[理學(xué)]高數(shù)第12章ppt課件

1、下頁上頁結(jié)束首頁下頁上頁結(jié)束首頁12.1 普通概念普通概念12.2 一階微分方程一階微分方程12.3 高階微分方程的降階法高階微分方程的降階法12.4 線性微分方程解的構(gòu)造線性微分方程解的構(gòu)造12.5 常系數(shù)線性微分方程常系數(shù)線性微分方程12.6 微分方程冥級(jí)數(shù)解法舉例微分方程冥級(jí)數(shù)解法舉例12.7 常系數(shù)線性微分方程組常系數(shù)線性微分方程組下頁上頁結(jié)束首頁12.1 普通概念普通概念12.1.1 引列引列 例例1 求曲線方程，其上各點(diǎn)的切線斜率等于求曲線方程，其上各點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，且該曲線經(jīng)過點(diǎn)該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，且該曲線經(jīng)過點(diǎn)(2,5)。 解：設(shè)所求曲線的方程是解：設(shè)所求曲線的

2、方程是y=y(x),根據(jù)所給條件，根據(jù)所給條件，它應(yīng)滿足它應(yīng)滿足 2d2 (1)d|5 (2)xyxxy下頁上頁結(jié)束首頁運(yùn)用不定積分的方法，容易得到滿足式運(yùn)用不定積分的方法，容易得到滿足式(1)的函數(shù)為的函數(shù)為這里這里C是恣意常數(shù)，式是恣意常數(shù)，式(3)表表示其上各點(diǎn)的切線斜率等于示其上各點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍的曲線族，該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍的曲線族，但問題所要求的是經(jīng)過點(diǎn)但問題所要求的是經(jīng)過點(diǎn)(2,5)的那條曲線，為此把條件式的那條曲線，為此把條件式(2)代入式代入式(3)，即得，即得C=1，故，故所求曲線的方程為所求曲線的方程為 21 4yx 2 3yxC 式式(3)可以看作由式可以看

3、作由式(4)所表示的曲線沿所表示的曲線沿y軸平轉(zhuǎn)后得軸平轉(zhuǎn)后得到的一族曲線到的一族曲線O12x21yx152,5y下頁上頁結(jié)束首頁 例例2 質(zhì)量為質(zhì)量為m的物體以初速度的物體以初速度v0自高自高H處下落，處下落，求物體下落的間隔求物體下落的間隔s與時(shí)間與時(shí)間t函數(shù)關(guān)系，并求物體落到函數(shù)關(guān)系，并求物體落到地面所需的時(shí)間設(shè)物體下落時(shí)不計(jì)空氣的阻力。地面所需的時(shí)間設(shè)物體下落時(shí)不計(jì)空氣的阻力。解解 選取坐標(biāo)系如下圖。選取坐標(biāo)系如下圖。s軸的正向取作速度和加軸的正向取作速度和加速度的正方向，原點(diǎn)速度的正方向，原點(diǎn)O為物體的初始位置。設(shè)為物體的初始位置。設(shè)經(jīng)過經(jīng)過t(s)后物體下落的間后物體下落的間隔為隔

4、為s=s(t)(對(duì)應(yīng)于圖中對(duì)應(yīng)于圖中的的OM)。地面Ms sOHsFmg下頁上頁結(jié)束首頁根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律F=ma以及二階導(dǎo)數(shù)的以及二階導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義，得到物體下落的間隔力學(xué)意義，得到物體下落的間隔s=st所滿所滿足的關(guān)系式為足的關(guān)系式為22ddsmmgt即即這里這里g是重力加速度。并且有是重力加速度。并且有 0|0 6ts 00d| 7dtsvt 22d 5dsgt下頁上頁結(jié)束首頁式式(5)兩邊對(duì)兩邊對(duì)t積分得積分得1d (8)dsgtCt 式式(9)表示滿足關(guān)系式表示滿足關(guān)系式(5)的的s(t)的普通方式。為了確的普通方式。為了確定出所需的函數(shù)關(guān)系定出所需的函數(shù)關(guān)系s=s(t

5、)，我們利用條件，我們利用條件(6)和和(7)，從，從式式(8)和式和式(9)中求出中求出 由此求得物體經(jīng)由此求得物體經(jīng)t(s)后下落的間隔為后下落的間隔為102,0.Cv C201 102sgtv t 2121 92sgtC tC再積分一次得再積分一次得下頁上頁結(jié)束首頁假設(shè)令假設(shè)令s=H,即得物體落到地面所需的時(shí)間為即得物體落到地面所需的時(shí)間為20012tvvgHg 例例3 如下圖，一個(gè)電阻如下圖，一個(gè)電阻R，電感為電感為L的線圈與電容的線圈與電容C串聯(lián)而串聯(lián)而成的電路其中成的電路其中R、L、C均為均為常數(shù)。交變電源的電動(dòng)勢(shì)為常數(shù)。交變電源的電動(dòng)勢(shì)為Esin pt,將開關(guān)將開關(guān)K閉合后，試建

6、閉合后，試建立電容器上電量立電容器上電量Q與時(shí)間與時(shí)間t的關(guān)的關(guān)系，電流系，電流i與時(shí)間與時(shí)間t的關(guān)系。的關(guān)系。CRsinEptLK下頁上頁結(jié)束首頁 解解 根據(jù)回路電壓的克希霍夫定律知，回路根據(jù)回路電壓的克希霍夫定律知，回路電壓降的代數(shù)和等于接入回路的電動(dòng)勢(shì)，即電壓降的代數(shù)和等于接入回路的電動(dòng)勢(shì)，即sinRCLuuuEpt其中其中uR、uC、uL 分別為電流分別為電流i在在R、C、L的電壓的電壓降。降。由于由于 那么有那么有1d,dRCLiuiR uQ uLCt1dsin 11diiRQLEptCt將將 代入式代入式(11)得得ddQit22d1dsin 12ddQQRQLEpttCt下頁上頁

7、結(jié)束首頁式式(11)兩邊對(duì)兩邊對(duì)t求導(dǎo)得求導(dǎo)得22d1dcos 13ddiiRiLEppttCt式式(12)是含有自變量是含有自變量t、未知函數(shù)、未知函數(shù)Qt及其一、及其一、二階導(dǎo)數(shù)的方程；式二階導(dǎo)數(shù)的方程；式(13)是含有自變量是含有自變量t、未知函、未知函數(shù)數(shù)i (t)及其一、二階導(dǎo)數(shù)的方程。及其一、二階導(dǎo)數(shù)的方程。下頁上頁結(jié)束首頁12.1.2 根本概念根本概念定義定義1 凡含有自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)或微分的凡含有自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程，或簡稱方程。方程稱為微分方程，或簡稱方程。 在微分方程中，假設(shè)未知函數(shù)只是一個(gè)自變量的在微分方程中，假設(shè)未知函數(shù)只是一個(gè)自變量

8、的函數(shù)，那么稱它為常微分方程；假設(shè)未知函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)，那么稱它為常微分方程；假設(shè)未知函數(shù)是兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量的函數(shù)，那么稱它為偏微分方程?；騼蓚€(gè)以上自變量的函數(shù)，那么稱它為偏微分方程。 例如，方程例如，方程(1)、(5)、(12)、(13)都是常微分方程，都是常微分方程，xydxysin xdy=0也是常微分方程。而也是常微分方程。而22222200zzuuuabxyxyz與那么都是偏微分方程。那么都是偏微分方程。下頁上頁結(jié)束首頁常微分方程的普通方式為常微分方程的普通方式為 , ,0 14nF x y yy 定義定義2 微分方程中出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的最高的階數(shù)稱為微分方程中出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的最高的階數(shù)稱為微分

9、方程的階。微分方程的階。 定義定義3 假設(shè)方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)及其各階導(dǎo)假設(shè)方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的，那么稱它為線性微分方程。數(shù)都是一次的，那么稱它為線性微分方程。 由此定義可知，方程由此定義可知，方程(1)、(5)、(12)、與、與(13)都是都是線性方程，不是線性微分方程稱為非線性微分方程。線性方程，不是線性微分方程稱為非線性微分方程。下頁上頁結(jié)束首頁n階線性微分方程的普通方式為階線性微分方程的普通方式為 111 15nnnnypx ypx ypx yfx 定義定義4 假設(shè)將某一函數(shù)代入微分方程能使它假設(shè)將某一函數(shù)代入微分方程能使它成為恒等式，那么稱這個(gè)函數(shù)為微分方程的解

10、。成為恒等式，那么稱這個(gè)函數(shù)為微分方程的解。 例如式例如式(3)和式和式(4)都是方程都是方程(1)的解；式的解；式(9)和式和式(10)都是方程都是方程(5)的解。的解。 又如，又如，y=e2x是方程是方程 的一個(gè)解，的一個(gè)解，由于由于 代人方程得恒等式代人方程得恒等式320yyy222e ,4exxyy2224e3 2e2e0 xxx22ex下頁上頁結(jié)束首頁 再如，再如，x2+y2=C2是方程是方程 的一個(gè)解，由于的一個(gè)解，由于對(duì)對(duì)x2+y2=C2兩邊求導(dǎo)，兩邊求導(dǎo)，xyy 220 xxyyyy xxyy 假設(shè)微分方程中含有恣意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階假設(shè)微分方程中含有恣意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階

11、數(shù)相等，那么稱這種解為微分方程的通解或普通解。數(shù)相等，那么稱這種解為微分方程的通解或普通解。 從通解中給出恣意常數(shù)的特定值而得到的解，稱從通解中給出恣意常數(shù)的特定值而得到的解，稱為微分方程的特解。為微分方程的特解。 下頁上頁結(jié)束首頁 例如式例如式(3)是方程是方程(1)的通解，式的通解，式(9)是方程是方程(5)的通的通解；而式解；而式(4)是方程是方程(1)的一個(gè)特解。式的一個(gè)特解。式(10)是方程是方程(5)的的一個(gè)特解。在式一個(gè)特解。在式(3)y=x2+C中要確定常數(shù)中要確定常數(shù)C，加了一個(gè)，加了一個(gè)附加條件：曲線經(jīng)過點(diǎn)附加條件：曲線經(jīng)過點(diǎn)(2,5)，用式子，用式子x=2,y=5表示，求

12、表示，求出出C:C=1 在通解中用來確定的條件稱為微分方程的初在通解中用來確定的條件稱為微分方程的初始條件。上述初始條件始條件。上述初始條件x=2，y=5，也可記作，也可記作y|x=2=5，或，或y(2)=5. 對(duì)于對(duì)于n階方程階方程(11)，其初始條件的普通方式為，其初始條件的普通方式為11000000|,|,|nnx xx xx xyyyyyy下頁上頁結(jié)束首頁其中其中 都是知常數(shù)。都是知常數(shù)。10000nxyyy 、 、 、 、 不包含在微分方程通解之內(nèi)的解稱為奇解。不包含在微分方程通解之內(nèi)的解稱為奇解。 例如，例如， 是微分方程是微分方程 的通解，的通解，而而y=0也是上述方程的解，但也

13、是上述方程的解，但y=0卻不包含在通卻不包含在通解解 中，故中，故y=0是方程是方程 的奇解。的奇解。1yxC20yy1yxC20yy 由通解的定義可知，一階方程的通解的普通方由通解的定義可知，一階方程的通解的普通方式為式為y=y(x,C)或或 二階方程的通解的普二階方程的通解的普通方式為通方式為 或或 普通地，普通地，n階方程階方程14的通解的普通方式為的通解的普通方式為 或或 前者稱為顯式解，后者稱為隱前者稱為顯式解，后者稱為隱式解。式解。 12,yy x C C, ,0;x y C12, ,0.x y C C12,nyy x C CC1, ,0.nx y CC下頁上頁結(jié)束首頁 該當(dāng)指出，

14、通解中的恣意常數(shù)必需是本質(zhì)的該當(dāng)指出，通解中的恣意常數(shù)必需是本質(zhì)的即獨(dú)立的，意思是指，當(dāng)一個(gè)表達(dá)式含有即獨(dú)立的，意思是指，當(dāng)一個(gè)表達(dá)式含有n個(gè)恣個(gè)恣意常數(shù)時(shí)，假設(shè)經(jīng)過對(duì)該表達(dá)式的重新整理，不能意常數(shù)時(shí)，假設(shè)經(jīng)過對(duì)該表達(dá)式的重新整理，不能由較少數(shù)目的恣意常數(shù)來交換，那么以為這由較少數(shù)目的恣意常數(shù)來交換，那么以為這n個(gè)恣意個(gè)恣意常數(shù)是本質(zhì)的。例如常數(shù)是本質(zhì)的。例如ax+by+c=0經(jīng)改寫后得經(jīng)改寫后得y=c1x+c2,因此本質(zhì)上因此本質(zhì)上 只需兩個(gè)恣意常數(shù)。只需兩個(gè)恣意常數(shù)。 可化為可化為 所以也只需兩個(gè)恣意常所以也只需兩個(gè)恣意常數(shù)。數(shù)。22sincoscos2 ,yaxbxcx2212cossi

15、n,ycxcx下頁上頁結(jié)束首頁12.2 一階微分方程一階微分方程 一階微分方程的普通方式為一階微分方程的普通方式為, ,0F x y y 以后主要討論可以解出導(dǎo)數(shù)的方程：以后主要討論可以解出導(dǎo)數(shù)的方程： , 1yf x y 也可改寫為微分方式：也可改寫為微分方式： ,d,d0 2P x yxQ x yy下頁上頁結(jié)束首頁12.2.1 變量可分別的微分方程變量可分別的微分方程經(jīng)過整理，假設(shè)方程經(jīng)過整理，假設(shè)方程(2)的的P(x,y)僅為僅為x的函數(shù)，的函數(shù)，Q(x,y)僅為僅為y的函數(shù)即的函數(shù)即 dd 3xxyy那么式那么式(2)為變量可分別的方程。這種方程的解經(jīng)過為變量可分別的方程。這種方程的解

16、經(jīng)過積分求得。假設(shè)方程積分求得。假設(shè)方程(3)有解有解y=y(x)，將它代人式，將它代人式(3)得得 ddxxy xy x兩邊對(duì)兩邊對(duì)x積分，得積分，得 ddxxy xy xC即即 ddxxyyC其中其中C為恣意常數(shù)。這就是方程為恣意常數(shù)。這就是方程(3)的通解的通解下頁上頁結(jié)束首頁例例1 求求 滿足條件滿足條件y(0)=0的特解。的特解。21yxy 解解 把所給方程變形為把所給方程變形為d2 d1yx xy兩邊積分得兩邊積分得1d2 d1yx xCy假設(shè)令假設(shè)令 那么有那么有1ln,CC21ln 1yxC2ln 1lnyxC21lnyxC21exyC21exyC 21exyC那么方程的通解為

17、那么方程的通解為2e1xyC再由再由y=(0),得得C=1.于是所求特解為于是所求特解為2e1xy 下頁上頁結(jié)束首頁例例 2 求解微分方程求解微分方程dx+xydy=y2dx+ydy. 解解 先合并先合并dx及及dy的項(xiàng)，這就變?yōu)榈捻?xiàng)，這就變?yōu)?1d1dyxyxy然后分別變量得然后分別變量得兩邊積分得兩邊積分得或或假設(shè)令假設(shè)令 得得12ln,CC2d d .11xyyxy22 1 =C 1 xy211ln 1ln 12xyC 212ln 1ln 12xyC下頁上頁結(jié)束首頁12.2.2 齊次微分方程齊次微分方程假設(shè)方程假設(shè)方程(1)的右邊的右邊f(xié) (x, y)可寫成可寫成 那么方程那么方程(1)

18、為為,yx 4yyx 這種方式的方程稱為齊次微分方程或簡稱齊次方程。這種方式的方程稱為齊次微分方程或簡稱齊次方程。式式(4)右端右端 是是x、y的零次齊次函數(shù)。例如，的零次齊次函數(shù)。例如，yx22yyxyx 是齊次方程，由于是齊次方程，由于2221yyxyxyxx下頁上頁結(jié)束首頁 假設(shè)方程假設(shè)方程P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0中函數(shù)中函數(shù)P (x, y)和和Q (x, y)。是同次的齊次函數(shù)，那么它就是齊次微分方。是同次的齊次函數(shù)，那么它就是齊次微分方程。例如程。例如22d2d0 xyxxxxyy 對(duì)于齊次方程對(duì)于齊次方程(4)，我們用變量代換的方法使它成，我們用變量代換的

19、方法使它成為變量可分別的微分方程。為變量可分別的微分方程。令令 即即 , ,yu xyxu xxyuxu是齊次方程，而是齊次方程，而就不是齊次方程。就不是齊次方程。232 xxyyx 下頁上頁結(jié)束首頁于是方程于是方程(4)化為化為 dduxuux即即這是變量可分別的微分方程。求出它的通解后，再用這是變量可分別的微分方程。求出它的通解后，再用 替代替代u，即方程，即方程(4)的通解。的通解。yx這里需求指出的是，這里需求指出的是， 由于假設(shè)由于假設(shè) 0, uu那么那么 dduxuux 0, yyuuxx即d dyyxx下頁上頁結(jié)束首頁例例3 解方程解方程22d.dyyxxyx解解 令令y=xu，

20、那么，那么 代入已給方程，得代入已給方程，得dd.ddyuuxxx2dd1uuuxxu或?qū)憺榛驅(qū)憺閐d1uuxxud1d0 xuuxu兩邊積分得兩邊積分得lnlnlnxuuC或或?qū)?代入，得到通解代入，得到通解yuxeuxuCeyxyC下頁上頁結(jié)束首頁 解解 這個(gè)方程不是齊次方程，它與齊次方程的差別這個(gè)方程不是齊次方程，它與齊次方程的差別僅在于等式右邊的分子和分母中都有常數(shù)項(xiàng)。假設(shè)能經(jīng)僅在于等式右邊的分子和分母中都有常數(shù)項(xiàng)。假設(shè)能經(jīng)過過坐標(biāo)平移變換：坐標(biāo)平移變換：x=u+h,y=v+k，使方程右邊變?yōu)椋狗匠逃疫呑優(yōu)?那么原方程變?yōu)辇R次方程那么原方程變?yōu)辇R次方程2,2uvuv例例4 解方程解

21、方程d21 .d22yxyxxyd2d2vuvuuv令令x=u+h,y=v+k,那么那么d221d222vuvhkuuvhk 令令21 0,22 0,hkh k 解得解得h=1,k=0.下頁上頁結(jié)束首頁作變換，令作變換，令x=u+1,y=v,那么得那么得d2d2vuvuuv這是齊次方程。這是齊次方程。令令 那么那么dd ,ddvvzzvuzzuuuu方程變?yōu)榉匠套優(yōu)閐1 2 d2zzzuuz即即22dd1 4zuzzzu解得解得2ln 1 42lnlnzzuC 221 4Czzu224uuvvC所求微分方程的通解為所求微分方程的通解為22411yxyxC下頁上頁結(jié)束首頁例例5 解方程解方程2d

22、0 .dyaaxxy解解 作變量代換作變量代換u=x+y,那么那么 原方程變形原方程變形為為dd1,dduyxx 22d1duaxu 這是變量可分別的方程，分別變量后，得這是變量可分別的方程，分別變量后，得222dduuxau即即222dddauuxau積分得積分得arctanuuaxCa用用u=x+y代人，得原方程的通解為代人，得原方程的通解為arctanxyyaCa下頁上頁結(jié)束首頁12.2.3 一階線性方程一階線性方程這里將討論一階線性方程這里將討論一階線性方程 d 5dyP x yQ xx的解法。其中的解法。其中Q (x)、P (x)都是都是x的延續(xù)函數(shù)，的延續(xù)函數(shù)，Q (x)稱自稱自在

23、項(xiàng)。先思索在項(xiàng)。先思索 的情況，的情況，( )0Q x d0 6dyP x yx方程方程(6)稱為方程稱為方程(5)對(duì)應(yīng)的線性齊次方程，而方程對(duì)應(yīng)的線性齊次方程，而方程(5)稱稱為線性非齊次方程為線性非齊次方程下頁上頁結(jié)束首頁方程方程(6)是變量可分別的，容易求出它的通解為是變量可分別的，容易求出它的通解為 de 7P xxyC其中其中C為恣意常數(shù)，顯然它不是方程為恣意常數(shù)，顯然它不是方程(5) 的解。的解。如今我們變動(dòng)常數(shù)如今我們變動(dòng)常數(shù)C為為x的函數(shù)，記為的函數(shù)，記為C (x),想象非齊次想象非齊次線性方程線性方程(5)的解為的解為 0Q x de 8P xxyC x將式將式(8)代人式代

24、人式(5)，得，得 dddeeeP xxP xxP xxCxP xC xP xC xQ x下頁上頁結(jié)束首頁這里這里C是恣意常數(shù)，將已確定的函數(shù)是恣意常數(shù)，將已確定的函數(shù)C (x)代入式代入式(8)，得，得 ddeed 9P xxP xxyQ xxC這就是方程這就是方程(5)的通解。的通解。即即 deP xxCxQ x或或 deP xxCxQ x積分得積分得 d edP xxC xQ xxC下頁上頁結(jié)束首頁 上面這種利用變動(dòng)線性齊次方程通解中的恣意常數(shù)上面這種利用變動(dòng)線性齊次方程通解中的恣意常數(shù)為特定函數(shù)來求線性非齊次方程通解的方法，稱為常數(shù)為特定函數(shù)來求線性非齊次方程通解的方法，稱為常數(shù)變易法

25、。變易法。 在公式在公式(9)中，假設(shè)記中，假設(shè)記 d eP xxYC那么式那么式(9)可寫為可寫為 y=Y+y*,這里這里Y是對(duì)應(yīng)方程是對(duì)應(yīng)方程(5)的齊次的齊次方程方程(6)的通解，的通解，y*是在式是在式(9)中令中令C=0時(shí)所得的方程時(shí)所得的方程(5)的一個(gè)特解。這種線性方程的通解方式也是高階線性的一個(gè)特解。這種線性方程的通解方式也是高階線性微分方程通解的構(gòu)造方式。微分方程通解的構(gòu)造方式。 dd*eedP xxP xxyQ xx下頁上頁結(jié)束首頁72121xyyx例例6 求解方程求解方程為運(yùn)用通解公式為運(yùn)用通解公式(9)，先求，先求 22ddln11P xxxxx 解解 先將線性方程改寫

26、為先將線性方程改寫為52211yyxx這時(shí)這時(shí)522,11PQxx 這里省略了積分常數(shù)。又這里省略了積分常數(shù)。又 52d21322ed11d2 =1 d13P xxQ xxxxxxxx于是方程的通解為于是方程的通解為3222113yxxC下頁上頁結(jié)束首頁例例7 求方程求方程 滿足初始條件滿足初始條件 的特解。的特解。23d |1dxyxyyyx解解 這不是這不是x為自變量為自變量y為函數(shù)的線性方程，假設(shè)把原為函數(shù)的線性方程，假設(shè)把原方程改寫為方程改寫為ddxxyyy那么這是一個(gè)以那么這是一個(gè)以y為自變量為自變量x為未知函數(shù)的線性方程。為未知函數(shù)的線性方程。假設(shè)記假設(shè)記 1 ,P yQ yyy

27、那么方程的通解為那么方程的通解為 dydyeeP yP yxQ yC下頁上頁結(jié)束首頁由于由于 1d =dlnP yyyyy 故原方程的通解為故原方程的通解為由初始條件由初始條件y|x=3=1得得C=2,故特解為故特解為x=2y+y2。2xy yCCyy d1eddP yyQ yyyyyy下頁上頁結(jié)束首頁例例8 解方程解方程d2.dyxyxyx 解解 由于方程的右邊含有由于方程的右邊含有 的因子，因此它不是的因子，因此它不是線性方程。假設(shè)將線性方程。假設(shè)將 除遍全式，得除遍全式，得yyd2dxyyxxy令令 那么上式變換為那么上式變換為d22dzxzxx,zy即即d11 d2zzxxx下頁上頁結(jié)

28、束首頁這是以這是以x為自變量為自變量z為未知函數(shù)的線性方程，其通解為為未知函數(shù)的線性方程，其通解為它是原方程的通解。顯然它是原方程的通解。顯然y=0是方程的奇解是方程的奇解再將再將 代入，或由代入，或由y=x2,得得zy1zxCx21yxCx例例8中的方程是所謂的伯努利方程，它的普通方式為中的方程是所謂的伯努利方程，它的普通方式為 d 0,1 10dnyP x yQ x ynx下頁上頁結(jié)束首頁 下面來討論這個(gè)方程的普通解法。把方程下面來討論這個(gè)方程的普通解法。把方程(10)的兩的兩邊除以邊除以yn，得，得 1ddnnyyP x yQ xx由于由于 因此假設(shè)設(shè)因此假設(shè)設(shè)z=y1n,那么得線性那么

29、得線性方程方程1dd1,ddnnyyn yxx求出它的通解后，再以求出它的通解后，再以z=y1-n代入，就得到伯努利方代入，就得到伯努利方程程(10)的通解。當(dāng)?shù)耐ń狻．?dāng)n0時(shí)，時(shí)，y=0是它的奇解。是它的奇解。 d11dzn P x zn Q xx下頁上頁結(jié)束首頁12.2.4 全微分方程全微分方程假設(shè)方程假設(shè)方程,d,d0 11P x yxQ x yy的左邊恰好是某一函數(shù)的左邊恰好是某一函數(shù)u=u (x, y)的全微分，即的全微分，即ddduP xQ y那么那么(11)為全微分方程。這時(shí)，由于為全微分方程。這時(shí)，由于du=0,那么方程那么方程(11)的通解為的通解為,u x yC下頁上頁結(jié)束

30、首頁 根據(jù)第根據(jù)第10.4節(jié)的定理可知，當(dāng)節(jié)的定理可知，當(dāng)Px,y)、Q(x,y)在某單在某單連通區(qū)域連通區(qū)域D上具有一階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，方程上具有一階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，方程(11)是全微是全微分方程的充分必要條件為分方程的充分必要條件為 這時(shí)，方程這時(shí)，方程(11)的通解可表示為的通解可表示為,.QPx yDxy000,d,d 12xxxyP x yxQ x yxC或或其中其中x0, y0為為D內(nèi)適當(dāng)取定的某點(diǎn)的坐標(biāo)，內(nèi)適當(dāng)取定的某點(diǎn)的坐標(biāo)，C為恣為恣意常數(shù)。意常數(shù)。0000,d,d 12axxxyP x yxQ xyxC下頁上頁結(jié)束首頁例例9 求方程求方程2d2d0yxxy xyy的通解。的通解

31、。 解法一解法一 由于由于P(x,y)=y2x 及及Q(x,y)=2y(x+y)在全在全平面上具有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且平面上具有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且2QPyxy所以原方程是全微分方程。所以原方程是全微分方程。我們用線性積分的方法求原函數(shù)，得我們用線性積分的方法求原函數(shù)，得,20,0,d2dx yu x yyxxy xyy下頁上頁結(jié)束首頁或或22311223xxyyC00d2dxyxxy xyy22301223yxxyy 2232 23xxyy 322 463yxyxC故方程的通解為故方程的通解為其中其中C=6C1.下頁上頁結(jié)束首頁 解法二解法二 由于由于2,2uuyxy xyxy對(duì)對(duì)x求積分，這時(shí)把求積分

32、，這時(shí)把y作為常數(shù)對(duì)待，作為常數(shù)對(duì)待， 222d2xuyxxyxyy其中其中 為特定函數(shù)。為特定函數(shù)。 y 2uxyyy由此由此 2222xyyyxy 22yy 323yy右端不用加常數(shù)。故右端不用加常數(shù)。故223223xuxyy于是通解為于是通解為223223xxyyC下頁上頁結(jié)束首頁 解法三解法三 我們用我們用“微分組合的方法求解。即先微分組合的方法求解。即先把那些本身已構(gòu)成全微分的項(xiàng)分別出來，再把剩把那些本身已構(gòu)成全微分的項(xiàng)分別出來，再把剩余的項(xiàng)湊成全微分。這種方法也稱為余的項(xiàng)湊成全微分。這種方法也稱為“可積組合法可積組合法原方程化為原方程化為22d2dd2d0 x xyyyxxy y即

33、即亦即亦即2322ddd023xyxy2322 d023xyxy故有通解故有通解232223xyxyC下頁上頁結(jié)束首頁dddx yy xxy要掌握這種解法，需熟記一些簡單的全微分，例如，要掌握這種解法，需熟記一些簡單的全微分，例如，22ddd2xyx xy y2dddx yy xyxx2dddy xx yxyy22ddd arctanx yy xyxyx2222dddx xy yxyxy等等。等等。22dd1dln2x yy xxyxyxy下頁上頁結(jié)束首頁例例10 解方程解方程22 d1d0.xx xyy 解解 由于由于 所以方程不是全微分方程。所以方程不是全微分方程。將全式乘以將全式乘以y，

34、方程變形為，方程變形為2,0,QxPxyy22dd0 xy xyxy它成為全微分方程。取它成為全微分方程。取x0=0, y0=1,運(yùn)用公式運(yùn)用公式12a得，得，微分方程的通解為微分方程的通解為1012ddxyxy xy yC即即22111 22x yyC下頁上頁結(jié)束首頁 原方程不是全微分方程，但在兩邊乘以因子原方程不是全微分方程，但在兩邊乘以因子y后，后，就變?yōu)橐粋€(gè)全微分方程。普通地，假設(shè)方程就變?yōu)橐粋€(gè)全微分方程。普通地，假設(shè)方程(11)不是不是全微分方程，假設(shè)存在一個(gè)函數(shù)全微分方程，假設(shè)存在一個(gè)函數(shù)x, y,使得使得或或222.x yyC ,d,d0 13x y P x yxx y Q x

35、yy成為全微分方程，那么稱成為全微分方程，那么稱 為方程為方程(11)的一個(gè)積的一個(gè)積分因子。分因子。, x y 積分因子并不是獨(dú)一的，容易驗(yàn)證函數(shù)積分因子并不是獨(dú)一的，容易驗(yàn)證函數(shù) 及及 都是方程都是方程 的積分因子。的積分因子。22111 yxxy、dd0y xx y下頁上頁結(jié)束首頁例例11 解方程解方程1d1d0 xy y xxy x y解解 由于由于 所以這個(gè)方程不是全微所以這個(gè)方程不是全微分方程，把它改寫為分方程，把它改寫為1 2,12,QPxyxyxy dddd0y xx yxy y xx y或或 ddd0 xyxy y xx y可選取可選取 把它乘方程的兩邊，得把它乘方程的兩邊，

36、得21,x yxy2ddd0 xyy xx yxyxy即即1dd ln0.xxyy下頁上頁結(jié)束首頁于是所求方程的通解為于是所求方程的通解為1 lnlnxCxyy或或1exyxCy 由于由積分因子的定義知，要使方程由于由積分因子的定義知，要使方程 為全微分方程，函數(shù)為全微分方程，函數(shù) 必需滿足條件必需滿足條件 ,d,d0 x y P x yxx y Q x yy, x y QPxy即即 14uuQPPQyxxy這是關(guān)于函數(shù)這是關(guān)于函數(shù) 的一個(gè)偏微分方程。的一個(gè)偏微分方程。, x y下頁上頁結(jié)束首頁12.2.5 一階微分方程的運(yùn)用舉例一階微分方程的運(yùn)用舉例 例例12 一小艇以常速一小艇以常速v0(

37、m/s)朝河的正對(duì)朝河的正對(duì)岸方向駛?cè)ィO(shè)河的兩岸之間的間隔為岸方向駛?cè)?，設(shè)河的兩岸之間的間隔為a(m)，且水流速度且水流速度v1(m/s)與離兩岸間隔的乘積成正比與離兩岸間隔的乘積成正比比例系數(shù)為比例系數(shù)為k，求小艇到達(dá)對(duì)岸的位置。，求小艇到達(dá)對(duì)岸的位置。 解解 建立坐標(biāo)系如下圖，建立坐標(biāo)系如下圖，小艇自原點(diǎn)出發(fā)。設(shè)小艇在時(shí)小艇自原點(diǎn)出發(fā)。設(shè)小艇在時(shí)辰辰t位置為位置為M(x,y)，依題意在，依題意在該點(diǎn)水流速度該點(diǎn)水流速度v1=ky(a-y),方向方向平行于兩岸。平行于兩岸。Oxay01,M x y下頁上頁結(jié)束首頁又設(shè)小艇經(jīng)過的軌跡為又設(shè)小艇經(jīng)過的軌跡為y=y(x),由于由于這是曲線這是曲線

38、y=y(x)應(yīng)滿足的一階微分方程及其初始條件。應(yīng)滿足的一階微分方程及其初始條件。變量分別后，得變量分別后，得0ddky ayyvx故有故有 0d , 00dvyyxky ay1ddxxvvky ayt0ddyyvvt下頁上頁結(jié)束首頁積分后得方程的通解為積分后得方程的通解為230123akyyv xC由由y(0),求得求得C=0。故小艇的軌跡為。故小艇的軌跡為當(dāng)小艇到達(dá)對(duì)岸時(shí)，其位置為當(dāng)小艇到達(dá)對(duì)岸時(shí)，其位置為2301 23kaxyyv 30 ,6kya mxamv下頁上頁結(jié)束首頁 例例13 設(shè)計(jì)一旋轉(zhuǎn)曲面外形的凹鏡，使得由旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)一旋轉(zhuǎn)曲面外形的凹鏡，使得由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)軸上一點(diǎn)O發(fā)出一切光線經(jīng)

39、此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平發(fā)出一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行，求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程。行，求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程。AyONxMSCT下頁上頁結(jié)束首頁又由于又由于A點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為 故得故得 ,0 ,yxy 解解 建立坐標(biāo)系如下圖，光源放在原點(diǎn)建立坐標(biāo)系如下圖，光源放在原點(diǎn)O處，設(shè)旋處，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面由曲線轉(zhuǎn)曲面由曲線C: y=y (x)繞繞x軸旋轉(zhuǎn)而得。對(duì)于由軸旋轉(zhuǎn)而得。對(duì)于由O點(diǎn)發(fā)點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)曲線出的光線經(jīng)曲線C上的點(diǎn)上的點(diǎn)Mx, y反射后是一條平行反射后是一條平行x軸的直線軸的直線MS，而過，而過M點(diǎn)的切線點(diǎn)的切線AT與與x軸的傾角為軸的傾角為，其方程為其方程為 MN為曲線上為曲線上M點(diǎn)的點(diǎn)

40、的法線。根據(jù)光的反射定律，有法線。根據(jù)光的反射定律，有 于是于是 ,tan.YyyXxy. OMNSMN ,OMASMTMAO ,AOMO從而從而22yxxyy下頁上頁結(jié)束首頁這是一個(gè)齊次微分方程。這是一個(gè)齊次微分方程。 設(shè)設(shè) 那么那么 代入方程后得代入方程后得, dddxyuxy uu y2dd1 d0y y uu yy uuy2dd1uyyu或或22dd0y xxxyy即即2 d1d0y uuy分別變量得分別變量得下頁上頁結(jié)束首頁將將 代回，得方程的通解代回，得方程的通解xuy2221C yCx或或21uCyu 兩邊積分得兩邊積分得2ln1lnuuCy21uuCy 22 21C yCyu即

41、即2212yxCC即即這是一族拋物線，它繞這是一族拋物線，它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)拋物面族軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)拋物面族的方程為的方程為22212yzxCC下頁上頁結(jié)束首頁 例例14 一個(gè)半徑為一個(gè)半徑為R的半球形水池最初注滿水。在水的半球形水池最初注滿水。在水池的底部有一個(gè)半徑為池的底部有一個(gè)半徑為r的小孔，水在重力作用下經(jīng)過該的小孔，水在重力作用下經(jīng)過該小孔流出。求在任何時(shí)辰小孔流出。求在任何時(shí)辰t水的深度，并確定需求多少時(shí)水的深度，并確定需求多少時(shí)間水池中的水全部流完。間水池中的水全部流完。 解解 建立坐標(biāo)系如下圖，原建立坐標(biāo)系如下圖，原點(diǎn)點(diǎn)O取在水池的最低點(diǎn)。假設(shè)取在水池的最低點(diǎn)。假設(shè)在在t=

42、0時(shí)水開場(chǎng)從小孔流出，時(shí)水開場(chǎng)從小孔流出，又又y(t)為水在時(shí)辰為水在時(shí)辰t的深度，并的深度，并記記x(t)為水面在時(shí)辰為水面在時(shí)辰t的半徑。的半徑。于是經(jīng)過一段時(shí)間于是經(jīng)過一段時(shí)間dt后水面后水面將下降將下降dy,此時(shí)水池中水的體此時(shí)水池中水的體積減少了積減少了dyyxRyxO222xyRy下頁上頁結(jié)束首頁它應(yīng)該等于在它應(yīng)該等于在dt這段時(shí)間內(nèi)從小孔流出的水的體積。根這段時(shí)間內(nèi)從小孔流出的水的體積。根據(jù)托里拆利定律，水從小孔流出的速度據(jù)托里拆利定律，水從小孔流出的速度 其中其中k是流量系數(shù)，它取決于小孔的外形，是流量系數(shù)，它取決于小孔的外形，g為重力加速度為重力加速度,h為為t時(shí)辰水面的高度

43、，這里時(shí)辰水面的高度，這里h=y。于是。于是dt時(shí)間內(nèi)從小孔流時(shí)間內(nèi)從小孔流出的水的體積為出的水的體積為2,vkgh2ddVxy2d2dVk rgy t令令dV的兩個(gè)表達(dá)式相等，便得到微分方程的兩個(gè)表達(dá)式相等，便得到微分方程式中負(fù)號(hào)表示水深式中負(fù)號(hào)表示水深y隨時(shí)間隨時(shí)間t的添加而減小。的添加而減小。22d2dxyk rgy t 下頁上頁結(jié)束首頁由于由于 故故22222, 2xyRRxRyy22 2d2dRyyyk rgy t 或或132222d2 dRyyykrg t 3522242 235RyykrgtC 兩邊積分得通解為兩邊積分得通解為由于由于t=0時(shí)時(shí) y=R,故得故得 于是水深于是水深

44、y與時(shí)間與時(shí)間t的關(guān)的關(guān)系為系為5214.15CR3552222421423515RyykrgtR 因此上述方程可改寫為因此上述方程可改寫為下頁上頁結(jié)束首頁 為了求出水池中全部流完所需的時(shí)間，只需令為了求出水池中全部流完所需的時(shí)間，只需令y=0即可得到即可得到52214152Rtkrg 假設(shè)水池半徑假設(shè)水池半徑R=100m，小孔半徑，小孔半徑r=2.5m,并取流量并取流量系數(shù)系數(shù)k=0.64. 那么由上面的公式可算出水從池中全部流那么由上面的公式可算出水從池中全部流完的時(shí)間完的時(shí)間t=527(s)=8(min)47(s).下頁上頁結(jié)束首頁12.3 高階微分方程的降階法高階微分方程的降階法利用降

45、低方程階數(shù)來求高階方程通解的方法稱為降階法。利用降低方程階數(shù)來求高階方程通解的方法稱為降階法。用降階法來討論二階微分方程用降階法來討論二階微分方程 , , 1yfx y y的三種特殊類型：的三種特殊類型： ;,;,yf xyf x yyfy y下頁上頁結(jié)束首頁12.3.1 型的微分方程型的微分方程 yf x 設(shè)設(shè) 方程方程 變形為變形為 , ypyf x ddpf xx積分得積分得 1dpfxxC即即 1dyf xxC 再積分得原方程的通解為再積分得原方程的通解為 12ddyx f xxC xC 經(jīng)過經(jīng)過n次積分容易求得次積分容易求得n階方程階方程 nyf x的通解為的通解為 12121 d1

46、 !2 !nnnnnCCydxf xxxxCxCnn下頁上頁結(jié)束首頁 例例1 求微分方程求微分方程 滿足初始條滿足初始條件件sincos yxx 000 |2,|1,|0 xxxyyy的特解。的特解。解解 逐次積分得逐次積分得1sincosdcossinyxxxxxC 112cossindsincosyxxCxxxC xC 12sincosdyxxC xCx由由 得得C1=1,由由 得得C2=0,再由再由 得得C3=1.于是所求的特解為于是所求的特解為 0|0 xy0|1,xy0|2xy21cossin12yxxx21231 cossin2xxC xC xC下頁上頁結(jié)束首頁12.3.2 型的微

47、分方程型的微分方程,yfx y方程方程 , 2yf x y的右邊不含有未知函數(shù)的右邊不含有未知函數(shù)y.這時(shí)假設(shè)令這時(shí)假設(shè)令 那么那么d, dpypypx于是方程于是方程(2)降為關(guān)于變量降為關(guān)于變量x和和p的一階方程的一階方程 , 3pf x p 假設(shè)能求出假設(shè)能求出(3)的通解的通解 那么可再由方程那么可再由方程1,px C1,ypx C 求得方程求得方程(2)的通解為的通解為12,dyx CxC下頁上頁結(jié)束首頁例例2 求解方程求解方程4 .xyyx14ppx或或 解解 方程不含有方程不含有y，因此屬于方程，因此屬于方程(2)的類型。令的類型。令 故故 原方程降為一階方程原方程降為一階方程4

48、xppx, yp yp它是以它是以x為自變量，為自變量，p為未知函數(shù)的一階線性方程，其通為未知函數(shù)的一階線性方程，其通解為解為12Cpxx再由方程再由方程 積分得原方程的通解為積分得原方程的通解為12Cypxx 212lnyCxxC下頁上頁結(jié)束首頁例例3 設(shè)有一質(zhì)量發(fā)布均勻而又柔軟的繩索，其設(shè)有一質(zhì)量發(fā)布均勻而又柔軟的繩索，其兩端固定，求它本身重力作用下外形。兩端固定，求它本身重力作用下外形。AH0aOxyPscosTMTssinT下頁上頁結(jié)束首頁 解解 取坐標(biāo)系如下圖，其中取坐標(biāo)系如下圖，其中OA=a0為待定值。設(shè)為待定值。設(shè)M (x, y)為繩索上的任有點(diǎn)，即為繩索上的任有點(diǎn)，即M為所求曲

49、線為所求曲線y=y (x)上上的動(dòng)點(diǎn)。如今分析從最低點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)。如今分析從最低點(diǎn)A到點(diǎn)到點(diǎn)M這段曲線弧上的受這段曲線弧上的受力情況。由于繩索是柔軟的，所以沒有彎曲的對(duì)抗力。力情況。由于繩索是柔軟的，所以沒有彎曲的對(duì)抗力。在兩端固定的情形下，只受張力的作用。設(shè)在兩端固定的情形下，只受張力的作用。設(shè)A點(diǎn)處的程點(diǎn)處的程度張力為常數(shù)度張力為常數(shù)H，M點(diǎn)處的切向張力的大小為點(diǎn)處的切向張力的大小為T，它與，它與x軸的夾角為軸的夾角為 又由于繩索在重力作用下，弧段又由于繩索在重力作用下，弧段 所受所受的重力為的重力為P=s，這里，這里 為單位弧長的重力由于繩索為單位弧長的重力由于繩索是均勻的，故是均勻的，故

50、為常數(shù)，為常數(shù)，s為為 的長度的長度 .AMAM下頁上頁結(jié)束首頁 把作用于弧段把作用于弧段 上的力沿垂直和程度兩方向上分解，上的力沿垂直和程度兩方向上分解，并按靜力平衡條件，得并按靜力平衡條件，得AMsin cosTsTH兩式相除得兩式相除得tansH假設(shè)令假設(shè)令 那么由于那么由于 上式上式變?yōu)樽優(yōu)?0, tan ,1d ,xHaysyx2011dxyyxa兩邊對(duì)兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得y=y (x)滿足的二階分方程為滿足的二階分方程為211yya下頁上頁結(jié)束首頁且滿足初始條件且滿足初始條件000|,|0.xxyay 如今來求方程的解。令如今來求方程的解。令 那么那么 代入方程得代入方程得,

51、.ypyp211ppa 變量分別后得變量分別后得2d1d1pxap兩邊積分，得兩邊積分，得21ln1xppCa即即1arcsinxpCa下頁上頁結(jié)束首頁再由再由 得得 兩邊積分，得兩邊積分，得, sinh,xpyya2coshxyaCa由由y|x=0=a0,得得C2=a0a.于是所求曲線的方程即繩索于是所求曲線的方程即繩索的外形為的外形為0coshxyaaaa假設(shè)令假設(shè)令a0=a,即選擇坐標(biāo)系時(shí)使繩索的最低點(diǎn)即選擇坐標(biāo)系時(shí)使繩索的最低點(diǎn)A與與x軸軸的的間隔為間隔為 ，那么所求曲線方程有如下的簡單方式，那么所求曲線方程有如下的簡單方式0Hacoshxyaa或或ee2xxaaay這種曲線稱為懸鏈線

52、。這種曲線稱為懸鏈線。即即sinhxpa由于由于y|x=0=0，故，故p|x=0=0代入上式，得代入上式，得C1=0，于是有，于是有arcsinhxpa下頁上頁結(jié)束首頁12.3.3 型的微分方程型的微分方程 ,yfx y方程方程 , 4yf x y的右邊不含有自變量的右邊不含有自變量x.假設(shè)令假設(shè)令 并視并視p=p (y), y=y (x). 由于由于 那么方程那么方程(4)降為關(guān)于變降為關(guān)于變量量y與與p的一階微分方程的一階微分方程 ,yp dddd,ddddppypypxyxy d, 5dppfy py假設(shè)能求出式假設(shè)能求出式(5)的通解的通解 那么可再由方程那么可再由方程1,py C1,

53、yy C 或或1dd,yxy C兩邊積分后得方程兩邊積分后得方程(4)的通解的通解21d,yxCy C下頁上頁結(jié)束首頁例例4 求曲線半徑為常數(shù)求曲線半徑為常數(shù)R的曲線族。的曲線族。解解 設(shè)所求曲線為設(shè)所求曲線為y=y (x),由曲率公式，得由曲率公式，得32211yyR 令令 那么那么 代入方程后，有代入方程后，有 d, ,dpyp yypy322d11dpppyR 或或3/22d1d1p pyRp 積分得積分得12111yCRp 或或2122111yCpR221221RyCpyC下頁上頁結(jié)束首頁或或積分得積分得或或故所求曲線是以故所求曲線是以C2,C1為中心、為中心、R為半徑的圓族為半徑的圓

54、族1221ddyCyxRyC 2212RyCxC 22221xCyCR再由再由 得得,yp 2211ddRyCyxyC 下頁上頁結(jié)束首頁 例例5 一個(gè)離地面很高的物體，受地球引力的作一個(gè)離地面很高的物體，受地球引力的作用，由靜止開場(chǎng)落向地面。求它落到地面時(shí)的速度和用，由靜止開場(chǎng)落向地面。求它落到地面時(shí)的速度和所需的時(shí)間。所需的時(shí)間。222ddykmMmty 或或222ddykMty 解解 取銜接地球中心與該物體的直線為取銜接地球中心與該物體的直線為y軸，方向軸，方向垂直向上，地球的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)垂直向上，地球的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O.設(shè)地球的半徑為設(shè)地球的半徑為R，物體的質(zhì)量為物體的質(zhì)量為m，它與地

55、球中心的間隔為，它與地球中心的間隔為h。在時(shí)辰。在時(shí)辰t物物體所在的位置為體所在的位置為y=y(t)，這時(shí)物體的速度為，這時(shí)物體的速度為 據(jù)據(jù)牛頓第二定律牛頓第二定律F=ma，和萬有引力定律，和萬有引力定律 得微分方程得微分方程 d.dyv tt2m Mfky下頁上頁結(jié)束首頁 其中，其中，M為地球的質(zhì)量；為地球的質(zhì)量；k為引力常數(shù)；負(fù)號(hào)表示為引力常數(shù)；負(fù)號(hào)表示加速度方向與加速度方向與y軸正相反。由題給出的初始條件為軸正相反。由題給出的初始條件為00|,|0ttyh y由于當(dāng)由于當(dāng)y=R時(shí)，時(shí)， 所以所以 于是方程變?yōu)橛谑欠匠套優(yōu)?22ddygt 2,gRkM2222ddygRty 如今先求物體

56、落到地面的速度如今先求物體落到地面的速度 由由 得到得到關(guān)于關(guān)于v與與y的一階方程為的一階方程為 d.dyvtd,dyvt22ddvgRvyy 下頁上頁結(jié)束首頁分別變量后，積分得分別變量后，積分得2212RvCy由初始條件由初始條件 得得 故有故有000|, |0,tttyh vy212,gRCh 22112vgRyh由于由于y隨時(shí)間隨時(shí)間t增大而減小，所以增大而減小，所以 即即 于是物于是物體在任何時(shí)辰的速度為體在任何時(shí)辰的速度為d0, 0.dyvt112vgRyh 下頁上頁結(jié)束首頁令令y=R，得到物體落到地面時(shí)的速度為，得到物體落到地面時(shí)的速度為2gR hRhd112dyvgRtyh 下面

57、再求物體落到地面所需的時(shí)間。由于下面再求物體落到地面所需的時(shí)間。由于分別變量后，有分別變量后，有d2 dhyyRg thy 1dd2hytyRghy 或或下頁上頁結(jié)束首頁積分時(shí)令積分時(shí)令 容易得到容易得到2cos,yhu2221cos sin21 arccos2hthuuhuCRghyhyyhCRgh由由 得得C2=0.于是有于是有0|,tyh21arccos2hythyyhRgh令令y=R,得到物體落到地面所需求的時(shí)間為得到物體落到地面所需求的時(shí)間為21|arccos2y RhRthRRhRgh下頁上頁結(jié)束首頁12.4 線性微分方程解的構(gòu)造線性微分方程解的構(gòu)造 對(duì)于上一節(jié)中所討論的方程對(duì)于上

58、一節(jié)中所討論的方程 當(dāng)它當(dāng)它的右邊同時(shí)含有的右邊同時(shí)含有x, y和和 的情形的情形,普通來說普通來說,不能利用不能利用前面所講的降階法求解前面所講的降階法求解.例如二階線性微分方程例如二階線性微分方程, ,yf x y yy 1yp x yq x yf x就是這種情形。就是這種情形。 把關(guān)于二階線性方程解的構(gòu)造的實(shí)際推行到把關(guān)于二階線性方程解的構(gòu)造的實(shí)際推行到n階階線性方程線性方程 12121 2nnnnnypx ypx ypx ypx yf x下頁上頁結(jié)束首頁其中其中p1(x)、p2(x)、pn(x)都是某區(qū)間都是某區(qū)間I上的延續(xù)函上的延續(xù)函數(shù)。當(dāng)自在項(xiàng)數(shù)。當(dāng)自在項(xiàng)f(x)0時(shí)，稱為時(shí)，稱為

59、n階線性齊次方程，否那階線性齊次方程，否那么稱為么稱為n階線性非齊次方程。階線性非齊次方程。下頁上頁結(jié)束首頁12.4.1 二階線性齊次方程解的構(gòu)造二階線性齊次方程解的構(gòu)造 在討論非齊次方程在討論非齊次方程(1)的解的構(gòu)造之前，先弄清的解的構(gòu)造之前，先弄清對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程 0 3yp x yq x y的解的構(gòu)造。的解的構(gòu)造。 根據(jù)方程根據(jù)方程(3)是線性的又是齊次的這兩個(gè)特點(diǎn)，是線性的又是齊次的這兩個(gè)特點(diǎn)，容易驗(yàn)證下例性質(zhì)：容易驗(yàn)證下例性質(zhì)：1假設(shè)假設(shè)y1是方程是方程(3)的一個(gè)解，那么的一個(gè)解，那么Cy1也是方解也是方解(3)的的解解2假設(shè)假設(shè)y1和和y2都是方程都是方程(3)的解，那

60、么的解，那么y1+y2也是方程也是方程(3)的解的解下頁上頁結(jié)束首頁 定理定理1 設(shè)設(shè)y1(x)、y2(x)是二階線性齊次方程是二階線性齊次方程(3)的的兩個(gè)特解。那么兩個(gè)特解。那么y=C1y1+C2y2也是方程也是方程(3)的解，這里的解，這里C1、C2是恣意常數(shù)。是恣意常數(shù)。 假設(shè)兩個(gè)函數(shù)假設(shè)兩個(gè)函數(shù)y1(x)和和y2(x) 之比是一個(gè)常數(shù)，即之比是一個(gè)常數(shù)，即 那么稱那么稱y1(x)和和y2(x) 是線性相關(guān)的，否那么稱是線性相關(guān)的，否那么稱y1(x)和和y2(x)為線性無關(guān)的或線性獨(dú)立的。例如為線性無關(guān)的或線性獨(dú)立的。例如ex與與2ex是線性相關(guān)的，而是線性相關(guān)的，而sin x與與co