有關(guān)定積分的證明題【定積分證明題方法工作總結(jié)】

1、有關(guān)定積分的證明題【定積分證明題方法工作總結(jié)】對(duì)不定積分的求解方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸類(lèi),不但使其計(jì)算方法條理清楚,而且有助于對(duì)不定積分概念的理解,提高學(xué)習(xí)興趣,對(duì)學(xué)好積分具有一定的促進(jìn)作用。希望對(duì)大家有所幫助，歡迎閱讀。篇一：定積分計(jì)算方法總結(jié)一、 不定積分計(jì)算方法1. 湊微分法2. 裂項(xiàng)法3. 變量代換法1) 三角代換2) 根冪代換3) 倒代換4. 配方后積分5. 有理化6. 和差化積法7. 分部積分法(反、對(duì)、冪、指、三)8. 降冪法二、 定積分的計(jì)算方法1. 利用函數(shù)奇偶性2. 利用函數(shù)周期性3. 參考不定積分計(jì)算方法三、 定積分與極限1. 積和式極限2. 利用積分中值定理或微分中值定理求極限

2、3. 洛必達(dá)法則4. 等價(jià)無(wú)窮小四、 定積分的估值及其不等式的應(yīng)用1. 不計(jì)算積分，比較積分值的大小1) 比較定理：若在同一區(qū)間a,b上，總有f(x)>=g(x),則 >= ()dx2) 利用被積函數(shù)所滿(mǎn)足的不等式比較之 a)b) 當(dāng)0 2. 估計(jì)具體函數(shù)定積分的值積分估值定理：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且其最大值為M，最小值為m則M(b-a);= ;=M(b-a)3. 具體函數(shù)的定積分不等式證法1) 積分估值定理2) 放縮法3) 柯西積分不等式≤ %4. 抽象函數(shù)的定積分不等式的證法1) 拉格朗日中值定理和導(dǎo)數(shù)的有界性2) 積分中值定理3) 常數(shù)變易

3、法4) 利用泰勒公式展開(kāi)法五、 變限積分的導(dǎo)數(shù)方法篇二：定積分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、經(jīng)驗(yàn)總結(jié)(1) 定積分的定義：分割;近似代替;求和;取極限(2)定積分幾何意義：f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積 abf(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積的相a反數(shù)(3)定積分的基本性質(zhì)：kf(x)dx=kf(x)dx aabbf1(x)f2(x)dx=f1(x)dxf2(x)dx aaaf(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac(4)求定積分的方法： baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb

4、定義法：分割;近似代替;求和;取極限 利用定積分幾何意義;微積分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F(x)=f(x) ba篇三：定積分計(jì)算方法總結(jié)1、原函數(shù)存在定理定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使對(duì)任一x∈I都有F;(x)=f(x);簡(jiǎn)單的說(shuō)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。分部積分法如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設(shè)對(duì)數(shù)和反三角函數(shù)為u。2、對(duì)于初等函數(shù)來(lái)說(shuō)，

5、在其定義區(qū)間上，它的原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。定積分1、定積分解決的典型問(wèn)題(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程2、函數(shù)可積的充分條件定理設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間a,b上可積，即連續(xù)=>可積。定理設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間a,b上可積。3、定積分的若干重要性質(zhì)性質(zhì)如果在區(qū)間a,b上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。推論如果在區(qū)間a,b上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x

6、)dx。推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),該性質(zhì)說(shuō)明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計(jì)積分值的大致范圍。性質(zhì)(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。4、關(guān)于廣義積分設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上除點(diǎn)c(a定積分的應(yīng)用1、求平面圖形的面積(曲線(xiàn)圍成的面積)

7、直角坐標(biāo)系下(含參數(shù)與不含參數(shù))極坐標(biāo)系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ/2)旋轉(zhuǎn)體體積(由連續(xù)曲線(xiàn)、直線(xiàn)及坐標(biāo)軸所圍成的面積繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成)(且體積V=∫abπf(x)2dx，其中f(x)指曲線(xiàn)的方程)平行截面面積為已知的立體體積(V=∫abA(x)dx,其中A(x)為截面面積)功、水壓力、引力函數(shù)的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)篇四：定積分計(jì)算方法總結(jié)一、不定積分的概念和性質(zhì)若F(x)f(

8、x)，則f(x)dxF(x)C， C為積分常數(shù)不可丟!性質(zhì)1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或df(x)dxf(x) dx性質(zhì)2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C性質(zhì)3f(x)g(x)dx或f(x)g(x)dx二、基本積分公式或直接積分法基本積分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx;kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dxkdxkxCxxdx1x1C(為常數(shù)且1)1xdxlnxC axedxeCadxlnaC xxcosxdxsinxCsinxdxcosxCdxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxCsecxtanxdxs

9、ecxCcscxcotxdxcscxCdxarctanxCarccotxC()1x2arcsinxC(arccosxC)直接積分法：對(duì)被積函數(shù)作代數(shù)變形或三角變形，化成能直接套用基本積分公式。 代數(shù)變形主要是指因式分解、加減拆并等;三角變形主要是指三角恒等式。 三、換元積分法：1.第一類(lèi)換元法(湊微分法)g(x)dxf(x)(x)dxf(x)d(x)注 (1)常見(jiàn)湊微分：u(x)f(u)duF(u)Cu(x).111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2(2

10、)適用于被積函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)相乘的情況：若被積函數(shù)為一個(gè)函數(shù)，比如：e2xdxe2x1dx， 若被積函數(shù)多于兩個(gè)，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成兩類(lèi);(3)一般選擇簡(jiǎn)單熟悉的那個(gè)函數(shù)寫(xiě)成(x);(4)若被積函數(shù)為三角函數(shù)偶次方，降次;奇次方，拆項(xiàng);2.第二類(lèi)換元法f(x)dxx(t)f(t)(t)dtf(t)(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代換類(lèi)型:(1) 對(duì)被積函數(shù)直接去根號(hào);(2) 到代換x1; t(3) 三角代換去根號(hào)xatantxasect、xasint(orxacost)f(xdx，tf(xx，xasectf(xx，xasintf(xx，xatant f(

11、ax)dx，taxf(xx，t三、分部積分法：uvdxudvuvvduuvuvdx.注 (1)u的選取原則：按 反對(duì)冪三指 的順序，誰(shuí)在前誰(shuí)為u，后面的為v;(2)uvdx要比uvdx容易計(jì)算;(3)適用于兩個(gè)異名函數(shù)相乘的情況，若被積函數(shù)只有一個(gè)，比如：arcsinx1dx，uv(4)多次使用分部積分法： uu求導(dǎo) vv積分(t;篇五：定積分計(jì)算方法總結(jié)一、原函數(shù)定義1 如果對(duì)任一xI，都有F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx則稱(chēng)F(x)為f(x)在區(qū)間I 上的原函數(shù)。例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函數(shù)。 ln(xx2)原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I

12、上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I 上一定有原函數(shù)，即存在區(qū)間I 上的可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使得對(duì)任一xI，有F(x)f(x)。 注1：如果f(x)有一個(gè)原函數(shù)，則f(x)就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)。設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，則F(x)Cf(x)，即F(x)C也為f(x)的原函數(shù)，其中C為任意常數(shù)。注2：如果F(x)與G(x)都為f(x)在區(qū)間I 上的原函數(shù)，則F(x)與G(x)之差為常數(shù)，即F(x)G(x)C(C為常數(shù))注3：如果F(x)為f(x)在區(qū)間I 上的一個(gè)原函數(shù)，則F(x)C(C為任意常數(shù))可表達(dá)f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)。1x2，即ln(xx2)是1x2的原函數(shù)。二、不定積分定義2 在區(qū)間I上，f

13、(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)，成為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為f(x)dx。如果F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)dxF(x)C，(C為任意常數(shù))三、不定積分的幾何意義圖 5;1 設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則yF(x)在平面上表示一條曲線(xiàn)，稱(chēng)它為f(x)f(x)的不定積分表示一族積分曲線(xiàn)，它們是由f(x)的某一條積分曲線(xiàn)沿著y軸方向作任意平行移動(dòng)而產(chǎn)生的所有積分曲線(xiàn)組成的.顯然，族中的每一條積分曲線(xiàn)在具有同一橫坐標(biāo)x的點(diǎn)處有互相平行的切線(xiàn)，其斜率都等于f(x).在求原函數(shù)的具體問(wèn)題中，往往先求出原函數(shù)的一般表達(dá)式y(tǒng)F(x)C，再?gòu)闹写_定一個(gè)滿(mǎn)足條件 y(x0)y0 (稱(chēng)

14、為初始條件)的原函數(shù)yy(x).從幾何上講，就是從積分曲線(xiàn)族中找出一條通過(guò)點(diǎn)(x0,y0)的積分曲線(xiàn).四、不定積分的性質(zhì)(線(xiàn)性性質(zhì))f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxk為非零常數(shù)) kf(x)dxkf(x)dx(五、基本積分表∫ a dx = ax + C，a和C都是常數(shù)∫ xa dx = x(a + 1)/(a + 1) + C，其中a為常數(shù)且 a ≠ -1 ∫ 1/x dx = ln|x| + C∫ ax dx = (1/lna)ax + C，其中a > 0 且 a ≠ 1&

15、amp;int; ex dx = ex + C∫ cosx dx = sinx + C∫ sinx dx = - cosx + C∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C= - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C&

16、int; cscx dx = ln|tan(x/2)| + C= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C= - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C∫ sec2(x) dx = tanx + C∫ csc2(x) dx = - cotx + C∫ secxtanx dx = secx + C∫ cscxcotx dx = - cscx + C∫ dx/(a2 + x2) = (1/a)arctan(x/a) + C∫ dx/

17、√(a2 - x2) = arcsin(x/a) + C∫ dx/√(x2 + a2) = ln|x + √(x2 + a2)| + C∫ dx/√(x2 - a2) = ln|x + √(x2 - a2)| + C∫ √(x2 - a2) dx = (x/2)√(x2 - a2) - (a2/2)ln|x + √(x2 - a2)| + C ∫ √(x

18、2 + a2) dx = (x/2)√(x2 + a2) + (a2/2)ln|x + √(x2 + a2)| + C ∫ √(a2 - x2) dx = (x/2)√(a2 - x2) + (a2/2)arcsin(x/a) + C六、第一換元法(湊微分)設(shè)F(u)為f(u)的原函數(shù)，即F(u)f(u) 或 f(u)duF(u)C 如果 u(x)，且(x)可微，則 dF(x)F(u)(x)f(u)(x)f(x)(x) dx即F(x)為f(x)(x)的原函數(shù)，或f(x)(x)dxF(x)CF(u)C

19、u(x)f(u)du因此有定理1 設(shè)F(u)為f(u)的原函數(shù)，u(x)可微，則f(x)(x)dxf(u)du公式(2-1)稱(chēng)為第一類(lèi)換元積分公式。 u(x)u(x) (2-1)f(x)(x)dxf(x)d(x)f(u)duu(x)1f(axb)d(axb)1f(u)duf(axb)dxuaxb篇六：定積分計(jì)算方法總結(jié)第一類(lèi)換元法第二類(lèi)換元法 分部積分法 不定積分是高等數(shù)學(xué)中積分學(xué)的基礎(chǔ),對(duì)不定積分的理解與掌握的好壞直接影響到該課程的學(xué)習(xí)和掌握。 熟練掌握不定積分的理論與運(yùn)算方法,不但能使學(xué)生進(jìn)一步鞏固前面所學(xué)的導(dǎo)數(shù)與微分的知識(shí),而且也將為學(xué)習(xí)定積分,微分方程等相關(guān)知識(shí)打好基礎(chǔ)。在高等數(shù)學(xué)中,

20、函數(shù)的概念與定義與初等數(shù)學(xué)相比發(fā)生了很多的變化,從有限到無(wú)限,從確定到不確定,計(jì)算結(jié)果也可能不唯一,但計(jì)算方法與計(jì)算技巧顯得更加重要。這些都在不定積分的計(jì)算中體會(huì)的淋漓盡致。對(duì)不定積分的求解方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸類(lèi),不但使其計(jì)算方法條理清楚,而且有助于對(duì)不定積分概念的理解,提高學(xué)習(xí)興趣,對(duì)學(xué)好積分具有一定的促進(jìn)作用。1 直接積分法直接積分法就是利用不定積分的定義,公式與積分基本性質(zhì)求不定積分的方法。直接積分法重要的是把被積函數(shù)通過(guò)代數(shù)或三角恒等式變形,變?yōu)榉e分表中能直接計(jì)算的公式,利用積分運(yùn)算法則,在逐項(xiàng)積分。一、原函數(shù)與不定積分的概念定義1.設(shè)f(x)是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)，若存在函數(shù)F(x)，使得F(x)或dFf(x)(x)f(x)dx,則稱(chēng)F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)定義2.函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)F(x)C叫做f(x)的不定積分，記為:f(x)dxF(x)Cf(x)叫做被積函數(shù) f(x)dx叫做被積表達(dá)式C叫做積分常數(shù)其中叫做積分號(hào)二、不定積分的性質(zhì)和基本積分公式性質(zhì)1. 不定積分的