貝葉斯統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案

1、第一章先驗(yàn)分布與后驗(yàn)分布1.1 解：令 i 0.1, 20.2設(shè)A為從產(chǎn)品中隨機(jī)取出8個(gè)，有2個(gè)不合格，那么P(A i) C；0.120.960.1488P(A 2) Cs 0.220.860.2936從而有(1| A)P(A| 1)( 1)0.1488 0.7(2|A)orP(A| 1)( 1)P(A| 2)( 2)0.1488 0.7 0.2936 0.3P(A| 2) ( 2)0.2936 0.3P(A| 1) ( 1) P(A| 2) ( 2)0.1488 0.7 0.2936 0.30.54180.4582(2 | A) 1( 1 | A) 0.45821.2 解：令 11, 21.

2、5設(shè)X為一卷磁帶上的缺陷數(shù)，那么 x N P(P(X 33e3!R語言求:A (3) *exp()/ gamma(4)P(X 3)P(X 3 1)(1)P(X2)( 2)0.0998從而有3)P(X 3J ( “0.24573)P(X 3)P(X 3 2)( 2)0.75431.3解：設(shè)A為從產(chǎn)品中隨機(jī)取出P(X 3)8個(gè)，有3個(gè)不合格，那么P(A ) C3 3(1)5(1)由題意知 ()1,01從而有(|A)P(A| )()P(A| ) ( )dc； 3(1)50c8 3(1)5d3(13(1)53(1 )13(10)5d1 41(10)61dB(4,6)R語言求1:/beta(4,6)50

3、4B(4,6)(|A)504 3(1 )5,01.(2)1P(X1 | )1,12X11,當(dāng)X1 12 時(shí),2P(X1 |)1,1121丄，即22P(X1 |)1,11.512.5()1J1020,10P(Xi |)1/10(|Xi)1,()12.5 12010 P(X1 1)11.512.5.)dd(|A)P(A|)()C；3(1)52(1)10P(A|)()d1 30C33(1)52(1)d3(1)63(1)63(1 )6103(1)6d1 4 1(10)71dB(4,7)R語言求1:/beta(4,7)B(4,7)')840(|A)840 3(1)6,01.1.5解:(1)由可得

4、(2)由可得P(X1,X2, X6 |)1,當(dāng) x112.0,x211.5,X3P(X1,X2,X6 |1,1211.7, x412121 .-,i211.1, X5121,2, 6,1212P(X1,X2,()-1011.711.4X61,10(|X1,X2,X6)1212121211.111.911.4,x611.9 時(shí),111.5212,丄即2,11.511.620,P(X1, X2,X6 | )2010 P(X1,X2,X6| ) ( )d1/1011.61 d1151010,11.511.6.【原答案：由可得P(x ) 1,0.5 x 0.51() ,10 2010I九61m(X)d

5、 0.01仆.5 10從而有Ip(XJ )().(X) ()10,11.511.6 】1.6證明：設(shè)隨機(jī)變量X“P(), 的先驗(yàn)分布為Ga(,)，其中,為，那么P(Xi,X2, XnlXienXii1 e nnX!i 1)P|X1,X2, nXi 1i1 e '0,Xn)(n )|Xi,X2,即得證!【原答案:因此所以1.7 解:P(Xi, X2 ,P(Xi,X2,Xn)?nXn) Ga( xi 1P(x,nXex!X) P(x )?xGa(x ,1(1)由題意可知Xnx 1(1)e()1,01,(|X1,X2,Xn)2nXii 12nn2ni 12nXi-,01,i1,2, n,P(

6、X1,X2, Xn |)()10 P(X1,X2, Xn I ) ( )dn2nXi dmax x, , xn2n【原答案：由題意可知因此1/(2n)Xn1/( 2n)d1舌,maxx1, Xn1.1,0m(x)1 2x?2 ?X2(1 x)P(x )()m(x)(實(shí)質(zhì)是新解當(dāng)n=1的情形)】因此(x)g,x 1(2)由題意可知P(Xi ,X2,Xn | )2nXii 12n,0 X1,i1,2, n,(|X1,X2, Xn)-P(X1,X2,Xn |)()10 P(X1,X2,Xn |)()dn2nX321/(2n-2)12n-2 , maxX1 ,Xnn2nx1 2 i 1 Xi i 1m

7、ax x, xn2n3 2d1max X,Xn1/( 2n-2)di 1()3 2,01,6x1.1 9y【原答案：由題意可知m(x)。今？3 2d因此(x)101 】1.8解：設(shè)A為100個(gè)產(chǎn)品中3個(gè)不合格，那么P(A ) Cwc 3(1)97由題意可知()(2°2)(1)199,01(200)因此(|A)P(A| )? ( )3(1)97 (1)1994(1)296由上可知 (| A) Be(5,297)1.9解：設(shè)X為某集團(tuán)中人的高度，那么,52)NN(,p(x )-e2(176.53)25由題意可知2(172.72)2508又由于X是的充分統(tǒng)計(jì)量，從而有(,X)P(X )?(

8、176.53)25(172.72)2?e 508-(174.64)2 e2126因此N(174.64,1.26)1.10證明：設(shè) NN(u, 2),其中u, 2為又由于X是 的充分統(tǒng)計(jì)量，從而有(X),x)p(x )?()(X)2( u)225"2e 25 e 225x u 2十)因此25X u 21xn(1251 2 '2512又由于1251 2125所以的后驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差一定小于1.11 解:設(shè)X為某人每天早上在車站等候公共汽車的時(shí)間，那么X N u(0,P(Xi, X2, X3 |)1,0 N ,i 1,2,3.當(dāng) Xi5, X2P(Xi, X2, X3 |8,X3 8時(shí),1

9、3，8.192()r4,(|Xi,X2,X3)P(X1,X2,X3 |)()4 P(為公2,怡|)( )d1921/L)Ad8 786 8.【原答案：設(shè)X為某人每天早上在車站等候公共汽車的時(shí)間，那么X“U(O,)1P(x )-,0 x當(dāng) 8時(shí)，P(X )1318192從而有p(X )()3mir礦，計(jì)算錯誤】1.12證明:由題意可知 p(X| )1,0Xi,i 1,2,., n從而有 (x) ( x) P(X )?因此1.13的后驗(yàn)分布仍是 解：由題意可知Pareto 分布。1.15解:(1)設(shè)的先驗(yàn)分布為Ga(,)，其中，為由題意可知P(X1,X2, XnP(Xi |i 1ne Xii 1n

10、Xii 1,Xi0,i1,2, n.()亍(|X1,X2,n0.Xn)Xn|)?()(Xi )n 1e i10.所以Ga(,)是參數(shù) 的共軛先驗(yàn)分布?！驹鸢福涸O(shè) 的先驗(yàn)分布為Ga(,)，其中，為由題意可知p(x )nXne i1,Xi0,i1,2,., n從而有(X) p(X)?()因此XGa(n所以Ga(,)是參數(shù)(3)由題意可知1.16解：設(shè) X N N( 1,nXi)i 1X)的共軛先驗(yàn)分布】0.00020.00010.00042p(X 1，2)n2en(X 1)2i 1p(x2(X)2由題意可知1NN(o,廠)2從而有因此p(x1, 2)1,2 (n1) 1nnXXi2i 1i 11

11、.19證明：設(shè) 的先驗(yàn)分布為xNp(P(x )Xex!nXii 1 nenXi!i 1| X1, X2, Xn)p(X1,X2,Xn)?nXii1 ep(X1, X2, Xn I )p(Xi Ii 1從而有，貝U TP(n ),nXj5 )" e nn(Xi)!i 1n(I X)i 1np( X |i 1)?()nXii1 en所以，nXi)i 1(1 X1，X2,nXn,故Xi是 的充分統(tǒng)計(jì)i 1量。第二章貝葉斯推斷2.1解：由題意可知1,0 1設(shè)X1,X2,Xn是從隨機(jī)變量X中抽取的隨機(jī)樣本，那么P(X1,X2 ,Xn| )P(Xj| )(1 廣1n(1)i 1i 1從而有(|X

12、i，X2,Xn)P(Xi，X2,Xn | )?()nXi nn(1 )i1 ,0 1所以n(| X1,X2,Xn) Be(n 1,人 n 1)i 1(1)由題意可知n 1, X! 3,(|xj Be(2,3)? 2 2E 2 35由題意可知n 3)X1 3, X22, X35(|X1,X2,X3) Be(4,8)?41E4 83【原答案:由題意可知1,0 1設(shè) X1, X2 ,Xn是從隨機(jī)變量X中抽取的隨機(jī)樣本，那么nP(X )P(Xii 1)nxin(1 )i1從而有Xp(X| )?nXn(1 )i1 ,01所以nX Be( n 1,Xii 11)(1)由題意可知n=1,x=3怦(4,11)

13、?E 亠 -，由于原題幾何分布分布律出錯，導(dǎo)致結(jié)果出錯】4 11152.2解：設(shè)X為銀行為顧客效勞的時(shí)間，那么p(x )P(X1,X2,Xn | )i 1P(Xi |e Xine設(shè) 的先驗(yàn)分布為Ga(,)，那么0.20.040.2由題意可知 X 3.8 從而有(| Xi, X2X)P(Xi,X2,Xn|)?nXii 1nxii 11nxe因此有(|X1,X2,所以有Xn) Ga(n,nX)Ga(20.04,76.2)?e E(|X1,X2, Xn)20.040.26E( 1X) nnx2.3解：設(shè)X為磁帶的缺陷數(shù),P(X1,X2,X3 |)3P(Xi |i 176.2n 1nxex"

14、p()XieXi!nx4.002n 13Xii1 e33Xi!由題意可知 從而有(|Xi,X2,X3)P(X1,X2,X3| )?(當(dāng) Xi 2,X20,X36時(shí)，(即:104| Xi, X2, X3)e(|Xi,X2,X3)Ga(11,4),111111-,Var( |X1,X2,X3)744162.4解：設(shè)X為n個(gè)產(chǎn)品中不合格數(shù)，那么X“bin(n,)由題意可知419,01P(X)3(1 )17(X>1p(X)?3(1)17 ? 4(1)97(1因此X N Be(8,27)又X)7 6(1)2626 7(1)25?o所以?MD7332由題意可知x nbin (20,川7(1)26(1

15、)由題意可知x "bin(20,)26P(X)(1 )20因此所以x) P(X )?X N Be(8,47)?7?MD, E537(1)26 ?(1)207(1)462.5解：設(shè)X N N(22 0n壯(匕1)，那么202_855,22)，那么2 221，且22U02XMSE()Var( d)12 市 0.12.6解：設(shè)X為1000名成年人中投贊成票的人數(shù),那么 Xbin(1000,)(1)由題意可知 p(710 )710 710(1C1000(|嚴(yán),。a.b.710p(710 )?710"&712,291)710p(710 )?710" Be(714,2

16、91)(2)a. E(710)712b.710)712291714714 291710(1710(1(3)由題意可知p(x )爲(wèi)0 x(1a.b.x p(x)? Ax(1)290)2900.70980.7104)1000 x,0)1000 x711(1)290713(1)290x1(1)1000 xx“Be(x 2,1001 x)?EAE( x)鴛x p(x )? Bx(1)1000 x ?3x 3(1)1000 xxNBe(x 4,1001 x)?EBx 4E( x)1005? _ x 2 x 4 Eb =1003 10052.7解：由題意可知p(x丄0P(x )1V,0 x ,i1,2,.

17、, n令 1 max0 , X, x2 ,., xn，那么p(x )?(n從而有(n)1n1? E()(n ) 1nn 1(n11)1n 1E( 2X)2(n)1n dn 1 u1(n2) 1n 2MSE(?E)Var( x) E( 2 X)e2(n(n2.8 解:(1)由題意可知 p(x1)e因此所以(2)n1 2X2IGa(2Var( x) n2Xer(1)e1)22X22E( X)72(3)由題意可知2 n"2nxe廠1)enx2?Mid 2 n2nx2nx2第二章先驗(yàn)分布確實(shí)定3.1大學(xué)生中戴眼鏡的比例是0.73.6 ( 1)由題意可知1,1 x 1p(x )2'0其

18、他因此，該密度既不是位置密度也不是尺度密度(2)由題意可知1P(X 丿 22x，那么 P(x )-因此，該密度是尺度密度。(3)由題意可知P(x| )-Xa 1,x XoXoXo令XX一 a 一a 1，那么p(x1X),x xoXoXoXoXo因此，該密度是尺度密度。x3.8解：(1)由題意可知 p(x ) e設(shè)X1 , X 2，.， Xn是來自X的簡單隨機(jī)樣本，那么nlnp(Xii 1nX| i1 enln-Xi!2|對上式分別求一階導(dǎo)、二階導(dǎo)得L 1nxiI( ) Ex2|2ExnXii 1(2)由題意可知CnX(1)n xp(x )設(shè)X1,X2,.,Xn是來自X的簡單隨機(jī)樣本，那么nXi

19、nln p(Xi 1對上式分別求一階導(dǎo)、nXi1)i 1二階導(dǎo)得nxi 1nInCXI( ) Ex(3)由題意可知2|2EXn2n xi 1, 2ln(n2n(1 )P(xC：m1m(1)XnXi)l n(1)i 1n2nxii 121設(shè)Xi,X2，,Xn是來自X的簡單隨機(jī)樣本，那么nInC：i 1nIn P(X )i 1對上式分別求一階導(dǎo)、二階導(dǎo)得Inm In1()(4)nm 11nXii 12i2nm2nXi 11 2Exnm2(1 )nm2"Xii 1nm由題意可知p(x,x 0設(shè)Xi,X2，Xn是來自X的簡單隨機(jī)樣本，那么nIni 1對上式分別關(guān)于求一階導(dǎo)、二階導(dǎo)得I I (

20、)n Inn()I( ) Exp(X ) n In nlnnIn Xii 12inIn Xii 12p(x )12(5)由題意可知,x 0設(shè)X1,X2，,Xn是來自X的簡單隨機(jī)樣本,nIni 1P(Xi ) n InnlnIn xi對上式分別關(guān)于InXii 1求一階導(dǎo)、二階導(dǎo)得2i2I()Ex2iEx(6)由題意可知p(x設(shè)X1,X2，Xn是來自X的簡單隨機(jī)樣本,nI , X I np(xi ) n Ini 1對上式分別關(guān)于求導(dǎo)得JL2n InnIn xi 1nXii 12l2lE(det I3.9證明：由題意可知I i2li Xi "2 i由于各Xi獨(dú)立，因此有In由上式可得出12

21、l|xi2l ii 1Xi2i2 2 ii因此有det IkI i所以i 1kJdet 1 LI iJi 1kInPii3.10 解:由題意可知0Xii 1Xii j01l( X1,X2,.,Xk)Pi Xi0.01e因此有h(x, ) p(xX 0.010.01x 0.010.01,x所以有m(x)X0.010x 0.013.11 解:由題意可知1x 0.01x 0.011e0.01x 0.01P(X1,X2,.,Xnn)P(xi)iXie(i)所以有h(x.)p(x )進(jìn)而有m(x)(0,P(X1, X2,., Xn)1,2,n)1,2,n d 1d 2d n第四章 決策者的收益、損失與效

22、用令1：暢銷，2：一般，3：滯銷；a1a2a310050101Q( ,a)304096020660, j2min Q(i,aj)20, j4.1 解:123i 1,2,3印:大批生產(chǎn)，32：中批生產(chǎn)，33 :小批生產(chǎn)6,j3max min Q(j 1,2,3ii 1,2,3,aj)6因此，在悲觀準(zhǔn)那么下,最優(yōu)行動為a3(3) maxQ( i®)i 1,2,3100, j50, j10,jmax maxQ( i,ai)1002i12,3i J因此,在樂觀準(zhǔn)那么下，最優(yōu)行動為a1(4)Hg)0.8 100 0.2 ( 60)68因此,H(a2)H(a3)0.80.8在樂觀系數(shù)為50 0.

23、210 0.220)369.20.8 時(shí),最優(yōu)行動為314.2( 1)maxQ(i,aj)皐；i 1,2,330, j 2max max Q( i, aj)35j 1 2Jj ,i 1,2,3因此，在樂觀準(zhǔn)那么下，最優(yōu)行動為 ai(2) minQ( i®)i 1,2,317,j 113,j2maxminQ( i> aj )i 1,2,317因此，在悲觀準(zhǔn)那么下，最優(yōu)行動為 a1(3) H(a1) 0.7 35 0.3 17 29.6H(a2) 0.7 30 0.3 13 24.9因此，在樂觀系數(shù)為0.7時(shí)，最優(yōu)行動為a14.3解：由題可知Q耳1000.6 30 0.3 ( 60

24、)0.1Qa2500.640 0.3 ( 20)0.1Qa3100.69 0.3 6 0.19.36340因此，在先驗(yàn)期望準(zhǔn)那么下，最優(yōu)行動為印4.4 解;(1)10 Q( ,a)5a5a,Jaaa1a2a3a4a5%25242322212012530292827262Q 2530353433323253035403938425303540454452530354045506(3) min Q( i©)i 1,2,.,625, j124, j223, j322, j421,j 520, j6.max6min Q(伯)j 1,2,.,6 i 1,2,.,6因此，在悲觀準(zhǔn)那么下，最優(yōu)行動

25、為 a6 H(q)2512525H®)30124246H®)351232312H(a4)401222218H(a5)451212124日倫5012020304.8 解：1W,a250a, a750500a, a250 a,a(2) L ,a500a ,a4.9解：令i為010%時(shí)的狀態(tài)，2為10%20%時(shí)的狀態(tài)，3為20%時(shí)的狀態(tài),a1a2a3a4a5a 601234514.5 解:L501234210501233151050124201510501525201510506L a1EL( g)50.09100.1515 0.4 20 0.2250.114.45L a2EL(

26、10.0650.15100.4 150.2200.19.81同理可得L a35.71,La42.51,L a1.71,La2.11因此，在該先驗(yàn)分布之下a5為最優(yōu)行動。a1a2a303025605014.6 解:L0150530102183691803a1a2a31505010014.7 解:Q10020020025010003ai為第一種支付方法，a2為第二種支付方法，那么ma,L( ,m)L,a2(ma), mam, a其中ma時(shí),2(ma) ama,因此L(,m)L,aam,所以L imL aEL(,m) La15a210 14.15由題意可知Q51 2(1)QqEQ禺5Qa2EQ,a2

27、4.5mmm,a m a P m因此，期望收益決策為a1因此有Q a1E Q,ai10%o 100Be(2,4)d1°40Be(2, 4)d所以該廠決策者應(yīng)采取第一種支付方法。Q a2EQ404.10解：由題意知,ai0, 6530,30 5 ,0,因此有L a1L( ,ai)L a2L( ,a2)-,0106丄0 106 10 10100d30在先驗(yàn)期望損失最小的原那么下最優(yōu)行動為4.11 證明：La E L ,a E4.12證明：設(shè)m是先驗(yàn)分布的中位數(shù),a1a2100403040504020%1Q2310%30Be(2,4)d10 1610530a1a2 2aEa是任一不同于 m

28、120%5OBe(2,4)d47.9的行動，且a>m,那么2Ua12a210 121 2U aEU,a12U a2EU,a25.5因此,期望效用決策為a2a1a23U1252 11272U aEU12U a2EU,a229.5因此,新期望效用決策仍為a1 a24.16 解：由題意可知Q399 400139902(1) Q 冃EQ,a1399Q a2EQ,a2399.2因此,按直線效用曲線決策，他應(yīng)該不參加保險(xiǎn)。a1a22U8.266598.28427 18.2665902U aEU ,a18.26659U a2EU ,a28.2677因此，在該效用曲線下，不應(yīng)該參加保險(xiǎn)。第五章貝葉斯決策

29、15.1解：由題意可知，00.120.12設(shè)X為三件中的不合格品數(shù)，則 X b3,從而有P(x)C廠彳3 x1,x0,1,2,3因此有h(x,)1x x3 x)P(xC30.121,x 0,1,2,3,0繼而有m(0)0.12一 h(0, )d0.12113d0.8300 0.120.120.12 12m(1)h(1, )d31d0.15249600 0.120.120.12 0.12 1 2m(2)h(2, )d31 d 0.0131050 0 0.12所以m(3)0.120h(3,0.12)d01 33d0.000432000.121 10.1230h(0,)310.040161,0m(0

30、)0.832h(1,)m(i)163.9383 12,o0.122h(2,)m(2)1 3 2 10.121907.667 2 10.0131050.152496133 常 O00oO432 19290 3,0。12,00.12(2)由題意可知0,1,2,3 ,a1,a2x01231( x)印a1a1印2( x)a1a1a23Xa1a1a2a14( X)6a2a165Xa2印a1a16( X)a1a2a27( X)印a2a2印8Xa2a2a1a19Xa2a2a2a210Xa2a2a2印11Xa2a2a1a212Xa2印a2a213X6a2a2a214Xa2a2a1印15Xa2a1a1a216X

31、a1a2a1a2W ,a80,a q2.4 1250 , a a2令2.4125080,則 0.06208 2所以有,ai77.6 1250 ,a212500,0,077.6,因此有aia2 0a21a2 2(4)由5.2 解:E卩L077.612501d22.7284700.83 0.12EL©077.601250163.938312d7.673529EI2L077.6012501907.667 21d2.841533E3L,印077.601250319290 d1.111657030ai 1a1 2a-i 3310L77.615.3215,a20.83 0.12d0.120125

32、0I2,a2,a20.121250077.6163.93832d27.882720.12125000.121250077.61907.66736.9971319290 3d77.6a2 3(3)的計(jì)算可知後驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小的決策函數(shù)為,a243.51139(1)令 xa2,x0a ,x1(x)a|.x2ax3則 l(x)cxe cx1l(x)cxce ccx c ed ,1假設(shè)x0,c0，則 l (x)0 ,因此 l(x) l(0)0假設(shè)x0,c0，則 l (x)0假設(shè)x0,c0，則 l (x)0假設(shè)x0,c0，則 l (x)0(3)E *L ,E|x ec( c1對上式關(guān)於x求一階導(dǎo)得ce對上式關(guān)

33、於求一階導(dǎo)、階導(dǎo)得cEE |x Lccec2o2e? 1因此，'B -3 1 nEc4由題意可知ec xp(xP(Xi1芒、2一 *因此有P(xx2所以_ 1x,nc2 cx .e 2nc x2n對上式關(guān)於求一階導(dǎo)、二階導(dǎo)得E|x L2E3 22 E cV因此2E |x L232E c i2E3 22從而|n Ec5.3證明：13 2一3 23 23 2|x L ,E |x2E cv 2 J2 E c刁 |x2E c xE由題意可知p(x )1"rex22 2x2 2e 2 e因此有x pX2x222所以3 2E cT5.4證明：由題意可知P(x )p(x a)1Te因此in

34、 P(x )P(xa)所以LeP(x a)P(x)a2 2 a x 2e4,a Exln P(x)P(x a)Exa2 2 aLh(，a) 1ExExP(x a)P(x )22 a x2a2a2e -2 a2e(a尸eF5.5解：由題意可知P(x因此P(xa)P(xa)P(x )所以Le,aLh( ,a)P(x a)1ln-2Ex2Ex2 a22eFin P(x )P(x a)Ex1ln2P(x a)P(x )P(x a)P(x )22 a x a4dx2e22 a42Ex11a22 aae"2x2 dxP(x a)P(x )P(x a)P(x )2Ex1 11 Ex2x2 12 -

35、 e2Ex2 : a2a141 - ax2 114 一方e5.6解：由題意可知P(x )p(x a)因此 p(x a)2a xLh( ,a)由題意可知1ex0因此1ex0x2"dxx2 1 14 一匕ex2Fx14_21E2Ex,xax,xP(x a)p(x )dx2Ep(x a)#P(x)xNGa,xX。5.8解：由題意可知p(x )T10ex200一1 e 2 225、2一15°因此21002 225200N(9x400900)13 )13由定理5.5可知 ?為后驗(yàn)分布的-分位數(shù)。4a xek9x 40013 900 2xdx 15.9解：由題意可知px 因此有其中1e

36、21 1x2 ' iA1 1T11u%2_ u A 12所以5.11解:由題意可知p(x)Cnx,0因此x “Be x由定理5.2得,n? 'BE 1110 1"Be所以5.13解:因此1 1Be0 1由題意可知pxx Be x 1,14 x所以(1)0" Be 1,14由定理5.1可知(2)(3)10 18,0 113 x11 14115電為Be 1,14的中位數(shù)由定理5.2可知1517(1151T(1)13d14134由定理5.5可得5.14解：1由題意可知?為 Be 1,14 的L( ,ao)0,01分位數(shù)30.151,0.15L(1,00,0.150.15|x113R ag x E 1 L( ,a0)14 1 d 0.102770、，/0.15lx°.1513R q x E |x L( ,a1)q 14 1 d 0.89723(2)R a0 x E |x L( ,a0)0.10277R a1 x E x L( ,a1)0.89723 2 1.79446(3) R a0 x E |x L( ,a0)0.10277R a1 xE |x L( ,aj0.150 0.15