2022年2022年阿基米德三角形與三道高考試題

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載阿基米德三角形與三道高考試題（山東省滕州市第一中學(xué)邵明志277500 ）題 1（ 20xx 年江西卷,理22 題）：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如圖, 設(shè)拋物線c : y2x的焦點(diǎn)為f ,動(dòng)點(diǎn) p 在直線l : xy20 上運(yùn)動(dòng), 過(guò) p 作精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載拋物線 c 的兩條切線pa. pb,且與拋物線c 分別相切于a.b 兩點(diǎn) .（ 1）求 apb 的重心 g 的軌跡方程 .（ 2）證明 pfa= pfb .a題 2（ 2006 全國(guó)卷 ii ,

2、理 21 題）：af已知拋物線x2 4y 的焦點(diǎn)為f,a.b 為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn),且 yfblxop精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 fb（ 0）過(guò) a.b 兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,設(shè)其交點(diǎn)為 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（）證明 fm ·ab 為定值；（）設(shè) abm 的面積為s,寫(xiě)出 s f的表達(dá)式,并求s 的最小值題 3（ 2007 江蘇卷,理19 題）：如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy 中,過(guò) y 軸正方向上一點(diǎn)c 0, c 任作始終線,與精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載拋物線yx2 相交于 a,b 兩點(diǎn)一條垂直于x 軸的直線, 分別與

3、線段ab 和y精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載直線 l :yc 交于點(diǎn) p, q pbcao精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1）如oa ob2 ,求 c 的值；x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）如 p 為線段 ab 的中點(diǎn),求證：qa 為此拋物線的切線；ql（ 3）試問(wèn)（ 2）的逆命題為否成立？說(shuō)明理由上述三道高考試題都涉及到拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍的三角形,這個(gè)三角形又常被稱為阿基米德三角形,由于阿基米德最早利用靠近的思想證明白：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德

4、三角形面積的2 阿基米德三角形有很多有3趣的性質(zhì), 上述三題都為某些性質(zhì)的表達(dá),可以預(yù)見(jiàn), 今后環(huán)繞該三角形性質(zhì)的高考試題仍會(huì)顯現(xiàn), 因此對(duì)該三角形的性質(zhì)作進(jìn)一步的討論為必要的.有益的 下面給出阿基米德三角精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載形的一些好玩性質(zhì),證明時(shí)均以拋物線y22 px 為例,且稱弦ab 為阿基米德三角形的底精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載邊, m 為底邊 ab 的中點(diǎn),下不贅述性質(zhì) 1 阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明：設(shè)ax1、y1 ,b x2 、y2 ,m 為弦 ab 中點(diǎn),就過(guò) a 的

5、切線方程為y1 yp xx1 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載過(guò) b 的切線方程為y2 yp xx2 ,聯(lián)立方程組得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載y1 yp xx1 y2 yp xx2 y22 px11y22 px22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解得兩切線交點(diǎn)qy1 y2 ,2 py1y2 2,進(jìn)而可知qm x 軸.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載此性質(zhì)即為題3 考查內(nèi)容性質(zhì) 2 如阿基米德三角形的底邊即弦ab 過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn)c,就另一頂點(diǎn)q 的軌跡為一條直線精品學(xué)

6、習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明：設(shè) q x,y ,由性質(zhì) 1,x=y1y2 2 p,y=y1y2 ,2l精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 y1 y22 px精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載y1y2由 a.b.c 三點(diǎn)共線知y2y2y1y0,即y2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載121x02 p2 p2 p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載y2y yy xy xy22 py , 將 y= y1y2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1121 020102y1 y22 px 代入得 y0 yp xx0 ,即為 q 點(diǎn)

7、的軌跡方程 .性質(zhì) 3 拋物線以c 點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行于q 點(diǎn)的軌跡精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載利用兩式相減法易求得以c 點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的斜率為l 平行p ,因此該弦與q 點(diǎn)的軌跡即直線y0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載性質(zhì) 4 如直線 l 與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn),以l 上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明：如上圖,設(shè)l 方程為axbyc0 ,且a x1 、 y1 , b x2 、 y2 ,弦 ab 過(guò)點(diǎn) c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 x0 、y0

8、,由性質(zhì) 2 可知 q 點(diǎn)的軌跡方程y0 yp xx0 ,該方程與axbyc0 表示同精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一條直線,對(duì)比可得xc 、 ybpcbp,即弦 ab 過(guò)定點(diǎn) c（,） .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載00aaaa2性質(zhì) 5 底邊長(zhǎng)為a 的阿基米德三角形的面積的最大值為a8 p證明： |ab |=a,設(shè) q 到 ab 的距離為d,由性質(zhì)1 知精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載xxy yy2y22 y y yy 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載d| qm

9、 |12121212 =12,設(shè)直線 ab 方程為： xmyn ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22 p4 p4 p4 p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就 a121m2 yy 22, y2y1a2 , da,即 s=24 p1 a 2ad.2 8 p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載性質(zhì) 6 如阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn),就頂點(diǎn)q 的軌跡為準(zhǔn)線,且阿基米德三角形精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的面積的最小值為p2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明：由性質(zhì)2,如底邊過(guò)焦點(diǎn),就

10、xp 、 y0 , q 點(diǎn)軌跡方程為xp2即為準(zhǔn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2線；易驗(yàn)證kqakqb001 ,即 qaqb ,故阿基米德三角精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載形為直角三角形,且 q 為直角頂點(diǎn)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xxpy2y2p2 | y y|p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 p 2 |qm |=122p=1224 p1+12+=24 p2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載+4 p2= p ,而s qab| qm2| y1y2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2| qm | y

11、1 y2 | p性質(zhì) 6 即為題 2 所涉及性質(zhì)性質(zhì) 7 在阿基米德三角形中,qfa= qfb 證明：如圖,作aa'準(zhǔn)線, bb'準(zhǔn)線,連接y1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載qa'.qb'.qf .af .bf ,就k fa ',明顯p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載k fa 'kqa1 , fa' qa,又 |aa'|=|af |,由三角形精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載全等可得 qaa'= qaf , qaa' qaf ,

12、 | qa'|=|qf |, qa'a= qfa,同理可證 |qb'|=|qf |, qb 'b= qfb, |qa'|=|qb'|,即 qa'b'= qb'a' qa'a= qa'b'+90 0=qb'a'+900 =qb'b、 qfa= qfb,結(jié)論得證此性質(zhì)即題1 的結(jié)論,但原解答采納代數(shù)法相當(dāng)復(fù)雜,這里給出的幾何法簡(jiǎn)潔明白112233性質(zhì) 8 在拋物線上任取一點(diǎn)i （不與 a.b 重合）,過(guò) i 作拋物線切線角qa.qb 于 s. t,就 qst 的垂心在準(zhǔn)線

13、上精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明：設(shè)a2 pt 2 、 2 pt . b 2 pt 2 、 2 pt . i 2 pt 2 、 2 pt ,易求得過(guò) b.i 的切線交點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載t 2 pt2 t3 、 p t2t3 ,過(guò) t 向 qa 引垂線,其方程為2t1xyp t2t3 4 pt1t2t3 ,它和精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)縱坐標(biāo)為y =p t1t2t3 4 pt1t2t3 ,明顯這個(gè)縱坐標(biāo)為關(guān)于t1、 t2

14、 、t3 對(duì)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載稱的,因此從s 點(diǎn)向 qb 引垂線,從q 點(diǎn)向 st 引垂線,它們與準(zhǔn)線的交點(diǎn)也為上述點(diǎn),故結(jié)論得證性質(zhì) 9|af | ·| bf |= |qf |2 12證明： |af | ·| bf |= xp xp =22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載pp2y yy2y2p 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x xxx = 12 2 +12 +,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 212242 p44精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載而|qf|2 =

15、y1 y2p 2 y1y2 2 = y1 y2 2 +精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 p222 py2y2p2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12 +44=|af | · | bf|.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載性質(zhì) 10qm 的中點(diǎn) p 在拋物線上,且p 處的切線與 ab 平行精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明：由性質(zhì)1 知 qy1 y2 ,2 py1y2 2,m精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 x1x2 、 y12y2 ,易得 p 點(diǎn)坐標(biāo)為2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 y1y2

16、、8 py1y2 ,此點(diǎn)明顯在拋物線上；過(guò)2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載p2 p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載p 的切線的斜率為得證= kab ,結(jié)論y1y2y1y22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載性質(zhì) 11 在性質(zhì) 8 中,連接ai. bi ,就 abi 的面積為 qst 面積的 2 倍證明：如圖,這里顯現(xiàn)了三個(gè)阿基米德三角形,即qab. tbi . sai；應(yīng)用阿基米德三角形的性質(zhì)：弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載積的 2 ；設(shè) bi 與拋物線所圍面積為3s1 , ai 與拋

17、物線所圍精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載面積為s2 ,ab 與拋物線所圍面積為s ,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sss3 s3 s =abiqabqst1222精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3 ss3 s3 s = 3 sss s=精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載qst1212qst2222精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3 ss,s2 s精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2abiqst性質(zhì) 12 設(shè) qabix' 、 y' ,qstf x、

18、yy22 px , aqb=,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1） kqak qbp2x '精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2） kqak qby 'x 'f x '、 y '精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 3） | kqak qb | x '|精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 4） | tan|2f x '、 y '精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載| 2x 'p |精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 5） | a