高三數(shù)學(xué)高考回歸課本教案：組合

1、高考數(shù)學(xué)回歸課本教案第十八章組合一、方法與例題1抽屜原理。例 1設(shè)整數(shù) n 4,a,a, ,an是區(qū)間 (0,2n)內(nèi) n個(gè)不同的整數(shù)，證明：存在集合12a1,a, ,a 的一個(gè)子集，它的所有元素之和能被2n 整除。2n證明 （ 1 ）若 na1,a 2, ,a n, 則 n個(gè)不同的數(shù)屬于n-1 個(gè)集合 1,2n-1，2,2n-2, ,n-1,n+1。由抽屜原理知其中必存在兩個(gè)數(shù)ai ,a j (i j) 屬于同一集合，從而 ai +aj =2n 被 2n 整除；（2）若 n a 1,a 2, ,a n ，不妨設(shè) an=n，從 a1,a 2, ,a n-1 (n-1 3) 中任意取 3個(gè)數(shù) a

2、i , a j ,ak (a i ,<a j < ak) ，則 aj -a i 與 ak-a i中至少有一個(gè)不被n 整除，否則 ak -a i =(a k -a j )+(a j -a i ) 2n，這與 a(0,2n) 矛盾，故 a ,a, ,an-1中必有兩個(gè)數(shù)之差不被n 整除；不妨設(shè)a與 a 之差k1212(a-a >0) 不被 n 整除，考慮 n 個(gè)數(shù) a ,a ,a+a ,a +a +a , ,a1+a + +a。2112121232n-1）若這 n 個(gè)數(shù)中有一個(gè)被n 整除，設(shè)此數(shù)等于kn，若 k 為偶數(shù)，則結(jié)論成立；若k 為奇數(shù)，則加上 an=n 知結(jié)論成立。）若

3、這 n 個(gè)數(shù)中沒有一個(gè)被n 整除，則它們除以 n 的余數(shù)只能取 1,2, ,n-1這 n-1 個(gè)值，由抽屜原理知其中必有兩個(gè)數(shù)除以n 的余數(shù)相同，它們之差被 n 整除，而 a2-a 1不被 n 整除，故這個(gè)差必為 ai , a j , a k-1 中若干個(gè)數(shù)之和，同）可知結(jié)論成立。2極端原理。例 2 在 n× n 的方格表的每個(gè)小方格內(nèi)寫有一個(gè)非負(fù)整數(shù)，并且在某一行和某一列的交叉點(diǎn)處如果寫有 0，那么該行與該列所填的所有數(shù)之和不小于n。證明： 表中所有數(shù)之和不小于 1 n2 。2 證明 計(jì)算各行的和、 各列的和， 這 2n 個(gè)和中必有最小的， 不妨設(shè)第 m行的和最小， 記和為 k，則

4、該行中至少有 n-k 個(gè) 0，這 n-k 個(gè) 0 所在的各列的和都不小于 n-k ，從而這 n-k列的數(shù)的總和不小于(n-k)2，其余各列的數(shù)的總和不小于k2，從而表中所有數(shù)的總和不小于(n-k)22( n k k )212.+k n223. 不變量原理。俗話說，變化的是現(xiàn)象，不變的是本質(zhì)，某一事情反復(fù)地進(jìn)行，尋找不變量是一種策略。例 3 設(shè)正整數(shù) n 是奇數(shù)，在黑板上寫下數(shù)1，2， 2n，然后取其中任意兩個(gè)數(shù)a,b, 擦去這兩個(gè)數(shù)，并寫上 |a-b| 。證明：最后留下的是一個(gè)奇數(shù)。證明設(shè) S 是黑板上所有數(shù)的和， 開始時(shí)和數(shù)是S=1+2+ +2n=n(2n+1) ，這是一個(gè)奇數(shù)，因?yàn)?|a-

5、b|與 a+b 有相同的奇偶性， 故整個(gè)變化過程中S 的奇偶性不變， 故最后結(jié)果為奇數(shù)。例 4 數(shù) a , a , ,an中每一個(gè)是 1 或 -1 ，并且有 S=a a a a + a a a a +a a a a =0. 證明：1212342 3 4 5n 1 2 34|n.證明如果把 a1,a2, ,a n 中任意一個(gè) ai 換成 -a i ，因?yàn)橛? 個(gè)循環(huán)相鄰的項(xiàng)都改變符號(hào)，S 模 4 并不改變，開始時(shí) S=0，即 S0，即 S 0(mod4) 。經(jīng)有限次變號(hào)可將每個(gè)a 都變成i1，而始終有S 0(mod4) ，從而有n 0(mod4) ，所以 4|n 。4構(gòu)造法。用心愛心專心例 5

6、是否存在一個(gè)無窮正整數(shù)數(shù)列a1,<a 2 <a3<， 使得對(duì)任意整數(shù) A，數(shù)列 an A n 1 中僅有有限個(gè)素?cái)?shù)。n3即可。當(dāng)n 中沒有素?cái)?shù)；當(dāng) |A| 2 時(shí)，若 n |A| ， 證明 存在。取 a =(n!)A=0 時(shí)， a則 an+A 均為 |A| 的倍數(shù)且大于 |A|，不可能為素?cái)?shù)；當(dāng)A=± 1 時(shí)， an± 1=(n! ± 1) ?(n!)2±n!+1 ，當(dāng) 3 時(shí)均為合數(shù)。從而當(dāng)A 為整數(shù)時(shí)， (n!)3+A中只有有限個(gè)素?cái)?shù)。例 6 一個(gè)多面體共有偶數(shù)條棱，試證：可以在它的每條棱上標(biāo)上一個(gè)箭頭，使得對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)，指向它的箭頭

7、數(shù)目是偶數(shù)。 證明 首先任意給每條棱一個(gè)箭頭，如果此時(shí)對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)，指向它的箭頭數(shù)均為偶數(shù)，則命題成立。 若有某個(gè)頂點(diǎn)A，指向它的箭頭數(shù)為奇數(shù)，則必存在另一個(gè)頂點(diǎn)B，指向它的箭頭數(shù)也為奇數(shù)（因?yàn)槔饪倲?shù)為偶數(shù)），對(duì)于頂點(diǎn)A 與 B，總有一條由棱組成的“路徑”連結(jié)它們， 對(duì)該路徑上的每條棱，改變它們箭頭的方向，于是對(duì)于該路徑上除A，B 外的每個(gè)頂點(diǎn)，指向它的箭頭數(shù)的奇偶性不變，而對(duì)頂點(diǎn)A，B，指向它的箭頭數(shù)變成了偶數(shù)。如果這時(shí)仍有頂點(diǎn)， 指向它的箭頭數(shù)為奇數(shù)， 那么重復(fù)上述做法， 又可以減少兩個(gè)這樣的頂點(diǎn)，由于多面體頂點(diǎn)數(shù)有限，經(jīng)過有限次調(diào)整，總能使和是對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)，指向它的箭頭數(shù)為偶數(shù)。命題成立。5

8、染色法。例 7 能否在 5× 5 方格表內(nèi)找到一條線路，它由某格中心出發(fā)，經(jīng)過每個(gè)方格恰好一次，再回到出發(fā)點(diǎn)，并且途中不經(jīng)過任何方格的頂點(diǎn)？ 解 不可能。 將方格表黑白相間染色，不妨設(shè)黑格為13 個(gè)，白格為 12 個(gè)，如果能實(shí)現(xiàn)，因黑白格交替出現(xiàn)，黑白格數(shù)目應(yīng)相等，得出矛盾，故不可能。6凸包的使用。給定平面點(diǎn)集A，能蓋住 A 的最小的凸圖形，稱為A 的凸包。例 8 試證：任何不自交的五邊形都位于它的某條邊的同一側(cè)。證明五邊形的凸五包是凸五邊形、凸四邊形或者是三角形，凸包的頂點(diǎn)中至少有3 點(diǎn)是原五邊形的頂點(diǎn)。五邊形共有5 個(gè)頂點(diǎn)，故3 個(gè)頂點(diǎn)中必有兩點(diǎn)是相鄰頂點(diǎn)。連結(jié)這兩點(diǎn)的邊即為所求

9、。7賦值方法。例 9由 2× 2 的方格紙去掉一個(gè)方格余下的圖形稱為拐形，用這種拐形去覆蓋5× 7的方格板，每個(gè)拐形恰覆蓋3 個(gè)方格，可以重疊但不能超出方格板的邊界，問：能否使方格板上每個(gè)方格被覆蓋的層數(shù)都相同？說明理由。 解 將 5× 7 方格板的每一個(gè)小方格內(nèi)填寫數(shù)-2 和 1。如圖 18-1 所示，每個(gè)拐形覆蓋的三個(gè)數(shù)之和為非負(fù)。 因而無論用多少個(gè)拐形覆蓋多少次，蓋住的所有數(shù)字之和都是非負(fù)的。另一方面，方格板上數(shù)字的總和為12× (-2)+23× 1=-1 ，當(dāng)被覆蓋 K 層時(shí)，蓋住的數(shù)字之和等于 -K ，這表明不存在滿足題中要求的覆蓋。

10、-21-21-21-21111111-21-21-21-21111111-21-21-21-28圖論方法。例 10 生產(chǎn)由六種顏色的紗線織成的雙色布， 在所生產(chǎn)的雙色布中， 每種顏色的紗線至少與其他三種顏色的紗線搭配過。 證明：可以挑出三種不同的雙色布， 它們包含所有的顏色。用心愛心專心 證明 用點(diǎn) A1， A2， A3， A4， A5， A6 表示六種顏色，若兩種顏色的線搭配過，則在相應(yīng)的兩點(diǎn)之間連一條邊。由已知，每個(gè)頂點(diǎn)至少連出三條邊。命題等價(jià)于由這些邊和點(diǎn)構(gòu)成的圖中有三條邊兩兩不相鄰（即無公共頂點(diǎn)） 。因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)的次數(shù) 3，所以可以找到兩條邊不相鄰，設(shè)為 A1A2， A3A4。（ 1）

11、若 A5 與 A6 連有一條邊，則 A1A2， A3A4，A5A6 對(duì)應(yīng)的三種雙色布滿足要求。（ 2）若 A5 與 A6 之間沒有邊相連，不妨設(shè)A5 和 A1 相連， A2 與 A3 相連，若 A4 和 A6 相連，則A1A2，A3A4， A5A6 對(duì)應(yīng)的雙色布滿足要求；若A4 與 A6 不相連，則A6 與 A1 相連， A2 與 A3 相連，A1A5，A2A6， A3A4 對(duì)應(yīng)的雙色布滿足要求。綜上，命題得證。二、習(xí)題精選1藥房里有若干種藥，其中一部分藥是烈性的。藥劑師用這些藥配成68 副藥方，每副藥方中恰有5 種藥，其中至少有一種是烈性的，并且使得任選 3 種藥恰有一副藥方包含它們。試問：

12、全部藥方中是否一定有一副藥方至少含有4 種烈性藥？（證明或否定）2 21 個(gè)女孩和 21 個(gè)男孩參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽， （ 1）每一個(gè)參賽者最多解出6 道題；（ 2）對(duì)每一個(gè)女孩和每一個(gè)男孩至少有一道題被這一對(duì)孩子都解出。求證：有一道題至少有3 個(gè)女孩和至少有 3 個(gè)男孩都解出。3求證：存在無窮多個(gè)正整數(shù)n，使得可將3n 個(gè)數(shù) 1, 2, , 3n排成數(shù)表12na , a ab1, b2 bn1, c2nc c滿足：（ 1）a1+b1+c 1= a 2+b2+c2= a n+bn+cn=，且為 6 的倍數(shù)。（ 2） a1+a2+ +an= b 1+b2+ +bn= c 1+c2+ +c n=，且為

13、 6 的倍數(shù)。4給定正整數(shù)n，已知克數(shù)都是正整數(shù)的k 塊砝碼和一臺(tái)天平可以稱出質(zhì)量為1， 2，n 克的所有物品，求k 的最小值f(n)。5空間中有1989 個(gè)點(diǎn)， 其中任何3 點(diǎn)都不共線， 把它們分成點(diǎn)數(shù)各不相同的30 組，在任何 3 個(gè)不同的組中各取一點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形。試問：為使這種三角形的總數(shù)最大，各組的點(diǎn)數(shù)應(yīng)分別為多少？6在平面給定點(diǎn) A 和 n 個(gè)向量 a ， a ， a ，且使 a +a + +a =0 。這組向量的每一個(gè)012n12n排 列, , ain1，2n0ai1 , ai2都定義一個(gè)點(diǎn)集：AA，A=A，使得aiA0 A1 , aiA1 A2, , ainAn 1 An12求證：存在一個(gè)排列，使由它定義的所有點(diǎn)A1， A2， An-1都在以 A0 為角頂?shù)哪硞€(gè) 600 角的內(nèi)部和邊上。7設(shè) m, n, k N，有 4個(gè)酒杯，容量分別為m,n,k 和 m+n+k升，允許進(jìn)行如下操作：將一個(gè)杯中的酒倒入另一杯中或者將另一杯倒?jié)M為止。開始時(shí)，大杯中裝滿酒而另3 個(gè)杯子卻空著，問：為使對(duì)任何SN， S<m+n+k，都可經(jīng)過若干次操作，使得某個(gè)杯子中恰有S升酒的關(guān)于 m,n,k 的充分必要條件是什么？8設(shè)有 3