確到那一位2近似數(shù)：用四舍五入精確到某一位的數(shù)3有效數(shù)字：四、實數(shù)的運算：1.實數(shù)運算法則：2.實數(shù)大小的比較利用數(shù)軸進行比較；作差法；作商法；平方法. 3. 除法)0(1bbaba4. 乘方個nnaaaa典型例題一例 01下面命題中，正確的是（）a不帶根號的數(shù)一定是

4、有理數(shù)b有絕對值最大的數(shù)，也有絕對值最小的數(shù)c任何實數(shù)的絕對值都是正數(shù)d無理數(shù)一定是無限小數(shù)分析圓周率是不帶根號的數(shù)，但它是無限不循環(huán)小數(shù)，所以它是無理數(shù)，可見命題 a 不正確 . 實際上，可以寫出很多不帶根號的無理數(shù)，如0.101001000100001就是一個無理數(shù)；不存在最大的正數(shù)（對任何正數(shù)a，都不如1a大） ，導致不存在絕對值最大的數(shù)，所以 b 是假命題；實數(shù)0 的絕對值不是正數(shù)，可見命題c 也不正確 . 解答d 說明考查實數(shù)的意義. 典型例題二例 02下列說法中正確的是（）a無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)b無限小數(shù)不能化成分數(shù)c無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)d一個負數(shù)的立方根是無理數(shù)分析實數(shù)可分為

5、無理數(shù)和有理數(shù). 有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù). 開方開不盡的數(shù)一定是無理數(shù)，但無理數(shù)還包含了其他數(shù)，如，任何有理數(shù)都枳經(jīng)成分數(shù)形成. 所以 a、b、d 都是錯的 . c 正確 . 解答c 說明考查實數(shù)的分類及定義無理數(shù)主要有3 種表現(xiàn)形式：開方開不盡的數(shù)；一些常數(shù)，如、e 等；無限不循環(huán)小數(shù)，如0.1010010001典型例題三例 03實數(shù)2，16，3.1416，2)27(，931，0.2020020002（每兩個2 之間多一個零）中，無理數(shù)的個數(shù)有（）a2 個b3 個c4 個d5 個分析其中無理數(shù)有：2，0.202002解答b 說明考查無理數(shù)的定義及有關(guān)的數(shù)

6、都是無理數(shù). 典型例題四例 04點 a 在數(shù)軸上和原點相距7個單位，點b 在數(shù)軸上和原點相距2 個單位，則a，b 兩點間的距離是_. 分析在數(shù)軸上和原點相距7個單位的點a 有兩個，即7和7兩個點 . 點 b 和原點相距2 個單位，則點b 的坐標2或2. 如圖所示 . 所示 a、b 兩點間距離是：2711ba，7221ba，7212ba，2722ba. 故27ab或72. 解答27或72. 說明點 a在數(shù)軸上的坐標為ax，點b 的坐標bx，則a ， b 兩點的距離是baxxab. 典型例題五例 05若實數(shù)a 和 b 互為相反數(shù)，則_ba；若實數(shù)a，b 互為倒數(shù)，則_ab；._8333分析因為a、

7、 b 互為相反數(shù)，則0ba. 若ba,互為倒數(shù)，則1ab. 又因,2382783333故.23238333解答0；1；23. 典型例題六例 06判斷下列說法是否正確，并簡單說明理由（1）實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù). （2）無理數(shù)都是無限小數(shù). （3）有理數(shù)都是有限小數(shù). （4）不帶根號的數(shù)都是有理數(shù). （5）帶根號的數(shù)都是無理數(shù). （6）數(shù)軸上的任何一點都可以表示實數(shù). 解答（ 1） 實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù). 正確 . 因為實數(shù)就是由有理數(shù)和無理數(shù)組成的，二者必居其一 . （2）無理數(shù)都是無限小數(shù). 正確 . 無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)當然都是無限小數(shù). （3）有理數(shù)都是有限小數(shù). 不正確 .

8、有理數(shù)中也有無限小數(shù)，例如31是有理數(shù)， 但它卻是3.0，是無限循環(huán)小數(shù). （4）不帶根號的數(shù)都是有理數(shù). 不正確 . 這個數(shù)不帶根號，我們都知道它是無理數(shù). （5）帶根號的數(shù)都是無理數(shù). 不正確 . 4是一個帶根號的數(shù)，可是它是一個有理數(shù). （6）數(shù)軸上的任何一點. 都可以表示實數(shù). 正確 . 數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應的. 說明有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，有了無理數(shù)才使數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應，這些是我們判斷某些說法是否正確的依據(jù). 不要去試圖確立無理數(shù)的其他定義或標準，只有緊扣無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)這個定義，才能避免錯誤. 典型例題七例 07計算（精確到0.01）（

9、1）145.03110；（2）)34375.4(715解答（1）原式145. 0333. 0162. 3142.3.12. 6116.6（2）原式.66.0663.0333.1735.4143.0236.2說明在實數(shù)運算中，有理數(shù)中的運算法則和運算定律同樣適用，在無理數(shù)運算中，常用其近似值去代替無理數(shù). 典型例題八例 08化簡233221解答021，032，03，1221，2332，3223，233221)32()23()12(1322312說明關(guān)鍵在于根據(jù)絕對值的定義，正確地去掉絕對值的符號，以便進行運算， 運算中還要注意防止發(fā)生符號錯誤. 典型例題九例 09比較a與a1的大小 . 分析若b

10、a，則0ba；ba，則0ba；若ba，則0ba，反之亦然. 解答aaaaaaa)1)(1(112當1a時，顯然，01aa，即aa1；當1a時，01aa，即aa1；當10a時，01aa，即aa1；當01a時，01aa，即aa1；當1a時，01aa，即aa1；當1a時，01aa，即aa1. 綜上，當1a和01a時，aa1；當1a時，aa1；當10a和1a時aa1. 典型例題十例 10設(shè) x，y 是有理數(shù)，并且x，y 滿足等式2417222yyx，求yx的值. 分析利用實數(shù)等于零的條件，即有理數(shù)和無理數(shù)部分分別是零. 解答2417222yyx02)4()172(2yyx又 x，y 都是有理數(shù) . 1

11、722yx和4y都是有理數(shù) . 而由于 0 是有理數(shù)，2)4( y必為有理數(shù) . 0401722yyx45yx當5x時，1yx；當5x時，9yx. 典型例題十一例 11怎樣運用作圖的方法，在數(shù)軸上找出表示10的點 . 分析我們可以借助勾股定理來找出表示10的線段長 . 如果一個直角三角形的兩條直角邊長分別是1 和和，那么它的斜邊長就是10. 解答如圖，作一個直解邊分別是3 和 1 的直角三角形，以原點o 為圓心，三角形斜邊 長 為 半 徑 畫 弧 ， 它 與 數(shù) 軸 負 半 軸 的 交 點c即 為 表 示10的 點 . （., 3, 1oaocboab）說明這個直角三角形也可以作在其他地方，但

12、必須使它1 個單位長度與數(shù)軸所取的單位長度一致 . 另外與學習有理數(shù)時相同數(shù)軸上原點右邊的點表示正數(shù)，故10在原點左邊. 典型例題十二例 12化簡下列各式（1）;4 .12（2）);4(4xxx（3）;542xx（4）)(cbaaccbba解答（1）4.1414.1204.1224.14 .12（2）)4(4xxx)2(24)42(4242)4(xxxxxxx（3）1)2(1)2(54222xxxx（4）cba0,0,0accbba原式 =)()()(acbcab.0acbcab說明要化簡帶絕對值符號的式子，首先按絕對值定義，將絕對值符號去掉，再去括號，合并同類項，或進行數(shù)的運算. 典型例題十

13、三例 13下列說法是否正確？為什么？（1）無限小數(shù)都是無理數(shù)；（2）無理數(shù)都是無限小數(shù)；（3）有理數(shù)都是有限小數(shù)；（4）不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)；（5）實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應；（6）實數(shù)有正實數(shù)與負實數(shù)兩種解答 ： （ 1）不正確，因為只有無限不循環(huán)小數(shù)方是無理數(shù)，而無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，如313 .0333. 0是有理數(shù)（2）正確，因為無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；（ 3）不正確，因為無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，因此有理數(shù)不一定是有限小數(shù)，如333. 031；（4）不正確，如不帶號，但是無理數(shù)；（5）正確，因為每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，反過來，數(shù)軸上的每一個點都可以用一個實數(shù)來表示（6）不

14、正確，因為實數(shù)除了有正實數(shù)和負實數(shù)外，還包括0說明 ：要理解無理數(shù)、實數(shù)的概念，掌握實數(shù)的分類，分類要有統(tǒng)一標準，分類后不漏不多 . 典型例題十四例 14下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？0.5，3.14，8，38，172，1000，3625，16， 0分析 ：判定一個數(shù)是不是無理數(shù)，不能只看它的形式，還要看算出的結(jié)果，應先將含有根號的數(shù)化簡，然后再根據(jù)無理數(shù)的定義進行判斷解答 ： 228，283，10101000，653625，416；有理數(shù)有：0.5，3.14，38，3625，16，0；無理數(shù)有：，8，172，1000典型例題十五例 15計算：（1）32（精確到 0.01） ； （

15、2）9.052（保留三個有效數(shù)字） 解答 ： （ 1）46.3732.1414.1142.332；（2）9 .0259.05282. 19999. 0414. 1236. 2說明 ：近似值的計算過程中，所取近似值的小數(shù)位，必須比題目要求的精確度多取一位進行計算，最后結(jié)果按題目要求取近似值典型例題十六例 16比較下列數(shù)的大?。海?）和 3.1415；（2）322和7分析 ：比較大小首先判斷數(shù)的正負，再比較數(shù)的絕對值的大小. 解答 ： （ 1）1415926.3|，1415.3|1415.3|1415.3，1415.3（2）91796438322，而7917，則79177322說明 ：比較無理數(shù)和

16、有理數(shù)的大小，一種是將無理數(shù)轉(zhuǎn)化為近似值的有理數(shù)比較，另一種采用算術(shù)平方根的比較法，即被開方數(shù)間比較大小. 典型例題十七例 17求下列各式的x：（1）3| x；（2）4|5|2x分析 ：根據(jù)絕對值的概念：正實數(shù)的絕對值是它本身，負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，把絕對值符號內(nèi)的數(shù)看作整體求解. 解答 ： （ 1）3,3|xx（2）4|5|2x，452x，即452x或452x當452x時，92x，3x；當452x時，12x，1x. 選擇題1選擇題（1）下列說法正確是a無限小數(shù)都是無理數(shù)b帶根號的數(shù)是無理數(shù)c無理數(shù)是無限小數(shù)d無理數(shù)是開不盡方的數(shù)（2）和數(shù)軸上的點一一對應的數(shù)集是a整數(shù)集b有理數(shù)集c無理

17、數(shù)集d實數(shù)集（3）38，3，711，6.0，131131113.0這六個數(shù)中，無理數(shù)的個數(shù)是a2 個b3 個c4 個d 6 個（4）下面關(guān)于0 的判斷正確的是a0 是小數(shù)b0 是整數(shù)c0 是無理數(shù)d0 是質(zhì)數(shù)（5）實數(shù)中算術(shù)平方根最小的數(shù)是a1 b0 c非負數(shù)d不存在2選擇題（1）若7x有算術(shù)平方根，則x的取值范圍是a0 xb7xc7xd一切實數(shù)（2）根式331x有意義，x的取值范圍是a一切實數(shù)b31xc31xd31x（3）下列語句中正確的是a帶根號的數(shù)都是無理數(shù)b不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù)c無理數(shù)一定是無限不循環(huán)小數(shù)d無限小數(shù)是無理數(shù)（4）a是有理整數(shù)，a是a有理數(shù)b負的實數(shù)c完全平方數(shù)d完全

18、平方數(shù)的相反數(shù)（5）實數(shù)ba的平方的算術(shù)平方根是ababbac2)(badba（6）下面式子成立的是a55b333c3223d32703選擇題（1）若a與它的絕對值之和為0，則22) 1(aa的值是a1b1 c12ada21（2）若實數(shù)a滿足aa22，則2)1(a等于a1aba1c)1(ad1 （3）使321xx有意義的x的取值范圍是a0 xb2xc2xd0 x且2x（4）下列語句中正確的是a任何實數(shù)都有兩個互為相反數(shù)的平方根b零的立方根就是零c帶根號的數(shù)就是無理數(shù)d 9 的平方根是 3 4選擇題（1）下列命題中： 帶有根號的數(shù)是無理數(shù)；無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)；無論x取何實數(shù)，12x都有意義；

19、絕對值最小的實數(shù)是零.正確的命題有（）a1 個b2 個c3 個d4 個（2）已知a、b為實數(shù)，下列命題中正確的是（）aba，則22babba，則22bacba,則22bad33ba，則22ba參考答案 ：1 （1）c （2）d （3）a （ 4）b （5）b 2 （1）c （2）a （3）c（4）d（ 5）d（6）c 3 （1） b （2）b （3） d （4）b 4 （ 1）b（2）b 填空題1填空題（1）3_. （2）06.1的相反數(shù)為 _. （3）3271的倒數(shù)為 _. （4）絕對值最小的數(shù)為_. （5）若7x，則x_. （6）32的倒數(shù)的絕對數(shù)為_. （7）絕對值為35的數(shù)為 _. （

20、8）15的平方為 _. （9）比較大?。?5.0_ 75.0；3_ 14.3. （10）數(shù)軸上表示38的點與原點距離是_. 參考答案 ： （1）3（2）06.1（3）3 （4）0 （5）7（6）23（7）35（8）15（9）,（10）38填空題1填空題（1）327的相反數(shù)為 _. （2）12_. （3）比較大?。?52_ 63（4）13x有意義，則x的取值范圍是_. （5）平方根等于本身的數(shù)為_. （6）52x，則x_. （7）341x有意義，則x取值范圍是 _. （8）若12x，則3x_. （9）比6小且比2大的整數(shù)為 _. （10）333_. 參考答案 ：（1）3 （2）12（3）（ 4）

21、31x（5）0 （6）52（7）全體實數(shù)（ 8）1（9）2 （10）9 填空題1填空題（1）若aa0，則a的取值范圍是_. （2）若40a，則a的范圍是 _. （3）當x_時，25xx有意義 . （4）當0a，b_時，ab在實數(shù)范圍內(nèi)有意義. （5）若0, 3,7abba，則ba_. （6）當x_時，29x有最大值是 _. （7）計算：221_.（保留三個有效數(shù)字）（8）若31x，則x_. （9）比較大小1379_1279. （10）452x，則x的算術(shù)平方根為_. 參考答案：（1）10a（2）20a（3）50 x且4x（4）0（ 5）2 （6）0 （7）23.1（8）4 或 2 （9）（ 10）1 或3填空題1填空題（1）小于40的所有正整數(shù)為_. （2）52_. （3）1.28的相反數(shù)為 _. （4）比較大?。?5_112. （5）若3x有算術(shù)平方根，則x的取值范圍是_. （6）若027)2(3x，則x_. （7）某數(shù)的立方根的絕對值為5，則這個數(shù)為 _. （8）若aa，則a的取值范圍是 _. （9）大于17的負整數(shù)為 _. （10）化簡224129baba_. 參考答案 ：（1）1，2，3，4，5，6， （ 2）25（3）81.2（4）（ 5）3x（6）5（7）125（8）